Excel curs-1

Lucrul în mediul Excel

CAPITOLUL 1
LUCRUL ÎN MEDIUL EXCEL
1.1. Componentele ferestrei Excel
Fereastra Excel – figura 1.1.- are numeroase elemente comune cu ferestrele Windows:
• o bar[ de meniuri - de unde se pot selecta comenzi;
• o bar[ de stare – care indic[ starea activit[ii curente;
• bare de instrumente – care conin butoane =i liste derulante prin care se obine acces rapid
la comenzile utilizate rapid.
Bara de meniuri

Celul[

Bara de stare

Bare de instrumente

Suprafaa foii de calcul
Figura 1.1 – fereastra Excel

}n plus, o fereastr[ Excel conine c`teva elemente unice, care vor fi explicate pe
parcursul leciei.

Modelarea deciziilor utilizând foile de calcul

1.2. Configurarea unui nou registru de calcul
C`nd se lanseaz[ ]n execuie programul Excel, pe ecran apare o fereastr[ care conine
un registru de calcul nou. Registrul (Workbook) este principalul document folosit ]n Excel
pentru stocarea =i prelucrarea datelor. Un registru este format din foi de calcul individuale,
fiecare din acestea put`nd conine date. }n configuraia prestabilit[, fiecare registru de calcul
creat conine 3 foi de calcul (Sheet1, Sheet2, Sheet3), dar ulterior se pot ad[uga mai multe
foi (p`n[ la 255).
Foile de calcul pot conine diverse tipuri de informaii. }n mod obi=nuit foile dintr-un
registru de calcul conin informaii legate ]ntre ele. De exemplu, la un buget, fiecare foaie
poate conine bugetul pentru un anumit departament din cadrul companiei.
}n partea de jos a registrului exist[ o bar[ de derulare a foilor de calcul (figura 1.2). }n
aceast[ bar[ sunt afi=ate numele foilor de calcul. (Dac[ aceast[ bar[ nu apare, din meniul
Tools se selecteaz[ comanda Options. }n caseta de dialog Options se selecteaz[ butonul
View =i se marcheaz[ caseta Sheet Tools). La un registru nou, foaia de calcul curent[ este
Sheet1. Se poate trece la o alt[ foaie f[c`nd clic pe numele ei. De exemplu pentru a trece pe
foaia Sheet 2 se face clic pe deasupra numelui ei.

Etichetele foilor de calcul

Bara de derulare a foilor de calcul

Figura 1.2 – bara de derulare a foilor de calcul
}n bara de derulare a foilor de calcul, nu pot apare numele tuturor foilor de calcul. De
aceea, ]n bara de derulare a foilor au mai fost prev[zute 4 butoane care permit deplasarea
printre foile registrului. Aceste butoane nu realizeaz[ selectarea foilor de calcul, ele permit
doar derularea numelor lor.
Tabelul de mai jos descrie operaiile pe care le realizeaz[ aceste butoane:
Buton
<
>
<
>

Operaie
Deplasarea la prima foaie de calcul a registrului
Deplasarea la ultima foaie de calcul a registrului
Deplasarea spre st`nga cu o foaie
Deplasarea spre dreapta cu o foaie

Dac[ un registru conine mai multe foi de calcul, numele acestora sunt importante
pentru identificare. Chiar =i atunci c`nd exist[ o singur[ foaie ]n registrul de calcul, numele
acesteia este important, deoarece poate fi folosit ]n formule =i furnizeaz[ antetul prestabilit
pentru pagina tip[rit[. De aceea este recomandabil ca foilor de calcul s[ li se acorde nume
mai sugestive dec`t Sheet 1, Sheet2 etc.
Pentru a denumi o foaie de calcul se execut[ urm[torii pa=i:
1. Se aplic[ un dublu clic pe eticheta foii de calcul (]n bara de derulare a foilor de calcul).
Numele foii de calcul va fi afi=at ]n video invers;
2. Se introduce noul nume, dup[ care se apas[ <Enter>.
}n mod prestabilit un registru conine 3 foi de calcul. Dac[ este necesar se pot ad[uga
noi foi de calcul. Pentru a introduce o nou[ foaie de calcul trebuie parcur=i urm[torii pa=i:

1. Se poziioneaz[ cursorul mouse-ului pe eticheta unei foi de calcul (]n bara de derulare a
foilor de calcul);
2. Se aplic[ un clic folosind butonul drept al mouse-ului;
3. Pe ecran apare un meniu din care se selecteaz[ comanda Insert.
Foile de calcul suplimentare pot fi eliminate prin operaia de =tergere astfel:
1. Se poziioneaz[ cursorul mouse-ului pe eticheta unei foi de calcul (]n bara de derulare a
foilor de calcul);
2. Se aplic[ un clic folosind butonul drept al mouseului;
3. Pe ecran apare un meniu din care se selecteaz[ comanda Delete.

1.3. Deplasarea în cadrul foii de calcul
}ntr-o foaie de calcul informaiile sunt prezentate ]n cadrul unei interfee grafice
formate din linii =i coloane (figura 1.3). Coloanele au ata=ate litere, iar liniile sunt numerotate
cu cifre. O foaie de calcul conine 256 coloane =i 65536 de linii. Coloanele au etichetele
dispuse ]n partea superioar[ a ferestrei documentului =i sunt notate cu litere (A, B, ..., Z), apoi
combinaii de dou[ litere (AA, AB p`n[ la IV). Liniile sunt numerotate de la 1 la 65536 ]n
partea st`ng[ a ferestrei documentului.

etichetele coloanei

celula
activ[

etichetele liniei
Casete de
derulare
Bara de derulare
vericala

Figura 1.3

Bara de derulare
orizontal[

La intersecia dintre o coloan[ =i o linie se g[se=te o celul[. Celula este unitatea
fundamental[ pentru stocarea datelor. Ea poate fi referit[ folosind litera coloanei =i cifra liniei
la intersecia c[rora se afl[ (de exemplu A5, B7). }ntr-o celul[ se pot introduce mai multe
tipuri de informaii:
• Texte - capete de tabel, etichete, note, texte explicative;
• Valori – numere, date calendaristice =i ore, valori logice;
• Formule – formule de calcul cu ajutorul c[rora este calculat[ o nou[ valoare ]n funcie
de informaiile din alte celule.
Celula activ[ este celula care este marcat[. Informaiile tastate apar ]n celula activ[.
Pentru a introduce date ]n alt[ celul[, mai ]nt`i se activeaz[ celula respectiv[. Dup[
introducerea datelor se iese din celul[ cu <Enter>, altfel exist[ posibilitatea ca urm[toarele
comenzi s[ nu poat[ fi aplicate.

Foile de calcul pot avea uneori dimensiuni foarte mari. }n aceste situaii pentru a g[si
sau introduce informaii trebuie folosite metode speciale de deplasare prin foile de calcul.
Deplasarea se poate efectua cu mouse-ul sau prin intermediul tastaturii. Pentru a efectua
deplasarea (prin foaie) cu mouse-ul se folosesc barele de derulare vertical[ =i orizontal[ care
se g[sesc ]n partea dreapt[ =i de jos a fiec[rei foi de calcul (figura 1.3).
Fiecare bar[ conine dou[ s[gei. Prin executarea unui clic pe o s[geat[ se pot realiza
urm[toarele operaii:
5
Derulare o linie ]n sus
6
Derulare o linie ]n jos
3
Derulare o coloan[ la st`nga
4
Derulare o coloan[ la dreapta
Pentru deplasare mai rapid[ prin foaie se pot folosi casetele de derulare (prin tragerea
lor ]n bara de derulare). Locul ocupat de caseta de derulare ]n cadrul barei de derulare indic[
poziia relativ[ a ferestrei fa[ de ]ntreaga zon[ a foii de calcul.
O celul[ se poate activa rapid plas`nd cursorul mouse-ului pe celula respectiv[ =i
execut`nd un clic pe butonul din st`nga al mouse-ului.
Deplasarea prin foaia de calcul cu ajutorul tastaturii se poate face cu urm[toarele
taste:
Tast[

<Tab>
<Home>
<Ctrl>‡<Home>
<Ctrl>‡<End>
<Page Up>
<Page Down>
<Ctrl>‡<Page Up>
<Ctrl>‡<Page Down>

Aciune
Deplasare o celul[ la st`nga
Deplasare o celul[ la dreapta
Deplasare o celul[ ]n sus
Deplasare o celul[ ]n jos
Deplasare o celul[ la dreapta
Deplasare ]n celula din extrema
st`ng[ a unui r`nd
Deplasare ]n celula A1 a foii de
calcul
Deplasare ]n ultima celul[ folosit[
din foaia de calcul (colul din dreapta
jos)
Deplasare ]n sus cu un ecran
Deplasare ]n jos cu un ecran
Deplasare la dreapta cu un ecran
Deplasare la st`nga cu un ecran

1.4. Utilizarea barelor de instrumente
Barele de instrumente (afi=ate sub meniu) permit un acces mai rapid la procedurile =i
comenzile des utilizate. Pentru a lucra cu barele de instrumente este necesar mouse-ul. Pentru
utilizarea unei anumite comenzi se execut[ un clic pe butonul asociat comenzii sau funciei
de care avei nevoie.
}n Excel exist[ mai multe bare de instrumente, dar nu trebuie folosite toate ]n acela=i
timp deoarece se ]ncarc[ prea mult ecranul. Este bine s[ fie vizualizate doar barele care
conin comenzi ce trebuie folosite. Exist[ mai multe bare de instrumente predefinite care pot
fi afi=ate select`nd din meniul View comanda Toolbars. Cele mai folosite bare de
instrumente sunt prezentate ]n continuare:


Bara Standard.
Conine butoane pentru comenzi de formatare, administrare fi=iere =i tip[rire.

Bara Formatting
Conine butoane utilizate pentru formatarea fonturilor, comenzi de aliniere, formate
numerice, formatarea marginilor, stabilire culori.

Bara Chart.
Conine butoane pentru formatarea graficelor.

Bara Pivot Table
Conine butoane folosite pentru crearea, actualizarea =i organizarea tabelelor pivot

Bara Drawing.
Conine butoane pentru desenare.

Bara Forms.
Conine butoane prin intermediul c[rora se pot ad[uga foii de calcul obiecte cum ar fi:
casete de validare, butoane de opiuni, liste de derulare.

Bara Stop Recording.
Conine dou[ butone care produc ]ncheierea =i oprirea/repornirea ]nregistr[rii unei
comenzi macro.

Bara Audit.
Conine butoane cu comenzi pentru detectarea erorilor uzuale din foile de calcul
Excel.

Bara Full Screen.
Aceast[ bar[ de instrumente apare atunci c`nd Excel a fost configurat pentru lucrul pe
]ntreg ecranul. Ap[sarea butonului produce ]ntoarcerea la modul de lucru anterior.


1.5. Afişarea/ascunderea barelor de instrumente
Pentru a avea acces la alte comenzi sau pentru a m[ri spaiul de lucru, barele de
instrumente pot fi afi=ate sau ascunse.
Pa=ii care trebuiesc efectuai pentru afi=area/ascunderea barelor de instrumente sunt:
1. Se aplic[ comanda View, Toolbars, Customize.
2. Pe ecran este afi=at[ caseta de dialog Customize (figura 1.4) care este alc[tuit[ din trei
seciuni: Toolbars, Commands =i Options. Aceste seciuni sunt activate la ap[sarea
butoanelor corespunz[toare din partea superioar[ a ferestrei. Se selecteaz[ butonul
Toolbars.

Figura 1.4 – caseta de dialog Customize - seciunea Toolbars
3. În lista Toolbars sunt afi=ate numele tuturor barelor de instrumente din Excel. Vor fi
afi=ate numai barele de instrumente care sunt marcate. Marcarea/demarcarea se face
aplicând un clic în dreptul casetei din dreptul numelui barei.
4. Se aplic[ un clic pe butonul Close.

1.6. Adăugarea/ascunderea butoanelor dintr-o bară de instrumente
Componena unei bare de instrumente se poate modifica. Exist[ situaii în care la o
bar[ de instrumente trebuie ad[ugat un buton nou sau trebuie =ters un buton. Aceste
modific[ri se pot face în seciunea Commands a casetei Customize (figura 1.5).
Aceast[ seciune conine:
- lista Categories. În aceast[ list[ apar toate titlurile de meniuri verticale.
- lista Commands. La selectarea unui meniu din lista Categories, în lista Commands apar
toate comenzile care pot fi aplicate din meniul respectiv.


Figura 1.5 – fereastra de dialog Customize - seciunea Commands
Pentru a ad[uga un buton nou pe o bar[ de instrumente:
1. Se aplic[ comanda View, Toolbars, Customize
2. Se activeaz[ seciunea Commands, prin selectarea butonului Commands
3. Se selecteaz[ din lista Categories comanda asociat[ butonului
4. |inând butonul stânga al mouse-ului ap[sat, se trage mouse-ul în poziia în care trebuie
inserat butonul. În poziia în care butonul poate fi ad[ugat cursorul mouse-ului î=i
modific[ forma – apare un cursor în forma literei I
5. Se elibereaz[ butonul mouse-ului
6. Se selecteaz[ butonul Close
Pentru a =terge un buton de pe o bar[ de instrumente:
1. Se aplic[ comanda View, Toolbars, Customize
2. Se activeaz[ seciunea Commands, prin selectarea butonului Commands
3. Se aplic[ un clic pe butonul care trebuie =ters dintr-o bar[ de instrumente
4. |inând butonul stâng al mouse-ului ap[sat, se trage de mouse în interiorul casetei
Customize (în orice poziie !)
5. Se elibereaz[ butonul mouse-ului
6. Se selecteaz[ butonul Close
Pentru a reveni la structura standard a unei bare de instrumente, ]n seciunea Toolbars
a casetei de dialog Customize se selecteaz[ bara de instrumente respectiv[, se verific[ dac[
este marcat[ =i se aplic[ comanda Reset.
Este bine ca pentru ]nceput s[ fie afi=ate doar dou[ bare de instrumente: Standard =i
Formating.


1.7. Opţiuni suplimentare de afişare a butoanelor
Forma butoanelor din barele de instrumente poate fi stabilit[ în seciunea Options a
ferestrei Customize (figura 1.6).

