O documento apresenta 10 problemas matemáticos resolvidos pelo professor Helanderson Sousa. Os problemas envolvem simplificação de expressões, determinação de valores de somas, cálculo de expressões e prova de identidades.

1. PROFESSOR HELANDERSON SOUSA<br />Problema 1<br />Simplifique a expressão:<br />S = ( 13 + 14 + ... + 12009 )( 1 + 12 + ... + 12008 ) - ( 1+ 13 + 14 + ... + 12009 )( 12 + ... + 12008 )<br />Problema 2<br />Determine o valor da soma<br />11+2 + 11+2+3 + ... + 11+2+…+51<br />Problema 3<br />Calcule:<br />32+132-1 + 52+152-1 + 72+172-1 + ... + 992+1992-1<br />Problema 4<br />Simplificando a expressão abaixo, podemos escrevê-la em sua forma mais simples como a/b<br />1 - 2(1).(1+2) - 3(1+2).(1+2+3)- 4(1+2+3).(1+2+3+4) - ... - 100(1+2+3+…+99).(1+2+3+4+…+100) = ab<br /> <br />Determine o valor de m= (ba + lna)<br />Problema 5 <br />Ache o valor da soma<br />11+12+14 + 22+22+24 + 33+32+34 + ... + 5050+502+504<br />Problema 6<br />Se N = 1212-10+50 + 2222-20+50 + 3232-30+50 + ... + 802802-80+50<br />Determine a soma dos algarismos do número formado pela soma de todos os inteiros positivos menores que N<br />Problema 7<br />Dado que n é um número inteiro positivo, determine o valor de n que cumpre a seguinte igualdade<br />n3-3n3 + n3-4n3 + n3-5n3 + ... + 5n3 + 4n3 + 3n3 = 169<br />Problema 8<br />Se x = 1 + 1x +1x +1x +… e y = 2+2+2+2+… Determine o valor de xy<br />Problema 9<br />(ALEMANHA 2006)Prove que o produto de 4 algarismos inteiros positivos consecutivos mais um é sempre um quadrado perfeito.<br />Problema 10<br />Qual o valor da soma<br />S = 20082-20072+20062-20052+…+22-1<br />lefttop<br /> Helanderson Sousa <br />SOLUÇÕES<br />1 – Chamemos N = 13 + 14 + ... + 12009 e M = 12 + ... + 12008<br /> S = N(M + 1) – (1 + N)M = NM + N – M – NM = N – M = 13 + 14 + ... + 12009 - (12 + ... + 12008 ) <br />Efetuando as subtrações temos<br />12009 - 12 = - 20074018 Legal né <br />2 - Para o n-ezimo termo da soma, faremos <br />11+2+…+(n+1) = 1n+1(n+2)2 = 2n+1(n+2) = 2 (1n+1-1n+2 )<br />Portanto<br />11+2 + 11+2+3 + ... + 11+2+…+51 = 2[ (12-13) + ... + (151 - 152)]<br />Efetuando as subtrações teremos<br />2[ (12-152) ] = 2526<br />3- A experiência em resolver problemas, nos permite expressar de uma forma conveniente e expressão dada.<br />É fácil ver que:<br />32+132-1 + 52+152-1 + 72+172-1 + ... + 992+1992-1 = ( 1 + 232-1) + ( 1 + 252-1) + ... + ( 1 + 2992-1)<br />= 1 + 1 + ... + 1 + 232-1 + 252-1 + ... + 2992-1 <br />(onde o 1 aparece 49 vezes,é fácil notar isso por P.A)<br />Assim teremos:<br />49 + 13-1-13+1 + ... + 199-1-199+1 , efetuando as subtrações teremos<br />49 + 12-1100 = (4910)2<br />4- Notemos inicialmente que:<br />11+2+3+…+n+1[1+2+3+…+n] = nn(n+1)2.n(n-1)2 = 2( 1n-1n-1n+1n)<br />Assim<br />1 – (2(1).(1+2) + 3(1+2).(1+2+3)+ 4(1+2+3).(1+2+3+4) + ... + 100(1+2+3+…+99).(1+2+3+4+…+100)) =<br />1 -2[(11.2-12.3) + ( 12.3-13.4) + (13.4-14.5) + ... + (199.100-1100.101)] =<br />1 -2[(11.2-1100.101) efetuando as multiplicações e subtrações simples chegamos a<br />1 - 2(1).(1+2) - 3(1+2).(1+2+3)- 4(1+2+3).(1+2+3+4) - ... - 100(1+2+3+…+99).(1+2+3+4+…+100) = 15050<br />15050= ab como a fração está na sua forma mais reduzida teremos a = 1 e b = 5050<br />n = 50501+ ln1=5050<br />5- Para todo n positivo e inteiro teremos<br />1 + n2 + n4 = (n2+1)2-n2 = (n2-n+1)(n2+n+1)<br />Logo n1 + n2 + n4 = n(n2-n+1)(n2+n+1) = 12[1nn-1+n-1nn+1+n]<br />Portanto<br />11+12+14 + 22+22+24 + 33+32+34 + ... + 5050+502+504 = 12[(11-13) + (13-17) + ... + (150.49+1-150.51+1)]<br />Assim podemos cancelas várias parcelas<br />E nos resta<br />12(1-150.51+1) = 12752551 <br />6 - N = 1212-10+50 + 2222-20+50 + 3232-30+50 + ... + 802802-80+50<br />Para todo inteiro positivo temos<br />n2n2-10n+50+(10-n)2(10-n)2-10(10-n)+50 = 2n2n2+ (10-n)2 + 2(10-n)2(10-n)2+ n2 = 2<br />Portanto<br />1212-10+50 + 2222-20+50 + ...+ 9292-90+50 <br />Reagrupando os termos e considerando a igualdade acima<br />[(1212-10+50) +( 9292-90+50 )] + ... + [(2222-20+50 + 8282-80+50)] + 5252-50+50 <br />Teremos: 1212-10+50 + 2222-20+50 + 3232-30+50 + ... + 802802-80+50 2x4 + 1 = 9<br />A soma de todos os inteiros menores que 9 é 1+2+3+4+5+6+7+8 =36 <br />Assim o valor pedido é 3 + 6 = 9<br />7- Podemos escrever da seguinte forma <br />n3-3n3 + n3-4n3 + n3-5n3 + ... + 5n3 + 4n3 + 3n3 = 1 - 3n3 + 1 - 4n3 + ... + 1 - n3-3n3 = 169 = (n3-5) - (3n3 + 4n3 + ... + n3-3n3) = 169<br />Do enunciado podemos escrever <br /> n3-5 - 169 = 169 <br />n3 = 343<br />n = 7<br />8 - x = 1 + 1x +1x +1x +… = 1 + 1x-1 +(1x +…) = 1 + 1x-1 +x ↔ 2x2- 3x=0<br />X = 0 (não convém) ou x = 3/2<br />Para y teremos<br />y = 2+2+2+2+… ↔ y = 2+y ↔ y2= 2 + y onde a solução que convém é y = 2<br />Assim xy = (2/3)2 = 4/9<br />9- (2n + 1)(2n + 3)(2n – 1)(2n – 3) + 16 = (4n2-1)( 4n2- 9) + 16 = 16n4 - 10n2 + 25 = (4n2- 5)2<br />10 –(helanDICA!!!! ) Use o produto notável (x + y)(x – y) = x2+ y2<br />A resposta é 2.017.036 <br />SUGESTÕES, DÚVIDAS E COLABORAÇÕES<br />helandersomslavyero@hotmail.com<br />