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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Razones
trigonométricas para
ángulos notables
ÁNGULOS DE 30° Y 60°
Para determinar las razones
trigonométricas de los ángulos de 30°
y
60°, se utiliza una construcción
auxiliar
de un triángulo equilátero.
CONSTRUCCIÓN DE LOS
ÁNGULOS DE 30° Y 60°
60°
30°
l
l /2
h
A
C
B
Razones trigonométricas de
ángulos notables
• Como el ABC es equilátero, se observa que
A = B = C = 60° ; CD es la altura sobre
AB, mediatriz de AB y bisectriz de C.
• Por lo anterior CDB = 90° , DCB = 30° y
DB = además:
l
2
1
Razones trigonométricas de
ángulos notables
2
2
2
2
h
l
l 





 Por Pitágoras
l
ll
lh
2
3
4
3
4
22
2

Despejando h y simplificando
Razones trigonométricas del
ángulo de 30°
• Ahora podemos calcular las razones
trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°
del triángulo.
230csc
3
3
3
1
30tan
3
32
3
2
30sec
2
3
30cos
3
1
3
30cot
2
1
30


sen
Razones trigonométricas del
ángulo de 60°
3 1 3
60 cot60
2 33
1
cos60 sec 60 2
2
3 2 2 3
tan60 3 csc 60
1 33
sen     
   
     
Razones trigonométricas del
ÁNGULO DE 45°
°
Para determinar las razones
trigonométricas del ángulo de 45°, se
utiliza un triángulo rectángulo isósceles.
CONSTRUCCIÓN DEL
TRIÁNGULO DE 45°
45°
45°
l
l
A B
C
Razones trigonométricas de
ángulos notables
• Como el ABC es rectángulo se
verifican , entre otras, las siguientes
propiedades:
B = 90°, A = C = 45°, AB = BC = l
Además:
  

2 2 2 2
2
2
h l l l
h l
Por Pitágoras
Razones trigonométricas del
ángulo de 45°
• Ahora podemos calcular las razones
trigonométricas del ángulo de 45°.
      
      
1 2
45 tan45 1 sec45 2
22
1 2
cos45 cot45 1 csc45 2
22
sen
Razones trigonométricas de
ÁNGULOS de 0° y 90°
Recordemos que según los visto en el tema
de funciones trigonométricas de ángulos
cuadrantales:
     
     
     
     
0 0 tan0 0 sec0 1
cos0 1 cot0 csc0
90 1 tan90 sec90
cos90 0 cot90 0 csc90 1
sen
Ind Ind
sen Ind Ind
Razones trigonométricas de
ángulos notables
Nota: Recordar siempre las siguiente
equivalencias: 













tan
cos
cos
cot
1
sec
cos
1
csc
sen
sen
sen
Razones trigonométricas de
ángulos notables
Ejemplo: Determinar el valor de la
siguiente expresión:
Solución: como y
entonces.
  ) 30 60a sen sen
 
1
30
2
sen  
3
60
2
sen

     
1 3 1 3
30 60
2 2 2
sen sen
Razones trigonométricas de
ángulos notables
Ejemplo 2: Determinar el valor de la
siguiente expresión:
Solución: Sabemos por conversión de
ángulos del sistema cíclico a sexagesimal
que:
 
) tan sec
3 6
b


 
 
60
3
30
6
rad
rad
Razones trigonométricas de
ángulos notables
Entonces:
entonces
 
    
   
tan sec tan30 sec30
3 6
0 3 3
 
  tan sec 3
3 6
Razones trigonométricas de
ángulos notables
Ejercicios para practicar:
Hallar el valor de las siguientes
expresiones:
 
   

) 45 60° ) sen 90° tan45
2 45°
c) tan sec d)
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a sen sen b
sen
sen
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  • 3. ÁNGULOS DE 30° Y 60° Para determinar las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, se utiliza una construcción auxiliar de un triángulo equilátero.
  • 4. CONSTRUCCIÓN DE LOS ÁNGULOS DE 30° Y 60° 60° 30° l l /2 h A C B
  • 5. Razones trigonométricas de ángulos notables • Como el ABC es equilátero, se observa que A = B = C = 60° ; CD es la altura sobre AB, mediatriz de AB y bisectriz de C. • Por lo anterior CDB = 90° , DCB = 30° y DB = además: l 2 1
  • 6. Razones trigonométricas de ángulos notables 2 2 2 2 h l l        Por Pitágoras l ll lh 2 3 4 3 4 22 2  Despejando h y simplificando
  • 7. Razones trigonométricas del ángulo de 30° • Ahora podemos calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60° del triángulo. 230csc 3 3 3 1 30tan 3 32 3 2 30sec 2 3 30cos 3 1 3 30cot 2 1 30   sen
  • 8. Razones trigonométricas del ángulo de 60° 3 1 3 60 cot60 2 33 1 cos60 sec 60 2 2 3 2 2 3 tan60 3 csc 60 1 33 sen               
  • 9. Razones trigonométricas del ÁNGULO DE 45° ° Para determinar las razones trigonométricas del ángulo de 45°, se utiliza un triángulo rectángulo isósceles.
  • 10. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE 45° 45° 45° l l A B C
  • 11. Razones trigonométricas de ángulos notables • Como el ABC es rectángulo se verifican , entre otras, las siguientes propiedades: B = 90°, A = C = 45°, AB = BC = l Además:     2 2 2 2 2 2 h l l l h l Por Pitágoras
  • 12. Razones trigonométricas del ángulo de 45° • Ahora podemos calcular las razones trigonométricas del ángulo de 45°.               1 2 45 tan45 1 sec45 2 22 1 2 cos45 cot45 1 csc45 2 22 sen
  • 13. Razones trigonométricas de ÁNGULOS de 0° y 90° Recordemos que según los visto en el tema de funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales:                         0 0 tan0 0 sec0 1 cos0 1 cot0 csc0 90 1 tan90 sec90 cos90 0 cot90 0 csc90 1 sen Ind Ind sen Ind Ind
  • 14. Razones trigonométricas de ángulos notables Nota: Recordar siempre las siguiente equivalencias:               tan cos cos cot 1 sec cos 1 csc sen sen sen
  • 15. Razones trigonométricas de ángulos notables Ejemplo: Determinar el valor de la siguiente expresión: Solución: como y entonces.   ) 30 60a sen sen   1 30 2 sen   3 60 2 sen        1 3 1 3 30 60 2 2 2 sen sen
  • 16. Razones trigonométricas de ángulos notables Ejemplo 2: Determinar el valor de la siguiente expresión: Solución: Sabemos por conversión de ángulos del sistema cíclico a sexagesimal que:   ) tan sec 3 6 b       60 3 30 6 rad rad
  • 17. Razones trigonométricas de ángulos notables Entonces: entonces            tan sec tan30 sec30 3 6 0 3 3     tan sec 3 3 6
  • 18. Razones trigonométricas de ángulos notables Ejercicios para practicar: Hallar el valor de las siguientes expresiones:        ) 45 60° ) sen 90° tan45 2 45° c) tan sec d) 4 3 30° a sen sen b sen sen