Figura 1.6 - fereastra de dialog Customize - seciunea Options
Aceast[ seciune conine:
- opiunea Large Icons. Dac[ opiunea este marcat[, butoanele vor fi mari, dac[ nu este
marcat[ butoanele vor fi mici
- opiunea Show Screen Tips on toolbars. Screen Tips reprezint[ suprafaa mic[, de
culoare galben[, în care este afi=at numele butonului deasupra c[ruia este poziionat
cursorul mouse-ului. Dac[ opiunea este marcat[, numele butonului va fi afi=at, dac[ nu
este marcat[ numele butonului nu va fi afi=at. Recomand[m ca aceast[ opiune s[ fie
marcat[
- lista Menu animations. Din aceast[ list[ se selecteaz[ modul de deschidere a meniurilor.
Opiunile sunt:
• None
– modul normal de deschidere. Nu se aplic[ nici un efect
• Random – meniurile se deschid aleator (o parte oarecare mai întâi)
• Unfold
– modul de deschidere seam[n[ cu o desp[turire
• Slide
– deshiderea d[ senzaia de alunecare

Filtrarea datelor

CAPITOLUL 10
FILTRAREA DATELOR
10.1. Filtrarea datelor dintr-o listă
Filtrarea datelor dintr-o list[ este o operaie prin care sunt afi=ate doar acele ]nregistr[ri
din list[ care corespund unor criterii specificate =i ascunderea celorlalte ]nregistr[ri care nu
mai sunt afi=ate. }n Excel exist[ dou[ metode de filtrare: comanda Auto Filter pentru a
efectua o filtrare rapid[ a datelor din list[ =i comanda Advenced Filter pentru a filtra pe baza
unor criterii suplimentare.

10.2. Utilizarea comenzii Auto Filter
Comanda Auto Filter ofer[ o putere deosebit[ de gestionare a listelor. Informaiile care
nu trebuie vizualizate sau tip[rite pot fi filtrate rapid doar aplic`nd clicuri. Liniile de date
(]nregistr[rile) care nu ]ndeplinesc criteriile specificate sunt ascunse. Din aceast[ cauz[ atunci
c`nd se face o filtrare numerele de linie apar pe s[rite =i sunt afi=ate cu culoare albastr[.
Pentru a filtra o list[ cu comanda Auto Filter se execut[ urm[torii pa=i:
1. Se selecteaz[ o celul[ din lista ce trebuie filtrat[.
2. Din meniul Data se aplic[ comenziile Filter, Auto Filter.
Excel va insera s[gei de derulare ]n dreptul fiec[rei celule din capul de tabel.
3. Se aplic[ un clic pe s[geata de derulare din coloana ]n care se va introduce criteriul. Se
selecteaz[ criteriul pentru coloana respectiv[. Sunt posibile urm[toarele opiuni:
All
Permite afi=area tuturor ]nregistr[rilor cu acest c`mp.
(Top 10)
Permite selectarea unui subset de ]nregistr[ri pornind de sus sau de jos
]ntr-o list[. Se poate specifica fie num[rul de elemente, fie procentul de
elemente ce vor fi filtrate. La selectarea acestei opiuni apare caseta de
dialog Top 10 Autofilter (figura 10.1).

Figura 10.1 – caseta de dialog Top 10 Autofilter

Custom

Din prima list[ derulant[ se selecteaz[ Top /Bottom, ]n funcie de
direcia ]n care se va face filtrarea de sus (Top) sau de jos (Bottom).
}n a doua list[ derulant[ se introduce sau se selecteaz[ un num[r care
indic[ c`te ]nregistr[ri (dac[ ]n a treia list[ derulant[este selectat[
opiunea Items) sau ce procent din num[rul total de ]nregistr[ri (dac[
]n a treia list[ derulant[ este selectat[ opiunea Percent) vor rezulta
din filtrare.
Permite crearea unor criterii definite cu condiii =i/sau. La selectarea
acestei opiuni apare caseta de dialog Custom AutoFilter (figura
10.2).


Figura 10.2 – caseta de dialog Custom AutoFilter

4.

Pentru a introduce criterii comparative se selecteaz[ un operator din
prima list[ derulant[, apoi se introduce o valoare ]n caseta al[turat[.
Dac[ exist[ un al doilea criteriu se selecteaz[ una din opiunile AND
(=i) sau OR (sau) =i se introduce ]n mod similar al doilea criteriu.
Blanks
Afi=eaz[ toate ]nregistr[rile cu spaii ]n acest c`mp.
Non Blanks
Afi=eaz[ toate ]nregistr[rile care nu conin spaii ]n acest c`mp
(]nregistr[ri ce conin date).
}n plus apare o list[ cu toate valorile distincte din coloana curent[. La selectarea acestor
valori vor fi afi=ate doar ]nregistr[rile care au exact aceast[ valoare ]n c`mpul
specificat. Numele coloanelor dup[ care s-a f[cut filtrarea apar cu albastru.
Se aplic[ pa=ii 1-3 pentru a filtra datele =i ]n funcie de alte criterii. Pe m[sur[ ce se
selecteaz[ mai multe criterii ele sunt combinate =i cu criteriile anterioare. Pentru ca o
]nregistrare s[ fie afi=at[ ea trebuie s[ ]ndeplineasc[ criteriile pentru toate c`mpurile.

Dac[ trebuie anulat rezultatul filtr[rii dup[ un anumit c`mp se selecteaz[ s[geata de
derulare pentru acel c`mp =i se selecteaz[ opiunea All. Pentru a afi=a toate ]nregistr[rile =i a
]nl[tura criteriile din toate c`mpurile se aplic[ comanda Data, Filter, Show All. Atunci c`nd
comanda AutoFilter este activ[, ]n meniu, ]n dreptul comenzii apare un marcaj de validare.
Pentru a dezactiva aceast[ facilitate se aplic[ din nou comanda Data, Filter, AutoFilter.

10.3. Aplicaţie
Foaia de calcul urm[toare (figura 10.3) conine o list[ cu facturile emise de o firm[.
Pentru fiecare factur[ sunt specificate urm[toarele date:
• codul facturii
• data emiterii facturii
• numele distribuitorului
• numele clientului
• produs v`ndut
• preul unitar
• cantitatea v`ndut[
• valoarea total[ (preul unitar*cantitatea v`ndut[).
Pentru a calcula valoarea total[ se introduce ]n celula H2 formula =F2*G2. Aceast[
formul[ se va copia pe coloan[.
1. Se selecteaz[ o celul[ din list[.

Filtrarea datelor

Figura 10.3
2. Din meniul Data se aplic[ comanda Filter, Autofilter. }n dreptul fiec[rei celule
din capul de tabel se insereaz[ o s[geat[ de derulare.
Prin filtrare se poate r[spunde la ]ntreb[ri de genul: S[ se vizualizeze toate comenzile
livrate de Popescu.
Pentru aceasta se aplic[ un clic pe s[geata de derulare din coloana Distribuitor =i se
selecteaz[ din lista afi=at[ Popescu.
Dac[ trebuie vizualizate toate comenzile livrate de Popescu cu valoare mai mare de
500000 lei se mai face o filtrare dup[ c`mpul Total. Se aplic[ un clic pe s[geata de derulare
din coloana Total =i se selecteaz[ opiunea Custom. Din lista de operatori se selecteaz[
operatorul >, iar ]n caseta al[turat[ se introduce valoarea 500000. Se selecteaz[ butonul OK.

10.4. Utilizarea comenzii Advanced Filter
O alt[ metod[ de filtrare este folosirea comenzii Advanced Filter. Cu aceast[
comand[ se pot efectua operaii de filtrare bazate pe criterii complexe. Pentru folosirea
comenzii trebuie creat un domeniu de criterii. Domeniul de criterii specific[ condiiile pe care
datele filtrate trebuie s[ le ]ndeplineasc[. Prima linie din domeniul de criterii conine numele
c`mpurilor pentru care se vor specifica criterii. Numele c`mpurilor trebuie scrise exact la fel
ca numele c`mpurilor din list[. }n liniile imediat urm[toare, sub numele c`mpurilor, se
introduc criteriile pentru c`mpurile respective. Domeniul de criterii se va termina cu o linie
goal[. Criteriile care sunt pe aceea=i linie ]n domeniul de criterii vor trebui s[ fie ]ndeplinite
simultan. }ntre criteriile care se g[sesc pe linii diferite aplic[ o relaie de tip SAU.
Dup[ preg[tirea domeniului de criterii se execut[ urm[torii pa=i:
1. Se selecteaz[ domeniul de celule care conine lista
2. Se aplic[ comanda Data, Filter, Advanced Filter. Pe ecran apare caseta de dialog
Advanced Filter (figura 12.4):
3. Dac[ lista filtrat[ va fi afi=at[ ]n acela=i loc ca =i lista iniial[ se selecteaz[ opiunea Filter
the List, in place. Dac[ datele trebuie plasate ]ntr-o alt[ zon[ a foii de calcul pentru a fi
prelucrate ulterior se selecteaz[ opiunea Copy To Another Location. }n acest caz ]n
caseta Copy To se specific[ domeniul de celule ce va conine lista, dac[ acesta nu a
ap[rut automat.
4. }n caseta List Range se introduce domeniul de celule care conine lista, dac[ acesta nu a
ap[rut automat.


Figura 12.4 – caseta de dialog Advanced Filter
5. }n caseta Criteria Range se introduce domeniul de celule care conine domeniul de
criterii.
6. Dac[ prin filtrare trebuie ]nl[turate ]nregistr[rile duble se marcheaz[ opiunea Unique
Records Only.
7. Se selecteaz[ butonul OK.

10.5. Aplicaţie
}n exemplul din aplicaia precedent[ s[ se realizeze o filtrare astfel ]nc`t s[ fie
vizualizate doar comenzile ]n valoare de 500.000 de lei livrate de Popescu folosind comanda
Advanced Filter.

Figura 12.5
La sf`r=itul listei (figura 12.5) se las[ o linie liber[ =i se introduce domeniul de
criterii. Se vor introduce ]n foaia de calcul urm[toarele informaii:
}n A10
Distribuitor
}n B10
Val. Totala
}n A11
Popescu
}n B11
>500000
Rezolvare:
1. Se selecteaz[ domeniul de celule care conine lista A1:H8.
2. Se aplic[ comanda Data, Filter, Advanced Filter.
3. Caseta de dialog Advanced Filter se completeaz[ ]n modul urm[tor:
• se selecteaz[ opiunea Filter the List, in place
• List Range
A1:H8
• Criteria Range
A10:B11
• se demarcheaz[ opiunea Unique Records Only.

Compararea alternativelor in vederea luarii deciziei optime

CAPITOLUL 11
COMPARAREA ALTERNATIVELOR ÎN VEDEREA LUĂRII
DECIZIEI OPTIME
11.1. Utilizarea facilităţii Goal Seek
Excel dispune de o serie de facilit[i pentru a putea r[spunde la ]ntreb[ri de genul “Ce
se ]nt`mpl[ dac[ ?“. Presupunem c[ avem o foaie de calcul, cunoa=tem r[spunsul dorit, dar
vrem s[ rezolv[m problema =i ]n sens invers, adic[ s[ g[sim valoarea de intrare care conduce
la un anumit r[spuns. Pentru a putea rezolva probleme de acest tip se utilizeaz[ comanda
Goal Seek.
Pentru a folosi comanda Goal Seek se formuleaz[ ]nt`i problema, se introduc
variabilele =i formulele ]n foaia de calcul. Celula cu rezultate trebuie s[ conin[ neap[rat o
formul[, iar formula respectiv[ trebuie s[ conin[ referiri la alte celule din foaia de calcul,
celule care conin variabile de intrare.
Pentru g[sirea valorii de intrare care s[ conduc[ la un anumit r[spuns se vor parcurge
urm[toarele etape:
1. Se selecteaz[ celula rezultat, care trebuie s[ conin[ o formul[ =i ]n care vrem s[ obinem o
anumit[ valoare.
2. Se aplic[ comanda Tools, Goal Seek. Pe ecran apare caseta de dialog Goal Seek (figura
11.1).

Figura 11.1 – caseta de dialog Goal Seek
3. Caseta Set Cell conine celula selectat[ ]n etapa 1. Dac[ s-a s[rit peste etapa 1, se scrie ]n
aceast[ caset[ referina celulei rezultat. }n caseta To value se introduce soluia la care vrei
s[ ajungei. }n caseta By changing Cell se scrie referina celulei de intrare. Aceast[ celul[
trebuie s[ contribuie la valoarea formulei din celula rezultat, specificat[ ]n Set Cell.
Goal Seek ]nlocuie=te valoarea de intrare astfel ]nc`t soluia s[ se apropie c`t mai mult de
soluia cerut[.

11.2. Aplicaţie – Goal Seek
O persoan[ depune o sum[ la o banc[, pe termen de o lun[, cu o rat[ a dob`nzii de
50%. S[ se calculeze, pentru un orizont de 12 luni suma din cont la ]nceputul =i sf`r=itul
fiec[rei luni. S[ se calculeze valoarea din cont la sf`r=itul perioadei pentru mai multe valori a
sumei depuse. S[ se determine ce sum[ trebuie s[ fie depus[ astfel ]nc`t la sf`r=itul perioadei
suma din cont s[ fie de 10000000 lei ?

Modelarea deciziilor utilizand foile de calcul

Se va crea urm[toarea foaie de calcul (figura 11.2):

Figura 11.2
Suma la ]nceputul lunii 1 este chiar suma depus[, deci ]n B5 vom introduce formula
ˆB1.
Suma la sf`r=itul unei luni este suma de la ]nceputul lunii la care se adaug[ dob`nda,
deci formula din celula C5 va fi ˆB5‡B5*B$2/12.
Suma la ]nceputul lunii 2 este suma de la sf`r=itul lunii 1, deci ]n B6 vom introduce
formula ˆC5.
Se copiaz[ pe coloan[ formulele din B6 =i B5. Suma de la sf`r=itul perioadei este ]n
celula C16. Valoarea din aceast[ celul[ depinde ]n mod indirect de suma depus[ din B1.
Dac[ se modific[ suma depus[, automat se modific[ =i valoarea din C16. De exemplu,
pentru o sum[ depus[ de 3000000 se va obine la sf`r=itul perioadei o sum[ de
4896282lei.
S[ rezolv[m acum urm[toarea ]ntrebare: Ce sum[ trebuie depus[ astfel ]nc`t la
sf`r=itul perioadei suma final[ s[ fie de 10000000 lei ?.
Rezolvare:
1. Se selecteaz[ celula C16.
2. Se aplic[ comanda Tools, Goal Seek
3. Caseta Goal Seek se va completa ]n modul urm[tor:
Set Cell
C16
Celula care conine suma pe care vrem sã o obinem
To Value
10000000
Suma pe care vrem sã o obinem (suma depusã)
By Changing Cell B1
Celula care variazã ca sã obinem rezultatul
4. Se selecteaz[ butonul OK
Excel rezolv[ problema ]n mod invers, suma care trebuie depus[ fiind de 6127097 lei.


