Guia de matematicas

Matem´ticas Pre-Universitarias
a

Omar Yam1, Norma Palacios

Verano-2008

1 Universidad de Quintana Roo, Divisi´n de Ciencias e Ingenir´
o ıa

´
Indice

´
1 ALGEBRA 3
1.1 Los N´ meros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . 3
1.1.1 Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Valor Absoluto de un N´ mero Real . . . . . . .
u . . . . . . . . 7
1.1.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Exponentes y Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Leyes de los Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Ra´ n-´sima Real de un N´ mero Real. . . . . .
ız e u . . . . . . . . 9
1.2.3 Propiedades de las Ra´ n-´simas . . . . . . .
ıces e . . . . . . . . 9
1.2.4 Definiciń de Exponentes Racionales . . . . . .
o . . . . . . . . 10
1.2.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Factorizaciń y Productos Notables . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 11
1.3.1 Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 F´rmulas de Factorizaciń . . . . . . . . . . . .
o o . . . . . . . . 12
1.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una Variable . . . . . . . . 13
1.4.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Variable . . . . . . . . . 13
1.4.2 Guias para Resolver Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 La Ecuaciń Cuadr´tica . . . . . . . . . . . . .
o a . . . . . . . . 16
1.5 Sistemas de Ecuaciones de dos Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 GEOMETR´
IA 25

2.1 ´
Angulos y Cantidades Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
´
2.1.1 Angulos Agudos, Rectos y Obtusos . . . . . . . . . . . . . . . 26

´
2.1.2 Angulos Complementarios y Suplementarios . . . . . . . . . . 26
2.2 Trińgulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Rectas Notables en el Trińgulo . . . . . . .
a . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Clasificaciń de los Trińgulos . . . . . . . .
o a . . . . . . . . . . 27
2.2.3 El Teorema de Pit´goras . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . 28
2.3 Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iii

iv ´
INDICE

2.4 Circunferencia y C´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Vol´ menes . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Paralelep´ıpedo Rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Cil´ındro Circular Recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.3 Cono Circular Recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.4 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 TRIGONOMETR´ IA 37
3.1 Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Signos de las Funciones Trigonom´tricas . .
e . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Funciones Trigonom´tricas de 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ ,
e 270 ◦ y 360 ◦ . . . 38
3.1.3 Funciones Trigonom´tricas de 30 ◦ , 45 ◦ y 60 ◦
e . . . . . . . . . . 40
3.2 Soluciń de Trińgulos Rectńgulos . . . . . . . . .
o a a . . . . . . . . . . 41
3.3 Leyes de Senos y Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Resolviendo Trińgulos Generales . . . . .
a . . . . . . . . . . . 42
3.4 Identidades y Ecuaciones Trigonom´tricas . . . .
e . . . . . . . . . . . 43
3.4.1 Funciones Pares e Impares y Periodicidad . . . . . . . . . . . 44
o o ´
3.4.2 F´rmulas de Adiciń de Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.3 Ecuaciones Trigonom´tricas . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . 45

3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

´
INDICE v

El presente material ha sido dise˜ ado para cubrir las ´reas b´sicas, de las matem´ticas,
n a a a
que se requieren para poder cursar con exito los programas acad´micos del ´rea de
e a
Ingenier´ que se ofrecen en la Divisi´n de Ciencias e Ingenier´ de la Universidad
ıa o ıas
de Quintana Roo. El material se dividi´ en tres cap´
o ıtulos que corresponden a las
´reas de: ´lgebra, geometr´ y trigonometr´ A pesar de no ser un tratado profundo
a a ıa ıa.
de cada uno las ´reas mencionadas. Cada cap´
a ıtulo contiene el material necesario
para un breve repaso de conceptos y m´todos que sin duda han sido cubiertos con
e
anterioridad. Finalmente, se pretende que el contenido sirva como material de apoyo
para cursos posteriores.

Omar Yam
Divisi´n de Ciencias e Igenier´
o ıa
Universidad de Quintana Roo

CAP´
ITULO 1
´
ALGEBRA

a ´
La palabra ´lgebra proviene del libro Arabe Hisˆb al-Jabr w’al-Muqabala escrito
a
por al-Khowarizmi. El t´
ıtulo se refiere a la transposiciń y combinaciń de t´rminos,
o o e
dos procesos usados en la resoluciń de ecuaciones. La traducciń latina del t´
o o ıtulo
fue acortada a Aljabr de donde se deriva la palabra ´lgebra.
a

1.1 Los N´ meros Reales
u
Generalment en los cursos de ´lgebra de bachillerato se cominenza con el conjunto de
a
los n´meros naturales, N = {1, 2, 3, . . . }. Este conjunto est´ asociado con la primera
u a
operaciń que se cre´ realiz´ el hombre: el conteo. Con este enfoque surge de manera
o e o
l´gica la necesidad de representar la ausencia de elementos: surge el cero. As´ el con-
o ı,
junto de los n´ meros naturales junto con el cero forman el conjunto de los n´ meros
u u
enteros no-negativos. Si a este ultimo conjunto le agregamos los enteros negativos
´
obtenemos el conjunto de los n´meros enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }. M´s
u a
tarde se observ´ el problema de poder expresar fracciones de una unidad. La
o
a
soluciń para este problema fue la apariciń de los n´meros racionales Q = { : a y
o o u
b
b son enteros y b es distinto de cero}. Con la apriciń de los racionales se cre´ que
o ıa
cualquier operaciń propuesta se pod´ resolver. Sin embargo, el problema de hayar
o ıa
un n´ mero tal que elevado al cuadrado de como resultado dos no ten´ soluciń en
u ıa o
2
los racionales, es decir, la soluciń de x = 2, es un n´ mero irracional. La apariciń
o u o
de estos n´ meros vino a completar un conjunto de n´ meros m´s extenso que es
u u a
conocido como el conjundo de los n´meros reales el cual es denotado por R.
u

Propiedades de los N´ meros reales. Si a y b son n´ meros reales, tenemos:
u u

• Propiedad de cerradura para la suma: a + b ∈ R
Para cada par de n´ meros reales a, b existe un n´ mero real u nico a + b,
u u ´
llamado la suma de a y b

Ejemplo: 3 + 6 es un n´ mero real
u

3

4 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

• Propiedad de cerradura para la multiplicaciń: ab ∈ R
o
Para cada par de n´ meros reales a, b existe un n´ mero real unico ab, llamado
u u ´
el producto de a y b

Ejemplo: 4 · 7 es un n´ mero real
u

• Propiedad conmutativa de la adiciń: a + b = b + a
o
Cuando dos n´ meros son sumados, el orden no importa.
u

Ejemplo: 7 + 3 = 3 + 7

• Propiedad conmutativa de la multiplicaciń: ab = ba
o
Cuando dos n´ meros son multiplicados el orden no importa.
u

Ejemplo: 3 · 5 = 5 · 3

• Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c)
Cuando tres n´ meros son sumados, no importa cuales dos son sumados primero.
u

Ejemplo: (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)

• Propiedad del elemento identidad para la suma: a + 0 = a
El cero es el elemento identidad para la suma

Ejemplo: 3 + 0 = 3

• Propiedad del elemento identidad para la multiplicaciń: a · 1 = a
o
El uno es el elemento identidad para la multiplicaciń
o

Ejemplo: 9 · 1 = 9

• Propiedad del inverso aditivo: a + (−a) = 0
Para cada n´ mero real a, existe un n´ mero real (−a) llamado el inverso aditivo
u u
de a

Ejemplo: 3 + (−3) = 0
1
• Propiedad del inverso multiplicativo: a · a
=1
1
Para cada n´ mero real a, distinto de cero, existe un n´ mero real ( a ) llamado
u u
el inverso multiplicativo de a
1
Ejemplo: 5 · 5
=1

´
1.1. LOS NUMEROS REALES 5

• Propiedad asociativa de la multiplicaci´n: (ab)c = a(bc)
o
Cuando tres n´ meros son multiplicados, no importa cuales dos son mutiplica-
u
dos primero.

