numeros enteros

1. Universidad Interamericana de Puerto Rico
Recinto Metropolitano
Facultad de Ciencias y Tecnología
Propuesta LiNUS-MSP
Prof. Manuel Fernández

2. Operaciones con los Números Reales

3. Los Números Reales

4.  Conocer los diferentes subconjuntos de los números
Reales
 Reconocer a qué conjuntos de los Números Reales
pertenece un número dado.
Objetivos

5. Números Reales

6. Mapa conceptual: Números Reales
Números reales Se clasifican en
Números
racionales
Números
irracionales
Algunos ejemplos son
Números
naturales
Números
enteros
Números
decimales finitos
Números decimales
infinitos
semiperiódicos
Números decimales
infinitos periódicos
Números decimales con
infinitas cifras decimales, sin
periodo

8.  Se representan con la letra
 El conjunto de los Números Reales
 El conjunto de los Números Reales está integrado por:
 El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos los
números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.
 El conjunto de los Números Irracionales ( ) que está formado por la unión de todos los
números que admiten una expresión infinita no periódica.
 Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en
forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales ( ) está
formado por los elementos del conjunto unido con I .
El Conjunto de los Números Reales

9. Números Naturales
 Son los números que se utilizan para contar:
 {1, 2, 3, 4, 5, …}
 El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números
naturales.
 Además de cardinales (para contar), los números naturales
son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un
conjunto:
 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

10. NUMEROS NATURALES
 Los números naturales son los primeros que surgen
en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de
contary de ordenarson las más elementales que se
pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

11. NUMEROS NATURALES
 El número entero está estrechamente unido a los
objetos. Sirven para contar cosas.
 Los naturales son representados por números
comprendidos del 1 al 9 incluyendo al cero.
 En nuestro sistema de números decimalesse tienen
diez dígitos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

12. NUMEROS NATURALES
 Los naturales se forman sumándoles la unidad:
 El primer número natural es el 1 (uno), luego le sigue
el dos 2 (dos, 1+1), después el 3 (tres, 2+1), 4 (cuatro,
3+1), 5 (cinco, 5+1), 6, 7...

13. NUMEROS NATURALES
 Todo número tiene dos valores:
 Valor por sí mismo: que es siempre el mismo valor
esté donde esté colocada cada cifra.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Valor de posición: Es el valor que tiene cada cifra de
acuerdo al lugar que ocupa en la cantidad:
6
60
600

14. NUMEROS NATURALES
 Así:

15. NUMEROS NATURALES
 Representación gráfica de números naturales.
A los números naturales los representamos mediante
puntos sobre una recta, para ello debemos fijar la
posición del punto 0 y la largura del segmento unidad,
que será el segmento que llevaremos sobre la recta
sucesivas veces según el valor del número.

16. NUMEROS NATURALES
 Ordenación de números naturales.
Cuando yo tengo la misma cantidad de canicas que
Celina entonces tenemos una igualdad (=)

17. NUMEROS NATURALES
 Ordenación de números naturales.
Un número natural puede tener un antecesor y un sucesor.
El antecesor de un número es el menor (<)
Así 4 < 5, 3 < 4, 2 < 3, 1 < 2 y 0 < 1

18. NUMEROS NATURALES
 Ordenación de números naturales.
En general, cualquier número que esté a la izquierda en
la recta numérica de un número cualquiera es menor
(<) a éste.

19. NUMEROS NATURALES
 Ordenación de números naturales.
Un número natural puede tener un antecesor y un
sucesor.
El sucesor de un número es el mayor (>)
Así 5 > 4, 4 > 3, 3 > 2, 2 > 1 y 1 > 0

20. NUMEROS NATURALES
 Ordenación de números naturales.
En general, cualquier número que esté a la derecha en
la recta numérica de un número cualquiera es mayor
(>) a éste.