11.3. Calcularea tabelelor de răspunsuri
Facilit[ile “What if“ - “Ce se ]nt`mpl[ dac[“ oferite de Excel sunt foarte folositoare
]n afaceri. Foile de calcul pot da r[spuns imediat la ]ntreb[ri cum ar fi: “Ce s-ar ]nt`mpla dac[
s-ar reduce costurile cu 0,5% ?”, “Ce s-ar ]nt`mpla dac[ s-ar vinde mai mult cu 10% ?”, “Ce
s-ar ]nt`mpla dac[ nu am primi ]mprumutul?”.
Atunci c`nd se testeaz[ c`t de mult afecteaz[ rezultatele o schimbare c`t de mic[ a
m[rimilor de intrare, se realizeaz[ o analiz[ de senzitivitate. Pentru a realiza o analiz[ de
senzitivitate pentru un domeniu mare de intr[ri se poate folosi comanda Table din meniul
Data. Comanda poate fi utilizat[ ]n dou[ moduri:
1. Modificarea unei date de intrare pentru a vedea efectul produs asupra uneia sau mai multor
formule.
2. Modificarea a dou[ date de intrare pentru a vedea efectul produs asupra unei formule.
Pentru a ]nelege mai bine ce face aceast[ comand[ s[ consider[m urm[torul exemplu:
S[ se calculeze ratele lunare care trebuie pl[tite pentru a returna un credit, cu o anumit[
dob`nd[.
Rezolvare:
1. Primul pas este crearea foii de calcul (figura 11.3).

Figura 11.3
}n celula B6 se introduce formula ˆ -PMT(B2/12,B3*12,B1), formul[ cu care se
calculeaz[ ratele lunare ce trebuie pl[tite pentru a returna creditul care se g[se=te ]n
B1, pe durata specificat[ ]n B3 (B3*12 reprezint[ num[rul de luni), cu dob`nda din
celula B2 (B2/12 reprezint[ dob`nda lunar[).
2. S[ facem o analiz[ de senzitivitate ]n care s[ analiz[m cum sunt influenate ratele lunare
de dob`nzi.
Se construie=te un tabel ]n care prima coloan[ sau prima linie conine valorile care trebuie
testate. Pentru exemplul nostru ]n domeniul A9:A13 conine ratele dob`nzii care vor fi
utilizate ca intr[ri ]n analiza de senzitivitate.
3. }n urm[toarele coloane (sau linii) din tabel, ]n celulele din capul de tabel se introduc
adresele formulelor care conin r[spunsul. }n cazul nostru ]n celula B8 se introduce
formula ˆB6 (B6 conine formula pentru calculul ratelor lunare).
4. Se selecteaz[ celulele care conin tabelul. Se aplic[ comanda Data, Table. Pe ecran apare
caseta de dialog Table (figura 11.3).

Figura 11.3 – caseta de dialog Table
5. Se introduce adresa celulei care conine variabila de intrare ]n Row Input Cell (dac[
valorile care sunt testate sunt desf[=urate pe linie ) sau Column Input Cell (dac[ valorile
care sunt testate sunt desf[=urate pe coloan[). }n cazul nostru, valorile testate sunt
desf[=urate pe coloan[ (A9/A13), deci vom introduce ]n Column Input Cell B2 (adresa
ratei dob`nzii).
Rezultatul obinut este un tabel care conine ratele lunare corespunz[toare fiec[rei dob`nzi.
}n continuare vom vedea cum poate fi folosit[ comanda Table pentru a vedea efectul
produs asupra unei formule prin modificarea a dou[ date de intrare.
Relu[m exemplul anterior numai c[ acum vom modifica dou[ date de intrare:
dob`nda =i creditul. }n foaia da calcul se va calcula rezultatul pentru mai multe combinaii ale
acestor valori.
Rezolvare:
1. Ca =i ]n cazul precedent se creeaz[ foaia de calcul (figura 11.4).
2. Se construie=te un tabel ]n care prima coloan[ =i prima linie conin valorile celor dou[
variabile. Colul din st`nga sus trebuie s[ conin[ o formul[ sau o referin[ la o formul[
}n exemplul nostru domeniul A9:A13 va conine valorile dob`nzilor, domeniul B8:F8
valorile creditului, iar celula A8 va conine formula ˆB6 (o referin[ la o celul[ care
conine formula de calcul).
3. Se selecteaz[ tabelul =i se aplic[ comanda Table. }n Row Input Cell se introduce adresa
celulei care reprezint[ variabila care are valorile desf[=urate pe linie, iar ]n Column
Input Cell se introduce adresa celulei care reprezint[ variabila care are desf[=urate
valorile pe coloan[. }n cazul nostru: ]n Row Input Cell se introduce B1; ]n Column
Input Cell se introduce B2.
Rezultatul este prezentat ]n tabelul din figura 11.4. Valorile din tabel reprezint[ ratele
lunare care trebuie pl[tite pentru diferite valori ale creditului =i diferite valori ale dob`nzii.

Figura 11.4


11.4. Efectuarea de analize “What if” cu scenarii
Multe din analizele economice implic[ efectuarea de analize de tipul “Ce se ]nt`mpl[
dac[?”. Pentru a r[spunde la astfel de ]ntreb[ri se modific[ valorile din celulele care conin
datele iniiale ale problemei. La schimbarea acestor valori se modific[ =i rezultatele. Cu c`t
exist[ mai multe scenarii, cu at`t urm[rirea diferenelor dintre rezultatele acestora este mai
dificil[. Excel ofer[ o facilitate care permite urm[rirea acestor scenarii: “Scenario Manager”
(managerul de scenarii).

11.5. Crearea unui scenariu
Un model cu scenarii trebuie s[ aib[ un set de valori de intrare =i un set de valori
rezultat (care se schimb[ ]n funcie de intr[ri).
Pentru a crea un scenariu se vor efectua urm[torii pa=i:
1. Se aplic[ comanda Tools, Scenarios. Pe ecran apare caseta de dialog Scenario Manager
(figura 11.5).

Figura 11.5 - caseta de dialog Scenario Manager
2. Din caseta Scenario Manager se selecteaz[ butonul Add. Pe ecran apare caseta de dialog
Add Scenario (figura 11.6).


Figura 11.6 – caseta de dialog Add Scenario
3. }n caseta Scenario Name se specific[ numele scenariului.
}n caseta Changing Cells se indic[ celulele sau domeniul de celule care vor fi modificate
pentru fiecare scenariu.
}n caseta Comment se pot scrie informaii suplimentare. Automat Excel introduce ]n
aceast[ caset[ numele utilizatorului =i data la care a fost creat scenariul.
Pentru a evita efectuarea de modific[ri ]n celulele din foaia de calcul se selecteaz[
optiunea Prevent Changes din seciunea Protection a casetei de dialog. Pentru a ascunde
datele din celule se selecteaz[ opiunea Hide.
4. Se aplic[ un clic pe butonul OK.
Pe ecran apare caseta de dialog Scenario Values (figura 11.7), ]n care se introduc datele
pentru fiecare celul[ din scenariu.

Figura 11. 7 – caseta de dialog Scenario Values
Dup[ introducerea datelor se selecteaz[ butonul OK. Pe ecran apare caseta de dialog
Scenario Manager. Denumirea noului scenariu creat apare ]n lista Scenarios. La
selectarea unui scenariu din list[ ]n c`mpul Changing Cells vor fi afi=ate adresele
celulelor din scenariu, iar ]n c`mpul Comments comentariile introduse.
5. Pentru a vedea scenariul se selecteaz[ denumirea lui din list[ =i se execut[ un clic pe
butonul Show. Excel va afi=a valorile din toate celulele din foaia de calcul. }n cazul ]n
care caseta de dialog acoper[ o parte din date, se trage cu mouse-ul bara de titlu a casetei
de dialog spre marginea ecranului.
6. Pentru a reveni ]n foaia de calcul se execut[ un clic pe butonul Close. Excel va afi=a ]n
foaia de calcul valorile stabilite ]n scenariu.

Este bine ca atunci c`nd se lucreaz[ cu scenarii fiecare celul[ din scenariu s[ aib[ un
nume. Excel va folosi aceste nume ]n caseta de dialog Scenario Values =i ]n rapoartele
pentru scenarii.

Figura 11. 8 – caseta de dialog Define Name
Pentru a atribui un nume unei celule se efectueaz[ urm[torii pa=i:
1. Se selecteaz[ celula c[reia trebuie s[ i se atribuie un nume.
2. Se aplic[ comanda Insert, Name, Define. Pe ecran apare caseta de dialog Define Name
(figura 11.8).
3. Se scrie numele celulei ]n caseta Names.

11.6. Editarea şi ştergerea scenariilor
Un scenariu existent poate fi modificat sau poate fi =ters.
Pentru a =terge un scenariu se selecteaz[ numele acestuia din caseta de dialog
Scenario Manager =i se aplic[ un clic pe butonul Delete. Excel va elimina scenariul din lista
cu scenarii.

Figura 11. 9 – caseta de dialog Edit Scenario
Pentru a modifica un scenariu se selecteaz[ numele scenariului din caseta de dialog
Scenario Manager =i se aplic[ un clic pe butonul Edit Scenario. Pe ecran apare caseta de
dialog Edit Scenario (figura 11.9), asem[n[toare cu caseta Add Scenario. Se efectueaz[

toate modific[rile necesare =i se aplic[ un clic pe butonul OK. Pe ecran apare caseta de
dialog Scenario Values ]n care se introduc noile valori.

11.7. Sintetizarea scenariilor prin rapoarte
Pentru compararea rezultatelor din mai multe scenarii, Excel ofer[ dou[ metode. La
prima metod[ se creeaz[ un raport simplu sub form[ de tabel, ]n care sunt prezentate datele
din celulele de intrare =i efectul lor asupra rezultatelor. La a doua metod[ se genereaz[ un
tabel pivot.

11.8. Crearea unui raport de sintetizare
Pentru a crea un raport de sintetizare se efectueaz[ urm[torii pa=i:
1. Se aplic[ comanda Tools, Scenarios.
2. Se aplic[ un clic pe butonul Summary. Pe ecran apare caseta de dialog Scenario
Summary (figura 11.10)

Figura 11. 10 – caseta de dialog Scenario Summary
3. Din zona Report Type se selecteaz[ opiunea Scenario Summary.
}n caseta Result Cells se indic[ domeniul de celule rezultat (care conin formulele bazate
pe celule cu datele iniiale).
Excel va afi=a o nou[ foaie de calcul cu un tabel ce conine pentru datele iniiale =i
rezultatele din fiecare scenariuscenariu.

11.9. Crearea unui raport de tip tabel pivot pentru scenarii
Tabelele pivot sunt tabele obinute prin gruparea ]n diverse moduri a informaiilor din
r`ndurile =i coloanele unui tabel. Pentru a crea un tabel pivot plec`nd de la scenariile din
foaia de calcul se vor efectua urm[torii pa=i:
2. Se aplic[ un clic pe butonul Summary.
3. Din caseta de dialog Scenario Summary se selecteaz[ opiunea Scenario Pivot
Table. }n caseta text Result Cells se indic[ domeniul de celule care conine
formulele bazate pe celulele cu datele iniiale.
Excel va afi=a o nou[ foaie de calcul cu un tabel pivot ce conine datele de pornire =i
rezultatele scenariului.


11.10. Aplicaţie - Elaborarea de alternative de buget
Pentru a echilibra un buget trebuie g[sit[ cea mai bun[ modalitate de a repartiza
departamentelor resursele disponibile. Atunci c[nd prevederile iniiale sunt dep[=ite trebuie
comparate strategiile de redistribuire. Cu facilit[ile oferite de managerul de scenarii se pot
modela diferite strategii pentru a analiza avantajele =i dezavantajele diferitelor moduri de
abordare.
Se va crea urm[toarea foaie de calcul (figura 11.11):

Figura 11.11
}n coloana Buget proiectat sunt introduse prevederile iniiale ale bugetului.
}n coloana Buget repartizat sunt introduse bugetele repartizate fiec[rui departament.
}n coloana Diferen[ se va calcula diferena dintre bugetul repartizat =i bugetul
proiectat. }n celula D2 se va introduce formula ˆB2-C2, care se va copia ]n domeniul D3:D5.
}n coloana Procent se va calcula procentul cu care se dep[=e=te bugetul proiectat. }n
celula E2 se va introduce formula ˆD2/C2. Aceast[ formul[ se va copia ]n domeniul E3:E5.
}n ultima linie din tabel se vor calcula totalurile: bugetul total repartizat, bugetul total
proiectat, diferena total[ =i procentul de dep[=ire total. Celulele din aceast[ linie vor conine
urm[toarele formule:
B6: =Sum(B2:B5)
C6: =Sum(C2:C5)
D6: =B6-C6
E6: =D6/C6
Folosind facilitatea Goal Seek s-ar putea r[spunde la ]ntreb[ri de tipul: “C`t de mult
ar putea s[ scad[ bugetul repartizat pentru departamentul Desfacere astfel ]nc`t s[ se reduc[
dep[=irea bugetului total?”.
Dep[=irea bugetului total se g[se=te ]n celula E6. Aici ar trebui s[ obinem valoarea 0.
Bugetul pentru departamentul Desfacere se g[se=te ]n celula B5.
Pentru rezolvarea problemei:
1. Se aplic[ comanda Tools, Goal Seek.
2. Caseta de dialog Goal Seek se completeaz[ ]n modul urm[tor: Set Cell - E6, To Value 0, By Changing Cell - B5.
Dup[ aplicarea comenzii celula B5 va conine bugetul care trebuie repartizat
departamentului Desfacere astfel ]nc`t bugetul total s[ nu fie dep[=it.
Pentru a testa mai multe strategii de repartizare a bugetului se poate folosi managerul
de Scenarii.
Rezolvare:
Se denumesc celulele B2:B5:
1. Se selecteaz[ celula B2.