Ejemplo: (3 · 7) · 5 = 3 · (7 · 5)

• Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac
Cuando se multiplica un n´ mero con la suma de otros dos n´ meros, se tiene
u u
el mismo resultado que al multiplicar el n´ mero con cada uno de los t´rminos
u e
y despu´s sumar los resultados.
e

Ejemplo: 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

1.1.1 Leyes de los signos
Si a y b son dos n´ meros reales cualesquiera, se tienen las siguientes leyes de los
u
signos

• (−1)a = −a
Ejemplo: (−1)5 = −5

• −(−a) = a
Ejemplo: −(−5) = 5

• (−a)b = a(−b) = −(ab)
Ejemplo: (−5)7 = 5(−7) = −(5 · 7)

• (−a)(−b) = ab
Ejemplo: (−4)(−3) = 4 · 3

• −(a + b) = −a − b
Ejemplo: −(3 + 5) = −3 − 5

• −(a − b) = b − a
Ejemplo: −(5 − 8) = 8 − 5

6 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

1.1.2 Operaciones con Fracciones
Dados a, b, c y d, n´ meros reales con b y d diferentes de cero se cumplen las siguientes
u
propiedades.
a c
• Igualdad de fracciones: = , si y solo si, ad = bc
b d
Dos fracciones son iguales si y solamente si son iguales sus productos cruzados.
2 6
Ejemplo: = , entonces 2 · 9 = 3 · 6
3 9

a c ac
• Multiplicaciń de fracciones:
o · =
b d bd
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores.
2 5 2·5 10
Ejemplo: · = =
3 7 3·7 21
a c a d
• Divisiń de fracciones:
o ÷ = ·
b d b c
Para dividir fracciones, se invierte el divisor y se procede como en la multipli-
caciń. Nota: En este caso, puesto que el divisor debe ser distinto de cero, se
o
requiere que tanto c como d sean distintos de cero.
2 5 2 7 14
Ejemplo: ÷ = · =
3 7 3 5 15
a b a+b
• Suma de fracciones con el mismo denominador: + =
c c c
Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores
y se mantine el mismo denominador.
2 7 2+7 9
Ejemplo: + = =
5 5 5 5
a c ad + bc
• Suma de fracciones con diferentes denominadores: + =
b d bd
Para sumar fracciones con diferentes denominadores, el numerador es la suma
de los productos cruzados y el denominador es la multiplicaciń de los denom-
o
inadores.
2 3 2·7+3·5 29
Ejemplo: + = =
5 7 35 35
• Cancelaciń de n´ meros con factores comunes en el numerador y el denomi-
o u
ac a
nador: =
bc b
Es posible cancelar factores comunes en el numerador y el denominador y el
resultado no se altera.
2·5 2
Ejemplo: =
3·5 3

´
1.1. LOS NUMEROS REALES 7

1.1.3 Valor Absoluto de un N´ mero Real
u
• Si a es un n´ mero real, entonces el valor absoluto de a es
u

a si a ≥ 0
|a| =
−a si a < 0

Ejemplos:

i) | 3 |= 3

ii) | −11 |= 11

Nota: El valor absoluto siempre es positivo

1.1.4 Problemas
Realizar las siguientes operaciones
3 2
1. +
5 3
17
2. − 20
19
a
3. +b
2b
−2
4. +1
3
2 2
5. ·
3a 3a
7 5
6. ·
8 6
a
7. ÷ b
b
−9 −10
8. ÷
5 27
9. Veriﬁcar las siguientes expresiones

−13 −143
a) =
17 187
−3a 6ab
b) = 2
b 2b
10. Simpliﬁque las siguientes expresiones

8 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

x
1+ y
a)
x+y
1− x
y
b)
x+y
x+y
b)
1+ x
y

11. Resolver para n las ecuaciones siguientes

a) |n| = 9
b) |n + 1| = 9
3 2
c) 2n − 5
= 3

12. Hallar los valores m´s simples de las siguientes expresiones si a = −2, b = 1,
a
1
c=2yd= 2

a) (a − b) (c − a2 )
b) 2ab (a − 4d)

1.2 Exponentes y Radicales
Si a es cualquier n´ mero real y n es un entero positivo, entonces la n-´sima po-
u e
tencia de a es
an = a · a · · · · · a
n factores
El n´ mero a es llamado la base y n es llamado el exponente.
u
Si a = 0 es cualquier n´ mero real y n es un entero positivo, entonces
u
a0 = 1
1
a−n = n
a

1.2.1 Leyes de los Exponentes
• Multiplici´n de potencias con la misma base: am an = am+n
o
Para multiplicar dos potencias con la misma base, se conserva la base y se
suman los exponentes.

Ejemplo: a2 a5 = a2+5 = a7
am
• Divisi´n de potencias con la misma base:
o n
= am−n
a
Para dividir dos potencias con la misma base, se conserva la base y se restan
los exponentes.

1.2. EXPONENTES Y RADICALES 9

a7
Ejemplo: 2 = a7−2 = a5
a
• Potencia de una potencia: (am )n = amn
Para elevar una potencia a una nueva potencia, se conserva la base y se mul-
tiplican los exponentes.
2
Ejemplo: (a7 ) = a7·2 = a14

• Potencia de un producto: (ab)n = an bn
Para elevar un producto a una potencia, cada factor debe ser elevado a la
potencia.

Ejemplo: (ab)8 = a8 · b8
a n an
• Potencia de una fracciń:
o = n
b b
Para elevar una fracciń a una potencia se elevan ambos, el numerador y el
o
denominador, a la potencia.
a 7 a7
Ejemplo: =
b b7

1.2.2 Ra´ n-´sima Real de un N´ mero Real.
ız e u
Si n es cualquier entero positivo, entonces cualquier n´ mero real tal que cuando se
u
eleva a la n-´sima potencia, da el n´ mero real a, es una ra´ n-´sima de a.
e u ız e
Si n es cualquier entero positivo, entonces la n-´sima ra´ z principal de a es
e ı
definida como: √n
a = b significa bn = a.
Si n es par, se debe tener a ≥ 0 y b ≥ 0.

1.2.3 ıces n-´simas
Propiedades de las Ra´ e
√ √ √
• n
ab =
n
anb
√ √ √
Ejemplo: 3 −8 · 27 = 3 −8 3 27 = (−2) (3) = −6.
√ √ √ √ √
Ejemplo: 250 = 25 · 10 = 25 10 = 5 10
√
a n
a
• n
= √
b n
b
√
4
4 16 16 2
Ejemplo: = √ =
81 4
81 3
√
100 100 10
Ejemplo: = √ = =2
25 25 5

10 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

√ √
• m n
a= mn
a
√√
3
Ejemplo: 729 = 6 729 = 3
√
• n an = a si n es impar.

Ejemplo: 3
(−5)3 = −5
√5
Ejemplo: 25 = 2
√
• n an = |a| si n es par.

Ejemplo: 4
(−3)4 = |−3| = 3

1.2.4 Definiciń de Exponentes Racionales
o
m
Para cualquier exponente racional , donde m y n son enteros y n > 0, se define
n
m √ m
an = n a

o, equivalentemente, √
m
an = n
am
Si n es par, entonces se debe tener a ≥ 0.

