O documento discute camadas limite laminar e turbulentas em escoamentos sobre placas planas com gradiente de pressão nulo. Explica que a maioria das camadas limite em aplicações práticas são turbulentas. Apresenta equações para calcular a espessura da camada limite turbulenta, coeficiente de atrito e força de arrasto em função do número de Reynolds. Também discute a transição entre escoamento laminar e turbulento.

1. Disciplina:
Camada Limite
Fluidodinâmica
Prof. Fernando Porto
Camada Limite
Incompressível Laminar
3ª Parte

2. Camada Limite Laminar sobre Placa
Plana com Gradiente de Pressão Nulo
Na maioria dos casos de interesse prático, a parte laminar da
camada limite é tão curta que pode ser desprezada.
Como somente nos escoamentos de baixo número de Reynolds o
estudo da camada limite laminar tem importância, considerou-se
que para o curso de engenharia aeronáutica este tópico não
seria de grande relevância.
Entretanto, para os que desejarem se aprofundar no assunto,
recomenda-se a leitura do tópico 8.5, de mesmo nome do título
acima disposto, no livro Mecânica dos Fluidos, de R.S. Massey,
obra esta citada nas referências bibliográficas apresentadas ao
final deste conjunto de slides.

3. Camada Limite Turbulenta sobre Placa
Plana com Gradiente de Pressão Nulo
• O estudo das camadas limites turbulentas tem grande
importância, pois a grande maioria das camadas limite de
interesse prático são turbulentas em quase toda sua
extensão.
• A análise do escoamento nas camadas turbulentas recai
grandemente sobre o conhecimento de dados experimentais,
mas infelizmente nem sempre é possível fazer medições
confiáveis em camadas limite.
• Assim, Prandtl sugeriu utilizar dados experimentais de
escoamento turbulento em tubos para o estudo de camada
limite turbulenta em placas planas.

4. • Em um tubo, a espessura da camada limite, em um
escoamento totalmente desenvolvido, é igual ao
raio.
• Neste raciocínio, a velocidade máxima do fluido
corresponde à velocidade um da corrente de fluido
sobre uma placa plana.
um R

5. • Para valores moderados de Reynolds, uma expressão
para a tensão de corte sobre a superfície é dada pela
fórmula de Blasius para tubos hidraulicamente lisos
(o desenvolvimento não foi discutido aqui, ver ref.
Massey capítulo 7):
• Como R é considerado como a espessura da camada
limite :
=
1
2
0,079
2
= ×
= ×
(8.21)
Massey

6. • Para um gradiente de pressão nulo, então a
densidade e a velocidade máxima permanecem
constantes, então /x = 0 e um/x = 0:
• Assim,
= − + −
(8.9)
Massey
= ×
(8.21)
Massey
× = − + −
0

7. A equação é então rearranjada usando  = y/:
A integral envolve somente grandezas adimensionais, e
é portanto somente um número. Deste modo,
× = −
× = 1 −
= ×
= × A derivada é total, porque 
varia somente em função de x.

8. Obtendo assim uma equação diferencial para .
Integrando-a, tem-se:
= ×  = ×
= ×
× + =
4
5
Determinação de C: A camada limite
turbulenta tem início após a camada
laminar, mas se esta última for
considerada nula (desprezível) para
fins de simplificação, então C = 0.
× =
4
5

9. Sabe-se que a força F de arrasto sobre a face da placa
de comprimento l, por unidade de largura, é
Assim, substituindo  (da 8.24 acima) na 8.21:
× =
4
5
 × =
(8.24)
Massey
=
= ×
(8.21)
Massey
 = ×

10. Desenvolvendo para integrar mais facilmente:
= ×
= ×
= ×
= ×

11. O coeficiente de atrito CF é definido como
Então
Lembrando que o número de Reynolds é definido como
Rel = uml/ com base no comprimento da placa. Assim
= ×
=
2
=
2
=
2 ×
= ×
= ×

12. Efetivamente, medições da força de arrasto chegaram a
= 0,074 ×
Por exemplo: para Rel = 2 x 106, CF = 0,00406, o que concorda com
a curva para fluxo turbulento.
(8.25)
Massey

13. Turbulento
Ambos
Laminar
(Blasius)
Rel
Coeficientes de atrito para placa plana lisa.

14. • Entretanto, como a relação de Blasius para tubos só
é válida para números de Reynolds inferiores a 105,
as relações obtidas são válidas somente para uma
faixa de valores de números de Reynolds.
• Além disso, a relação entre u/um e  altera-se em
função do número de Reynolds.
• Deste modo, as expressões obtidas para camada
limite turbulenta sobre placa plana são aplicáveis
apenas para a números de Reynolds entre 5 x 105 e
107, pois para Re < 5 x 105 a camada limite é laminar
normalmente.

15. Prandtl
H.Schlichting
• Para valores maiores de número de Reynolds, H.
Schlichting chegou à expressão semiempírica abaixo:
=
3,913
,
(8.26)
Massey
Atenção: equações válidas somente para tubos lisos!
Equação válida para
Re entre 107 e 109.

16. Transição de Escoamento Laminar para
Turbulento na Camada Limite
Dependendo do comprimento da placa, a camada limite muda
de laminar para turbulenta, e ambas as porções tem uma
contribuição significativa para a força de arrasto total.
A transição de escoamento laminar para turbulento, na camada
limite, depende principalmente do número de Reynolds (atuam
outros fatores), ocorrendo esta transição entre 3 x 105 e 5 x 105.
Para gradiente de pressão nulo, o valor da quantidade de
movimento  no ponto de transição é dado por Blasius para
camada limite laminar:
= 0,664
. (8.27)
Massey
Obs.: O índice t indica que se trata do ponto de transição.

17. A região de transição é extremamente curta, de modo que para
efeito de cálculo esta pode ser considerada de comprimento
nulo (por isto chamada aqui de “ponto” de transição).
Outra consideração é a de que a forma do contorno da camada
turbulenta é tal que poderia ter começado de um hipotético
bordo de contato, situado em x = x0.
Turbulento
Laminar
Ponto de transição
xx0
xt

18. Seja a equação 8.11 acima, válida para um constante e qualquer
tipo de camada limite.
A força de arrasto total F, por unidade de largura, em um dado
ponto x, medido a partir do bordo de ataque, pode ser expressa
por:
Como por definição
(8.11)
Massey
=
= = =
=
0
= − 0 =
=
1
2
 =
2

19. Assim, para a camada limite turbulenta que começa em x = x0 e
Rex < 107, empregando a equação 8.25:
No ponto de transição, x = xt e  = t e lembrando que Rel = uml/
=
2
= 0,074 ×
(8.25)
Massey

−
=
0,074 ×
2
−
= 0,037 ×
−
−
= 0,037 ×
−

20. Empregando a equação 8.37 e desenvolvendo:
Lembrando que Rel = uml/
−
= 0,037 ×
−
= 0,664
. (8.27)
Massey
− = 36,9
(8.29)
Massey
− = 36,9
1

21. Bibliografia
Robert W. Fox, Alan T. McDonald
Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de
Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada.
ISBN-10: 8521610785
ISBN-13: 978-8521610786

22. Bibliografia
Massey, B.S.
Mecânica dos Fluidos.
Lisboa, Portugal, 6ª.Ed.; Editora
Fundação Calouste Fulbenkian.
ISBN: 972-31-0945-X