2. Se aplic[ comanda Insert, Name, Define.
3. }n caseta Name din caseta de dialog Define Name se introduce Buget Marketing.
4. Se aplic[ un clic pe butonul OK
Folosind aceea=i metod[ se vor denumi =i celulele B3:B5, B6:E6 ]n modul urm[tor:
B3 - Buget Aprovizionare,
B4 - Buget Resurse Umane,
B5 - Buget Desfacere.
B6 – Total buget repartizat
C6 – Total buget proiectat
D6 – Diferena total[
E6 – Procent de dep[=ire total
Se vor crea mai multe scenarii care vor conine diferite valori pentru bugetele repartizate
pentru cele patru departamente:
2. Din caseta de dialog Scenario Manager se selecateaz[ butonul Add.
3. }n caseta Scenario Name se introduce numele scenariului: Estim[ri iniiale. }n caseta
Changing Cells se indic[ celulele care vor fi modificate: B2:B5. Se aplic[ un clic pe
butonul OK.
4. }n caseta de dialog Scenario Values se vor introduce datele specifice pentru fiecare
scenariu.
B2: 956750000
B3: 244120000
B4: 370000000
B5: 145188000
Folosind pa=ii 2-4 se vor mai crea urm[toarele scenarii:
Valori specifice scenariilor
B2
B3
B4
Scenariu1
956750000
244120000
370000000
Scenariu2
956750000
23970000
320000000

B5
1252130000
1000000000

Dup[ crearea scenariilor, pentru compararea acestora se poate crea un raport.
1. }n caseta de dialog Scenario Manager se aplic[ un clic pe butonul Summary.
2. }n caseta de dialog Scenario Summary, se selecteaz[ opiunea Scenario Summary, iar
]n Result Cells se introduce domeniul B6:E6 (domeniul care conine rezultatele).
Excel creeaz[ o nou[ foaie de calcul cu un tabel ]n care sunt afi=ate pentru fiecare
scenariu valorile de intrare =i valorile rezultat.

Utilizarea Solver-ului

CAPITOLUL 12
UTILIZAREA SOLVER-ULUI
12.1. Solver - ul
Cu comanda Goal Seek se poate analiza variaia rezultatelor ]n funcie de o singur[
celul[ de pornire. Multe foi de calcul sunt prea complexe pentru comanda Goal Seek. La
unele modele pot fi necesare intr[ri multiple sau se pot impune restricii asupra unora dintre
valorile de intrare sau asupra rezultatului. Analiza unui rezultat prin modificarea valorilor din
una sau mai multe celule se poate face utiliz`nd facilitatea Solver din Excel.
Pentru a putea fi folosit[ facilitatea Solver, ea trebuie mai ]nt`i instalat[. Pentru a
realiza acest lucru se vor executa urm[torii pa=i:
1. Se aplic[ comanda Tools, Add-Ins. Pe ecran apare caseta Add-Ins (figura 12.1).

Figura 12.1 – caseta de dialog Add - Ins
2. Se marcheaz[ opiunea Solver.
3. Se selectez[ butonul OK. Comanda Solver va aparea ]n meniul Tools.
Cu Solver-ul se pot rezolva tot felul de probleme de programare liniar[ =i neliniar[:
• Probleme de maximizare a c`=tigurilor
• Probleme de transport
• Probleme de amestec
• Probleme de minimizare a costurilor
Aceste tipuri de probleme vor fi tratate ]n detaliu ]n partea a doua – Modelarea
deciziilor utiliz`nd foile de calcul.
}n principiu problemele care pot fi rezolvate au un singur obiectiv, pentru unele
variabile sunt specificate restricii, iar variabilele de intrare influeneaz[, direct sau indirect,
at`t restriciile c`t =i valorile care trebuie optimizate.
Pentru utilizarea Solver-ului se vor efectua urm[torii pa=i:

1. Se configureaz[ foaia de calcul =i se stabile=te care sunt celulele care conin variabilele de
intrare =i rezultatul.
2. Se aplic[ comanda Tools, Solvers. Pe ecran apare caseta de dialog Solver Parameters
(figura 12.2).

Figura 12.2 – caseta de dialog Solver Parameters
}n caseta text Set Target Cell se specific[ celula care conine formula cu rezultatul care
trebuie analizat (funcia obiectiv). }n seciunea Equal To se specific[ ce se urm[re=te
pentru funcia obiectiv:
• Dac[ trebuie maximizat[ se selecteaz[ opiunea Max.
• Dac[ trebuie minimizat[ se selecteaz[ optiunea Min.
• Dac[ funcia obiectiv trebuie s[ ating[ o anumit[ valoare se selecteaz[ opiunea
Value of, iar ]n caseta text al[turat[ se introduce valoarea respectiv[.
}n caseta text By Changing Cells se vor indica celulele sau domeniul de celule pe care
Solver-ul le va modifica pentru a obine valoarea optim[.
Caseta Subject to the Constraints va conine restriciile problemei. Pentru a ad[uga o
restricie se aplic[ un clic pe butonul Add. Pe ecran apare o nou[ caset[ de dialog, Add
Constraint (figura 12.3) ]n care se pot introduce restriciile problemei:

Figura 12.3 – caseta de dialog Add Constraint
Pentru a stabili o restricie:
• }n caseta text Cell Reference se va specifica celula care conine formula pe care se
bazeaz[ restricia.

Se aplic[ un clic pe s[geata de derulare pentru a vedea lista cu operatori pentru
restricii =i se selecteaz[ operatorul corespunz[tor.
• }n ultima caset[ text se scrie valoarea restriciei ce trebuie respectat[.
• Se aplic[ un clic pe butonul Add pentru a introduce =i alte restricii.
• Pentru a reveni ]n caseta de dialog Solver Parameters se aplic[ un clic pe butonul
OK. Restriciile definite vor fi afi=ate ]n caseta Subject to the Constraints.
4. Se aplic[ un clic pe butonul Solver. Solver-ul va ]ncepe efectuarea calculelor pentru
soluiile optime. Dup[ ce g[se=te o soluie, pe ecran apare caset[ de dialog Solver
Results (figura 12.4).
•

Figura 12.4 – caseta de dialog Solver Results
Excel introduce soluiile ]n foaia de calcul. Dac[ se alege opiunea Keep Solver
Results Excel va p[stra ]n foaia de calcul soluia calculat[.
Dac[ se selecteaz[ opiunea Restore Original Values, se va reveni la valorile iniiale
din foaia de calcul. Pentru sintetizarea rezultatelor g[site, Solver-ul permite generarea a trei
tipuri de rapoarte:
• Answer - ]n care sunt prezentate valorile iniiale =i finale pentru celula rezultat =i
celulele care conin variabilele de intrare.
• Sensitivity - ]n care este prezentat[ o analiz[ de senzitivitate a variabilelor de intrare
(cum variaz[ rezultatul la diferite modific[ri ale variabilelor de intrare).
• Limits - se specific[ ]ntre ce limite pot varia limitelele impuse ]n restricii, astfel ]ncât
rezultatul final s[ nu se modifice.
Mai multe detalii despre aceste rapoarte sunt prezentate ]n partea a-II-a – Modelarea
deciziilor utiliz`nd foile de calcul.
Pentru a crea un raport se selecteaz[ denumirea lui din lista Reports din caseta Solver
Results. Pentru a selecta mai multe rapoarte din list[, se alege primul raport, se ine ap[sat[
tasta <Ctrl> =i se aplic[ un clic pe unul sau ambele rapoarte r[mase. Se aplic[ un clic pe
butonul OK. Excel va crea fiecare raport ]ntr-o foaie de calcul separat[.

12.2. Modificarea configuraţiei Solver-ului
Utilizatorul poate specifica tehnica utilizat[ de programul Solver pentru g[sirea
r[spunsurilor, precizia r[spunsurilor =i perioada de lucru a programului Solver.
Pentru a realiza acest lucru din caseta de dialog Solver Parameters se selecteaz[
butonul Options. Pe ecran apare caseta de dialog Solver Options (figura 12.5). Folosind
opiunile din aceast[ caset[ de dialog se poate stabili modulul ]n care va lucra Solver-ul.
}n caseta Max Time se specific[ timpul maxim (]n secunde) pe care programul
Solver poate s[ ]l foloseasc[ pentru g[sirea unei soluii.

}n caseta Iterations se specific[ num[rul maxim de iteraii pe care le poate face
Solver-ul.
}n caseta Precision se specific[ c`t de apropiate trebuie s[ fie dou[ ]ncerc[ri de
soluie, ]nainte de a declara g[sit[ cea mai bun[ soluie.
}n caseta Tolerance se specific[ (]n procente) c`t de aproape de cea mai bun[ soluie
trebuie s[ fie r[spunsul, atunci c`nd se lucreaz[ cu probleme cu numere ]ntregi. Stabilirea
unei tolerane mai mari poate m[ri considerabil viteza de calcul atunci c`nd se lucreaz[ cu
probleme complexe cu numere ]ntregi
Opiunea Assume Linear Model configureaz[ Solver-ul s[ utilizeze o metod[ de
programare liniar[ pentru g[sirea soluiei. Dac[ foaia de calcul conine o problem[ neliniar[,
apare un mesaj de avertisment.
Opiunea Show Iterations Results permite afi=area soluiilor intermediare.
Continuarea se face ap[s`nd pe butonul Continue, oprirea pe butonul Stop.
Opiunile Tangent sau Quadratic sunt metode adiionale folosite pentru g[sirea
soluiei. Se recomand[ utilizarea opiunii Quadratic dac[ foaia de calcul conine formule
complexe care sunt neliniare.
Opiunile din seciunea Derivatives permit specificarea metodei de derivare parial[
folosite.
Opiunile din seciunea Search permit specificarea metodei de c[utare folosit[.

Figura 12.5 – caseta de dialog Solver Options

12.3. Aplicaţie
O companie are trei fabrici ]n localit[ile A, B, C. Produsele realizate ]n aceste fabrici
sunt distribuite din localit[ile S =i P. Compania analizeaz[ posibilitatea de amplasare a unui
nou depozit ]n localitatea R. Analizele efectuate au stabilit urm[toarele costuri de transport:
Costul Transportului ]n depozitele din:
Fabrici
S
P
R
A
10
14
8
B
12
10
12
C
8
12
10
Capacit[ile de producie la fabricile din localit[ile A, B, C sunt de 20, 30 =i 40
unit[i pe s[pt[m`n[.
Se estimeaz[ c[ depozitul din R va absolvi 20 de unit[i pe s[pt[m`n[, iar cele din S
=i P, 40 respectiv 30 de unit[i pe s[pt[m`n[.

S[ se determine modul de distribuie a produselor la depozite astfel ]nc`t costurile de
transport s[ fie minime.
Modelul va avea 9 variabile:
x1 - num[rul de produse transportate de la fabrica A la depozitul S
x2 - num[rul de produse transportate de la fabrica A la depozitul P
x3 - num[rul de produse transportate de la fabrica A la depozitul R
x4 - num[rul de produse transportate de la fabrica B la depozitul S
x5 - num[rul de produse transportate de la fabrica B la depozitul P
x6 - num[rul de produse transportate de la fabrica B la depozitul R
x7 - num[rul de produse transportate de la fabrica C la depozitul S
x8 - num[rul de produse transportate de la fabrica C la depozitul P
x9 - num[rul de produse transportate de la fabrica C la depozitul R
Restriciile modelului sunt:
1. x1‡x2‡x3<=20 (Producia din fabrica A sa nu dep[=easc[ capacitatea de productie)
2. x4‡x5‡x6<=30 (Producia din fabrica B sa nu dep[=easc[ capacitatea de productie)
3. x7‡x8‡x9<=40 (Producia din fabrica C sa nu dep[=easc[ capacitatea de productie) C)
4. x1‡x4‡x7>=20 (numarul de produse transportate în depozitul A sã fie mai mare decât
cererea la depozitul respectiv)
5. x2‡x5‡x8 >=40 (numarul de produse transportate în depozitul B sã fie mai mare decât
cererea la depozitul respectiv )
6. x5‡x6‡x9 >=30 (numarul de produse transportate în depozitul C sã fie mai mare decât
cererea la depozitul respectiv )
Functia obiectiv a modelului este minimizarea cheltuielilor de transport. Cheltuielile de
transport sunt egale cu
10x1‡14x2‡8x3‡12x4‡10x5‡12x6‡8x7‡12x8‡10x9
Pentru rezolvarea acestei probleme se va configura foaia de calcul în modul urmãtor (figura
12.6):

Figura 12.6

Celulele din meniul C3:E5 vor conine variabilele modelului. La ]nceput aceste celule
se vor completa cu date aleatoare, s[ presupunem c[ toate variabilele sunt egale cu 1. }n urma
rezolv[rii problemei ]n aceste celule se va obine rezultatul.
}n celulele B3, B4, B5 se va calcula producia total[ realizat[ ]n fiecare fabric[.
}n B3 se va introduce formula =SUM(C3:E3) =i se copiaz[ formula ]n B4 =i B5.
}n celulele C6, D6, E6, se va calcula producia depozitat[ ]n fiecare depozit. }n celula
C6 se va introduce formula =SUM(C3:C5). Aceast[ formul[ se copiaz[ ]n D6 =i E6.
Celulele B10, B11, B12 vor conine capacit[ile de producie la fabricile A, B, C.
Celulele C13, D13, E13 vor conine cererea la cele 3 depozite.
}n domeniul C10:E12 se vor introduce cheltuielile de transport pe unitatea de produs
de la fiecare fabric[ la fiecare depozit.
}n celulele C15, D15, E15 se calculeaz[ cheltuielile de transport la fiecare depozit. }n
celula C15 se introduce formula=C3*C10+C4*C11+C5*C12 (Num[rul de produse
transportate de la fabrica A la depozitul S * cheltuielile de transport + num[rul de produse
transportate de la fabrica B la depozitul S * cu cheltuielile de transport + num[rul de produse
transportate de la fabrica C la depozitul S * cheltuielile de transport.). Aceast[ formul[ se
copiaz[ ]n celulele d15 =i E15.
}n celula B15 se vor calcula cheltuielile cu transportul. }n aceast[ celul[ se va
introduce formula = SUM( C15:E15).
Restriciile problemei pentru foaia de calcul proiectat[ vor fi:
1.
B3<=B10 Producia din fabrica A s[ nu dep[=easc[ capacitatea de producie.
2.
B4<=B11 Producia din fabrica B s[ nu dep[=easc[ capacitatea de producie
3.
B5<=B12 Producia din fabrica s[ nu dep[=easc[ capacitatea de producie
4.
C6>=C13 s[ nu existe rupere de stoc la depozitul S
5.
D6>=D13 s[ nu existe rupere de stoc la depozitul P
6.
E6>=E13 s[ nu existe rupere de stoc la depozitul R
7.
C3:E5>=0 Toate variabilele s[ fie numere negative
Dup[ ce foaia de calcul a fost configurat[, din meniul Tools se aplic[ comanda Solver.
Obiectivul problemei este minimizarea cheltuielilor totale de transport. Aceast[
valoare este calculat[ ]n celula B15, deci ]n Set Target Cell se introduce B15. Funcia trebuie
minimizat[, deci se va alege opiunea Min.
Celulele care conin variabilele de intrare sunt ]n domeniu C3:E5, deci ]n By
Changing Cells se introduce C3:E5.
}n caseta Subject to the Constrains sevor introduce restriciile problemei:
• Se selecteaz[ butonul Add.
• }n caseta Cell Reference se introduce B3.
• Din lista cu operatori se selecteaz[ <=.
• }n caseta Constraint se introduce B10.
• }n mod similar se introduc =i celelalte restrricii.
}n final caseta Solver va fi completat[ ca ]n figura 12.7


Figura 12.7
Se selecteaz[ butonul Options. }n caseta de dialog Solver Options se marcheaz[
opiunile Assume Linear Model =i Assume Non Negative. Se selecteaz[ butonul OK.
}n acest moment se poate selecta ]n caseta de dialog Solver Parameters butonul
Solve.
}n caseta Solver Results se selecteaz[ opiunea Keep Solver Solutions =i cele trei
rapoarte. Se selecteaz[ butonul OK.
Solver-ul rezolv[ problema. Rezultatul obinut este:se vor transporta 20 de produse de
la fabrica A la depozitul R, 30 de produse de la fabrica B la depozitul P, 20 de produse de la
fabrica C la depozitul S, 10 de produse de la fabrica C la depozitul P 10 de produse de la
fabrica C la depozitul R.

