características generales de las ecuaciones cuadráticas

1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática, o de segundo grado, es aquella que teniendo una sola incógnita, el grado
mayor de esta es dos.
De manera general una ecuación de segundo grado adquiere la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0 En donde a ≠ 0
ax2
es el término de segundo grado ; bx es el término de primer grado y c es el término
independiente y no tiene incógnita
*Las letras: a , b y c son coeficientes.
La única condición que se establece para una ecuación cuadrática es que a ≠ 0 ( “a” debe ser
distinto de cero); de otro modo no existiría el término de segundo grado y por lo tanto no sería
ecuación de segundo grado.
* Cuando la ecuación carece deltérmino de primer grado (b = 0 ) es una ecuación cuadrática
pura. Adquiere la forma : ax2
+ c = 0
Así , son ecuaciones cuadráticas puras: 4x2
- 36 = 0 ; 3x2
- 27 = 0 ; 5x2
= 125
* Cuando la ecuación carece deltérmino independiente (c = 0 ) es una ecuación cuadrática mixta
incompleta. Adquiere la forma: ax2
+ bx = 0
Así , son ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas: 4x2
- 6x = 0 ; 7x2
- 20x = 0
6x2
- 4x = 3x ; 10x2
- 3x = 2x2
+ 6x De su forma generaluna ecuación puede prescindir del
término de primer grado o del término independiente .
Las ecuaciones de segundo grado que tienen todos los términos ( el de segundo grado , el de primer
grado y el término independiente) reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas mixtas completas.
Adquiere la forma general : ax2
+ bx + c = 0
Son ecuaciones cuadráticas mixtas completas: 2x2
- 4x + 6 = 0 ; 3x2
- 7x + 6 ;
3x2
- 5x + 8 = 0 ; x2
+ 7x + 12 = 0
Antes de clasificar una ecuación se debe verificar que esté igualada a cero.
4x2 + 8x = 8x - 5 Se hace la transposición de términos
4x2 + 8x - 8x + 5 = 0 Se reducen los términos semejantes
4x2 + 5 = 0 Es una ecuación cuadrática pura
5x = -3x2
3x2 + 5x = 0 Es una ecuación cuadrática mixta incompleta

2. Soluciónde ecuaciones cuadráticas
En toda ecuación de segundo grado su solución da lugar a dos raíces que satisfacen a la ecuación y
se nombran como x1 y x2.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓNCUADRÁTICAPURA.
Forma: ax2
- c = 0
Una ecuación cuadrática pura puede resolverse :
a) Despejando la incógnita.
Se hace lo siguiente:
1.- Se despeja el término de segundo grado
2.- Se dividen ambos miembros entre el coeficiente del término de segundo grado
3.- Se extrae raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación.
Se obtienen las dos raíces
Toda raíz cuadrada tiene doble signo ; cada una es una de las raíces de la ecuación.
Ejemplo 1.
4x2 - 36 = 0
4x2 = 36 Se despeja la incógnita. Se pasa el término independiente al segundo miembro
4x2 = 36 Se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término de segundo grado
4 4
x2 = 9 Se extrae raíz cuadrada a cada miembro de la ecuación
O bien despejando la incógnita. x = + 9 ; x = + 3
x1= +3
x2 = -3
Ejemplo 2.
7x2 - 63 = 0
7x2 = 63 Se pasa el término independiente al segundo miembro
x2 = 63
7
x2 = 9 Despejando : x = + 9 ; x = +3
x1 = +3
x2 = -3
Ejemplo 3.
9x2 = 20 + 5x Se pasa el término de segundo grado al primer miembro
9x2 - 5x2 = 20 Se reducen los términos semejantes
4x2 = 20 Se despeja el término de segundo grado
x2 = 20
4
x2 = 5 Despejando : x = + 5
Como no acepta raíz cuadrada exacta, las raíces se dejan indicadas.
x1 = + 5 ; x2 = - 5
b) Por descomposición en factores.
1.- Se pasan los términos al primer miembro y se reducen los términos semejantes
2.- Se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término de segundo. Obtenemos una
diferencia de cuadrados
3.- Se factoriza la diferencia de cuadrados
4.- Cada factor obtenido se iguala a cero y se despeja. Así obtenemos las raíces de la ecuación.