1.2.5 Problemas
Efectuar las operaciones indicadas

1. a4 · a2 · a3

2. (a + b)3 (a + b)4

3. a (a + 3)3 a3 (a + 3)6
3
(3x2 )
4.
(2x4 )2

10m6 n
e)
15m3 n
(m + n)15
5.
(m + n)3

4m5 8m5
6. ÷
5n4 15n3

´
1.3. FACTORIZACION Y PRODUCTOS NOTABLES 11

25
7. 49
√
8. 4m2
√
9. 3 −8m3
1/2
16
10.
a2 b4
−1/3
−27
11.
a6 b6

1.3 Factorizaciń y Productos Notables
o
Una variable es una letra que puede representar culquier n´ mero de un conjunto
u
de n´ meros dado. Una constante representa un n´ mero fijo. El dominio de una
u u
variable es√ conjunto de valores que la variable puede tomar. Por ejemplo en la
el
expresiń x el dominio de x es el conjunto de todos los n´ meros reales mayores
o u
o igual a cero, en simbolos {x | x ≥ 0}. Las expresiones algebraicas se obtienen
de variables y constantes relacionadas usando sumas, restas, multiplicaciones, di-
visiones, exponenciaci ń y radicaciń. Las expresiones algebraicas, m´s simples,
o o a
obtenidas usando s´lo sumas, restas y multiplicaciones son llamadas polinomios. La
o
forma general de un polinomio de grado n en la variable x es

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0

donde a0 , a1 , . . . , an son constantes y an = 0. El grado del polinomio es la m´xima
a
potencia de la variable. Cualquier polinomio es la suma de t´rminos de la forma
e
k
ax , llamados monomios, donde a es una constante y k es un entero no-negativo.
Un binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios,
y as´ sucesivamente. Con esto, 7x6 + 4x es un binomio de grado 6, mientras que
ı
173x5 es un monomio de grado 5.

1.3.1 Productos Notables
• (A − B) (A + B) = A2 − B 2

• (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2

• (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2

• (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3

• (A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3

12 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

1.3.2 F´rmulas de Factorizaci´n
o o
• Diferencia de cuadrados: A2 − B 2 = (A − B) (A + B)

• Cuadrado perfecto: A2 + 2AB + B 2 = (A + B)2

• Cuadrado perfecto: A2 − 2AB + B 2 = (A − B)2

• Diferencia de cubos: A3 − B 3 = (A − B) (A2 + AB + B 2 )

• Suma de cubos: A3 + B 3 = (A + B) (A2 − AB + B 2 )

1.3.3 Problemas
Efectuar las siguientes operaciones

2 3 2 3
1. x
+ y x
− y

2
2. (2x + 3y 2 )

3. (x + 2 − y)3

4. Factorizar las siguientes expresiones

a) 8a3 + 1
1
b) x2 − x + 4

c) 8 − (m − n)3

5. Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadr´ticas
a

a) 2x2 + 5x + 2 = 0
b) x2 − 12 = x

6. Hallar dos n´ meros cuya suma sea 8 y cuyo producto sea −33.
u

7. Una pista de patinaje mide 100 m de largo por 70 m de ancho. El propietario
desea aumentar el ´rea a 1300 m2 agregando franjas de igual ancho a un lado y
a
a un extremo y mantener su forma rect´ngular. Hallar el ancho de las franjas
a
que deben a˜ adirse.
n

1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE 13

1.4 Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una
Variable
1.4.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Variable
Una ecuaciń de primer grado, de una variable es una ecuaciń en la cual cada
o o
t´rmino es una constante o una constante distinta de cero multiplicando a la variable.
e
Estas son ecuaciones de primer grado con una variable:

4x − 5 = 3
1
2x = x−5
2
Estas ecuaciones se resuelven utilizando las propiedades de las igualdades para trans-
formarlas en ecuaciones equivalentes de la forma

x =?

Es decir, se realizan pasos en los cuales se suma el mismo n´mero en ambos lados
u
o se multiplica ambos lados con el mismo n´mero hasta que la variable quede sola
u
en un lado de la ecuaciń.
o

Ejemplo 1 Resolver la ecuaciń:
o

7x − 4 = 3x + 8

Sumando 4 a cada lado:

(7x − 4) + 4 = (3x + 8) + 4

Simplificando:
7x = 3x + 12
Restando 3x a cada lado:

7x − 3x = 3x + 12 − 3x

Simplificando:
4x = 12
1
Multiplicando cada lado con 4
:
1 1
· 4x = · 12
4 4
Simplificando:
x=3

14 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

Ejemplo 2 Resolver la ecuaciń:
o
x 2 3
+ = x
6 3 4
El m´ınimo comun multiplo (MCM) de 6, 3, y 4 es 12. Reescribiendo las fracciones
con el comun denominador:
2x 8 9
+ = x
12 12 12
Multiplicando cada lado con 12:

2x 8 9
12 + = 12 x
12 12 12

Simplificando:
2x + 8 = 9x
Restando 2x a cada lado:

(2x + 8) − 2x = 9x − 2x

Simplificando:
8 = 7x
1
Multiplicando cada lado con 7 :
8
=x
7

1.4.2 Guias para Resolver Problemas
1. Identificar la variable. Identificar, en el problema, la cantidad que se está
pidiendo encontrar. Esta cantidad puede ser determinada leyendo cuidadosa-
mente la pregunta, que generalmente se hace al final del problema. Nombrar
esta cantidad con una varible, x, por ejemplo. Escribir con precisiń lo que
o
representa esta variable.

2. Exprese todas las cantidades desconocidas en t´rminos de la vari-
e
able. Lea cada oraciń en el problema de nuevo y exprese todas las cantidades
o
mencionadas en t´rminos de la variable definida en el paso 1. Algunas veces
e
realizar un bosquejo del problema es de ayuda en este paso.

3. Relacione las cantidades. Encuentre las palabras claves en el problema que
relacionan dos o m´s xpresiones listadas en el paso dos. Estas palabras claves
a
son usualmente: “es”, “igual a”, “es lo mimo que”, “es el doble de”, entre
otras.

4. Escriba una ecuaciń. Escriba una ecuaciń que exprese los hechos cruciales
o o
encontrados en el paso tres, en forma algebraica.


5. Resuelva el problema y verifique su respuesta. Resuelva la ecuaciń yo
verifique que su respuesta satisface el problema original planteado.
Ejemplo 3 Inter´s en una inversiń. Mar´ hered´ $100, 000 y lo invert´ en dos
e o ıa o o
1
certificados de dep ´sito. Un certificado pag´ el 6% y el otro pag´ el 4 2 % de inter´s
o o o e
anual simple. Si Mar´ obtiene un inter´s total de $5025, por a˜ o, cuanto dinero
ıa e n
fue invertido en cada tasa de inter´s?
e
1. Puesto que se pide encontrar cuanto fue invertido en cada tasa de interes,
podemos representar con x la cantidad invertida con el 6% de interes, es decir,
x = cantidad invertida con el 6% de inter´s
e
1
2. Ahora representamos la cantidad invertida con el 4 2 % en t ´rminos de x, es
e
decir:
1
cantidad invertida con el 4 % de inter´s = 100, 000 − x
e
2
Para x pesos invertidos al 6%, el inter´s anual pagado es 6% de x:
e
interes anual pagado por el certificado al 6% = 0.06x
Similarmente, el inter´s pagado al otro certificado es:
e
1
inter´s anual pagado por el certificado al 4 % = 0.045 (100, 000 − x)
e
2
Por lo tanto, el inter´s total anual que recibi´ Mar´ por los dos certificados
e o ıa
es:
inter´s anual total = 0.06x + 0.045 (100, 000 − x)
e
3. Buscando el hecho que relaciona cantidades, vemos en el problema la oraciń o
“ Mar´ obtiene un inter´s total de $5025, por a˜ o. . . ”, as´ que podemos decir:
ıa e n ı
inter´s anual total ganado por Mar´ = $5025
e ıa

4. Traduciendo estas dos ultimas expresiones, para el inter´s anual total, en una
´ e
sola ecuaciń:
o
5025 = 0.06x + 0.045 (100000 − x)
5. Finalmente, resolviendo la ecuaciń:
o
5025 = 0.06x + 4500 − 0.045x
5025 − 4500 = 0.015x + 4500 − 4500
525 = 0.015x
525 0.015x
=
0.015 0.015
rad35000 = x
Por lo tanto Mar´ invirti´ $35, 000 al 6% y los restantes, $65, 000, fueron
ıa o
1
invertidos al 4 2 %.