Rezolvarea problemelor de programare liniară

CAPITOLUL 13
REZOLVAREA PROBLEMELOR DE PROGRAMARE LINIARÃ
13.1. Rezolvarea problemelor şi procesul de luare a deciziilor
}n general, prin <problem[> se ]nelege o dificultate care nu poate fi dep[=it[ ]n mod
automat. Procesul de rezolvare a unei probleme poate fi definit ca procesul de identificare a
diferenelor dintre starea actual[ =i starea dorit[ a unei afaceri =i stabilirea aciunilor necesare
pentru a rezolva aceast[ diferen[. Pentru probleme destul de complicate care s[ justifice
timpul =i efortul unei analize am[nunite, procesul de rezolvare a unei probleme implic[
parcurgerea urm[torilor pa=i:
1. Identificarea =i definirea problemei.
2. Determinarea unui set de soluii alternative.
3. Determinarea unui criteriu sau a unor criterii pentru evaluarea alternativelor.
4. Evaluarea alternativelor.
5. Alegerea unei alternative.
6. Implementarea alternativei alese.
7. Evaluarea rezultatelor =i verificarea dac[ a fost selectat[ o soluie satisf[c[toare.
Luarea deciziilor este un termen ]n general asociat cu primele cinci etape ale procesului
de rezolvare a unei probleme. Astfel, prima etap[ ]n luarea unei decizii este identificarea =i
definirea problemei, iar ultima etap[ este alegerea unei alternative, care de fapt este actul de
luare a deciziei (figura 13.1).
S[ consider[m urm[toarea situaie. Un absolvent de facultate ]=i caut[ un serviciu. Ca
urmare a cererilor depuse, absolventul prime=te mai multe oferte situate ]n localit[i diferite:
Bucure=ti, Timi=oara, Constana, Bra=ov. Alternativele pentru acest caz de luare a deciziei
sunt:
1. Acceptarea postului din Bucure=ti.
2. Acceptarea postului din Timi=oara.
3. Acceptarea postului din Constana.
4. Acceptarea postului din Bra=ov.
Urm[torul pas al procesului de luare a deciziei este stabilirea criteriilor ce vor fi folosite
]n evaluarea alternativelor. Problemele decizionale ]n care obiectivul este de a g[si cea mai
bun[ soluie ]n raport cu un singur criteriu se numesc decizii cu un singur obiectiv. Desigur,
un criteriu important este salariul, dar pot exista =i alte criterii: posibilitatea de avansare,
localitatea, posibilitatea de a avea o locuin[. Problemele decizionale ]n care decizia este
luat[ ]n funcie de mai multe criterii se numesc decizii multicriteriale.
Urm[torul pas este evaluarea fiec[rei altenative ]n raport cu fiecare criteriu. Unele
criterii sunt u=or de evaluat (cum ar fi salariul), altele pot fi evaluate pe baza unor factori
subiectivi (potenialul de avansare, localitatea). }n general, la factorii subiectivi, pentru
fiecare variant[ se acord[ un calificativ sau o not[. De foarte multe ori criteriile sunt
contradictorii. O alternativ[ bun[ prin aplicarea unui criteriu poate s[ nu fie la fel de bun[
prin aplicarea celorlalte criterii.
Pentru evaluarea primului tip de criterii se folosesc metodele cantitative, pentru cel de al
doilea tip, metodele calitative.
}n abordarea cantitativ[ analistul se va concentra asupra datelor asociate problemei =i va
dezvolta un model matematic care va descrie obiectivele, restriciile sau alte relaii care
exist[ ]n problem[. Ulterior, prin utilizarea metodelor cantitative, analistul va face o alegere
]n funcie de datele problemei.

Analiza calitativ[ se bazeaz[ mai mult pe intuiie =i experien[. Dac[ managerul a avut
experiene similare, problema este relativ simpl[. Dac[ managerul nu are experien[ ]n
probleme similare sau problema este prea complex[, pentru luarea deciziei finale se
recomand[ metodele cantitative.
Definirea
problemei

Identificarea
alternativelor

Determinarea
criteriilor

Analiza
cantitativ[

Analiza
calitativ[

Evaluarea
alternativelor
Luarea deciziei

Figura 13.1 – Procesul de luare a deciziei

13.2. Dezvoltarea modelelor
Modelele sunt reprezent[ri ale unor obiecte sau situaii reale. Ele pot exista ]n mai
multe forme. De exemplu, o machet[ a unui avion este o reprezentare a unui avion adev[rat.
Similar, un camion de juc[rie este modelul unui camion adev[rat. Aceste dou[ exemple de
modele sunt replici fizice ale obiectelor reale. Folosind terminologia adecvat[, ele sunt
modele fizice sau modele iconice.
O alt[ categorie de modele include obiectele care exist[ ]n form[ fizic[, dar nu au
acela=i aspect ca =i obiectul modelat. Acestea sunt modelele analogice. Cutia de viteze a unui
automobil este un model analogic: poziia acului indic[ viteza automobilului. Un termometru
este un alt model analogic pentru reprezentarea temperaturii.
A treia categorie include acele modele care reprezint[ o problem[ sub forma unui set de
relaii matematice. Aceste modele se numesc modele matematice. De exemplu, profitul total
obinut prin v`nzarea unui produs poate fi calculat ]nmulind profitul unitar cu cantitatea
v`ndut[. Dac[ x reprezint[ num[rul de unit[i v`ndute, P profitul total, atunci pentru un profit

unitar de 1000 lei, modelul matematic care stabile=te profitul total ]n funcie de v`nz[ri este
Pˆ1000*x.
Scopul utiliz[rii modelelor este realizarea unei interfee cu situaia real[ prin studierea
=i analizarea modelului. De exemplu, un constructor de avioane poate testa un model fizic
pentru a verifica caracteristicile de zbor ale unui avion adev[rat. Similar, un model
matematic poate fi utilizat pentru a analiza ce profit va fi obinut dac[ un produs este v`ndut.
Pentru cazul prezentat, dac[ vor fi v`ndute 30 de buc[i (xˆ30), profitul obinut va fi de
30*1000ˆ30000 lei.
Utilizarea modelelor matematice reduce cheltuielile =i timpul necesar pentru rezolvarea
unei probleme reale. O machet[ de avion se construie=te mai repede =i este mai ieftin[ dec`t
un avion real. La fel, prin utilizarea modelului matematic, se poate calcula rapid profitul ce
poate fi obinut, f[r[ ca managerul s[ produc[ =i s[ v`nd[ cele x unit[i.
Modelele au =i avantajul reducerii riscului asociat, prin experimentarea unei situaii
reale. Pentru exemplele prezentate se pot evita gre=elile de proiectare, care ar putea duce la
pr[bu=irea avionului, sau se pot evita deciziile gre=ite care ar duce la pierderi de milioane de
lei.
Concluziile obinute depind de c`t de bine reprezint[ modelul situaia real[. Cu c`t
modelul se apropie mai mult de cazul real, cu at`t rezultatele vor fi mai precise.
}n continuare vor fi analizate numai modelele matematice. Principalele aspecte abordate
se refer[ la utilizarea metodelor cantitative ]n procesul de luare a deciziei. Accentul este pus
nu pe metodele propriu-zise, ci pe modul ]n care ele pot fi rezolvate utiliz`nd foile de calcul.

13.3. Modele matematice
}n majoritatea cazurilor ]n care se ]ncearc[ rezolvarea unor probleme manageriale se
constat[ c[ modul ]n care este structurat[ problema conduce la obinerea unui obiectiv
specific (cum ar fi maximizarea unui profit sau minimizarea unui cost). De asemenea, se
constat[ c[ de multe ori exist[ o serie de restricii sau constr`ngeri (cum ar fi capacitatea de
producie). Succesul folosirii analizei cantitative depinde de acurateea cu care obiectivul =i
restriciile sunt exprimate sub form[ de ecuaii =i relaii matematice.
Expresia matematic[ care descrie obiectivul problemei se nume=te funcie obiectiv. De
exemplu, ecuaia Pˆ10*x poate fi funcia obiectiv a unei firme care ]ncearc[ s[ maximizeze
profitul.
Relaiile matematice care descriu constr`ngerile problemei se numesc restricii. Dac[
de exemplu pentru a produce o unitate de produs sunt necesare 5 ore =i ]ntr-o s[pt[m`n[ se
lucreaz[ doar 40 de ore, atunci relaia 50*xˆ40 este o restricie de timp. 5*x reprezint[
timpul total necesar pentru a produce x unit[i, care trebuie s[ fie mai mic sau egal cu cele 40
de ore disponibile.
Problema de decizie este urm[toarea: C`te unit[i trebuie produse ]ntr-o s[pt[m`n[
pentru a maximiza profitul? Modelul matematic al acestei probleme este:
Max P = 10 * x

functia obiectiv

5 * x ≤ 40
 restrictii
x≥0 
Restricia xŽˆ0 este necesar[ deoarece nu se poate fabrica un num[r negativ de
produse.


13.4. Metoda programării liniare
Programarea liniar[ este o metod[ de rezolvare a problemelor de luare a deciziei.
Urm[toarele tipuri de aplicaii sunt specifice pentru rezolvarea lor cu ajutorul program[rii
liniare:
1. Un manager trebuie s[ stabileasc[ pentru perioada urm[toare programul de
producie =i nivelul stocurilor astfel ]nc`t s[ fie satisf[cut[ cererea de pe pia[ =i ]n
acela=i timp vrea s[ minimizeze costul total de producie =i costurile de stocare.
2. Un analist financiar trebuie s[ selecteze pentru un portofoliu de investiii cea mai
bun[ combinaie de aciuni =i obligaiuni. Aceste investiii trebuie selectate astfel
]nc`t s[ se maximizeze eficiena investiiei.
3. Un director de marketing trebuie s[ stabileasc[ modul ]n care va distribui bugetul
pentru publicitate ]n diverse medii: radio, televiziune, ziare =i reviste, astfel ]nc`t
efectul reclamei f[cute s[ fie maxim.
4. O companie are depozite ]n c`teva ora=e din ar[ =i prime=te comenzi de la clieni
din diverse localit[i. Se pune problema determin[rii cantit[ilor care vor fi trimise
de la depozite spre clieni astfel ]nc`t costurile totale de transport s[ fie
minimizate.
Acestea sunt doar c`teva exemple ]n care programarea liniar[ a fost utilizat[ cu succes,
dar lista poate continua. Ce au ]n comun aceste exemple este faptul c[ ele ]ncearc[ s[
minimizeze sau s[ maximizeze ceva. }n primul exemplu managerul vrea s[ minimizeze
costurile; ]n exemplul 2 analistul financiar vrea s[ maximizeze eficiena investiiei; ]n
exemplul 3 directorul de marketing trebuie s[ maximizeze eficiena reclamei; ]n exemplul 4
trebuie minimizate cheltuielile de transport. }n toate problemele de programare liniar[,
obiectivul este maximizarea sau minimizarea unor cantit[i.
Toate problemele de programare liniar[ au =i o a doua proprietate: restriciile care
limiteaz[ gradul ]n care obiectivul poate fi realizat. }n exemplul 1 producia este limitat[ de
capacitatea de producie =i ]n acela=i timp trebuie s[ satisfac[ cererea; ]n exemplul 2 analistul
este limitat de suma disponibil[ =i tipul aciunilor existente; ]n exemplul 3 directorul de
marketing este constr`ns de bugetul fixat =i de disponibilitatea mediilor de reclama; ]n
exemplul 4 cantit[ile ce pot fi transportate sunt limitate la disponibilul din fiecare depozit.
Deci, restriciile sunt o alt[ tr[s[tur[ general[ a fiec[rei probleme de programare liniar[.
Exemplu
Firma ABC produce o varietate de produse chimice. }n cadrul unui proces de producie,
pentru a produce dou[ produse (un aditiv =i un solvent) sunt necesare trei tipuri de materii
prime. Aditivul este v`ndut fabricilor de ulei =i este folosit la producerea a diverse tipuri de
combustibil. Solventul este v`ndut combinatelor chimice =i este utilizat la fabricarea
detergenilor. Pentru a fabrica aditivul =i solventul cele trei materii prime sunt amestecate ]n
proporiile indicate ]n tabelul 13.1.
Produs
Material 1
Material 2
Material 3

Aditiv
2
/5
0
3
/5

Solvent
½
1
/5
3
/10

Tabelul 13.1 – Necesarul de materii prime pentru obinerea unei tone de adidiv/solvent


