1. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
El Álgebra, la parte de las Matemáticas de
3 Polinomios la que los polinomios son la base, nació
con los árabes en Bagdad en el siglo IX.
La palabra árabe “álgebra” alude al hábil
manejo de los cálculos con signos, similar
a la maestría de los autores del intricado
arte decorativo árabe.
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2. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Árabes y matemáticas
Enlace a la Casa de la Sabiduría
de Bagdad y la ciencia islámica
Enlace a una historia
de la Matemática árabe
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Unidad 3: Polinomios
Esquema de contenidos
Polinomios
Monomios
Concepto
Monomios semejantes Polinomios
Conceptos
Grado
Valor numérico
Operaciones con polinomios
Suma y resta
Multiplicación
División Igualdades notables
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
Fracciones algebraicas
Suma por diferencia
Simplificación
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4. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
Para que pueda
realizarse la división,
el grado del dividendo
debe ser mayor que el
del divisor.
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Unidad 3: Polinomios
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
Disponemos los
polinomios dividendo y
divisor, dejando huecos
en el dividendo cuando
falte una potencia.
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Unidad 3: Polinomios
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
3x2 Dividimos el primer
monomio del dividendo
por el primero del divisor
y el resultado es el
primero del cociente.
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Unidad 3: Polinomios
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3x2 Multiplicamos ese
monomio por todo el
divisor y el resultado,
cambiado de signo, se
pone bajo el dividendo.
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8. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 Se repite el proceso
3 x 2 – 2x
hasta que el polinomio
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4 resultante del dividendo
sea de grado menor
que el del divisor.
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Unidad 3: Polinomios
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4
Que no se te olvide
+ 2 x3 + 6 x 2– 2 x
cambiar el signo….
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10. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4
+ 2 x3 + 6 x 2– 2 x
9x2 –4
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Unidad 3: Polinomios
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4
+ 2 x3 + 6 x 2– 2 x
9x2 –4
– 9 x 2 – 27x + 9
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Unidad 3: Polinomios
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9 Puesto que el grado del
polinomio resultante es
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4 menor que el del divisor,
+ 2 x3 + 6 x 2– 2 x la división ha terminado.
9x2 –4
– 9 x 2 – 27x + 9
Resultado:
– 27x + 5 Cociente: 3 x 2 – 2x + 9
Resto: – 27x + 5
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13. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Identidades notables: Cuadrado de una suma
Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la
expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes
la figura:
En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el
cuadrado grande es mayor que la suma de los
cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).
SIGUIENTE
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14. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Identidades notables: Cuadrado de una suma
Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la
expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes
la figura:
En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el
cuadrado grande es mayor que la suma de los
cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).
La expresión correcta es: (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
Lo puedes ver en la figura y podrás verlo mejor en la imagen dinámica a la que
accedes haciendo clic en el enlace siguiente:
Cuadrado suma
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15. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Identidades notables: Cuadrado de una diferencia
La expresión (a – b)2, llamada cuadrado de la diferencia se desarrolla, al quitar
paréntesis, así:
(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2
SIGUIENTE
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16. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Identidades notables: Cuadrado de una diferencia
La expresión (a – b) 2 llamada cuadrado de una diferencia se desarrolla, al quitar
paréntesis, así:
(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2
Lo podrás ver bien si accedes, haciendo clic en el enlace siguiente, a la imagen
dinámica correspondiente:
Cuadrado diferencia
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17. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Identidades notables: Diferencia de cuadrados
La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al
producto (a + b) por (a – b). Es decir:
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
SIGUIENTE
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18. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Identidades notables: Diferencia de cuadrados
La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al
producto (a + b) por (a – b). Es decir:
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
Puedes comprobar esta identidad en la imagen que sigue al enlace:
Diferencia de cuadrados
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19. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como
ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1
SIGUIENTE
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20. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como
ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1
Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has
de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.
x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
  x2  5 ó   x5
x x x x
SIGUIENTE
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21. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como
ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1
Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has
de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.
x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
  x2  5 ó   x5
x x x x
La correcta es la expresión de la derecha, en la que hemos simplificado un factor
de TODO el numerador. En la primera, x sólo ha sido eliminado en un sumando.
Basta con que hagas las pruebas de las dos divisiones para certificarlo:
x (x2 + 5) = x3 + 5 x ≠ x 2 + 5 x x (x + 5) = x 2 + 5 x
SIGUIENTE
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22. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como
ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1
x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x
SIGUIENTE
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23. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como
ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1
x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x
En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor
común a x en el numerador a los dos primeros sumandos:
SIGUIENTE
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24. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como
ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1
x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x
En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor
común a x en el numerador a los dos primeros sumandos:
x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1
y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):
SIGUIENTE
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25. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como
ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1
x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x
En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor
común a x en el numerador a los dos primeros sumandos:
x y + x + y + 1 = x (y + 1 ) + y +1
y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):
x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 = (x + 1) · (y +1)
Se va a poder simplificar la fracción del caso b): SIGUIENTE
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26. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como
ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1
x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x
b) xy  x  y  1 x( y  1)  y  1 ( x  1) ( y  1)
   y 1
x 1 x 1 x 1
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27. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Enlaces de interés
Actividades y Diccionario Actividades de la BBC
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28. MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios
Actividad: Moquetas de superficies variables
Dirección:
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/MOQUETTES.PDF
Aparecen aquí diversas situaciones en
las que, al enmoquetar el suelo de una
habitación, surgen expresiones
polinómicas.
Para conocerlo, sigue este enlace.
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