16 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

1.4.3 La Ecuaciń Cuadr´tica
o a
Una ecuaciń de segundo grado o cuadr´tica es una ecuaciń de la forma
o a o

ax2 + bx + c = 0

donde a, b y c son n´ meros reales y a = 0. Para las ecuaciones cuadr´ticas es posible
u a
encontrar una f´rmula general usando la t ćnica de completar cuadrados. Esto
o e
significa sumar una constante a una expresiń para obtener un cuadrado perfecto
o
y despues usar la t ćnica de tomar ra´
e ıces cuadradas en cada lado de la ecuacińo
como se muestra a continuaciń.
o
b 2
Para hacer x2 + bx un cuadrado perfecto, sumar 2 :

2 2
2 b b
x + bx + = x+
2 2

A continuaciń usaremos la tćnica de completar cuadrados para resolver la
o e
ecuaciń general de segundo grado.
o

ax2 + bx + c = 0

Primero, dividimos cada lado con a

b c
x2 + x + = 0
a a

c
A continuaciń restamos el t´rmino
o e a
a cada lado de manera que el t´rmino constante
e
aparecer´ s´lo en el lado derecho:
a o

b c
x2 + x = −
a a

b
Ahora acompletamos el cuadrado; el coeficiente de x es , as ´ que debemos sumar
ı
a
2 2
b
a b
´
o a cada lado:
2 2a

2 2
b b c b
x2 + x + =− +
a 2a a 2a


Entonces se simplifica para obtener la expresiń final:
o
2
b −c b2
x+ = + 2
2a a 4a
2
b −4ac + b2
x+ =
2a 4a2
√
b b2 − 4ac
x+ =
2a 2a
√ √
b b2 − 4ac b b2 − 4ac
x+ = ´ x+
o =−
2a 2a √ 2a 2a √
b b2 − 4ac b b2 − 4ac
x = − + ´x=− −
o
2a √ 2a 2a 2a
−b ± b 2 − 4ac
x = f´rmula cuadr´tica
o a
2a
Debido a la naturaleza de la f´rmula general, es posible determinar cuando, la
o
2
ecuaciń ax + bx + c = 0 tiene o no soluciones y cuando tiene una unica soluciń,
o ´ o
2
examinando la cantidad D = b − 4ac. Esta cantidad es llamada el discriminante
de la ecuaciń cuadr´ tica y tiene las siguientes propiedades:
o a

• Si D > 0, entonces la ecuaciń tiene dos ra´ reales y distintas.
o ıces

Ejemplo 4 Resolver la siguiente ecuaciń usando la f´rmula cuadr´tica
o o a

x2 + x − 1 = 0

En este caso, a = 1, b = 1 y c = −1, por lo que:

−1 +12 − 4 (1) (−1) −1 − 12 − 4 (1) (−1)
x = o
´x=
2 (1) 2 (1)
√ √
−1 + 5 −1 − 5
x = o
´x=
2 2
• Si D = 0, entonces la ecuaciń tiene exactamente una soluciń real.
o o

o o a

x2 + 2x + 1 = 0

En este caso, a = 1, b = 2 y c = 1, por lo que:

22 − 4 (1) (1)
−2 + −2 − 22rad − 4 (1) (1)
x = o
´x=
2 (1) 2 (1)
−2 + 0 −2 − 0
x = o
´x=
2 2
x = −1 ´ x = −1
o

18 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

• Si D < 0, entonces la ecuaciń no tiene souciń real. Sus ra ´ son complejas.
o o ıces

o o a

x2 + x + 1 = 0

En este caso, a = 1, b = 1 y c = 1, por lo que:

−1 +12 − 4 (1) (1) −1 − 12 − 4 (1) (1)
x = o
´x=
2 (1) 2 (1)
√ √
−1 + −3 −1 − −3
x = o
´x=
2 2

Pero, como no existe un real cuyo cuadrado es −3, esta ecuaciń no tiene soluciń
o o
real.rad

Ejemplo 7 Lanzamiento de un proyerctil: Un objeto es disparado hacia arriba con
ft
una velocidad inicial de v0 alcanzando una altura de hft despues de ts, donde h y
s
t estń relaciondos por la f´rmula
a o

h = −16t2 + v0 t

ft
si v0 = 800 cuando caer´ de regreso el proyectil al suelo?
a
s

Que el proyectil este en el suelo significa h = 0, por lo que se debe resolver la
ecuaciń
o
0 = −16t2 + 800t

En este caso a = −16, b = 800 y c = 0, por lo que:

−800 + 8002 − 4 (−16) (0) −800 − 8002 − 4 (−16) (0)
t = ´t=
o
2 (−16) 2 (−16)
−800 + 800 −800 − 800
t = ´t=
o
−32 −32
t = 0 ´ t = 50
o

Por lo tanto la altura es 0 en t = 0, cuando es disparado inicialmente y en t = 50;
cuando cae de nuevo al suelo despues de 50 segundos.

1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES 19

1.5 Sistemas de Ecuaciones de dos Variables

Una ecuaciń lineal en x y y es una ecuaciń de la forma:
o o
Ax + By + C = 0, donde A, B, y C son constantes y
A y B no son 0 simultaneamente
La gr´fica de cualquier ecuaciń lineal es una l´
a o ınea. Reciprocamente, toda l´
ınea
es la gr´fica de una ecuaciń lineal.
a o
Ejemplo 8 Bosquejar la gr´fica de la ecuaciń
a o
4x − 3y = 5 (1.1)
rad Puesto que es una ecuaciń lineal, su gr´fica es una l´
o a ınea recta por lo que se
puede dibujar conociendo cualesquiera dos puntos pertenecientes a la recta. Por
ejemplo si x = 0,

4 (0) − 3y = 5
−3y = 5
5
y = −
3
Si x = 2
4 (2) − 3y = 5
8 − 3y = 5
−3y = −3
y = 1
5
As´ que los puntos 0, − 3 y (2, 1) pertenecen a la recta. Graficandolos y dibu-
ı
jando una l´
ınea que pase por ellos obtenemos el bosquejo de la ecuaciń(1.1) el cual
o
se presenta en la Figura (1.1). rad
Un conjunto de ecuaciones con variables comunes es llamado un sistema de ecua-
ciones. La elecciń de valores para las variables los cuales hacen que todas las ecua-
o
ciones en el sistema se satisfagan es llamada una soluciń simultńea o simplemente
o a
soluciń del sistema. En particular, considere el sistema de dos ecuaciones lineales
o
ax + by = c
dx + ey = f
donde a, b, c, d, e y f son constantes y x, y son las variables comunes del sistema.
Una soluciń de este sistema es un par ordenado de n´ meros (x0 , y0 ) que satisfacen
o u
simultaneamente ambas ecuaciones, cuando x0 sustituye a x y y0 a y; por lo tanto
ax0 + by0 = c

20 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

Figura 1.1: Gr´fica dela ecuaciń 4x − 3y = 5.
a o

y
ax0 + ey0 = f
son ambas satisfechas. Esto significa que el punto coordenado (x0 , y0) cae en ambas
l´
ıneas las cuales son las gr´ ficas de las ecuaciones. Puesto que dos l´
a ıneas s´lo pueden
o
intersectarse en un punto (si acaso), no puede haber otra soluciń, a menos que se
o
trate de la misma l´ ınea. Es decir, un sistema de dos ecuaciones lineales tiene:

una soluciń
o si las dos l´
ıneas se intersectan
infinitas soluciones si se trata de la misma l´ ınea
ninguna soluciń
o si las l´
ıneas son paralelas

