1. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 3. Curvas.
1
2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares.
De la misma forma que la ecuación cartesiana ( )y y x= define una curva en el plano, aquella for-
mada por los puntos ( ), ( ) ,x y x cuando la variable independiente x recorre un cierto intervalo; una
ecuación de la forma ( )r r θ= permite definir una curva en el plano: la que está formada por aque-
llos puntos P cuyas coordenadas polares ( , )r θ verifican ( ),r r θ= que se llama ecuación de la
curva en coordenadas polares. En concreto, las coordenadas cartesianas de los puntos de la curva
son ( )( )cos , ( )sen ,r rθ θ θ θ cuando la variable independiente θ recorre un cierto intervalo.
Para dibujar la curva de ecuación ( ),r r θ= vamos calculando los valores de r para algunos valores
significativos del ángulo θ y dibujamos los correspondientes puntos ( )( )cos , ( )sen ,r rθ θ θ θ de
forma parecida a lo que haríamos para dibujar una curva de ecuación ( )y y x= en coordenadas car-
tesianas. De la misma manera, también pueden considerarse simetrías, valores extremos (que co-
rresponden a los puntos de la curva más alejados o más cercanos al origen de coordenadas), etc.
Recta tangente en coordenadas polares. Un elemento esencial para la representación de curvas, es
la pendiente de la tangente (si es que existe dicha tangente) en un punto de la curva. Sabemos que si
la curva está dada en coordenadas cartesianas por la ecuación ( ),y y x= entonces la pendiente de la
recta tangente en el punto 0 0( , )x y de la curva es 0( ).y x′ El siguiente resultado establece una fórmu-
la similar cuando la curva viene dada en coordenadas polares en término de las derivadas ( )x θ′ e
( ).y θ′ Si ( )r r θ= es la ecuación polar de la curva, recordemos que las coordenadas cartesianas de
los puntos de curva vienen dados por las funciones ( ) : ( )cosx rθ θ θ= e ( ): ( )sen .y rθ θ θ=
TEOREMA. Sea ( )r r θ= la ecuación de una curva en coordenadas polares y supongamos que ( )r θ
es derivable. Si ( ) 0,x θ′ ≠ entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto ,P de
coordenadas polares ( , ),r θ es
( ) ( )sen ( )cos
( ) .
( ) ( )cos ( )sen
y r r
m
x r r
θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ θ
′ ′ +
= =
′ ′ −
DEM. Podemos expresar en el entorno de este punto ,P de coordenadas polares ( , ),r θ la curva en
coordenadas cartesianas ( ).y y x= La pendiente en este punto ,P digamos de coordenadas carte-
sianas 0 0( , ),x y sabemos que viene dada por 0( ),y x′ es decir, ( )y x′ evaluada en el punto 0.x Puesto
que
( ) ( )cos ,
( ) ( )sen ,
x r
y r
θ θ θ
θ θ θ
=⎧
⎨
=⎩
usando la regla de la cadena y la derivada de la función inversa1
obtenemos
que
( ) ( )sen ( )cos
( ) ( ) ( ) .
( ) ( )cos ( )sen
y r r
y x y x
x r r
θ θ θ θ θ
θ θ
θ θ θ θ θ
′ ′ +
′ ′ ′= ⋅ = =
′ ′ −
1
NOTA. Recordemos que si la función ( ) ( )cosx x rθ θ θ= = es derivable en un punto θ y la derivada ( ) 0,x θ′ ≠ enton-
ces existe función inversa ( )xθ θ= y su derivada se puede expresar como
1
( ) .