21. Números Cardinales
 Son los mismos números Naturales a los
cuales se les ha añadido el número Cero:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

22.  Para determinar si un número Cardinal es también
Racional, un ejemplo.
 Tomemos como ejemplo el único número Cardinal que no
es Natural, o sea, el 0.
 ¿Se puede escribir el 0 como una fracción que cumpla con
la definición de Racional?
 Si. El 0 se puede escribir como:
𝑜
1
Cardinales

23.  Todo número es un producto de números primos es
solo necesario demostrar que todo número primo
puede representarse como a lo sumo la suma de
cuatro cuadrados perfectos.
 Es decir, todo número primo puede representarse
como la suma de cuatro cuadrados perfectos.
Teorema fundamental de la
aritmética

24.  El teorema es más fácil si el primo es de la forma p=4n+1. En
este caso será la suma de a lo sumo dos cuadrados. Ejemplo
41 = 52 + 42
 En ambos casos el mecanismo de la demostración es
encontrar primero cuatro cuadrados cuya suma sea igual a un
múltiplo del número primo y luego ir transformando la
ecuación hasta encontrar una solución.

25. Exponentes y Radicales

26. Simplificación de
Exponentes

27. b n = x
Partes en una Expresión
Exponencial
exponente
Resultado
base
potencia

28. b n =
Significado de una Expresión
Exponencial
Se multiplica la base n veces
b . b . b . b . . . b

29. Ejemplos de Expresiones Exponenciales
= 25
= 25
= 64
= -64
= 1
8
( )
= 4
9
Si la base es negativa, y exponente
es impar, resultado es negativo
Si la base es positiva el
resultado es siempre positivo
Si la base es negativa, y exponente
es par, resultado es positivo
5 2
(-5) 2
4 3
(-4) 3
1 3
2
-2 2
3( )

30. Orden De las Operaciones

31. Orden de las Operaciones
1. Símbolos de Agrupación:
Potencias y Raíces:
2.
( ), [ ], { }
Exponentes y Radicales
Desde el más adentro hacia el más afuera
De izquierda a derecha en el orden en
que aparecen

32. Orden de las Operaciones
3)
 Multiplicaciones y Divisiones
 De izquierda a derecha en el orden en que aparecen
4)
– Sumas y Restas
• De izquierda a derecha en el orden en que
aparecen

33. Te gustaría resolver
divisiones entre números
muy grandes sin la necesidad
de usar la calculadora????
En el siguiente tema descubrirás
la forma de hacerlo.

34. Por ejemplo:
20, 12, 114, 336 y 468 son divisibles entre 2, ya
que terminan en 0,2,4, y 8, respectivamente
Un número entero es divisible entre 2 si termina en 0,2,4, u 8.
Los números divisibles entre 2 se llaman pares.
Nos permiten visualizar cuándo
un número es divisible entre
otro sin efectuar la división.
A continuación se enuncian
algunos de ellos:
Divisibilidad entre 2.

35. Por ejemplo:
51 es divisible entre 3, ya que 5+1=6 y 6 es
múltiplo de 3
486 es divisible entre 3, ya que 4+8+6=18 y 18 es
múltiplo de 3
Un número entero es
divisible entre 3 si la
suma de sus dígitos es un
múltiplo de 3.

36. Por ejemplo:
900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0
628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4
Un número entero es
divisible entre 4 si sus
últimos dos dígitos son 0 o
un múltiplo de 4.

37. Por ejemplo:
5215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan
en 5 y 0, respectivamente.
Un número entero es
divisible entre 5 si su
último dígito es 0 o 5.

38. Por ejemplo:
216 es divisible entre 2, ya que termina en 6, y es
divisible entre 3, porque la suma de sus dígitos es
múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible entre
6.
9000 es divisible entre 6, ya que es divisible entre 2
y 3.
Un número entero es
divisible entre 6 si a su
vez es divisible entre 2 y
3.

39. Por ejemplo:
315 es divisible entre 7, ya que 5x2=10 y 31-10=21 y 21
es múltiplo de 7.
147 es divisible entre 7, porque 7x2=14 y 14-14=0.
Un número entero es
divisible entre 7, cuando
al multiplicar el último
dígito entre 2 y restar el
producto al número que se
forma con los dígitos
restantes, la diferencia es
0 o múltiplo de 7.

40. Por ejemplo:
6000 es divisible entre 8, ya que sus últimos 3
dígitos son 0
3160 es divisible entre 8, porque sus últimos 3
dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.
Un número entero es
divisible entre 8, cuando
sus 3 últimos dígitos de la
derecha son 0 o forman un
múltiplo de 8.

41. Por ejemplo:
1233 es divisible entre 9, ya que 1+2+3+3=9 y 9 es
múltiplo de 9.
6786 es divisible entre 9, ya que 6+7+8+6 = 27 y 27 es
múltiplo de 9
Un número entero es
divisible entre 9 si la
suma de sus dígitos es un
múltiplo de 9.