Existen dos m´todos b´sicos para la soluciń del sistema de ecuaciones lineales
e a o
con dos variables: sustituciń y eliminaciń. Para usar el m´todo de sustituciń
o o e o
para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, primero se debe usar
una ecuaciń para expresar una de las variables en t´rminos de la otra. Despu´s,
o e e
sustituir esta expresiń en la otra ecuaciń, la cual se convertir´ en una ecuaciń de
o o a o
una sola variable. Se resuelve esta ecuaciń para obtener un valor para esta variable
o
y usando la expresi ń para la otra variable obtenemos su valrador.
o

Ejemplo 9 Resolver el sistema

2x + 13y = 17
x − 6y = −4

usando el m´todo de sustituciń.
e o
Usando la segunda ecuaciń expresamos la variable x en t´rminos de y (esta
o e
elecciń es debida a que es la m´s simple para despejar una de las variable, x en
o a
este caso)
x = 6y − 4


Despu´s esta expresiń para x, se sustituye en la primera ecuaciń
e o o

2 (6y − 4) + 13y = 17

y resolvemos para y

12y − 8 + 13y = 17
25y − 8 = 17
25y = 25
y = 1

Finalmente, puesto que tenemos la expresiń para x = 6y − 4 y ya tenemos el valor
o
1 para y, sustituimos para obtener el valor de x

x = 6 (1) − 4
x = 2

As´ (2, 1) es una soluciń para el sistema. De hecho, se puede verificar que satisface
ı o
ambas ecuaciones y que por lo tanto es el punto de intersecciń de las dos l´
o ıneas.

Para usar el m´todo de eliminaciń para resolver un sistema de dos ecuaciones
e o
con dos variables, se deben trabajar, algebraicamente, las dos ecuaciones para
obtener una forma tal que se pueda eliminar una de las variables sumando ambas
ecuaciones. De esta manera, se obtiene una ecuaciń de una variable. Resolviendo
o
para la variable resultante y sustituyendo el valor encontrado en cualquiera de las
ecuaciones originales obtenemos el valor de la otra variable.rad

Ejemplo 10 Resolver el sistema

6x − 5y = 14
3x + 7y = 2

usando el m´todo de eliminaciń.
e o
La variable x puede ser eliminada de este par de ecuaciones si multiplicamos
ambos lados de la segunda ecuaciń con −2
o

6x − 5y = 14
−6x − 14y = −4

y sumamos ambas ecuaciones para obtener la ecuaciń
o

0x − 19y = 10

Resolviendo para y:

−19y = 10
10
y = −
19

22 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

Ahora sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales, la primera
por ejemplo,

10
6x − 5 − = 14
19
50
6x + = 14
19
14 · 19 − 50
6x =
19
216
6x =
19
36
x =
19
Algunas veces es de utilidad usar la otra ecuaciń para checar la respuesta
o

3x + 7y = 2 ?
36 10
3 +7 − = 2 ?
19 19
108 − 70
= 2 ?
19
38
= 2
19
Mientras que el m´todo de sustituciń es m´s obvio y parece ser m ´s fćil,
e o a a a
resulta que, en sistemas de m´s ecuaciones y m´s variables el m´todo de eliminaciń
a a e o
es una tćnica mucho mejor.
e

1.5.1 Problemas
1. Resolver para x: ax = bx + c, donde a = b.

2. Un terreno rectńgular tiene un per´
a ımetro de 500 m. Su longitud es 30 m
mayor que el doble de su ancho. Encontrar sus dimensiones.

3. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60 km /h en
carretera y 24 km/h en ciudad o caminos vecinales. Si el tiempo invertido para
un recorrido de 330 km fue de 7 h. Cuńto tiempo condujo sobre carretera y
a
cuńto sobre otros caminos?
a

4. Un n´ mero es 8 veces mayor que otro. La suma de ambos n´ meros es 20.
u u
Cu´les son los n´ meros?
a u

5. Un radiador de autom´vil de 8 l, contiene 6 litros de agua y dos de anti-
o
congelante. Cuńtos litros de esta mezcla hay que drenar y remplazar con
a
anticongelante para lograr una mezcla que tenga la mitad de anticongelante?


6. Resolver el siguiente sistema para x y y

a) 2x − 5y = 10
3x + 2y = −4
b) x = y
x+y =1
1 1
c) x
+ y
=5
2 3
x
− y
= −5

24 CAP´ ´
ITULO 1. ALGEBRA

CAP´
ITULO 2

GEOMETR´
IA

2.1 ´
Angulos y Cantidades Medibles

Una semi-recta o rayo desde un punto O, es el conjunto de puntos consistente de
O y de todos los puntos en un lado de O de una l´
ınea que pasa por P .

Figura 2.1: Rayo con origen en 0 y que pasa por el punto P .

Un ńgulo es generado al rotar un rayo o semi-recta alrededor de su punto inicial
a
llamado v´rtice del ńgulo. La posiciń original del rayo es llamado lado inicial, y
e a o
la posiciń final es llamado lado terminal. Si O es el v´rtice y P y Q son puntos
o e
distintos de O en los lados del ńgulo, el ńgulo es llamado ńgulo QOP y se escribe
a a a
como ∠QOP (Figura 2.2).
Los ńgulos pueden ser medidos en grados ( ◦) o radianes (rad). Un ńgulo de un
a a
1
grado, denotado por 1 , es igual a 360 de toda una revoluciń completa, en sentido
◦
o
contrario al de las manecillas del reloj. Esta divisiń tuvo como origen el hecho de
o
que el a˜ o tiene aproximadamente 360 d´ Con esta definiciń se obtiene el grado
n ıas. o
sexagesimal. A su vez, el grado se divide en 60 minutos de arco donde un minuto

25

26 CAP´
ITULO 2. GEOMETR´
IA

´
Figura 2.2: Angulo QOP .

de arco, denotado por 1 ′ , se divide en 60 segundos de arco. El segundo de arco es
denotado por, 1 ′′ .
Cuando se usan radianes, como medida angular, s´lo se debe indicar la cantidad.
o
La relaciń entre grados y radianes la obtenemos de la siguiente forma. Puesto que
o
una vuelta completa tiene 360 ◦ y equivalentemente es igual a 2π, tenemos 360 ◦ =2
π. Con esto tenemos
π
1◦ = rad ≈ 0.01745 rad (2.1)
180

180 ◦
1 rad = ≈ 57.2958 (2.2)
π

2.1.1 ´
Angulos Agudos, Rectos y Obtusos

Un ńgulo es un:
a

a) ńgulo recto si su medida es igual a 90 ◦ ( π rad),
a 2

b) ńgulo agudo si su medida es mayor que 0 ◦ y menor que 90 ◦ ( π rad),
a 2

c) ńgulo obtuso si su medida es mayor que 90 ◦( π rad) y menor que 180 ◦(π rad).
a 2

Ejemplos de estos ńgulos se muestran en la Figura (2.3) de abajo.
a

2.1.2 ´
Angulos Complementarios y Suplementarios
Dos ńgulos de medidas positivas son complementarios si la suma de sus medidas
a
es 90 ◦ ( π rad). Dos ńgulos de medidas positivas son suplementarios si la suma de
2
a
sus medidas es 180 (πrad). Ejemplos de estos ńgulos se muestran en la Figura (2.4).
◦
a

´
2.2. TRIANGULOS 27

´
Figura 2.3: Angulos obtuso (izquierda), agudo(en medio) y recto(derecha).

´
Figura 2.4: Angulos suplementarios (izquierda) y complementarios(derecha).

2.2 Trińgulos
a
Un trińgulo es una figura geom´trica cerrada con tres lados, de los cuales cada
a e
lado es un segmento de l´ınea recta. Para los trińgulos tenemos que la suma de sus
a
ńgulos interiores es igual a dos rectos.
a

2.2.1 Rectas Notables en el Trińgulo
a
• La mediana es el segmento trazado desde un v´rtice hasta el punto medio del
e
lado opuesto. Con esto en un trińgulo hay tres medianas, una correspondiente
a
a cada lado.