( )
x
x
θ
θ
′ =
′
Los puntos en los que la deri-
vada ( ) 0,x θ′ = como veremos en la siguiente observación, tienen, en principio, tangente vertical y en ellos no es posi-
ble, en general, describir la curva como la gráfica de una función ( ).y y x=

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OBSERVACIÓN (TANGENTES HORIZONTALES Y VERTICALES). Al igual que en el caso de curvas en
coordenadas cartesianas, cuando tratamos de dibujar una curva en coordenadas polares es muy útil
conocer los puntos donde la tangente es horizontal, o bien vertical. Si la curva viene dada por la
ecuación ( ),r r θ= el teorema anterior nos dice que los puntos de tangente horizontal son aquellos
para los que ( )sen ( )cos 0,r rθ θ θ θ′ + = siempre que ( )cos ( )sen 0.r rθ θ θ θ′ − ≠ Por el contrario,
los puntos de tangente vertical son aquellos que verifican que ( )cos ( )sen 0,r rθ θ θ θ′ − = siempre
que ( )sen ( )cos 0.r rθ θ θ θ′ + ≠ Los puntos que verifican simultáneamente las dos ecuaciones
( ) ( )sen ( )cos 0,
( ) ( )cos ( )sen 0,
y r r
x r r
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
′ ′= + =⎧
⎨
′ ′= − =⎩
deben ser estudiados de forma particular.
EJEMPLO. En el caso de la curva de ecuación 1 cos ,r θ= − que se llama cardioide porque tiene for-
ma de corazón, tenemos que
2 2
( )sen ( )cos cos cos sen ,
( )cos ( )sen sen 2cos sen .
r r
r r
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
′ + = − +
′ − = − +
Para obtener las soluciones de 2 2
cos cos sen 0,θ θ θ− + = observemos que
[ ]2 2 2 2 2
2
cos cos sen cos cos 1 cos 2cos cos 1 cos
2 1 0.
z
z z
θ θ θ θ θ θ θ θ θ− + = − + − = − + + = =
= − + + =
Entonces
1
1 1 8 1 3
1
4 4 .
2
z
⎧
− ± + − ± ⎪
= = = ⎨
− − −⎪⎩
De aquí deducimos que cosθ puede tomar los valores 1
y
1
.
2
− Si cos 1,θ = tenemos que 0θ = o 2 .θ π= Por el contrario, si
1
cos ,
2
θ = − tenemos que
2
3
π
θ = o
4
.
3
π
θ = Para obtener las soluciones de sen 2cos sen 0,θ θ θ− + = observemos que
( )sen 2cos sen sen 2cos 1 0,θ θ θ θ θ− + = − =
con lo que tenemos también dos posibilidades. Si sen 0,θ = tenemos que 0,θ = θ π= o 2 .θ π=
Por el contrario, si
1
cos ,
2
θ = tenemos que
3
π
θ = o
5
.
3
π
θ = Las soluciones comunes, es decir, las
soluciones del sistema
2 2
cos cos sen 0,
sen 2cos sen 0,
θ θ θ
θ θ θ
⎧ − + =
⎨
− + =⎩
son 0θ = y 2 .θ π= Esto nos dice que los pun-
tos de tangente horizontal se obtienen para
2
3
π
θ = y
4
;
3
π
θ = y los puntos de tangente vertical para
los valores ,
3
π
θ =
5
3
π
θ = y .θ π= Veámoslo en el siguiente gráfico, en el que hemos dibujado la
cardioide y los puntos donde aparecen tangentes horizontales o verticales. El caso del origen, es
decir, para 0θ = o 2 ,θ π= es especial puesto que estos valores verifican las dos ecuaciones y, a
priori, no podemos decidir si la tangente es horizontal, vertical, oblicua o no existe tangente. La grá-

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fica nos indica que la tangente es, de hecho, horizontal. Para comprobar esto analíticamente calcu-
lemos el límite de las pendientes ( )m θ cuando el ángulo polar se acerca a cero, esto es
2 2
0 0 0
0 0
( )sen ( )cos cos cos sen
lim ( ) lim lim
( )cos ( )sen sen 2cos sen
cos cos(2 ) sen 2sen(2 )
lim [L'Hôpital] lim 0.
sen sen(2 ) cos 2cos(2 )
r r
m
r rθ θ θ
θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
→ → →
→ →
′ + − +
= =
′ − − +
− − +
= = = =
− + − +
Este resultado nos indica que la tangente es, como intuíamos, horizontal.
Simetrías de curvas en polares. Cuando dibujamos la gráfica de la curva C de ecuación cartesiana
( )y y x= es usual estudiar su simetría respecto del eje OY y su simetría respecto del origen de coor-
denadas. Sabemos que la curva es simétrica respecto del eje OY (es decir, si ( , ) ,x y C∈ entonces
( , )x y C− ∈ ) si verifica que ( ) ( )y x y x− = para todo .x De forma similar, la curva es simétrica res-
pecto del origen (es decir, si ( , ) ,x y C∈ entonces ( , )x y C− − ∈ ) si verifica ( ) ( )y x y x− = − para todo
.x En el caso de una curva C de ecuación polar ( )r r θ= también es posible expresar las simetrías
en términos de unas relaciones sencillas en las que interviene la función ( ).r r θ= Establecer estas
relaciones es lo que haremos a continuación.
