resumen de relacion binaria

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Antonio José de Sucre
Barquisimeto Estado Lara
Yinmary Y. Vásquez R.
19.482.641
Informática 78
2º semestre

2. Relaciones Binarias
El caso particular de relaciones binarias merece ser tratado aparte, por la riqueza de
conceptos y resultados a que da lugar y el tipo de técnicas que pueden utilizarse. En primer
lugar, si es una relación entre y , el hecho de que un par ordenado esté en
suele denotarse
Ejemplo
Dado el conjunto R de los números reales, definimos la relación binaria P (x, y) de los
puntos del plano, tal que:
Partiendo del conjunto A de los automóviles de una localidad y P de las personas,
podemos definir la relación binaria C Conduce, formada por cada automóvil a, y quien lo
conduce p:
Diagrama índice
A modo de guía o diagrama índice del estudio de las relaciones binarias, podemos presentar
el siguiente gráfico.

3. Conceptos previos
Antes de afrontar el estudio de las relaciones binaria, veamos algunos conceptos que es
necesario conocer:
Par ordenado
Artículo principal: Par ordenado.
Las partes de un par ordenado son:
Primer conjunto
Primer componente
Segundo conjunto
Segundo componente

4. Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:
a es el primer componente del primer conjunto y;
b como el segundo componente del segundo conjunto.
Matemáticamente esto se expresa:
y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) tales que x
pertenece a A e y pertenece a B.
Producto cartesiano
Artículo principal: Producto cartesiano.
Definimos los conjuntos:
Obtenemos el producto cartesiano de A por
B, colocando en una tabla los elementos del
conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los
pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se
coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.
La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:
Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano
Visto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relación binaria, por
ejemplo: mayor que, que se puede expresar:
que por extensión resulta:
Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del producto
cartesiano de los conjuntos.2

5. Clasificación
La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de
las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace
de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos
distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relación
binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.
En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas, en
las primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo
que en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se
establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o
funciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser tratada como
heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.
Relación homogénea
Una relación binaria entre dos conjuntos se llama homogénea si estos dos conjuntos son
iguales:

6. Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar:
O bien:
Relación heterogénea
Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea si A es distinto de B:3
Relación binaria homogénea
Como ya se definió antes, una relación binaria homogénea es la que se da entre los
elementos de un único conjunto, llamando A al conjunto, tendríamos:
Si la Relación binaria es entre los elementos de un único conjunto, dado que los distintos
tipos de relación que se pueden determinar entre sus elementos tomados de dos en dos,
determina la estructura del conjunto, lo veremos con un ejemplo:
Dado el conjunto A:
y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver
que solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto,
en este caso representado por las flechas.

7. En este caso podemos decir, como enumeración de las relaciones entre los elementos del
conjunto A.
o como conjunto de pares ordenados:
También podemos representar una relación binaria homogénea como una correspondencia
de A sobre A:
Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, nos
permite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinando
una operación o función de cálculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta,
que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional,
y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con
el a.
En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos de
correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneas
Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:
Dado el producto de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación
binaria será el subconjunto de que contiene todos los pares de elementos
relacionados.
d (a, d) (b, d) (c, d) (d, d)
c (a, c) (b, c) (c, c) (d, c)

8. Si el producto es: b (a, b) (b, b) (c, b) (d, b)
a (a, a) (b, a) (c, a) (d, a)
A×A a b c d
el conjunto R de la relación binaria se representa:
Nótese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el
conjunto final.
Propiedades de las relaciones binarias homogénea
Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen
parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:
Propiedad reflexiva
Artículo principal: Relación reflexiva.
Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento esta relacionado consigo mismo,
si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la
relación no es reflexiva.
Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la
relación binaria R.
Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción,
si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:
No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la
relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.
Propiedad irreflexiva
Artículo principal: Relación irreflexiva.

9. Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o
antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:
Que también puede expresarse
No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.
Propiedad simétrica
Artículo principal: Relación simétrica.
Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b)
pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:
Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también
pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a)
tampoco tiene que pertenecer a esa relación:
No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a
R.
Propiedad antisimétrica
Artículo principal: Relación antisimétrica.
Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b)
y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:
Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado con
b y b este relacionado con a
Propiedad transitiva
Artículo principal: Relación transitiva.

10. Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del
conjunto, si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a esta relacionado
con c:
Propiedad total
Artículo principal: Relación total.
Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a esta
relacionado con b ó b esta relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo:
Relación bien fundada
Artículo principal: Relación bien fundada.
Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se
dice bien fundada, si pata todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal
que para todo b de B, y b sistinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.
Esto es para todo subconjunto B de A, existe un m en B, que el elemento mínimo de ese
subconjunto.

