1. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
La Campagne Estudiantine pour Résumer
les Cours et Organiser les Polycopiés
Option : Science Economique et Gestion
Module : METHODES QUANTITATIVES I
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Type de document : Exercices corrigés
Année universitaire 2012-2013
Analyse Mathématique I – Exercices corrigés
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Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
Chapitre 1 – La Continuité
Exercice 1 :
Déterminer le domaine de définition et les limites infinies de la fonction suivante :
( )
√
( )
Df = (
√
Réponse 1
)
( )
( )(
1 3
x1
2
2
–∞
x
)
–2
lim f ( x)
x
car
lim 2 x 1
x
lim f ( x) lim 2 x 1 x²(1
x
x
==> lim x(2
x
Car :
+
lim x² x 2
x
1 2
= lim 2 x 1 x x² x 2
x x² x
1
1 2
1 )
x
x x²
lim x
x
et
+∞
1
–
+
==>
1 3
x2
1
2
et
lim (2
x
1
1 2
1 ) 1
x
x x²
Exercice 2 :
Déterminer les domaines de définition et les domaines de continuité pour les fonctions définies par :
A. f ( x)
x
x² 1
3x 1
B. f ( x) x 1
e
Réponse 2
x
A. f ( x)
x² 1
si x 1
si x 1
Df x IR / x² 1 0
Df x IR / x 1 ou x 1
Df IR 1,1
DC IR 1,1
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Matière : Analyse Mathématique I
3x
f ( x) x1
B.
e
Semestre : 1
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
si x 1
si x 1
Df IR
lim f ( x) lim e x 1 e0 1
x 1
x 1
f (1) 3
DC IR
1
Soit λ ≠ – 2 : f est discontinue en 1 DC IR
Exercice 3 : Etudiez la continuité des fonctions suivantes :
Soit λ = – 2 : f est continue en 1
2 x
si x 1
A. f ( x) x 1
2 x 1 si x 1
x3 x 2 x 1
x 1
B. f ( x)
3 x
si x 1
si x 1
x2 x 3 3
si x 3
x2 3
C. f ( x)
3x
si x 3
x 1 1
si x 2 R 2
D. f ( x) x 2
1
si x 2
Réponse 3 :
2x
si x 1
A. f ( x) x 1
si x 1
2 x 1
Si x = 1 ; f (1) = 1
Df = IR
Pour x 1 : lim f ( x) lim 2 x 1 f (1)
Pour x > 1 : lim f ( x) lim
x 1
x 1
lim
x 1
x 1
x 1
x 1 x 1 lim
x 1
2x 1
x 1 x 1
x 1
lim
2 x 1 x1 2 x 1 x 1
x 1 11
1 f (1)
2
2
f est continue au point 1
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Matière : Analyse Mathématique I
x3 x2 x 1
B. f ( x)
x 1
3 x
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
si x 1
si x 1
f (1) 2
x 1x 2 1
x3 x 2 x 1
x 2 x 1 x 1
lim
lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
2
lim x 1 2 f (1)
Pour x < 1 : lim f ( x) lim
x 1
x 1
Pour x ≥ 1 : lim f ( x) lim
x 1
x 1
3 x
3 1 2 f (1)
f est continue au point 1
x2 x 3 3
si x 3
C. f ( x)
x2 3
4
si x 3
Pour x 3 : f ( x)
lim
x
x 3
x
3 1
x 3
x 3
x 3 1
lim
x 3
x 3
f est continue sur IR 3, 3 .
lim
x2 x 3 3
x 3 x 3 x 3
x 3 1
2
x 3
x 3 x 3
x 3
3 1 2 3 1
f ( 3)
x 3
2 3
3 3 1 1
0
3 3
3 3 1 1
0
3 3
f est discontinue de 1er espèce non éliminable au point 3 .
f admet une discontinue de second espèce infinie au - 3
x 1 1
D. f ( x) x 2
1
si x 2 R 2
si x 2
Df ,2 2, 2 ,
1
1
x 1 1
x 1 1 x 1 1
x2
x2
x 2 x 1 1
x 2 x 1 1
1
1
lim f ( x) lim
f (2)
x 2
x 2
2
x 1 1
f est continue sur 1,2 2,
f est discontinue de 1er espèce éliminable au point 2.
f admet un discontinuité de 1er espèce éliminable au point 2.
Pour x 2 : f ( x)
1
x 1 1
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Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
Chapitre 2 – La Dérivabilité
Exercice 1 :
Calculez Y’ pour chacune des fonctions suivantes :
1
4
2 x²
x
Y
x
Y
1 x
5
x 13
Y
Y log x 1 x 4
e ax e ax
Y ax
e e ax
x
Réponse 1 :
Y'
1
4
Y
2 x²
x
x '
f
f 'g f g '
g
g²
(1)'(2 x ²) (1) (2 x ²)' (4)' x 4
2
(2 x ²) 2
x
4
4x 2 x 1
2
3
4
2
3
4x
x
x
x
1 2
3
x3 x 2
x
Y
1 x
5
f r f ' f
r
r 1
x ( x)'(1 x) ( x) (1 x)'
Y' 5
(1 x) 2
1 x
5x 4 1 x x
4
1 x (1 x) 2
5x 4
1 x 6
4
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Matière : Analyse Mathématique I
x
x 1 ' x (
x
3
2
6x 1 x x 1
2
2
3
2 x
2
6x 1 x x 1
3
2 x
Y log x 1 x
4
x 12 5x 1
2x x
3
log U ' U'
U
4x3
x
Y'
1 x4
x 1 x4
x 1
x
2
x
1
3
2 x
3x 1 x
2
x )'x 1
3
Y'
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x 13
Y
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1 2 1 x
4
x 1 x4
1 x 4 2x3
x 1 x4 1 x4
2
xx
1
x
Y
e
Y'
ax
e ax e ax
e ax e ax
e ax e ax e ax e ax e ax e ax e ax
e ax e ax ²
ae
ax
ae
2 ax
ae ax e ax e ax e ax e ax ae ax ae ax
e ax e ax ²
a a ae ae a a ae
e e ²
2 ax
ax
2 ax
2 ax
ax
ae 2 ax a a ae 2 ax ae 2 ax a a ae 2 ax
e ax e ax ²
4a
ax
e e ax ²
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Exercice 2 :
Soit f (x) = ln( x x² 1)
1) Calculez le dérivé de f
2) Déterminez la fonction propre de f et calculer la dérivé.