Simetría respecto del eje OX. Una curva de ecuación polar ( )r r θ= es simétrica respecto del eje
OX si verifica que ( ) ( )r rθ θ− = para todo .θ
Simetría respecto del eje OY. Una curva de ecuación polar ( )r r θ= es simétrica respecto del eje
OY si verifica que ( ) ( )r rπ θ θ− = para todo .θ
Simetría respecto del origen. Una curva de ecuación polar ( )r r θ= es simétrica respecto del origen
si verifica que ( ) ( )r rπ θ θ+ = para todo .θ La simetría respecto del origen no implica ninguna re-
lación con las simetrías respecto de los ejes coordenados. Es decir, una curva de ecuación polar
( )r r θ= puede ser simétrica respecto del origen y no ser simétrica respecto de ninguno de los dos
ejes coordenados.

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EJEMPLO. Ahora dibujaremos la curva llamada lemniscata, cuya ecuación en coordenadas polares es
cos(2 ),r a θ= siendo 0a > un número fijo. Observemos que se verifican las siguientes igualda-
des que nos indican distintas simetrías de la curva.
Simetría respecto de .OX ( ) cos( 2 ) cos(2 ) ( ).r a a rθ θ θ θ− = − = =
Simetría respecto de .OY ( ) cos(2( )) cos( 2 ) cos(2 ) ( ).r a a a rπ θ π θ θ θ θ− = − = − = =
Simetría respecto de .O ( ) cos(2( )) cos(2 ) ( ).r a a rθ π θ π θ θ+ = + = =
Teniendo esto en cuenta, basta estudiar la curva en el primer cuadrante.
Dominio de definición. En este caso tenemos que ( )r θ está bien definido si y, sólo si, se verifica
que cos(2 ) 0,θ ≥ o lo que es lo mismo, 0 .
4
π
θ≤ ≤ Observemos además que 0 ( )r aθ≤ ≤ para todo
0 .
4
π
θ≤ ≤ Esto nos indica que la curva se encuentra dentro de la circunferencia de radio a centra-
da en el origen.
Tangentes. En función del ángulo polar, las coordenadas ( )x θ e ( )y θ vienen dadas por las fórmu-
las
( ) cos(2 ) cos ,
( ) cos(2 ) sen .
x a
y a
θ θ θ
θ θ θ
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
Derivando ( )x θ en la igualdad anterior obtenemos
( )
1
2
1
( ) cos(2 ) ( sen(2 ))2cos cos(2 ) sen
2
sen(2 )cos sen(2 )cos cos(2 )sen
cos(2 ) sen .
cos(2 ) cos(2 )
x a a
a a
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ θ
−
′ = − −
+⎛ ⎞
= − + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Igualmente si derivamos ( )y θ obtenemos que
( )
1
2
1
( ) cos(2 ) ( sen(2 ))2sen cos(2 ) cos
2
sen(2 )sen cos(2 )cos sen(2 )sen
cos(2 ) cos .
cos(2 ) cos(2 )
y a a
a a
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ θ
−
′ = − +
−⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ahora calculamos los valores de θ para los que ( ) 0.y θ′ = Como se verifica la relación trigonomé-
trica cos( ) cos cos sen sen ,x y x y x y+ = − tenemos que
cos(3 )
( ) .
cos(2 )
y a
θ
θ
θ
′ = Entonces la igualdad
( ) 0y θ′ = implica que cos(3 ) 0,θ = o lo que es lo mismo, 3 ,
2
π
θ = es decir, .
6
π
θ = De forma simi-
lar, resolvemos la ecuación ( ) 0.x θ′ = De la igualdad sen( ) cos sen sen cos ,x y x y x y+ = + tenemos
que
sen(3 )
( ) .
cos(2 )
x a
θ
θ
θ
′ = − Entonces la igualdad ( ) 0x θ′ = implica que sen(3 ) 0,θ = o lo que es lo
mismo 3 0θ = o 3 ,θ π= es decir, 0θ = o .