11. Clases de las relaciones binarias homogénea
Partiendo de las propiedades que una relación binaria homogéneas puede tener, se pueden
diferenciar algunas por su especial interés:
Relación reflexiva
La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados,
téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy
particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.
Las relaciones reflexivas son las definidas así:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta

12. relacionado consigo mismo.
El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad, así dado un conjunto de
números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que
todo número natural es igual a sí mismo.
Dado un conjunto A, formado los siguientes elementos:
Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así:
Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la
relación:
Luego la relación R es reflexiva.
La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas.
En el eje horizontal (ordenadas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y
en el eje vertical(abscisas) el conjunto final, de abajo a arriba, si un determinado par

13. pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se
deja en blando, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria.
En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares
ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal
tienen aspas, la relación es reflexiva
Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que:
Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R.
En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados,
donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y
llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la
diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo
elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo.
Relación no reflexiva
Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la
propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un
caso particular de relación no reflexiva son las irreflexivas en las que ningún elemento del
conjunto esta relacionado consigo mismo, puede verse que si en una relación binaria
algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no la relación no es reflexiva
y tampoco es irreflexiva. Ver diagrama:

14. Las relaciones irreflexivas es un caso de las no reflexivas.
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria es relación irreflexiva, si cumple:
1.- Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si todo elemento a de A no esta
relacionado consigo mismo.
También podemos decir que una relación es irreflexiva si:
Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a esta relacionado
consigo mismo.
Dado el conjunto:
y la relación entre los elementos de este conjunto:
Podemos ver que:
Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R,
luego esta relación en irreflexiva.

15. La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal
principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación.
La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el
cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una
relación es reflexiva, tenemos que:
y si es irreflexiva, se cumple:
Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento
contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO
irreflexiva simultáneamente:
Una relación binaria es no reflexiva si:
Y una relación es no irreflexiva cuando:
Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no
reflexiva y no irreflexiva:
veamos un ejemplo, dado el conjunto:

16. En la que se ha definido la relación binaria:
Podemos ver que:
Y también que:
Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.
Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la
diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y
tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no
reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma
relación.
En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones:
Relaciones reflexivas
Relaciones irreflexivas
Relaciones no reflexivas y no irreflexivas.
Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva
simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente.

17. Relación de dependencia
Artículo principal: Relación de dependencia.
Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria es relación de dependencia, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva, si todo elemento a de A esta
relacionado consigo mismo.
2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica, si un elemento a esta relacionado
con otro b, entonces el b también esta relacionado con el a.
Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la
distancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia:
y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo un
valor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es:
es una relación de dependencia, dado que es reflexiva:
es simétrica:
relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que:

18. que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, no
implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación de
dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si
denota una dependencia entre ellos.
Conjunto preordenado
Artículo principal: Conjunto preordenado.
Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria define un conjunto preordenado, si cumple:
1.- Relación binaria reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta
relacionado consigo mismo.
2.- Relación binaria transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta
relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también
relacionado con el c.
Relación de equivalencia
Artículo principal: Relación de equivalencia.
Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:4
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria es relación de equivalencia, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta

19. relacionado consigo mismo.
2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica si un elemento a esta relacionado
con otro b, entonces el b también esta relacionado con el a.
3.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado
con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado
con el c.
Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases de
equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los
subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto A, entre ellos son
disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A, veamos un ejemplo.
En Aritmética modular se define la operación modulo como el resto de la división, así:
el resto de dividir 5 entre 2 es 1
el resto de dividir 6 entre 3 es 0
el resto de dividir 7 entre 3 es 1
se dice que dos números son congruentes modulo n, si al dividir cada uno de esos números
por n dan el mismo resto:
el 8 y el 17 son congruentes modulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por
resto 2.
La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una Relación de
equivalencia, dado que es reflexiva:

20. es simétrica:
y es transitiva
Conjunto parcialmente ordenado
Artículo principal: Conjunto parcialmente ordenado.
Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R si
la relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria define un conjunto parcialmente ordenado,
si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta
relacionado consigo mismo.
2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado
con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado
con el c.
3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado
(a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.

21. Tomando un conjunto A, formado, por ejemplo, por los elementos:
Definimos el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A:
A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:
Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el
primero es Subconjunto del segundo:
La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmente
ordenado, al ser reflexiva:
Transitiva:

22. Antisimetrica:
Por lo que el conjunto de las partes de A, respecto a la relación binaria pertenencia es un
conjunto parcialmente ordenado.
Esta relación no es total dado que:
Que se denominan no comparables, los pares de conjuntos no comparables son:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las
flechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial.