Pentru a obine o ton[ de aditiv se amestec[ 2/5 tone de material 1=i 3/5 tone de material
3. O ton[ de solvent poate fi obinut[ prin amestecarea a ½ tone de material 1, 1/5 tone de
material 2 =i 3/10 tone de material 3.
Producia este limitat[ de disponibilitatea celor trei materii prime. }n prezent firma
dispune de 20 tone de material 1, 5 tone de material 2 =i 21 tone de material 3. Prin natura
procesului de producie, materiile prime care nu sunt utilizate ]n procesul de producie curent
sunt considerate de=euri.
Fiecare ton[ de aditiv aduce un profit de 40$ , iar fiecare ton[ de solvent aduce un profit
de 30$.
Managementul firmei ABC, dup[ analiza cererii de pe pia[, a decis c[ preurile
stabilite vor determina v`nzarea ]ntregii cantit[ii produse (aditiv =i sovent).
Formularea problemei
Formularea problemei sau modelarea reprezint[ procesul de transpunere a problemei
]ntr-un model matematic. Modelarea problemei este o art[ care poate fi st[p`nit[ prin practic[
=i experien[. De=i fiecare problem[ are caracteristici unice, multe probleme pot avea
tr[s[turi comune. Ca urmare, pentru ]ncep[tori pot fi utile o serie de reguli ce pot fi aplicate
pentru formularea unui model, reguli ce vor fi ilustrate ]n dezvoltarea modelului matematic
pentru firma ABC.
Acest exemplu a fost selectat pentru a introduce metoda program[rii liniare pentru c[
este u=or de ]neles. }n practic[ apar probleme mai complicate, care necesit[ o analiz[ mai
profund[ pentru a identifica toate aspectele care trebuie incluse ]n model.
Primul pas este identificarea obiectivului =i a restriciilor. }n cazul nostru obiectivul
este maximizarea profitului total. Restriciile se refer[ la cantit[ile de materii prime
disponibile, care limiteaz[ cantit[ile de aditiv =i solvent ce pot fi produse.
Restricia 1: cantitatea de material 1 utilizat[ trebuie s[ fie mai mic[ sau egal[ cu
cantitatea de material 1 disponibil[.
Urm[torul pas este definirea variabilelor de decizie. Cele dou[ variabile de decizie
sunt: num[rul de tone de aditiv produse =i num[rul de tone de solvent produse. Not[m cu:
A: cantitatea de aditiv produs[ (tone)
S: cantitatea de solvent produs[ (tone)
A =i S sunt variabile de decizie.
Se scrie obiectivul utiliz`nd variabilele de decizie. Profitul total provine din dou[ surse:
v`nz[rile de aditiv =i v`nz[rile de solvent. Dac[ profitul obinut prin v`nzarea unei tone de
aditiv este de 40$, atunci prin v`nzarea a A tone profitul va fi 40*A. La fel, dac[ profitul
obinut prin v`nzarea unei tone de solvent este de 30$, atunci prin v`nzarea a S tone profitul
va fi 40*S.
Profitul total ˆ 40A ‡ 30S
Expresia matematic[ a obiectivului se nume=te funcie obiectiv. }n cazul nostru
obiectivul este maximizarea profitului total, deci funcia obiectiv va fi:


Max ( 40A ‡ 30S )
Se scriu restriciile utiliz`nd variabilele de decizie.
Restricia 1. Deoarece o ton[ de aditiv este produs[ folosind 2/5 tone de material 1,
cantitatea de material 1 necesar[ pentru a produce A tone de aditiv este 2/5 * A. Pentru fiecare
ton[ de solvent se folosesc ½ tone de material 1, deci cantitatea de material 1 necesar[
pentru a produce S tone de solvent este ½ * S. Astfel, cantitatea total[ de material 1 necesar[
este 2/5 * A ‡ ½ * S. Cantitatea disponibil[ de material 1 este de 20 tone, deci transpunerea
sub form[ de ecuaie a restriciei 1 este:
2
/5 * A ‡ ½ * S ˆ20
Restricia 2. Deoarece la fabricarea aditivului nu este necesar materialul 1 se va lua ]n
lua ]n calcul doar cantitatea de material 2 utilizat[ la fabricarea solventului. Pentru fiecare
ton[ de solvent se folosesc 1/5 tone de material 2, deci cantitatea de material 2 necesar[
pentru a produce S tone de solvent este 1/5 * S. Astfel, cantitatea total[ de material 2 necesar[
este 1/5 * S. Cantitatea disponibil[ de material 2 este de 5 tone, deci transpunerea sub form[
de ecuaie a restriciei 2 este:
1
/5 * S ˆ5
Restricia 3. Deoarece o ton[ de aditiv este produs[ folosind 3/5 tone de material 3,
cantitatea de material 3 necesar[ pentru a produce A tone de aditiv este 3/5 * A. Pentru fiecare
ton[ de solvent se folosesc 3/10 tone de material 3, deci cantitatea de material 3 necesar[
pentru a produce S tone de solvent este 3/10 * S. Astfel, cantitatea total[ de material 3
necesar[ este 3/5 * A ‡ 3/10 * S. Cantitatea disponibil[ de material 3 este de 21 tone, deci
transpunerea sub form[ de ecuaie a restriciei 3 este:
3
/5 * A ‡ 3/10 * S ˆ 21
P`n[ acum am specificat relaiile matematice referitoare la constr`ngerile asociate celor
trei materii prime. Mai trebuie oare alte restricii? Poate firma ABC s[ produc[ un num[r
negativ de tone de aditiv =i solvent? R[spunsul este evident nu. Deci pentru ca variabilele de
decizie s[ nu aib[ valori negative mai sunt necesare dou[ restricii:
A Žˆ0
S Žˆ0
Modelul matematic al problemei este acum complet. At`t obiectivul c`t =i restriciile au
fost transformate ]ntr-un set de relaii matematice, set de relaii definit ca model matematic.
Modelul matematic complet al problemei este:
Max ( 40A ‡ 30S )
2
/5 * A ‡ ½ * Sˆ20
1
/5 * Sˆ5
3
/5 * A ‡ 3/10 * Sˆ21
AŽˆ0
SŽˆ0
Pentru rezolvarea problemei trebuie g[sit[ combinaia optim[ (de A =i S) care s[
satisfac[ toate restriciile =i ]n acela=i timp s[ conduc[ la o valoare a funciei obiectiv care s[
fie mai mare sau egal[ dec`t orice valoare calculat[ cu o alt[ soluie posibil[.
Dac[ funcia obiectiv =i restriciile sunt funcii liniare ]n raport cu variabilele de
decizie (variabilele de decizie apar numai la puterea I), atunci avem o problem[ de
programare liniar[.

Pentru rezolvarea problemelor de programare liniar[ exist[ mai multe metode analitice:
metoda Simplex, metoda grafic[. }n continuare vom prezenta modul ]n care pot fi rezolvate
problemele de programare liniar[ utiliz`nd foile de calcul (Microsoft Excel).

13.5. Utilizarea foilor de calcul pentru rezolvarea problemelor de
programare liniară
Foile de calcul sunt instrumente utilizate frecvent pentru prelucrarea datelor ]n multe
organizaii. Deoarece modelele matematice necesit[ de multe ori date care deja exist[ ]n alte
foi de calcul, este important a ]nelege modul ]n care o problem[ de programare liniar[ poate
fi rezolvat[ cu ajutorul foilor de calcul. }n continuare vom ilustra modul ]n care se poate
rezolva problema precedent[ folosind foile de calcul. }n acest scop va fi folosit programul de
calcul tabelar Microsoft Excel.
Un model de programare liniar[ transpus ]ntr-o foaie de calcul va conine urm[toarele
elemente:
1. Celulele care conin datele problemei.
2. Celulele pentru variabilele de decizie.
3. O celul[ care conine formula pentru calcularea funciei obiectiv.
4. Celulele care conin formulele pentru calcularea p[rii st`ngi a restriciilor.
5. Celulele care conin valorile p[rii drepte a restriciilor.
Transpunerea problemei ]ntr-o foaie de calcul presupune parcurgerea urm[toarelor
etape:
1. Introducerea datelor problemei ]n foaia de calcul.
2. Definirea celulelor care vor conine variabilele de decizie.
3. Definirea celulei care conine formula pentru funcia obiectiv.
4. Definirea celulelor care conin formulele din partea st`ng[ a resticiilor.
5. Definirea celulelor care conin valorile din partea dreapt[ a restriciilor.
}n figura 13.2 este prezentat[ soluia pentru problema prezentat[ anterior.
A
1

B

C

D

Firma ABC

2
3
4
5
6
7
8

Materiale
Material 1
Material 2
Material 3
Profit pe tona

0.4
0
0.6
40

Necesar de materiale
Aditiv
Solvent
0.5
0.2
0.3
30

Cantitate disponibila
20
5
21

9
10
11

Model

12

Variabile de decizie
Aditiv
Solvent

13
14
15

Tone produse

16
17

Maximizarea profitului
total
=B8*B15+C8*C15

18

Restrictii
Material 1
Material 2
21
Material 3
22
19
20

Cantitati utilizate
=B5*B15+C5*C15
=B6*B15+C6*C15
=B7*B15+C7*C15

<=
<=
<=

Cantitati disponibile
=D5
=D6
=D7

Figura 13.2 – Foaia de calcul utilizat[ pentru rezolvarea problemei

Remarcai c[ foaia de calcul este alc[tuit[ din dou[ p[ri: o parte conine datele
problemei =i alta conine modelul. Un avantaj al separ[rii datelor de model este c[ se poate
studia efectul modific[rii m[rimilor de intrare asupra modelului f[c`nd modific[ri doar ]n
zona care conine date. Un alt avantaj este c[ analistul poate dezvolta modelul independent
de datele disponibile.
}n continuare este prezentat fiecare pas al procedurii:
Pasul 1: Introducerea datelor problemei. Datele problemei apar ]n partea superioar[ a
foii de calcul. Fraciile care reprezint[ compoziia pentru obinerea unei tone de solvent =i
aditiv au fost convertite ]n valori zecimale =i introduse ]n domeniul B5:C7. Valoarea 0.4 din
celula B5 arat[ c[ fiecare ton[ de aditiv produs[ utilizeaz[ 0.4 tone de material 1, valoarea
0.5 din celula C5 arat[ c[ fiecare ton[ de solvent produs[ utilizeaz[ 0.5 tone de material 1,
etc. Celulele D5:D7 conin cantitatea disponibil[ din fiecare material, iar celulele B8 =i C8
conin profitul obinut prin v`nzarea unei tone de aditiv (40$), respectiv solvent (30$).
Pasul 2: Definirea celulelor care vor conine variabilele de decizie. Celulele B15 =i
C15 conin num[rul de tone de aditiv =i solvent produse.
Pasul 3: Definirea celulei care conine formula funciei obiectiv. Celula B17 conine
formula pentru calcularea funciei obiectiv: ˆ B8*B15‡ C8*C15 (profiul unitar pe tona de
aditiv * producia de aditiv ‡ profiul unitar pe tona de solvent * producia de solvent).
Pasul 4: Definirea celulelor care conin formulele din partea st`ng[ a restriciilor.
Celulele B20:B22 conin formulele care indic[ cum se calculeaz[ partea st`ng[ a restriciilor.
Pentru materialul 1, ]n celula B20 se introduce formula ˆB5*B15‡C5*C15 (cantitatea de
aditiv produs[*cantitatea de material 1 pentru a produce o ton[ de aditv ‡ cantitatea de
solvent produs[*cantitatea de material 1 pentru a produce o ton[ de solvent). }n mod similar
se vor introduce ]n celulele B21 =i B22 formulele pentru materialele 2 =i 3.
Pasul 5: Definirea celulelor care conin valorile din partea dreapt[ a restriciilor. }n
problema analizat[ valorile din partea dreapt[ a restriciilor reprezint[ cantit[ile de material
disponibile, valori care deja sunt introduse ]n domeniul D5:D7. Pentru materialul 1, ]n celula
D20 se introduce formla ˆD5, pentru matrialul 2, ]n celula D21 se introduce formula ˆD6, iar
pentru materialul 3 ]n celula D22 se introduce formula ˆD7.
Un avantaj al folosirii foilor de calcul este c[ dac[ una din valorile din partea care
conine datele problemei se modific[, valorile din model se modific[ automat..
Pentru a determina soluia optim[ a problemei se va folosi Solver-ul din Excel. Pa=ii
urm[tori arat[ modul ]n care poate fi folosit Solver-ul pentru obinerea soluiei optime pentru
o problem[ de programare liniar[.
1. Se selecteaz[ meniul Tools.
2. Se aplic[ comanda Solver.
3. Caseta Solver Parameters se completeaz[ ]n modul urm[tor:
• Set Target Cell: B17
• Se selecteaz[ opiunea Max.
• By Changing Cells:
B15:C15.
4. Caseta Add Constraint se completeaz[ astfel:
• Cell Reference: B20:B22
• Se selecteaz[ operatorul ‹ ˆ

• Constraint: D20:D22
• Se selecteaz[ butonul OK.
5. C`nd caseta Solver Parameters apare din nou se selecteaz[ butonul Options.
6. }n caseta Solver Options se selecteaz[:
• Assume Linear Model.
• Assume Non- Negative.
• Butonul Ok.
7. C`nd caseta Solver Parameters apare din nou se selecteaz[ butonul Solve.
8. }n caseta Solver Results se selecteaz[ Keep Solver Solution. Se selecteaz[
butonul Ok pentru a genera soluia optim[, afi=at[ ]n celulele B15, C15.
Soluia optim[ este 25 tone de aditiv =i 20 tone de solvent.