3
π
θ = Como estamos estudiando la curva en el interva-

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5
lo 0
4
π
θ≤ ≤ nos quedamos sólo con el punto 0.θ =
Tangente horizontal. Calculamos los valores de θ para los que ( ) 0y θ′ = y ( ) 0.x θ′ ≠ Como
0
6
x
π⎛ ⎞′ ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
en el punto correspondiente a este valor del ángulo la curva tiene tangente horizontal.
Tangente vertical. Calculamos los valores de θ para los que ( ) 0x θ′ = e ( ) 0.y θ′ ≠ Como
( )0 0y′ ≠ en el punto correspondiente a este valor del ángulo la curva tiene tangente vertical.
Es interesante conocer la pendiente de la tangente para el valor .
4
π
θ = El punto que se obtiene en
este caso es el origen de coordenadas, es decir, 0.
4
r
π⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
Sin embargo, las derivadas no están de-
finidas en este punto. Entonces, para calcular la pendiente debemos calcular el límite
4 4 4 4
cos(3 ) 3 2cos
cos(2 )( ) cos(3 ) 4 2lim ( ) lim lim lim 1.
sen(3 ) 3( ) sen(3 ) 2sen
cos(2 ) 4 2
a
y
m
x a
π π π π
θ θ θ θ
θ π
θθ θ
θ
θ πθ θ
θ
− − − −
→ → → →
⎛ ⎞
−⎜ ⎟′ ⎝ ⎠= = = − = − = − =
′ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Con estos datos, podemos realizar el dibujo que mostramos en la figura de abajo, con 1.a =
OBSERVACIÓN. A veces hay valores de θ para los que ( ) 0,r θ < lo que no tendría sentido si exigi-
mos que el radio polar sea positivo. Sin embargo, el punto de coordenadas ( )( )cos , ( )senr rθ θ θ θ
puede ser representado en el plano aunque ( ) 0.r θ < Por eso, en algunos libros se admiten radios
negativos, con lo que un punto tiene dos pares de coordenadas polares, la habitual y ( , ).r θ π− ± No
obstante, nosotros siempre supondremos, como venimos haciendo, que 0.r ≥
EJERCICIO 1. Calcula la pendiente de las curvas dadas por las siguientes ecuaciones polares en los
puntos que se indican:
a) 1 senr θ= − en 0, .θ π= b) sen(2 )r θ= en
3
, .
4 4
π π
θ = ± ± c) cos(2 )r θ= en 0, , .
2
π
θ π= ±

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EJERCICIO 2. Calcula las coordenadas cartesianas de los puntos de intersección de los siguientes
pares de curvas.
a) 1 cos , 1 cos ,r rθ θ= − = + b) 1 sen , 1 sen ,r rθ θ= − = + c) 2sen , 2sen(2 ),r rθ θ= =
d) 1 cos , cos ,r rθ θ= − = e) 2
2, 4sen ,r r θ= = f) 2 2
2 cos(2 ), 2 sen(2 ).r rθ θ= =
EJERCICIO 3. Dibuja la curva de ecuación polar 2
4cos .r θ=
EJERCICIO 4. Dibuja las siguientes curvas espirales de ecuación polar: ,r θ= r eθ
= y
1
.r
θ
=
EJERCICIO 5. Dibuja la región plana limitada por la curva cuya ecuación en coordenadas polares es
1 senr θ= + con [0,2 ].θ π∈
EJERCICIO 6. Dibuja la curva que, en coordenadas polares, viene dada por 4 cos(2 ) .r θ= Esta cur-
va se conoce como rosa de cuatro hojas.
EJERCICIO 7. Consideremos dos puntos fijos del plano 1C y 2C distintos. Fijemos un sistema de
referencia en el plano de forma que 1 ( ,0)C c= y 2 ( ,0),C c= − con 0.c > Determina la ecuación
cartesiana de los puntos ( , )P x y= tales que el producto de las distancias de P a 1C y de P a 2C
es una constante 0.k > Comprueba que, en el caso particular en el que 2
,k c= dicha curva es una
lemniscata obteniendo su ecuación polar.