Réponse 2 :
1) Calcul le dérivé de f :
1
2x
x² 1 x
x x² 1
2 x² 1
x² 1
f ' ( x) ln( x x ² 1)
x x² 1
x x² 1
x x² 1
2) Détermination de la fonction réciproque :
1
1
x² 1
y = f (x) x = f -1 (y)
y ln( x x² 1) e y x x² 1
e y
x
1
1
y
y
e e x x² 1
x x² 1
x x² 1
2
x² 1 1 x² 2 x x² 1 x² 1 1
x x² 1
x x² 1
2 x ² 2 x x ² 1 2 x ( x x ² 1)
2x
x x² 1
x x² 1
e y e y
x=
= f -1 (y)
2
La fonction réciproque de f (x) ln( x
(f -1)’(x) =
e e
2
y
y
y
y
x² 1) est f -1 (x) = e e
2
( x)' 1
Exercice 3 : Calculez la dérivée de la fonction suivante
2
cos(2 x) cos( x) cos ²( x) sin ²( x) cos( x) cos( x)
cos( x)
f ( x)
2
2
sin( x) 1 sin ²( x)
sin ( x)
sin ( x)
1
cos( x)
1
tan ²( x)
sin ²( x)
21 tan ²( x) tan( x) cos( x) 21 tan ²(x) sin 3 ( x) 2 cos ²(x) sin( x)
f ' ( x)
sin ²( x)
tan 4 ( x)
tan 3 ( x)
sin 4 ( x)
1
1 1
2 cos ²( x)
f ' ( x) 2
tan 3 ( x) tan( x) sin( x) sin 3 ( x)
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Chapitre 3 – Règle de l’hôpital et la formule de Taylor
Exercice 1 : Calculer les limites suivantes :
x 1 2
x 3
a) lim
x 3
x log x
x x log x
b) lim
x log a a log x
où a > 0
xa
c) lim
x a
log x
x x
d) lim
x
e) lim x
x e
f)
lim x 2 log x
x 0
e2x 1
x
g) lim
x 0
x
1
x 1 log x
h) lim
x 1
a
i) lim 1
x
x
j)
lim log x
x 1
x 1
k) lim
x a
l)
x
lim
x x a a
où a > 0
x a
x
x
2
4x 1 x
ex
m) lim où α est réel.
x x
log x
n) lim
pour tout α réel et pour tout β > 0
x
x
o) lim x
1
x
x
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Réponse 1 :
a) lim
x 3
lim
x 3
x 1 2
x 3
Sans l’aide de règle de l’Hospital :
x 1 2
lim
x 3
x3
x 1 2
x 3
x 1 2
x 1 2
lim
x 3
x 1 4
x 3
x 1 2
lim
x 3
1
x 1 2
1
4
Avec la règle de l’Hospital :
lim
x 3
Il vient que
x 1 2 R.H
lim
lim
x 3
x 3
x 3
x 1 2 F.I 0
x3
0
x 1 2
x 3
1
lim 2 x 1
x 3
1
1
4
(Forme Indéterminée de type
0
)
0
1
x log x lim
x log x
x
lim
b) xlim
x log x
x
x ( x )' (log x ) ( x )(log x )'
x log x
1
1
x 1 0
lim
lim
x
x log x 1
1
log x x
x
1
1
x
1
xlim log x et
lim
x
1
0
x
x log a a log x
x log a a log x 0
lim
c) lim
x a
xa
0 x a
( x a)'
( x)' (log a) (a)' (log x) (a)(log x)'
lim
x a
x a
1 0
lim
log a
1
a
x log a 1
log x
x x
Si α 0 : lim log x x
d) lim
x
1
log x
1
Si α > 0 : lim lim x 1 lim 0
x x
x x
x x
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e) lim
x
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
x
ex
Si α 0 : lim
x
Si α > 0 :
1
0
x ex
1
- si α 1 lim x x lim ( x x )' lim ax x 0
x
x
x
e
(e )'
e
- si α > 1, on applique la règle de l’Hospital pour 2
D’après ces formules, on peut dire que xIR et α > 0.
lim x 2 log x lim
f)
x 0
x 0
ème
(a 2 a) x 2
0
fois : lim
x
ex
si (α 2)
log x
1
2
x
On applique la règle de l’Hospital :
1
1
log x lim x lim x lim x² 0
lim
x 0 2 x x 0 2 x 0 2
x 0
1
2
x4
x3
x
e2x 1 0
2e 2 x
lim
lim 2e 2 x 2
g) lim
x 0
x 0
x
0 x0 1
x
a
h) lim 1 = 1
x
x
a
Si lim 1 a = 1, alors ln 1 lim x log1 0
x
x
x
x
x
a
log1
a
x
On peut la mettre sous forme 0 , car lim x log1 lim
x
1
x x
0
x
En utilisant la règle de l’Hospital, cette limite est égale à :
a
x²
a
1
x lim a a
ln 1 lim
a
x
x
1
a
a
1
1
x
x
a
0
xlim
a
Par conséquent : 1 e
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