• La altura es la perpendicular trazada desde un v´rtice al lado opuesto o a
e
su prolongaciń. Consecuentemente, hay tres alturas, una correspondiente a
o
cada lado.

• La bisectriz es la recta que bisecta a un ńgulo interior, es decir, lo divide en
a
dos ńgulos iguales. Hay tres bisectrices, una para cada ńgulo.
a a

• La mediatriz es la recta perpendicular de cada lado. Hay tres mediatrices,
una para cada lado.

2.2.2 Clasificaciń de los Trińgulos
o a
A su vez los trińgulos se clasifican de acuerdo a sus ńgulos en:
a a

a) trińgulo agudo si todos sus ńgulos son menos que 90 ◦ ,
a a

28 CAP´
ITULO 2. GEOMETR´
IA

b) trińgulo obtuso si uno de sus ńgulos es mayor que 90 ◦ , y
a a

c) trińgulo rectńgulo si uno de sus ńgulos es igual a 90 ◦ . El lado opuesto
a a a
al ńgulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
a

De acuaerdo a las medidas de sus lados los trińgulos se clasifican en:
a

a) trińgulo equilatero si trińgulo es equilatero si todos sus lados son de igual
a a
longitud. Con esto, un trińgulo es equilatero si y s´lo si sus tres ńgulos son
a o a
iguales, en cuyo caso todos los ńgulos son de 60 ◦
a

b) trińgulo is´seles si dos de sus lados son de igual longitud. Los ńgulos
a o a
base son aquellos opuestos a los lados iguales.

c) trińgulo escaleno si sus tres lados son de diferentes longituds entre si.
a

Para los trińgulos rectńgulos se tiene el siguiente teorema el cual es amplia-
a a
mente usado.

2.2.3 El Teorema de Pit´goras
a
Theorem 11 ( Teorema de Pit´goras) El ´rea del cuadrado superior de la hipotenusa
a a
de un trińgulo rectńgulo es igual a la suma de las ´reas de los cuadrados de sus
a a a
catetos.

Este teorema se establece mediante la ecuaciń
o

c2 = a2 + b2

donde c es la longitud de la hipotenusa del trińgulo rectńgulo y a y b son las
a a
longitudes de los catetos como se muestra en la Figura (2.5).

Figura 2.5: Trińgulo rectńgulo con hipotenusa c y catetos a y b.
a a

Si denotamos por a, b y c los lados de un trińgulo y por h la altura entonces
a
tenemos que el ´rea del trińgulo ser´ un medio de la base por la altura, es decir,
a a a

´
2.2. TRIANGULOS 29

1
A = bh (2.3)
2
el perimetro del trińgulo ser´ la suma de sus lados, es decir,
a a

P =a+b+c (2.4)

Ejemplo 12 El per´ ımetro de un trińgulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3 es
a
P = 2 + 4 + 3 = 9.
1
Ejemplo 13 El ´rea de un trińgulo con base b = 4 y altura h = 2 es A = 2 ×4×2 =
a a
4

Para encontrar el ´rea de un trińgulo con s´lo las longitudes de sus tres lados,
a a o
debemos aplicar el teorema de Pitagoras para encontrar la altura. Por ejemplo, para
encontrar la altura de un trińgulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3, observemos en
a
la Figura (2.6)

Figura 2.6: Trińgulo en general. h denota la altura y divide al lado b en dos
a
segmentos de tama˜ o x y b − x.
n

que la l´
ınea que representa la altura divide al trińgulo en dos trińgulos rectńgulos.
a a a
Llamemos x a la base del trińgulo de la derecha. As´ el trińgulo de la derecha
a ı a
tiene catetos de longitudes x y h y la hipotenusa es a = 2. Con esto la base del
trińgulo de la izquierda es b − x (= 4 − x ). As´ el trińgulo de la izquierda tiene
a ı a
catetos de longitudes 4 − x y h y la hipotenusa es c = 3. Ahora usando el teorema
de Pit´goras para ambos trińgulos tenemos
a a

x2 + h2 = 22
(4 − x)2 + h2 = 32
11 3
√
Este sistema de ecuaciones tiene como soluciń x =
o 8
, h= 8
15 as´ que el ´rea es
ı a

1 1 3√ 3√
A = bh = 4 15 = 15 ≈ 2. 905
2 2 8 4

30 CAP´
ITULO 2. GEOMETR´
IA

2.3 Paralelogramos
Un paralelogramo es una figura cerrada de cuatro lados, en los cuales cada lado
es un segmento de l´ ınea recta con los lados opuestos paralelos. Sean a y b las
longitudes de los lados de un paralelogramo y sea h la altura (la distancia entre dos
lados paralelos) como se muestra en la Figura (2.7), entonces

Figura 2.7: Paralelogramo de lados a y b. h denota la distancia entre dos lados
paralelos.

• El per´
ımetro de un paralelogramo es la suma de las longitudes de sus lados.

P = 2a + 2b

• El ´rea de un paralelogramo es el producto de la base con la altura.
a

A = bh

Ejemplo 14 El per´ ımetro de un paralelogramo con dos lados de longitud 2 y dos
lados de longitud 5 es
P = 2 + 2 + 5 + 5 = 14

Un rectńgulo es una figura geom´trica cerrada de cuatro lados, cada lado es
a e
un segmento de l´
ınea recta y todos los ńgulos interiores son rectos. Un cuadrado
a
es un rectńgulo en el cual todos sus lados son iguales. Sean l = longitud, w =
a
ancho y d = diagonal, como se muestra en la Figura (2.8), entonces.

• El per´
ımetro del rectńgulo es la suma de las longitudes de sus lados.
a

P = 2l + 2w

• El ´rea de un rectńgulo es el producto de la base con la altura.
a a

A = lw

2.4. CIRCUNFERENCIA Y C´
IRCULO 31

Figura 2.8: Rectńgulo de lados l y w (izquierda) y cuadrado de lado w. En ambos
a
casos d representa la diagonal.

• La diagonal de un rectńgulos tiene como longitud la ra´ cuadrada de la suma
a ız
de los cuadrados de la longitud y el ancho del rectńgulo.
a
√
d = l2 + w 2

Ejemplo 15 La diagonal de un rectńgulo de longitud 2 y ancho 5 es
a
√ √
d = 22 + 52 = 29

2.4 Circunferencia y C´
ırculo
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan
de otro punto llamado centro. La distancia fija entre el centro y un punto de la
circunferencia es el radio (Figura 2.9). El diametro de la circunferencia es igual a
dos veces el radio.

Figura 2.9: Circunferencia de radio r

Un c´ırculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los
interiores a la misma. La circunferencia de un c´ ırculo es π veces el diametro y el
´rea del c´
a ırculo es π veces el cuadrado del radio.

32 CAP´
ITULO 2. GEOMETR´
IA

Ejemplo 16 Hallar el diametro, circunferencia y ´rea de un c´
a ırculo con radio 5.

Soluciń 17 Sean: r = radio, C = circumferencia, D = di´metro y A = area
o a

D = 2 × 5 = 10
C = 10π ≈ 31. 416
A = π × 52 = 25π ≈ 78. 54

Un ńgulo central de un c´
a ırculo es un ńgulo cuyo v´rtice esta en el centro
a e
del c´
ırculo. Sean θ un ńgulo central medido en radianes y s la longitud de arco
a
subtendida por θ . Si r es el radio de la circunferencia, entonces s = rθ y el ´rea
a
del sector A (sector) acotado por el arco s y los lados del ńgulo θ es A (sector) =
a
1
2
rs = 1 r 2 θ.
2

2.5 Vol´ menes
u
2.5.1 Paralelep´
ıpedo Rectangular
Un paralelep´ ıpedo rectangular (o caja) es una figura geom´trica cerrada con seis
e
lados, en los cuales cada lado es un segmento plano rectangular, los lados opuestos
son paralelos y todos los ńgulos interiores son rectos. Un cubo es un paralelep´
a ıpedo
rectangular en el cual todos sus lados son iguales. En la Figura (2.10) presentamos
un ejemplo de un paralelep´ ıpedo. Si a, b y c son tres aristas que convergen en un
mismo v´rtice, h representa la altura, θ es el ńgulo entre las dos aristas de la base
e a
(c y b) y α es el ńgulo entre la tercera arista (a) y la altura entonces
a

Figura 2.10: Paralelep´
ıpedo rectangular o caja.