13.6. Analiza de senzitivitate şi interpretarea rezultatelor
Problemele din lumea real[ au loc ]ntr-un mediu ]n continu[ schimbare. Preul
materiilor prime, salariile, cererea, oferta, valoarea aciunilor, etc. sunt valori care pot varia
de la un moment la altul. Dac[ o problem[ de programare liniar[ este utilizat[ ]ntr-un astfel
de mediu, ne putem a=tepta ca anumii coeficieni ai problemei s[ se modifice ]n timp. Deci
va trebui s[ determin[m cum afecteaz[ aceste schimb[ri soluia optim[ a problemei de
programare liniar[ iniial[.
Cu analiza de senzitivitate se poate observa cum este afectat[ soluia optim[ de
modific[ri ale coefiecienilor dintr-o problem[ de programare liniar[. Utiliz`nd analiza de
senzitivitate se poate r[spunde la ]ntreb[ri de tipul:
1. Cum este afectat[ soluia optim[ de o modificare a unui coeficient din funcia
obiectiv?
2. Cum este afectat[ soluia optim[ de o modificare a valorii din partea dreapt[ a
restriciilor?
Deoarece obiectul analizei de senzitivitate este modul ]n care modific[rile specificate
afecteaz[ soluia optim[, analiza nu poate ]ncepe p`n[ c`nd nu se obine soluia problemei de
programare liniar[ iniial[. Din aceast[ cauz[, analiza de senzitivitate este de multe ori
numit[ =i analiz[ postoptimal[.
Revenind la problema prezentat[ anterior:
Max ( 40A ‡ 30S )
2
/5 * A ‡ ½ * Sˆ20
1
/5 * Sˆ5
3
/5 * A ‡ 3/10 * Sˆ21
AŽˆ0
SŽˆ0

Materialul 1
Materialul 2
Materialul 3

Soluia optim[ Aˆ25 tone de aditiv =i Sˆ20 tone de solvent s-a obinut pentru cazul ]n
care s-a considerat c[ profitul pe ton[ pentru aditiv este 40$, iar profitul pe ton[ pentru
solvent este de 30$.
Presupunem c[ datorit[ unor factori exteriori are loc o reducere a preurilor, ceea ce
determin[ o sc[dere a profitului de la 30$ pe ton[ la 25$ pe ton[ pentru solvent. }n acest caz
programul de producie de 25 de tone de aditiv =i 20 de tone de solvent este ]n continuare cel
mai bun? }n mod normal ar trebui s[ rezolv[m o nou[ problem[ de programare liniar[ cu
funcia obiectiv modificat[ 40*A‡25*S. Acest lucru nu este necesar, deoarece cu analiza de
senzitivitate putem determina ]n ce limite poate varia profitul pe tona de aditiv f[r[ ca soluia

optim[ s[ se modifice. Dac[ analiza de senzitivitate arat[ c[ 25 tone de aditiv =i 20 de tone de
solvent r[m`ne soluia optim[ at`ta timp profitul pe tona de solvent variaz[ ]ntre 20$ =i 40$,
agentul decizional poate considera c[ estimarea de 30$/ton[ este bun[. Dac[ analiza de
senzitivitate arat[ c[ 25 de tone de aditiv =i 20 de tone de solvent r[m`ne soluia optim[ at`ta
timp profitul pe tona de solvent variaz[ ]ntre 29.90$ =i 32$, managementul va trebui s[
reanalizeze acurateea estim[rii de 30$/tona de solvent.
Domeniul de optimalitate pentru fiecare coeficient al funciei obiectiv este domeniul de
valori ]n care acest coeficient poate varia far[ a modifica soluia optim[. Managerul va trebui
s[ analizeze cu atenie acei coeficieni din funcia obiectiv care au un domeniu de
optimalitate ]ngust, deoarece o mic[ modificare a acestora poate modifica soluia optim[.
Un alt aspect al analizei de senzitivitate se refer[ la modific[rile valorilor din partea
dreapt[ a restriciilor. Referindu-ne la aceea=i problem[, pentru soluia optim[ sunt utilizate
]n ]ntregime stocurile de material 1 =i 3. Ce se ]nt`mpl[ cu soluia optim[ =i profitul total dac[
se m[resc cantit[ile disponibile de material 1 =i 3?
Cu analiza de senzitivitate se poate determina cu c`t va cre=te profitul total dac[
cantitatea disponibil[ de material 1 sau 3 cre=te cu o ton[.
Pentru ca programul Excel s[ furnizeze un raport pentru realizarea analizei de
senzitivitate, c`nd se rezolv[ problema cu Solver-ul, ]n fereastra de dialog Solver Results,
seciunea Reports, se selecteaz[ Sensitivity (vezi lecia 12).

13.7. Interpretarea raportului Excel pentru analiza de senzitivitate
Raportul generat de Excel are structura prezentat[ ]n figura 13.3.
Microsoft Excel 9.0 Sensitivity Report
Worksheet: Firma ABC
Report Created: 28/07/2001 12:39:34 PM

Adjustable Cells
Cell
Name
$B$15 Tone produse Aditiv
$C$15 Tone produse Solvent

Final
Value
25
20

Reduced
Cost

Objective Allowable Allowable
Coefficient Increase Decrease
0
40
20
16
0
30
20
10

Constraints
Cell
$B$20
$B$21
$B$22

Name
Material 1 Cantitati utilizate

Final
Shadow
Constraint Allowable Allowable
Value
Price
R.H. Side
Increase Decrease
20 33.33333333
20
1.5
6
4
0
5
1E+30
1
21 44.44444444
21
9
2.25

Figura 13.3 – Raportul de analiz[ de senzitivitate
Raportul are dou[ seciuni Adjustable Cells =i Constraints. }n seciunea Adjustable
Cells se analizeaz[ coeficienii variabilelor de decizie din funcia obiectiv, iar ]n seciunea
Constraints sunt analizate valorile din partea dreapt[ a restriciilor.
Seciunea Adjustable Cells
}n coloana Cell sunt afi=ate celulele care conin coeficienii variabilelor de decizie din
funcia obiectiv, iar ]n coloana Name sunt afi=ate numele acestor celule.
Coloana Final Value conine valorile optime pentru variabilele de decizie. Pentru
problema analizat[ soluia este 25 de tone de aditiv =i 20 tone de solvent.
Coloana Reduced Cost. Pentru fiecare variabil[ de decizie, valoarea absolut[ din
Reduced Cost arat[ c`t de mult trebuie s[ creasc[ (pentru problemele de maximizare) sau s[

scad[ (pentru problemele de minimizare) coeficientul variabilei de decizie din funcia
obiectiv astfel ]nc`t variabila de decizie respectiv[ s[ aib[ valoare pozitiv[. Dac[ o variabil[
de decizie este pozitiv[ ]n soluia optim[, costul redus este 0. Pentru problema analizat[
ambele variabile de decizie au valori pozitive =i costurile reduse sunt 0. Dac[ de exemplu
pentru cantitatea de solvent s-ar fi obinut 0 ]n coloana Final Value =i –12.5 ]n coloana
Reduced Cost, interpretarea ar fi urm[toarea: profitul pe tona de solvent ar trebui s[ creasc[
la 30‡12.50ˆ42.50 pentru ca ]n soluia optim[ variabila de decizie ata=at[ cantit[ii de
solvent s[ aib[ o valoare pozitiv[. Altfel spus, pentru a produce solvent ar trebui ca profitul
pe tona de solvent s[ fie 42.50$.
Coloana Objective Coefficient conine valorile coeficienilor variabilelor de decizie
din funcia obiectiv, iar coloanele Allowable Increase =i Allowable Decrease conin valorile
pe baza c[rora se poate calcula domeniu de optimalitate pentru coeficientul respectiv
(cre=terea =i mic=orarea permis[). De exemplu, pentru aditiv:
40 − 16 ≤ C Aditiv ≤ 40 + 20
24 ≤ C Aditiv ≤ 60
Deci dac[ profitul pe tona de aditiv variaz[ ]ntre 24 =i 60, soluia optim[ de 25 tone de
aditiv =i 20 tone de solvent r[m`ne neschimbat[.
Pentru solvent:
30 − 10 ≤ CSolvent ≤ 30 + 20
20 ≤ CSolvent ≤ 50
Deci dac[ profitul pe tona de solvent variaz[ ]ntre 20 =i 50, soluia optim[ de 25 tone de
aditiv =i 20 tone de solvent r[m`ne neschimbat[.
Seciunea Constraints
Coloana Cell indic[ celulele care conin valorile din partea dreapt[ a restriciilor, iar
coloana Name conine numele acestor celule.
Valorile din coloana Final Value sunt valorile restriciilor (partea st`ng[) calculate
pentru soluia optim[. Pentru problema analizat[ valorile din coloana Final Value indic[
cantit[ile de material 1, 2 =i 3 necesare pentru a produce combinaia optim[ de 25 de tone de
aditiv =i 20 tone de solvent. Deci pentru soluia optim[ sunt necesare 20 tone de material 1, 4
tone de material 2 =i 21 tone de material 3.
Valorile din coloana Constraint RH sunt valorile iniiale ale problemei: 20 tone de
material 1, 5 tone de material 2, 21 tone de material 3 (cantit[ile disponibile). Pentru fiecare
restricie abaterea reprezint[ diferena dintre valoarea din coloana Constraint RH =i
valoarea din Final Value. Abaterea asociat[ materialului 1 este 20-20ˆ0 tone, pentru
materialul 2: 5-4ˆ1 ton[, iar pentru materialul 3: 21-21ˆ0 tone. Deci materialele 1 =i 3 sunt
utilizate ]n totalitate, iar din materialul 2 r[m`ne o ton[. Concluzia este c[ dac[ ar exista
cantit[i mai mari de material 1 sau 3 s-ar putea obine un profit total mai mare. Modul ]n
care modificarea acestor cantit[i influeneaz[ profitul este indicat ]n coloana Shadow Price
(preuri umbr[).
Preurile umbr[ arat[ cu c`t se modific[ (cre=tere/mic=orare) valoarea funciei obiectiv
la cre=terea/mic=orarea cu o unitate a valorii din partea dreapt[ a unei restricii.
}n cazul nostru, preul umbr[ de 33.33 pentru materialul 1 arat[ c[ o ton[ suplimentar[
de material 1 va cre=te profitul cu 33.33$. Deci, dac[ cantitatea disponibil[ de material 1 ar
cre=te de la 20 la 21, ceilali coeficieni r[m`n`nd constani, profitul total ar cre=te cu 33.33$,
ceea ce ]nseamn[ 1600‡33.33ˆ1633.33$.
Similar, dac[ cantitatea disponibil[ de material 3 ar cre=te de la 21 la 22, ceilali
coeficieni r[m`n`nd constani, profitul total ar cre=te cu 44.44$, ceea ce ]nseamn[
1600‡44.44ˆ1644.44$.

Valoarea 0 a preului umbr[ pentru materialul 2 arat[ c[ dac[ cantitatea disponibil[ de
material 2 ar cre=te, valoarea funciei obiectiv (profitul total) nu s-ar modifica.
Ultimele dou[ coloane Allowable Increase =i Allowable Decrease determin[ domeniul
]n care poate varia termenul din dreapta al unei restricii f[r[ a se modifica preurile umbr[.
De exemplu, consider`nd restricia pentru materialul 1, termenul din partea dreapt[ are
valoarea 20, cre=terea permis[ este 1.5 =i mic=orarea permis[ este de 6. +tim c[ cu un pre
umbr[ de 33.33$ , o ton[ ]n plus de material 1 va cre=te valoarea funciei obiectiv (profitul)
cu 33.33$, iar reducerea cantit[ii de material cu o ton[ va mic=ora valoarea funciei obiectiv
cu 33.33$. Valorile din Allowable Increase =i Allowable Decrease arat[ c[ preul umbr[ de
33.33$ este valabil pentru cre=teri de material 1 de p`n[ la 1.5 tone =i reduceri de pan` la 6
tone.
Domeniul de valori ]n care preul umbr[ este aplicabil se nume=te domeniu de
fezabilitate. Deci pentru materialul 1 domeniul de fezabilitate este ]ntre 20-6ˆ14 =i
20‡1.5ˆ21.5 tone. Pentru modific[ri ]n afara domeniului de fezabilitate problema trebuie
rezolvat[ din nou pentru a g[si noul pre umbr[.
Pentru restricia materialului 2 cre=terea permis[ este 1E‡30, deci 1030, un num[r foarte
mare. Putem interpreta aceast[ valoare ca o eviden[ a faptului c[ nu exist[ limit[ superioar[
pentru domeniul de fezabilitate a materialului 2. Cu alte cuvinte, oric`t material 2 ar fi
disponibil, valoarea funciei obiectiv nu s-ar modifica. Descre=terea permis[ (1) arat[ c[
limita minim[ a domeniului de fezabilitate pentru materialul 2 este 5-1ˆ4 tone. Deci dac[
pentru producie ar fi disponibile 4.5 tone de material 2, valoarea funciei obiectiv nu s-ar
modifica. Dac[ sunt disponibile mai puin de 4 tone va trebui s[ rezolv[m problema din nou
pentru a afla noua soluie =i preurile umbr[.
Pentru materialul 3, domeniul de fezabilitate este ]ntre 21-2.25ˆ18.75 tone =i 21‡9ˆ30
tone. Deci preul umbr[ de 44.44 este aplicabil dac[ termenul din partea dreapt[ a restriciei
(cantitatea de material disponibil) ia valori ]ntre 18.75 tone =i 30 tone.
Informaiile din raportul de analiz[ de senzitivitate se bazeaz[ pe presupunerea c[ doar
un coeficient se modific[, toi ceilali r[m`n`nd neschimbai.

Rezolvarea problemelor de transport

CAPITOLUL 14
REZOLVAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT
14.1. Probleme de transport
Problemele de transport apar frecvent ]n situaiile ]n care trebuie planificat modul de
distribuire al bunurilor de la produc[tori la consumatori. Obiectivul obi=nuit al acestor
probleme este minimizarea costurilor de transport. Modelele de transport sunt o variaie a
problemelor de programare liniar[ =i presupun urm[toarele:
1. Obiectivul este minimizarea costurior totale de transport.
2. Costurile de transport sunt funcii liniare ]n raport cu num[rul de unit[i
transportate.
3. Cererea =i oferta sunt exprimate ]n unit[i omogene.
4. Costurile de transport pe unitate nu variaz[ cu cantitatea transportat[.
Pentru a ilustra modul ]n care se pot rezolva problemele de transport prezent[m
urm[torul exemplu:
O companie dispune de trei fabrici =i patru centre de distribuie. Fabricile sunt plasate
]n Cluj, Bac[u =i Craiova. Capacit[ile de producie ale fabricilor sunt:
Fabrica
Capacitate de producie (unit[i)
Cluj
5000
Bac[u
6000
Craiova
2500
Total:
13.500
Centrele de distribuie sunt plasate ]n Deva, Ia=i, Bucure=ti, Bra=ov. Cererea pentru
produsele companiei ]n aceste centre este:
Centre de distribuie
Cerere (unit[i)
Deva
6000
Ia=i
4000
Bucure=ti
2000
Bra=ov
1500
Total:
13.500
Managementul ar dori s[ determine cantitatea care ar trebui transportat[ de la fiecare
fabric[ la fiecare centru de distribuie astfel ]nc`t costurile de transport s[ fie minime.
Figura 14.1 prezint[ graficul cu cele 12 rute posibile. Un astfel de graf este numit graf
de reea. Cercurile reprezint[ nodurile reelei. Liniile care unesc nodurile se numesc arcuri.
Fiecare punct de plecare =i sosire este reprezentat printr-un nod, iar fiecare rut[ posibil[ este
reprezentat[ printr-un arc. }n dreptul fiec[rui nod este trecut[ valoarea ofertei (pentru
capacit[ile de producie) sau a cererii (pentru centrele de distribuie). Sensul de deplasare
este indicat prin s[gei. Costurile unitare de transport pentru fiecare rut[ sunt prezentate ]n
tabelul 14.1 =i pe fiecare arc din figura 14.1.
Destinaie
Origine
1. Deva
2. Ia=i
3. Bucure=ti
4. Bra=ov
1. Cluj
3
2
7
6
2. Bac[u
7
5
2
3
3. Craiova
2
5
4
5
Tabelul 14.1 – Costurile unitare de transport pe fiecare rut[