23. Orden total
Artículo principal: Orden total.
Un conjunto A se dice que esta totalmente ordenado respecto a una relación binaria R si la
relación R es reflexiva, transitiva, antisimétrica y total:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria define un orden total, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta
relacionado consigo mismo.
2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado
con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado
con el c.
3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado
(a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.
4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del
conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó bien b esta relacionado con a.
Si tomamos el conjunto de los números enteros Z, por ejemplo, respecto a la relación
binaria entre sus elementos menor o igual, podemos ver que es reflexiva:
es transitiva:

24. es antisimetrica:
y es total:
Conjunto bien ordenado
Artículo principal: Conjunto bien ordenado.
Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, se dice que es
un conjunto bien ordenado si cumple:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria define un conjunto bien ordenado, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta
relacionado consigo mismo.
2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado
con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado
con el c.
3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado
(a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.
4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del

25. conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó bien b esta relacionado con a.
5.- Relación bien fundada: dado un conjunto A y una relación R, entre los
elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si pata todo
subconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B,
distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.
Relación binaria heterogénea
Artículo principal: Correspondencia matemática.
Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea cuando A es distinto
de B:
Lo que también se llama correspondencia matemática.5 6
A la derecha podemos ver lo que se denomina un diagrama sagital, en el cual se
representan los dos conjuntos de la relación binaria, asociando los elementos de uno y otro
conjunto con una flecha, que sale del elemento origen y llega al elemento imagen, en el
diagrama pueden verse un conjunto de pinceles con pintura de color y un conjunto de caras
pintadas, asociando a cada pincel la cara que esta pintada del mismo color.
Puede haber pinceles o caras del mismo color, pero deben ser considerados como elementos
distintos del conjunto, si dos pinceles o dos caras son del mismo color tienen la misma
característica color, siendo elementos del conjunto diferentes.

26. En el diagrama podemos ver el conjunto inicial de pinceles P, sobre el que esta definida la
relación:
, , ,
Solo algunos elementos del conjunto origen tienen asociado un elemento, estos elementos
forman el conjunto origen:
, ,
Y el conjunto final de caras pintadas C es:
, , ,
Los elementos del conjunto final a los que se les ha asociado un origen se llama conjunto
imagen:
, ,
La relación binaria es la formada por los pares ordenados:
, , , ,
Una relación binaria homogénea:
Puede ser tratada como heterogénea considerando el conjunto inicial y final como distintos,
si lo que se esta tratando es una correspondencia, con la misma validez que si los conjuntos
serían distintos, pudiendo realizar simultáneamente su análisis como relación homogénea,
si es factible.

27. Propiedades de las relaciones binarias heterogénea
Partiendo de una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:
Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones, que nos permiten
diferenciar los subtipos de correspondencias.
Condición de existencia de imagen. (ei)
La condición de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera a de
A tiene al menos una imagen b en B.

28. para todo elemento a de A se cumple que existe al menos un b de B, a y b estén
relacionado.
En la figura podemos ver el conjunto P de los pinceles:
,
y el C de las caras pintada:
, , ,
Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color, podemos ver que todos
los pinceles tienen al menos una cara asociada.
Condición de existencia de origen. (eo)
La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento b de B tiene al menos un
origen a en A.
para todo b de B se cumple que existe un a en A y que a y b están relacionados.
Si vemos la figura podemos ver el conjunto P de pinceles con pintura:
, , ,
y el conjunto C de caras pintada:

29. ,
Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color. Cada uno
de los elementos del conjunto final tiene un origen.
Condición de unicidad de imagen. (ui)
La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos a de A que están
relacionados con algún b de B está relacionado con un único elemento b de B, es decir:
si un elemento a de A esta relacionado con dos elementos b de B esos dos elementos son
iguales.
Condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tengan
una sola imagen, pero no garantiza que todos los elementos de A tengan imagen, esta
diferencia es importante.
En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto P:
, , ,
Y el conjunto final C, de caras pintada:
, ,
Los pinceles que tienen una cara relacionada, tienen una sola cara relacionada.

30. Condición de unicidad de origen. (uo)
La condición de unicidad de origen dice: que los elementos b de B que están relacionados
con algún a de A está relacionado solo con un único elemento a de A, es decir:
En el diagrama tenemos el conjunto inicial P de pinceles con pintura de colores:
, , ,
y el conjunto final C de caras pintadas:
, , ,
Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color, podemos ver que las caras que
tienen un pincel relacionado, solo tienen un pincel relacionado, esto es un solo origen, no
todas las caras tienen un origen, pero las que lo tienen, tienen un solo origen.
Galería de ejemplos
Según las cuatro condiciones expuestas, cada una de ellas independiente de las demás,
podemos ver una serie de ejemplos ilustrativos de los casos que se pueden presentar.
Utilizaremos como conjunto inicial el conjunto de tubos de pintura T, y como conjunto
final el de pinceles P, asociando cada tubo de pintura con el pincel del mismo color.