42. Por ejemplo:
360 es divisible entre 10, porque su último dígito es 0
2500 es divisible entre 10, ya que su último dígito es 0
Un número entero es
divisible entre 10 si su
último dígito es 0.

43. Entre ellos se encuentran:
{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…}
Nota: El 1 no es considerado número primo
144
144 / 2 = 72
72 / 2 = 36
36 / 2 = 18
18 / 2 = 2
9 / 3 = 3
3 / 3 = 1
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
Por lo tanto, 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144
Ejemplo: Expresar 144 como el
producto de sus factores primos.
La descomposición de un
número en sus factores
primos se realiza
expresándolo como el
producto de sus factores
primos.
Para obtenerlo, se divide el
número entre el menor divisor
primo posible, el cociente
que se obtiene se vuelve a
dividir entre el menor
divisor primo posible, y así
sucesivamente hasta que el
último cociente sea 1.
Los Números Primos
Descomposición en Factores Primos

44. Ejemplo:
 Algunos múltiplos de 3 son:
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}
 Algunos múltiplos de 6 son:
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}
 Algunos múltiplos de 15 son:
{15, 30, 45, 60, 75,…}
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.
(Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es
el menor)

45. Ejemplo:
-Los divisores de 36 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
-Los divisores de 18 son:
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
-Los divisores de 24 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
El M.C.D. entre 36,
18 y 24 es 6.
(Dentro de los
divisores que
tienen en común, 6
es el mayor)

46. Ejemplos sobre el
cálculo del mcm y MCD

47. Determinar el mcm de 4 y 6
Múltiplos de 4: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,…
Múltiplos de 6: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,…
Los múltiplos comunes son: 12,24,38,48,…
El menor de todos los múltiplos en común es 12
Por lo tanto, el mcm es 12

48. m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30
3 6 15 3
1 2 5 2
1 5 5
1
Se descomponen simultáneamente en factores primos
hasta que los cocientes sean 1. Si alguno de los números
no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa
hasta encontrar el factor primo que lo divida. El producto
de los factores primos corresponde al m.c.m.
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener también a
través del siguiente método:

49. Determinar el mcm de 28 y 42
28 42 2
14 21 2
7 21 3
7 7 7
1 1
28/2 = 14 42/2=21
14/2= 7 21/2=No es divisible y solo se baja
7/3=No es divisible y solo se baja 21/3= 7
7/7 = 1 7/7=1
2 * 2* 3* 7 = 84
El mcm de 28 y 42 es 84

50. Obtener el MCD de 18 y 24
Los divisores de 18 son: 1,2,3,6,9 y 18
Los divisores de 24 son: 1,2,3,4,6,8,12 y 24
Los divisores comunes son 1,2,3 y 6
El mayor de los divisores es 6
Por lo tanto, el MCD de 18 y 24 es 6

51. El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través
del siguiente método:
36 18 24 2
18 9 12 3
6 3 4
Se divide por números primos que sean divisores de cada
número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en
forma simultánea. Cada factor debe dividir a todos los
números a la vez.
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

52. Obtener el MCD de 48,36 y 60
48 36 60 2
24 18 20 2
12 9 15 3
4 3 5
Se hace lo mismo que para el mcm.
Recuerda que estos números deben
ser siempre números primos.
En este caso, 4,3 y 5 no tienen divisores
primos en común. Así que
2 * 2 * 3 = 12
Por lo tanto, el MCD de 48, 36 y 60 es 12.

53. NÚMEROS PRIMOS

54. Los números primos han inquietado a los
matemáticos desde tiempos inmemoriales y han
surgido numerables problemas que fascinan y
motivan la imaginación, aunque algunos aun
permanecen sin solución
Existe siempre un primo por lo menos entre
para cada entero n>1?
¿Contiene la secuencia de Fibonacci un número
infinito de primos?