Deva

5000

4000

Bucure=ti

2000

Bra=ov

1500

2

7
Bac[u

7

5
2

3

2
2500

Ia=i

3

Cluj

6

6000

6000

Craiova

5
4

5

Figura 14.1 – Graful de reea ata=at problemei
Pentru a rezolva problema de transport putem folosi programarea liniar[. Vom utiliza
variabile de decizie cu doi indici, primul indice indic[ nodul origine, al doilea nodul
destinaie. Astfel xij indic[ num[rul de unit[i transportate de la fabrica i la centrul de
distribuie j.
Costul unit[ilor transportate din Cluj este
ˆ 3*x11‡2*x12‡7*x13‡6*x14
Costul unit[ilor transportate din Bac[u este ˆ 7*x21‡5*x22‡2*x23‡3*x24
Costul unit[ilor transportate din Craiova este ˆ 2*x31‡5*x32‡4*x33‡5*x34
Suma acestor costuri este costul total de transport, valoare care trebuie minimizat[, deci
funcia obiectiv este:
Min (3*x11‡2*x12‡7*x13‡6*x14‡7*x21‡5*x22‡2*x23‡3*x24‡2*x31‡5*x32‡4*x33‡5*x34)
}n problemele de transport apar restricii deoarece fiecare fabric[ are o capacitate de
producie limitat[ =i fiecare centru de distribuie are o anumit[ cerere. Fabrica din Cluj are o
capacitate de producie de 5000 unit[i. Num[rul total de unit[i transportate din fabrica de la
Cluj este x11‡x12‡x13‡x14, deci restricia asociat[ acestei fabrici este:
x11‡x12‡x13‡x14 ≤ 5000
}n mod similar pentru celelalte fabrici avem:
x21‡x22‡x23‡x24 ≤ 6000 - pentru fabrica de la Bac[u.
x31‡x32‡x33‡x34 ≤ 2500 - pentru fabrica de la Craiova.
}n cele patru centre de distribuie, restricia va fi dat[ de faptul c[ cererea la centrul
respectiv trebuie s[ fie egal[ cu cantit[ile transportate aici.
x11‡x21‡x31‡x41 ˆ6000 - cererea la Deva
x12‡x22‡x32‡x42 ˆ4000 - cererea la Ia=i
x13‡x23‡x33‡x43 ˆ2000 - cererea la Bucure=ti

x14‡x24‡x34‡x44 ˆ1500 - cererea la Bra=ov
Combin`nd funcia obiectiv cu restriciile obinem modelul pentru problema de
transport:
Min (3*x11‡2*x12‡7*x13‡6*x14‡7*x21‡5*x22‡2*x23‡3*x24‡2*x31‡5*x32‡4*x33‡5*x34)
x11‡x12‡x13‡x14 ≤ 5000
x21‡x22‡x23‡x24 ≤ 6000
x31‡x32‡x33‡x34 ≤ 2500
x11‡x21‡x31‡x41 ˆ6000
x12‡x22‡x32‡x42 ˆ4000
x13‡x23‡x33‡x43 ˆ2000
x14‡x24‡x34‡x44 ˆ1500
xij≥0, iˆ1,2,3; jˆ1,2,3,4

14.2. Rezolvarea problemei în Excel
Foaia de calcul folosit[ pentru rezolvarea problemei este prezentat[ ]n figura 14.2.
A
1

B

C

D

E

F

G

H

Modelarea problemelor de transport

2
3
4
5
6
7
8

Origine
Cluj
Bacau
Craiova
Cerere

Deva
3
7
2
6000

Destinatie
Iasi
Bucuresti
2
7
5
2
5
4
4000
2000

Oferta
6
5000
3
6000
5
2500
1500

Brasov

9
10
11

Model

12

Cost minim

13

39500

14
15
16
17
18
19
20
21
22

Origine
Cluj
Bacau
Craiova
Total

Deva
3500
0
2500
6000
=
6000

Destinatie
Iasi
Bucuresti
1500
0
2500
2000
0
0
4000
2000
=
=
4000
2000

Brasov
0
1500
0
1500
=
1500

Total
5000
6000
2500

<=
<=
<=

5000
6000
2500

Figura 14.2 – Foaia de calcul ata=at[ problemei
Datele problemei sunt introduse ]n domeniul A1:F8. Costurile de transport sunt
coninute ]n domaniul B5:E7, capacit[ile de producie (oferta) ]n F5:F7, iar cererea din
centrele de distribuie ]n celulele B8:E8.
Elementele cheie care trebuie introduse ]n Excel sunt variabilele de decizie, funcia
obiectiv, partea st`ng[ =i partea dreapt[ a restriciilor.

Variabilele de
decizie

Celulele B17:E19 conin variabilele de decizie. Iniial toate
variabilele de decizie au valoarea 0.

Funcia
obiectiv

Pentru a calcula costul total, ]n celula C13 a fost introdus[ formula
ˆSUMPRODUCT(B5:E7,B17:E19).

Partea st`ng[ a
restriciilor

Celulele F17:F19 conin formulele pentru partea st`ng[ a
restriciilor asociate capacit[ilor de producie, iar
celulele
B20:E20 conin formulele pentru partea st`ng[ a restriciilor
asociate cererii din centrele de distribuie. Formulele utilizate sunt:
Celula F17: ˆSUM(B17:E17). Se copieaz[ F17 ]n F18:F19.
Celula B20: ˆSUM(B17:B19). Se copieaz[ B20 ]n C20:E20.

Partea dreapt[
a restriciilor

Celulele H17:H19 conin partea dreapt[ a restriciilor asociate
capacit[ilor de producie, iar celulele B22:E22 conin partea
dreapt[ a restriciilor asociate cererii din centrele de distribuie.
Aceste valori sunt introduse deja ]n datele iniiale ale problemei,
deci se vor utiliza formulele:
Celula H17: ˆF5. Se copieaz[ H17 ]n H18:H19.
Celula B22: ˆB8. Se copieaz[ B22 ]n C22:E22.

Se rezolv[ problema utiliz`nd Solver-ul. Caseta de dialog Solver Parameters se
completeaz[ ca ]n figura 14.3. Opiunile selectate sunt Assume Linear Model =i Assume
Non-Negative.

Figura 14.3 – Caseta de dialog Solver
Soluia optim[ arat[ c[ costul minim de transport este de 39500 u.m., iar ]n domeniul
B17:E19 sunt afi=ate cantit[ile care trebuie transportate pe fiecare rut[. Valoarea 0 indic[ c[
pe ruta respectiv[ nu se transport[ nimic.

14.3. Variaţii ale problemelor de transport
Oferta totala nu este egala cu cererea totala
}n multe cazuri oferta total[ nu este egal[ cu cererea total[. Dac[ oferta total[ dep[=e=te
cererea total[ nu este necesar[ nici o modificare ]n problema de programare liniar[. Excesul

de ofert[ va ap[rea ca o abatere ]n soluia problemei, iar aceste abateri pot fi interpretate ca
ofert[ neutilizat[ sau cantit[i netransportate.
Dac[ oferta total[ este mai mic[ dec`t cererea total[ modelul de programare liniar[ a
problemei de transport nu are o soluie fezabil[. Pentru rezolvarea problemei se creeaz[ o
ofert[ fictiv[ astfel ]nc`t excesul de cerere s[ fie satisf[cut =i se atribuie costurilor de
transport din acest punct valoarea 0. }n acest mod problema de programare liniar[ va avea
soluie.
Maximizarea functiei obiectiv
}n unele probleme obiectivul este g[sirea unei soluii care maximizeaz[ venitul sau
profitul. Utiliz`nd venitul sau profitul unitar ]n coeficienii funciei obiectiv, se va rezolva o
problem[ de maximizare ]n locul uneia de minimizare. Modific[rile nu afecteaz[ restriciile.
Rute neacceptate
Stabilirea unei rute de la fiecare nod origine la fiecare nod destinaie nu este
]ntotdeauna posibil[. Pentru a rezolva aceste situaii se elimin[ din graful de reea arcele
respective, iar din modelul de programare liniar[ variabilele de decizie corespunz[toare.
Pentru a face c`t mai puine modific[ri ]n foaia de calcul, pentru aceste rute se stabilesc
costuri foarte mari, astfel ]nc`t pe aceste rute se vor efectua transporuri doar dac[ nu exist[
alte soluii fezabile.
Rute cu capacitati limitate
Pentru rutele cu capacit[i limitate se introduc restricii suplimentare. De exemplu, dac[
mijloacele de transport pe ruta Craiova – Deva nu pot transporta mai mult de 1000 de unit[i
se va introduce restricia x13≤1000.
Modelul general de programare liniar[ al unei probleme de transport cu m puncte de
origine =i n puncte de destinaie este:
m

Min

n

∑∑c
i =1 j =1
n

ij

x ij

∑

x ij ≤ s i

∑

x ij = d

j =1
m

i =1

x ij ≥ 0

i = 1, 2 ,..., m
j

Oferta

j = 1, 2 ,..., n

Cererea

pentru toti i si j

unde:
i ˆ index-ul pentru punctele de origine
j ˆ index-ul pentru punctele de destinaie
xij ˆ num[rul de unit[i transportate de la originea i la destinaia j
cij ˆ costul unitar de transport din originea i la destinaia j
si ˆ oferta sau capacitatea din originea i
dj ˆ cererea la destinaia j

Rezolvarea problemelor de alocare

CAPITOLUL 15
REZOLVAREA PROBLEMELOR DE ALOCARE
15.1. Probleme de alocare
Problemele de alocare pot ap[rea ]n diverse situaii de luare a deciziilor. Problemele
tipice sunt: alocarea lucr[rilor pe ma=ini, repartizarea personalului ]n diverse centre
teritoriale, repartizarea agenilor care s[ efectueze anumite activit[i. O caracteristic[ distinct[
este c[ unui agent ]i este asignat[ o singur[ activitate =i se ]ncearc[ optimizarea unui obiectiv,
cum ar fi minimizarea costurilor, minimizarea timpului, maximizarea profitului, etc.
Pentru a ilustra modul de rezolvare a problemelor de alocare vom considera urm[torul
exemplu: Firma ABC, specializat[ ]n studii de marketing are trei clieni noi. Fiec[rui proiect
]i trebuie alocat un lider de proiect. Timpul necesar pentru realizarea proiectului depinde de
experiena =i abilitatea liderului de proiect. }n prezent sunt disponibile doar trei persoane,
proiectele au aproximativ aceea=i prioritate =i nu pot fi realizate ]n acela=i timp. Conducerea
firmei trebuie s[ stabileasc[ ce lider de proiect va coordona fiecare studiu astfel ]nc`t cele trei
studii s[ se termine ]n timpul total cel mai scurt. Unui lider i se poate aloca doar un proiect.
Cu trei clieni =i trei studii sunt posibile 9 alternative. Timpii estimai pentru finalizarea
fiec[rui proiect sunt prezentai ]n tabelul 15.1.
Client
Lider de proiect
1
2
3
Ionescu
10
15
9
Popescu
9
18
5
Georgescu
6
14
3
Tabelul 15.1 – Timpii estimai pentru terminarea fiec[rui proiect
Figura 15.1 prezint[ graful de reea pentru problema analizat[.

1

Client
1

1

Client
2

10

1
Ionescu

1

Client
3

1

15
9
9
1

2
Popescu

18
5

6
1

3
Georgescu

14
3

Figura 15.1 – Graful de reea ata=at problemei


Nodurile corespund liderilor de proiect =i clienilor, iar arcurile reprezint[ repartiz[rile
posibile ale liderilor de proiect clienilor.
Oferta ]n fiecare nod origine este 1 =i cererea ]n fiecare nod destinaie este 1. Costul
repartiz[rii unui lider de proiect la un client este timpul necesar pentru realizarea studiului.
Observai asem[narea dintre problemele de alocare =i cele de transport, problemele de alocare
fiind un caz special de probleme de transport ]n care toate ofertele =i cererile au valoarea 1,
iar cantitatea transportat[ pe fiecare arc este 0 sau 1.
Problema poate fi rezolvat[ folosind metoda program[rii liniare. Avem nevoie de o
variabil[ pentru fiecare arc =i o restricie pentru fiecare nod. Vom utiliza variabile de decizie
cu doi indici xij - repartizarea liderului i la proiectul j.
Deci vom avea 9 variabile de decizie:
1, daca liderul i este repartizat clientului j
xij = 
0, in celelalte cazuri
unde iˆ1,2,3 =i jˆ1,2,3.
Utiliz`nd aceste notaii:
Timpul necesar pentru finalizarea proiectelor de c[tre Ionescu este 10x11‡15x12‡9x13
(doar una din variabilele de decizie poate lua valoarea 0).
Timpul necesar pentru finalizarea proiectelor de c[tre Popescu este 9x21‡18x22‡5x23
Timpul necesar pentru finalizarea proiectelor de c[tre Georgescu este 6x31‡14x32‡3x33
Suma acestor timpi furnizeaz[ num[rul total de zile pentru a finaliza cele trei studii de
pia[. Astfel, funcia obiectiv este:
Min (10x11‡15x12‡9x13‡9x21‡18x22‡5x23‡6x31‡14x32‡3x33)
Restriciile reflect[ faptul c[ fiecare lider poate fi repartizat cel mult unui client =i
fiecare client trebuie s[ aib[ repartizat un lider. Aceste restricii sunt:
x11 + x12 + x13 ≤ 1
− repartizarea lui Ionescu
x21 + x22 + x23 ≤ 1 − repartizarea lui Popescu
x31 + x32 + x33 ≤ 1 − repartizarea lui Georgescu
x11 + x21 + x31 = 1
− clientul 1
x12 + x22 + x32 = 1
− clientul 2
x13 + x23 + x33 = 1
− clientul 3
Combin`nd funcia obiectiv cu restriciile obinem urm[torul model:
Min (10x11‡15x12‡9x13‡9x21‡18x22‡5x23‡6x31‡14x32‡3x33)
x11 + x12 + x13 ≤ 1
− repartizarea lui Ionescu
x21 + x22 + x23 ≤ 1 − repartizarea lui Popescu
x31 + x32 + x33 ≤ 1 − repartizarea lui Georgescu
x11 + x21 + x31 = 1
− clientul 1
x12 + x22 + x32 = 1
− clientul 2
x13 + x23 + x33 = 1
− clientul 3
xij ≥ 0

pentru i = 1,2,3; j = 1,2,3

Excel curs-1

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Similar to Excel curs-1

Similar to Excel curs-1 (20)

More from zfrunzescu

More from zfrunzescu (17)

Excel curs-1