31. Correspondencia Correspondencia C. Unívoca Aplicación
Existencia imagen: no Existencia imagen: si Existencia imagen: no Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no Unicidad imagen: no Unicidad imagen: si Unicidad imagen: si
Existencia origen: no Existencia origen: no Existencia origen: no Existencia origen: no
Unicidad origen: no Unicidad origen: no Unicidad origen: no Unicidad origen: no
Correspondencia Correspondencia C. Unívoca A. Sobreyectiva
Existencia imagen: no Existencia imagen: si Existencia imagen: no Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no Unicidad imagen: no Unicidad imagen: si Unicidad imagen: si
Existencia origen: si Existencia origen: si Existencia origen: si Existencia origen: si
Unicidad origen: no Unicidad origen: no Unicidad origen: no Unicidad origen: no

32. Correspondencia Correspondencia C. Biunívoca A. Inyectiva
Existencia imagen: no Existencia imagen: si Existencia imagen: no Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no Unicidad imagen: no Unicidad imagen: si Unicidad imagen: si
Existencia origen: no Existencia origen: no Existencia origen: no Existencia origen: no
Unicidad origen: si Unicidad origen: si Unicidad origen: si Unicidad origen: si
Correspondencia Correspondencia C. Biunívoca A. Biyectiva
Existencia imagen: no Existencia imagen: si Existencia imagen: no Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no Unicidad imagen: no Unicidad imagen: si Unicidad imagen: si
Existencia origen: si Existencia origen: si Existencia origen: si Existencia origen: si
Unicidad origen: si Unicidad origen: si Unicidad origen: si Unicidad origen: si

33. Clases de las relaciones binarias heterogénea
Partiendo de las características de las relaciones binarias heterogéneas, podemos diferenciar
los siguientes casos.
Correspondencia unívoca
Artículo principal: Correspondencia unívoca.
Una correspondencia es unívoca si cumple la condición de unicidad de imagen:
Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:
Esta relación es una correspondencia unívoca, si cumple:
1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de
imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
Esta condición en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea considerada
unívoca.

34. Correspondencia biunívoca
Artículo principal: Correspondencia biunívoca.
Una correspondencia es biunívoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen y
unicidad de origen:
Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:
Esta relación es una correspondencia biunívoca, si cumple:
1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de
imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
2.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen
si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:
Aplicación
Artículo principal: Aplicación matemática.
Una correspondencia se denomina aplicación7 8 si cumple la condición de unicidad de
imagen y de existencia de imagen.
El término función se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numéricos.9
Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más
cantidades.10
Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:
Esta relación es una aplicación, si cumple:
1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de

35. imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de
imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:
Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicación.
Aplicación inyectiva
Artículo principal: Aplicación inyectiva.
Una correspondencia es una aplicación inyectiva si cumple la condición de unicidad de
imagen, existencia de imagen y unicidad de origen.
Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:
Esta relación es una aplicación inyectiva, si cumple:
1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de
imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de
imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:
3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen
si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:
Como puede verse una aplicación que cumple la condición de unicidad de origen es una
Aplicación inyectiva.

36. De otra forma no tan usual, podemos decir que una correspondencia biunívoca que cumpla
la condición de existencia de imagen también es una aplicación inyectiva.
Aplicación sobreyectiva
Artículo principal: Aplicación sobreyectiva.
Una correspondencia se llama Aplicación sobreyectiva si cumple la condición de unicidad
de imagen, existencia de imagen y existencia de origen:
Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:
Esta relación es una aplicación sobreyectiva, si cumple:
1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de
imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de
imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:
3.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de
origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:
Se puede decir que una aplicación sobreyectiva, es una aplicación que cumple la condición
de existencia de origen.
Aplicación biyectiva
Artículo principal: Aplicación biyectiva.
Una correspondencia es una aplicación biyectiva si cumple las condiciones de unicidad de
imagen, existencia de imagen, unicidad de origen y existencia de origen:
Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

37. Esta relación es una aplicación biyectiva, si cumple:
1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de
imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de
imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:
3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen
si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:
4.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de
origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:
Una Aplicación es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.
Propiedades
Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R será:
Relación simétrica
Relación antisimétrica
Relación reflexiva
Relación irreflexiva
Relación transitiva
Relación intransitiva
Relación circular

38. Relación total