3. Ejemplo 1.
3x2 = 100 - x2
3x2 + x2 - 100 = 0 Se pasan todos los términos al primer miembro y se hace la reducción de términos semejantes.
4x2 - 100 = 0 Dividimos toda la ecuación entre coeficiente del término de segundo grado
x2 - 25 = 0 Factorizamos la diferencia de cuadrados
(x + 5)(x - 5) = 0
Igualamos a cero cada factor obtenido y despejamos.
x + 5 = 0 x - 5 = 0 POR LO TANTO…x1 = -5 x2
= +5
Ejemplo 2.
7x2 - 63 = 0
Dividimos todala ecuación entre el coeficiente del término de segundo grado
7x2
- 63 = 0
7 7 7
Obtenemos una diferencia de cuadrados . La factorizamos.
x2 - 9 = 0.
(x + 3) (x - 3) = 0
Igualamos a cero cada factor y despejamos .
x + 3 = 0 x - 3 = 0
x1 = -3 x2 = +3
Ejemplo 3.
5x2 + 8x = 8x + 20
Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen los términos semejantes.
5x2 + 8x - 8x - 20 = 0
5x2 - 20 = 0
Se divide la ecuación entre el coeficiente del término de segundo grado
5x2 - 20 = 0
5 5 5
x2 - 4 = 0
Se factoriza la diferencia de cuadrados obtenida.
(x + 2) (x - 2) = 0
Cada factor se iguala a cero y se despeja en cada uno la incógnita
x + 2 = 0 x - 2 = 0
x1 = -2 x2 = +2

4. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA MIXTA INCOMPLETA
Forma : ax2 + bx = 0
La forma más simple de resolución de una ecuación cuadrática mixta incompleta es factorizando (
Por factor común). Para ello se hace los siguiente:
1.- Se eliminan denominadores y paréntesis si los hay
2.- Se pasan todos los términos al primer miembro
3.- Se reducen los términos semejantes. 0btenemos una ecuación de la forma : ax2
+ bx = 0
4.- Se factoriza la ecuación por factor común . Cada uno de los factores obtenidos se iguala a cero.
Así obtenemos las raíces de la ecuación.
* Una de las raíces siempre escero.
Ejemplo 1.
4x2 - 8x = 4x
Se pasan todos los términos al primer miembro de la ecuación y se reducen términos semejantes.
4x2 - 8x - 4x = 0
4x2 - 12x = 0 Adquirió la forma ax2 + bx = 0
4x2 - 12x = 0 Factorizamos la ecuación por factor común.
4x(x - 3 ) = 0
Cada uno de los factores obtenidos se iguala a cero y se despeja la incógnita.
4x = 0 x - 3 = 0
4x = 0 x2 = +3
4 4
x1 = 0
Ejemplo 2.
6x2 - 5x = 2x2 - 2x
Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen los términos semejantes
6x2 - 5x - 2x2 + 2x = 0
4x2 - 3x = 0 Se factoriza la ecuación por factor común.
4x2 - 3x = 0
x(4x - 3) = 0 Se iguala cada factor a cero y despejamos la incógnita en cada uno de ellos.
x1 = 0 4x - 3 = 0
4x = +3
x2= +3
4
Ejemplo 3.
5x(x - 3) = x(x - 4) Se eliminan los paréntesis
5x2 - 15x = x2 - 4x Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen los términos
semejantes.
5x2 - 15x - x2 + 4x = 0
4x2 - 11x = 0 Se factoriza la ecuación por factor común
x(4x - 11) = 0
Se iguala cada factor a cero y se despeja la incógnita.
x1 = 0 4x - 11 = 0
4x = 11
x2 = 11
4