55. Decimos que a es un numero primo si a es
mayor que 1 y sus únicos divisores positivos
son 1 y a, en caso contrario a se llama
compuesto.
en consecuencia, los números primos
menores que 100 son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
DEFINICIÓN

56. Proposición: los números primos son infinitos
Demostración de Euclides.
Esta demostración aparece en el año 300 antes
de Cristo en el IX libro de la colección de trece
llamada “ELEMENTOS” de Euclides y es un
bonito ejemplo del método de demostración
por reducción al absurdo.
INFINITUD DE LOS NÚMEROS
PRIMOS

57. demostración ejemplo
Supongamos que hay un numero finito
de números primos ,
Supongamos que los únicos números
primos que existen son 2,3,5 y 7
Sea N= 2*3*5*7+1 y 2 es un divisor primo
de N
Como n es un número compuesto , debe
dejarse dividir por al menos uno de los
primos.
N=211
Pero al dividir n por cada me deja
residuo 1.
Lo que contradice la definición de
divisibilidad
Por lo tanto existen infinitos números
primos

58. Teoría de Números

59. 1. Conocer las definiciones básicas
relacionadas con factorización
2. Hallar la factorización prima de un
número
3. Conocer el significado de MCM y
MFC
4. Usar la factorización prima para
hallar el MCM y MFC
5. Hallar el MCM y MFC de números
dados.
Objetivos

60. Números que se multiplican para
obtener un producto
Ejemplos de factores de 12:
12 y 1 ya que 12 . 1 = 12
3 y 4 ya que 3 . 4 = 12
6 y 2 ya que 6 . 2 = 12
Factores de 12:
12, 1, 6, 2, 4, 3
Factores

61. Número natural mayor que 1
cuyos únicos factores son él
mismo y 1.
Ejemplo de números primos:
2 , 3, 5
Menciona otros
Número Primo

62. Conjunto de los Números Primos
29,17,{ 2, 5, 13, 23,7,3, 11, 19, 31, …}
Observa que:
• El conjunto es infinito.
• El número primo menor es 2.
• El único número primo que es par
es 2, los demás son impares.
• No todos los impares son primos,
por ejemplo, el 9 es impar pero no
es primo.
• Ver lista de números primos hasta
el 100

63. Número natural que no es
primo, o sea, tiene otros
factores además de él mismo y
uno.
Ejemplo de números
compuestos:
4 , 9, 15, 64
Menciona otros
Número Compuesto

64. Una potencia es cuando
tenemos un número
(base) elevado a un
exponente.
Ejemplo:
32
43
Exponentes y Potencias
Significa que se multiplica
la base tantas veces
como diga el exponente.

65. Una potencia es cuando
tenemos un número llamado
base) elevado a un exponente.
Significa que se multiplica la
base tantas veces como diga el
exponente
Ejemplo:
32
43
Exponentes y Potencias
= 3 x 3 = 9
= 4 x 4 x 4 = 64

66. Proceso mediante el cual se
descompone un número como
el producto (multiplicación) de
dos o más números.
Ejemplo:
10 = 5 . 2
12 = 4 . 3
Factorización...

67. Proceso mediante el cual se
descompone un número como
el producto (multiplicación) de
dos o más números primos.
Ejemplo:
7 = 7 . 1
6 = 2 . 3
Factorización prima...

68. Todo número natural
compuesto puede
expresarse de una forma
única, como un producto
de factores primos.
Teorema Fundamental de la
Aritmética...

69. Un número a es divisible
por b, si al dividir a por b
se obtiene un número
entero.
Ejemplo:
10 es divisible por 2 ya que
al dividir 10 por 2 se
obtiene el entero 5.
Divisibilidad...

70. Reglas de divisibilidad
Es divisible
por:
Si: Ejemplo:
2 Último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8) 9,894
3 Suma de los dígitos es múltiplo de 3 897,432
5 Último dígito es 0 ó 5 890 ó 7,635
7 Al duplicar el último dígito y luego restar el
resultado del número sin su último dígito, se obtiene
un múltiplo de 7. (Repetir el proceso tantas veces
como sea necesario hasta ver si el resultado
obtenido es múltiplo de 7.)
409,311
11 Al sumar los dígitos alternos (uno sí y uno no) y
restar la cantidad menor de la mayor, se obtiene un
múltiplo de 11.
847,667,942

71. Ejercicios de práctica para
determinar cuando un
número es divisible por
2, 3, 5, 7, y 11.

72. 315
630
45,815
123,456,789
987,654,321
142,891
409,311
Determina si los números son divisibles
por 2, 3, 5, 7, 11
Más ejemplos en
próxima pantalla.