• El ´rea superficial S, de la base es
a
S = bc sin θ

´
2.5. VOLUMENES 33

Figura 2.11: Cil´
ındro circular recto de altura h y radio de la base r.

• El volumen es el producto del ´rea de la base con su altura
a
V = hbc sin θ
Ejemplo 18 Si una caja tiene tiene longitud a = 10, ancho b = 6 y altura h = 5
entonces su ´rea superficial y volumen son
a
S = 2 × (10 × 6) + 2 × (10 × 5) + 2 × (5 × 6) = 280
V = 10 × 6 × 5 = 300

2.5.2 Cil´
ındro Circular Recto
Un superficie de revoluciń es la superficie generada por una figura plana que
o
gira alrededor de una recta llamada eje. La porcion del espacio limitada por una
superficie de revoluciń genera un cuerpo de revoluciń o s´lido de revoluciń.
o o o o
Un cil´
ındro circular recto es un s´lido de revoluciń generado por la revoluciń
o o o
completa de un rectńgulo alrededor de uno de sus lados. Como resultado, se tienen
a
dos superficies circulares llamadas bases del cil´ındro. La distancia entre las bases
se llama altura. Si denotamos la altura con h y el radio de una base con r, como
se muestra en la Figura (2.11), entonces
• El ´rea superficial de un cill´
a ındro es el ´rea de la superficie cil´
a ındrica que lo
limita m´s dos veces el ´rea de la base.
a a
S = (2πr) h + 2πr 2 = 2rπ (h + r)
• El volumen de un cil´
ındro es el producto del ´rea de la base con la altura.
a
V = πr 2 h
Ejemplo 19 Si un cill´ ındro tiene altura h = 10 y radio r = 5, entonces su ´rea
a
superficial y su volumen son
S = 2 × 5 × π (10 + 5) = 150π ≈ 471. 24
V = π (5)2 × 10 = 250π ≈ 785. 4

34 CAP´
ITULO 2. GEOMETR´
IA

2.5.3 Cono Circular Recto
Un cono circular recto o cono de revoluciń es un s´lido de revoluciń gener-
o o o
ado por la revoluciń completa de un trińgulo rectńgulo alrededor de uno de sus
o a a
catetos. Como resultado, la hipotenusa genera la superficie lateral del cono, el
cateto usado como eje de revoluciń es la altura del cono y el otro cateto genera
o
la base del cono y es a su vez el radio de la base. Si denotamos con r el radio de
la base y con h la altura, entonces

• El ´rea supercial de un cono recto circular es el ´rea de la base m´s un
a a a
medio del producto del per´ımetro de la base con la hipotenusa del trińgulo
a
rectńgulo.
a
1
√ √
S = πr 2 + 2 2πr r 2 + h2 = πr 2 + πr r 2 + h2

• El volumen de un cono es un tercio del ´rea de la base con la altura.
a
1
V = 3 πr 2 h.

Ejemplo 20 Si un cono circular recto tiene como radio de la base r = 5 y altura
h = 10 entonces el ´rea superficial y el volumen son
a
√ √
S = π (5)2 + π (5) 52 + 102 = 25π 1 + 5 ≈ 254. 16
1 250
V = π × 52 × 10 = π ≈ 261. 8
3 3

2.5.4 Esfera
Una esfera es un s´lido de revoluciń generado por la rotaciń de una circunferencia
o o o
alrededor de uno de sus di´metros. Si r denota el radio de la esfera entonces
a

• El ´rea superficial de de una esfera es cuatro veces π por el cuadrado del radio.
a
S = 4πr 2

• El volumen de una esfera es cuatro tercios de π por el cubo del radio.
4
V = 3 πr 3

Ejemplo 21 Considere una esfera de radio r = 4000. Entonces el ´rea superficial
a
y el volumen son

S = 4π (4000)2 = 64 000 000π ≈ 2. 010 6 × 108
4 256 000 000 000
V = π (4000)3 = π ≈ 2. 680 8 × 1011
3 3

2.6. PROBLEMAS 35

2.6 Problemas
1. Expresar los siguientes ńgulos en grados
a

a) 1.57 rad
b) 2.0 rad

2. Expresar los siguientes ńgulos en radianes
a

a) 45 ◦
b) 135 ◦

3. Hallar los complementos de los siguientes ńgulos
a

a) 36 ◦ 52 ′
b) 48 ◦ 30 ′ 15 ′′

4. Hallar los suplementos de los siguientes ńgulos
a

a) 92 ◦ 15 ′
b) 123 ◦ 9 ′ 16 ′′

5. Puede ser obtuso un ńgulo de la base de un trińgulo isoseles?
a a

6. Dos ńgulos de un trińgulo miden 40 ◦ y 30 ◦ , respectivamente. Cuńto mide
a a a
el tercer ńgulo?
a

7. Los ńgulos de la base de un trińgulo isoseles miden 40 ◦. Cuńto mide el
a a a
ńgulo opuesto a la base?
a

8. Hallar el ńgulo que es igual a su suplemento.
a

9. Hallar el ńgulo que es igual a la mitad de su complemento.
a

10. Cu´l es la amplitud, en grados, del ńgulo que subtiende una longitud de arco
a a
de 5.23 cmsi pertenece a una circunferencia de 20 cmde radio?

11. Hallar la longitud de arco subtendido por un ńgulo de 5 ◦2 ′ 8 ′′ si pertenece a
a
una circunferencia de 2 mde radio.

12. Hallar el lado de un cuadrado cuya ´rea vale 28.09 m2 .
a

13. La diagonal de un rectńgulo mide 10 m y su altura 6 m. Hallar su ´rea.
a a

14. Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.
√
15. La diagonal de un cubo mide 2 3 cm. Hallar la arista.

36 CAP´
ITULO 2. GEOMETR´
IA

16. Hallar el ´rea lateral de un cil´
a ındro circular recto, si el radio de la base mide
4 cm y la altura mide 10 cm.

17. Hallar el ´rea total de un cil´
a ındro circular recto si el radio de la base mide 20
cm y la altura mide 30 cm.

ındro circular recto es 410 cm2 y su altura es el doble
18. El ´rea total de un cil´
a
del radio de la base. Hallar la altura y el radio de la base.

19. Hallar el ´rea lateral de un cono sabiendo que el radio de la base mide 6 cm
a
y la altura mide 8 cm.

20. Hallar el ´rea total de un cono sabiendo que el radio de la base mide 3 cm y
a
la altura mide 4 cm.
√
21. Hallar la altura de un cono sabiendo que el ´rea lateral mide 16 5π cm2 y el
a
radio de la base mide 4 cm.

22. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntas para hacer una esfera
mayor. Calcular el radio de la nueva esfera.

23. Se tiene una esfera situada dentro de un cil´ ındro de manera que al cil´
ındro
tiene como altura y di´metro, el di´metro de la esfera. Determinar la relaci´n
a a o
entre el ´rea de la esfera y el ´rea lateral del cil´
a a ındro.

