revision de EB8

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CCS Mathématiques Oct 2015
EB9 Révision( EB8)
Nom :……………………………………
 Lieu géométriques d’un point variable M.
Points fixes Point variable M Lieu géométrique du M
A et B MA= MB Médiatrice du segment [AB]
E et F E , F et M sont alignés La droite (EF)
Point O OM= b (constant) Cercle de centre O et de rayon b
Droite (l) Distance de M à (l)= c
(constant)
(𝑙1) ou ( 𝑙2) ;
(𝑙1) et ( 𝑙2) sont parallèles à (l) et a
distance b de (l).
Angle x𝑂̂y M restant équidistant de [Ox)
et [Oy)
Bissectrice (extérieure ou intérieure)
de x𝑂̂y
( 𝑑1)// ( 𝑑2) M restant équidistant de( 𝑑1)
et ( 𝑑2)
M appartient à la droite (d) //
( 𝑑1)//( 𝑑2)
Et a même distance de ( 𝑑1)et ( 𝑑2)
 Equations
Si ( 𝑎𝑥 + 𝑏)( 𝑐𝑥 + 𝑑) = 0, alors 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑒𝑡𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Si 𝑥² − 𝑘 = 0 , alors 𝑥 = √ 𝑘 ou 𝑥 = −√ 𝑘
 Inéquation
Si 𝑎𝑥 − 𝑏 > 0 𝑒𝑡𝑎 > 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝑥 >
𝑏
𝑎
Si 𝑎𝑥 − 𝑏 > 0 𝑒𝑡𝑎 < 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝑥 <
𝑏
𝑎
 Puissances ;facteurs premiers ; PGCD ; PPCM
𝑎 𝑛
× 𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛+𝑚
; 𝑎 𝑛
÷ 𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛−𝑚
; ( 𝑎 𝑛) 𝑚
= 𝑎 𝑛×𝑚
( 𝑎 × 𝑏) 𝑛
= 𝑎 𝑛
× 𝑏 𝑛
; (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
; 𝑎0
= 1 ( 𝑎 ≠ 0); 𝑎1
= 𝑎
900 = 2² × 3² × 5² ; 140 = 2² × 5 × 7 ; 1300 = 2² × 5² × 13
𝑃𝐺𝐶𝐷(900;140 ; 1300)= 2² × 5
𝑃𝑃𝐶𝑀(900;140;1300) = 2² × 3² × 5² × 7 × 13.
 Identités
( 𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²
( 𝑎 − 𝑏)2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2

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( 𝑎 − 𝑏)( 𝑎 + 𝑏) = 𝑎² − 𝑏²
 Le théorème des milieux
 Dans un triangle, le segment joignant les milieux de
deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté
et égal à sa moitié.
𝑀𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑑𝑒[ 𝐴𝐵]
𝑁𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑑𝑒 [𝐴𝐶]
} MN =
𝐵𝐶
2
Et (MN) // (BC)
 Dans un trapèze, le segment joignant les
milieux des côtés non-parallèles est
parallèle aux deux bases et vaut la moitié de
la somme des longueurs de deux bases.
M et N sont les milieux respectifs de [AD]
et [BC].
- [MN] est la base moyenne de ABCD.
- (AB)// (MN)// (CD)
- MN =
𝐴𝐵+𝐶𝐷
2
 Milieu : A( a ; b) ; B( c ; d)
Si M milieu de [AB], alors 𝑥 𝑀 =
𝑎+𝑐
2
et 𝑦 𝑀 =
𝑏+𝑑
2
 Triangle rectangle
 Théorème de Pythagore dans un triangle
rectangle :
- Si B𝐴̂C= 90° alors : 𝐵𝐶² = 𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶².
- Si 𝐵𝐶2
= 𝐴𝐵2
+ 𝐴𝐶², alors B𝐴̂C= 90°.
 Deux triangles rectangles sont égaux ; si les deux triangles ayant
l’hypoténuse égale et un côté de l’angle droit sont égaux.
 Un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est un
côté du triangle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est
son hypoténuse

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 Si dans un triangle, la longueur d’un côté vaut la
double de celle de la médiane relative à
l’hypoténuse, alors ce triangle est rectangle et ce
côté est son hypoténuse.
- M milieu de [BC]
- AM =
𝐵𝐶
2
Ou BC = 2AM Ou AM=CM = MB
- Alors ABC est un triangle rectangle en A.
 Alors comment on peut démontrer qu’un triangle est rectangle ?
1- Un angle droit.
2- Théorème de Pythagore.
3- Théorème de milieux.
4- ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC].
 Translation
- Un translation conserve : l’alignement des points, les longueurs, ;a parallélisme, les
angles et les aires des surfaces.
- Le translaté d’une figure est une figure qui lui est égale ( une figure est son translaté
sont égaux)
- Si M est la translaté ( l’image) de N par une translation de vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , alors 𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
- Deux vecteurs sont s’ils ont même direction , même sens, même module.
 Arcs et angles
On considère un cercle de centre O et de rayon R,
un angle A𝑶̂ 𝑩 qui intercepte l’arc 𝑨𝑩̂ .
 Par Convention : 𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐵̂ = 𝐴𝑂̂ 𝐵
 L’aire du cercle est 𝜋𝑅².
 Le périmètre du cercle est 2𝜋𝑅.
 La longueur de l’arc 𝐴𝐵̂ =
𝜋𝑅 ×𝑚𝑒𝑠𝐴𝐵̂
180°
 L’aire du secteur circulaire
𝐴𝑂𝐵̂=
𝜋𝑅²×𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐵̂
360°

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 Angles et arcs
𝐵𝐶̂ 𝐴 =
𝑚𝑒𝑠𝐴𝐵̂
2
𝐷𝐴̂ 𝑢 =
𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐷̂
2
𝐴𝐸̂ 𝐵 =
𝑚𝑒𝑠𝐴𝐵̂ + 𝑚𝑒𝑠𝐶𝐷̂
2
𝐵𝐴̂ 𝐶 =
𝑚𝑒𝑠𝐵𝐶̂ − 𝑚𝑒𝑠𝐷𝐸̂
2

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 Aires et périmètres
 L’aire d’un carré= 𝐶² où c = côté.
Le périmètre d’un carré= 4C
 L’aire d’un rectangle = L× 𝑙 où l= largeur et L= longueur
Le périmètre d’un rectangle = 2(𝐿 + 𝑙)
 L’aire d’un trapèze =
(𝐵+𝑏)×ℎ
2
où b = petit base , B= grand base et h= hauteur.
 L’aire d’un losange
𝐷×𝑑
2
où d et D sont les diagonales
 Trapèze
- Un trapèze est dit isocèle si les côtés non parallèles sont égaux
- Un trapèze est dit isocèle si les diagonales sont égales.
- L’aire du trapèze est égale à
ℎ×(𝑏+𝐵)
2
 Droites parallèles et angles
Si deux droites sont parallèles et coupées par un
sécante alors :
- Angles correspondants sont égaux.
- Angles alternes sont égaux.