5. Ejemplo 4.
5x - 10 = 2x - 8
x x
Se eliminan los denominadores. Para este caso se pueden efectuar productos cruzados.
x(5x - 10) = x(2x - 8)
5x2 - 10x = 2x2 - 8x
Se pasan todos los términos al primer miembro y se hace reducción de los términos semejantes.
5x2 -10x - 2x2 + 8x = 0
3x2 - 2x = 0
Se saca factor común. Se despeja la incógnita en cada uno de los factores.
3x2 - 2x = 0
x(3x - 2) = 0
x1 = 0 3x - 2 = 0
3x = 2
x2 = 2
3
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA MIXTA COMPLETA
Forma: ax2 + bx + c = 0
Una ecuación cuadrática mixta completa puede resolverse por diverso métodos; aunque de manera general
son dos los métodos más usados para su resolución: Factorizando y por fórmula general.
También se emplea en algunos casos el método de completar trinomio cuadrado perfecto pero sólo lo
tomaremos como referencia para obtenerla fórmula general.
De tal manera que presentaremos como método de resolución de una ecuación cuadrática mixta completa :
a) Por Factorización
POR FACTORIZACIÓN
Para resolver una ecuación cuadrática mixta completa por descomposición en factores, se hace lo
siguiente:
1.- Se eliminan los denominadores y los paréntesis si los hay
2.- Se pasan todos los términos al primer miembro de la ecuación y damos la forma:
ax2
+ bx + c = 0
3.- Se factoriza la ecuación ya sea por el caso: x2
+ bx + c o por el caso ax2
+ bx + c
4.- Se iguala cada uno de los factores obtenidos a cero.
* En cada igualdad obtenida se despeja la incógnita; así obtenemos las raíces de la ecuación.
Ejemplo 1.
x2 - 10x + 21 = 0
Se factoriza la ecuación por el caso x2 + bx + c
x2 - 10x + 21 = 0
(x - 7)(x - 3) = 0
Se iguala cada uno de los factores a cero y se despeja la incógnita
x - 7 = 0 x - 3 = 0
x1 = 7 x2 = +3
Comprobación:
Para x1 = 7 Para x2 = 3
(7)2 - 10(7) + 21 = 0 (3)2 - 10(3) + 21 = 0
49 - 70 + 21 = 0 9 - 30 + 21 = 0
70 - 70 = 0 30 - 30 = 0
0 = 0 0 = 0

6. Ejemplo 2.
4x2 - 11x + 6 = 0
Factorizamos por el caso ax2 + bx + c
* Se multiplica 4(6) = 24 término auxiliar
* Signo del 2o. término “ -” signo obtenido de multiplicar signos del 2o. y 3er. términos “-”
*Se buscan dos números que sumados den “11” y multiplicados “24”
Números con posibilidades: 12x2 ; 6x4 ; 8x3 ; 24x1
Los números son: - 8x y -3x que sustituyen a “-11x ” en el trinomio
4x2 -8x - 3x + 6 = 0 Factorizamos por agrupación.
4x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x - 2) (4x - 3) = 0
Igualamos cada factor a cero y despejamos la incógnita.
x - 2 = 0
x1 = +2 4x - 3 = 0
4x = 3
x2 = 3
4
Comprobación:
4x2 - 11x + 6 = 0 Para x2 = 3/4
Para x1 = 2 4(3/4)2 - 11(3/4) + 6 = 0
4(2)2 - 11(2) + 6 = 0 4(9/16) - 33 + 6 = 0
4(4) - 22 + 6 = 0 4
16 - 22 + 6 = 0 36 - 33 + 6 = 0
0 = 0 16 4 *Común denominador “16”
36 - 132 + 96 = 0
0 = 0
Ejemplo 3.
x2 + 6x + 5 = 0
Factorizamos por el caso x2 + bx + c
(x + 5)(x + 1) = 0
Igualamos a cero cada factor y despejamos la incógnita.
x + 5 = 0 x + 1 = 0
x1 = -5 x2 = -1
Comprobamos:
Para x1 = -5 Para x2 = -1
(-5)2 + 6(-5) + 5 = 0 (-1)2 + 6(-1) + 5 = 0
25 - 30 + 5 = 0 1 - 6 + 5 = 0
0 = 0 0 = 0
Ejemplo 4
x - 2 = 1
2x - 3 x
Eliminamos los denominadores (Productos cruzados)
x(x - 2) = 1(2x - 3)
x2 - 2x = 2x - 3
Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen los términos semejantes.
x2 - 2x - 2x + 3 = 0
x2 - 4x + 3 = 0 Factorizamos por el caso x2 + bx + c
(x - 3) (x - 1) = 0 Igualamos cada factor a cero y despejamos la incógnita.
x - 3 = 0 x - 1 = 0 x1 = +3 x2 = +1