73. 409,311
458,485
287,824
8,493,969
847,667,942
453,896,248
552,749,913
Determina si los números son divisibles
por 2, 3, 5, 7, 11

74. Factorización Prima de un Número

75. Método del árbol para hallar la
factorización prima de un
número
 Se buscan dos factores cualesquiera
del número que se va a factorizar y se
colocan como dos ramas del árbol.
 Si el factor es un número primo, la
rama del árbol termina.
Continúa en
próxima pantalla.

76. Método del árbol para hallar la
factorización prima de un
número
 Si el factor no es primo, se buscan
dos factores cualesquiera y se
colocan como dos ramas del árbol
bajo la ramificación anterior.
 El proceso continúa hasta que se
obtienen números primos en todas
las ramas del árbol.
 Ver proceso en las próximas
pantallas.

77. Método del árbol de
factorización
 Halla la factorización prima de 63
3 21
63
3 7
La factorización prima de 63 es:
32 . 7
3 y 21 son dos factores
cualesquiera de 63
Como el 3 es primo, termina la
rama, como el 21 no es primo
continúa ramificándose el árbol
Termina el proceso cuando se obtienen ramas que tiene solo
números primos
Los factores primos que están repetidos
se expresan en potencias

78. Método del árbol de
factorización
 Hallar la factorización prima de 504
2 252
504
2 126
2 63
3 21
3 7
La factorización prima de 504 es:
23 . 32 . 7

79. Ejercicios de práctica

80. 240
300
360
425
663
885
Halla la factorización prima de los
siguientes números

81. MCD y MCM

82. Proceso para hallar el Máximo Factor Común
(MFC) (o Máximo Común Divisor-MCD) de dos o
más números
• Halla la factorización prima de cada
número.
• Expresa los factores que se repiten
como una potencia.
• Determina los factores que son
comunes a todos los números.
• Selecciona, de los factores
comunes, las potencias menores.
• Multiplica todos los factores
obtenidos en el paso anterior.

83. Ejemplo: Hallar el MFC de 360 y 2700
• La factorización prima de cada uno,
expresado como potencias de
factores es:
360 = 23 . 32 . 5 2700 = 22 . 33 . 52
• Los factores comunes son:
2, 3, 5
• Selecciona las potencias menores
de cada uno:
22 . 32 . 5
• Multiplicando todo tenemos que
MFC = 22 . 32 . 5 = 180

84. Proceso para hallar el Mínimo Común Múltiplo
(MCM) de dos o más números
• Halla la factorización prima de cada
número.
• Expresa los factores que se repiten
como una potencia.
• Determina los factores que son
comunes a todos los números.
• Selecciona, de los factores comunes,
las potencias mayores.
• Selecciona todos los demás factores
(los que no fueron comunes)
• Multiplica todos los factores obtenidos
en los dos últimos pasos.

85. Ejemplo: Hallar el MCM de 135, 280, y 300
• La factorización prima de cada uno,
expresado como potencias de
factores es:
135 = 33 . 5 280 = 23 . 5 . 7
300 = 22 . 3 . 52
• De los factores comunes selecciona
las potencias mayores:
23 . 33 . 52
• Los factores no comunes son:
7
• Multiplicando todo tenemos que
MFC = 23 . 33 . 52 . 7 = 37,800

86. Ejercicios de práctica

87. 70 y 120
180 y 300
480 y 1800
168 y 504
28, 35 y 56
252, 308 y 504
Halla el MFC de los números a
continuación
Más ejemplos en
próxima pantalla.

88. 24 y 32
35 y 56
45 y 75
48, 54 y 60
16, 120 y 216
Halla el MCM de los números a
continuación

89. ¿Para qué o cuándo se
usa el MFC?

90. Uno de los usos más
importantes es cuando
se simplifica una fracción
En este caso se halla el
MFC del numerador y el
denominador y se divide
ambos por esta cantidad.
Se usa el MFC...

91. ¿Para qué o cuándo se
usa el MCM?

92.  Uno de los usos más
importantes es cuando se
suman fracciones con
denominadores diferentes.
 Cuando se busca un
denominador común a dos o
más fracciones lo que se
busca es el MCM de los
denominadores.
Se usa el MCM...

93. Fin de la Lección

94. Números Primos hasta 100
29,17,{ 2, 5, 13, 23,7,3, 11, 19, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
79, 83, 89, 97, ...}