CAP´
ITULO 3

TRIGONOMETR´
IA

3.1 Funciones Trigonometricas
3.1.1 Signos de las Funciones Trigonom´tricas
e
Sea θ un ńgulo cuyo lado inicial cae en la parte positiva del eje x, y cuyo v´rtice
a e
coincide con el origen (0, 0) y sea (x, y) cualquier punto en el lado terminal del
ńgulo. Sea r la distancia positiva desde el origen hasta el puunto (x, y), como se
a
observa en la Figura (3.1.1).

Figura 3.1: Trińgulo rectńgulo con hipotenusa r =
a a x2 + y 2 y catetos x, y.

y
• seno θ =sen θ =
r
x
• coseno θ = cos θ =
r
sen θ y
• tangente θ = tan θ = = , si x = 0
cos θ x
cos θ x
• cotangente θ = cot θ = = , si y = 0
sen θ y

37

38 CAP´
ITULO 3. TRIGONOMETR´
IA

1 r
• secante θ = sθ = = , si x = 0
cos θ x
1 r
• cosecante θ = csc θ = = , si y = 0
sen θ y

Signos de las Funciones Trigonom´tricas
e
Quadrante sen cos tan cot s csc
I + + + + + +
II + – – – – +
III – – + + – –
IV – + – – + –

3.1.2 Funciones Trigonom´tricas de 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ , 270 ◦ y
e
◦
360 .
Para θ = 0 ◦ , tenemos y = 0 por lo que r = x, as´ las funciones trigonom´tricas de
ı e
0 son
◦

0
• sen0 ◦ = =0
r
r
• cos 0 ◦ = = 1
r
sen 0 ◦
• tan 0 ◦ = =0
cos 0 ◦
cos 0 ◦
• cot 0 ◦ = =∞
sen0 ◦
1
• sec 0 ◦ = =1
cos 0 ◦
1
• csc 0 ◦ = =∞
sen0 ◦

Para θ = 90 ◦ , tenemos x = 0 por lo que r = y, as´ las funciones trigonom´tricas
ı e
de 90 ◦ son
r
• sen90 ◦ = =1
r
0
• cos 90 ◦ = =0
r
sen 90 ◦
• tan 90 ◦ = =∞
cos 90 ◦

3.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 39

cos 90 ◦
• cot 90 ◦ = =0
sen90 ◦
1
• sec 90 ◦ = =∞
cos 90 ◦
1
• csc 90 ◦ = =1
sen90 ◦

Para θ = 180 ◦, tenemos y = 0 y x es negativo por lo que r = −x, as´ las
ı
funciones trigonom´tricas de 180 son
e ◦

0
• sen180 ◦ = =0
r
−r
• cos 180 ◦ = = −1
r
sen180 ◦
• tan 180 ◦ = =0
cos 180 ◦
cos 180 ◦
• cot 180 ◦ = =∞
sen180 ◦
1
• sec 180 ◦ = = −1
cos 180 ◦
1
• csc 180 ◦ = =∞
sen180 ◦

Para θ = 270 ◦ , tenemos x = 0 y y es negativo por lo que r = −y, as´ las
ı
funciones trigonom´tricas de 270 ◦ son
e
−r
• sen270 ◦ = = −1
r
0
• cos 270 ◦ = =0
r
sen 270 ◦
• tan 270 ◦ = =∞
cos 270 ◦
cos 270 ◦
• cot 270 ◦ = =0
sen270 ◦
1
• sec 270 ◦ = =∞
cos 270 ◦
1
• csc 270 ◦ = = −1
sen180 ◦

Para θ = 360 ◦ , las funciones trigonom´tricas coinciden con las de 0 ◦
e

40 CAP´
ITULO 3. TRIGONOMETR´
IA

3.1.3 Funciones Trigonom´tricas de 30 ◦ , 45 ◦ y 60 ◦
e
Considere un trińgulo equilatero con lados de longitud 2. Cada uno de sus ńgulos
a a
mide 60 ◦ ( π rad). La mediana de un v´rtice bisecta el ńgulo de ese v´rtice, es decir
3
e a e
es simultaneamente la bisectriz. Con esto tenemos dos trińgulos rectńgulos con
√ a a
catetos 1 y 3 y con hipotenusa 2. El ńgulo opuesto al cateto de longitud 1 mide
√a
60 ◦y el opesto al cateto de longitud 3 mide 30 ◦. As´ las funciones trigonom´tricas
ı e
del el ńgulo θ = 30 son, por definiciń
a ◦
o
1
• sen 30 ◦ = 2
√
3
• cos 30 ◦ = 2
1
• tan 30 ◦ = √
3
√
• cot 30 ◦ = 3
2
• sec 30 ◦ = √
3

• csc 30 ◦ = 2

Ahora para θ = 60 ◦ tenemos
√
3
• sen 60 ◦ = 2
1
• cos 60 ◦ = 2
√
• tan 60 ◦ = 3
1
• cot 60 ◦ = √
3

• sec 60 ◦ = 2
2
• csc 60 ◦ = √
3

Para θ = 45 ◦ consideremos un trińgulo rectńgulo isoseles de lados (catetos)
√ a a
1. Con esto la hipotenusa mide 2 y los ńgulos de la base miden 45 ◦ , por lo que
a
tenemos
1
• sen 45 ◦ = √
2

1
• cos 45 ◦ = √
2

• tan 45 ◦ = 1

• cot 45 ◦ = 1
√
• sec 45 ◦ = 2

´ ´ ´
3.2. SOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS 41

√
• csc 45 ◦ = 2

En la tabla siguiente presentamos las funciones trigonom´tricas de estos ńgulos
e a
especiales.

Grados 0◦ 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 180 ◦ 270 ◦ 360 ◦
π π π π 3π
Radianes 0 π 2π
6 4 3 2 2
√ √
1 2 3
sen 0 1 0 −1 0
2
√ √2 2
3 2 1
cos 1 0 −1 0 1
2 2 2
1 √
tan 0 √ 1 3 ∞ 0 ∞ 0
3 √
√ 3
cot ∞ 3 1 0 ∞ 0 ∞
3
2 √
sec 1 √ 2 2 ∞ −1 ∞ 1
3 √
√ 2 3
csc ∞ 2 2 1 ∞ −1 ∞
3

3.2 Soluciń de Trińgulos Rectńgulos
o a a
Usaremos la notaciń que sigue: a los v´rtices de un trińgulo rectńgulo se le
o e a a
denotar´ con las letras may´ sculas A, B y C, los ńgulos en A, B y C, por α, β y
a u a
γ y los lados opuestos a los v´rtices A, B y C, por a, b y c respectivamente. En
e
un trińgulo rectńgulo si se conocen uno de sus ńgulos agudos y un lado o dos de
a a a
sus lados, se pueden encontrar las partes restantes, es decir, el otro ńgulo agudo
a
y el o los lados restantes. Al proceso de encontrar las partes restantes se le llama
resolver el trińgulo.
a

Ejemplo 22 En un trińgulo rectńgulo se tiene α = 34 ◦ y b = 10.5. Resolver el
a a
trińgulo.
a
Tenemos α + β = 90 ◦ por lo que β = 90 ◦ − α = 90 ◦ − 34 ◦ = 56 ◦. Ahora
tan 34 ◦ = a , de donde a = b tan 34 ◦ = (10.5) tan 34 ◦ = 7.0823. Por ultimo el lado
b
´
c lo podemos calcular √ medio del teorema de Pit´goras o por medio de funciones
por a
trigonom´tricas. c = 10.52 + 7.08232 = 12.6653.
e

Ejemplo 23 Resolver el trińgulo rectńgulo con lados a = 15 y b = 7. Por el
a √a
teorema de Pit´goras tenemos c = 152 + 72 = 16.5529. tan α = a de donde
a b
α = arctan( a ) = tan−1 ( a ) = tan−1 ( 15 ) = 64 ◦58 ′ 59 ′′. Con esto podemos calcular
b b 7
β = 90 ◦ − 64 ◦ 58 ′59 ′′ = 25 ◦ 1 ′11 ′′ .

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