contiene ejercicios de la función beta para ingenieros y carreras a fines

1. Función Beta
1
𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑡 𝑥−1 (1 − 𝑡) 𝑦−1 𝑑𝑡 ; 𝑥>0 𝑦>0
0
Si hacemos 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
𝜋
Si reemplazamos limites 𝑡 = 0 → 𝜃 = 0 𝑡=1 → 𝜃= 2
Reemplazamos
𝜋
2
𝛽 𝑥, 𝑦 = 2 (𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝑥−1 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑦−1
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
0
𝜋
2
𝛽 𝑥, 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃
0
𝜋
1 2
𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃
2 0
Si hacemos
1 𝑑𝑢
𝑡= 𝑑𝑡 = 2
𝑠𝑖 𝑡 = 0 → 𝑢 = ∞ 𝑦 𝑠𝑖 𝑡=1→0=0
1+ 𝑢 1+ 𝑢
0 𝑥−1 𝑦−1
1 1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 = − 1− 2
∞ 1+ 𝑢 1+ 𝑢 1+ 𝑢
∞ 𝑥−1 𝑦−1
1 1+ 𝑢−1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 = 2
0 1+ 𝑢 1+ 𝑢 1+ 𝑢
∞
1 𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑥−1
∗ ∗
0 1+ 𝑢 1 + 𝑢 𝑦−1 1 + 𝑢 2
𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 =
1 + 𝑢 𝑥−1+𝑦−1+2
𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 =
1 + 𝑢 𝑥+𝑦

2. Teorema
ΓxΓy
𝛽 𝑥, 𝑦 = ; 𝑥>0 𝑦>0
Γ x+y
Ejemplo
𝜋
2
tan 𝜃 𝑑𝜃
0
𝜋/2 1/2
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝜃
0 cos 𝜃
𝜋/2
𝑠𝑒𝑛 1/2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 −1/2 𝜃 𝑑𝜃
0
Comparando
𝜋
1 2
𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃
2 0
1 1 3 𝟑
2𝑥 − 1 = → 2𝑥 = + 1 → 2𝑥 = → 𝒙=
2 2 2 𝟒
1 1 1 𝟏
2𝑦 − 1 = − → 2𝑦 = − + 1 → 2𝑦 = → 𝒚=
2 2 2 𝟒
Si aplicamos el teorema
Γ 3 ∗Γ 1
1 4 4
= ∗
Γ 3+1
2
4 4
Γ 3 ∗Γ 1
1 4 4 4
= ∗ ; 𝑐𝑜𝑚𝑜 Γ =Γ 1 =1
2
Γ 4 4
4

3. 1 3 1
= ∗ Γ ∗ Γ
2 4 4
1 1 1
= ∗ Γ ∗ Γ 1−
2 4 4
Aplicamos teorema de gamma
1 π
= ∗ π
2 sen
4
1 𝜋
=
2 2
2
𝜋
=
2
∞ 𝑥 𝑝 −1
Resolver 0 1+𝑥
𝑑𝑥
Por definición
𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑥 +𝑦
1+𝑢
Comparando
y-1=p-1
x+y=1
y=p
x=1–p
Reemplazamos
∞
𝑥 𝑝−1
𝑑𝑥 = 𝛽 1 − 𝑝, 𝑝
0 1+ 𝑥
= 𝛽 𝑝, 1 − 𝑝

4. Γ p Γ 1−p
=
Γ p+1−p
= Γ p Γ 1−p
Aplicamos teorema de gamma
𝜋
=
𝑠𝑒𝑛 𝑝𝜋
Resolver
∞
𝑒 2𝑥
𝑑𝑥
−∞ 𝑒 3𝑥 + 1 2
𝑢 = 𝑒 3𝑥 → ln 𝑢 = ln 𝑒 3𝑥 → ln 𝑢 = 3𝑥
1 1 𝑑𝑢
𝑥= ln 𝑢 → 𝑑𝑥 =
3 3 𝑑𝑥
Evaluamos los límites
Cuando 𝑥 = ∞ → 𝑢=∞ 𝑦 𝑥 = −∞ → 𝑢=0
1
∞ 2∗ ln 𝑢
𝑒 3 1 𝑑𝑢
2
∗
0 𝑢+1 3 𝑢
2
1 ∞
𝑒 3 ln 𝑢
= 2
𝑑𝑢
3 0 𝑢 𝑢+1
Por propiedades de euler y logaritmos
2
∞
1 𝑢3∗ 𝑢−1
= 𝑑𝑢
3 0 𝑢+1 2
−1
∞
1 𝑢3
= 2
𝑑𝑢
3 0 𝑢+1

5. 𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢
Si comparamos con 𝛽 𝑥, 𝑦 =
1+𝑢 𝑥 +𝑦
1 1 𝟐
𝑦−1= − → 𝑦= − +1→ 𝒚=
3 3 𝟑
2 𝟒
𝑥+ 𝑦 =2 → 𝑥 =2− → 𝒙=
3 𝟑
Reemplazamos
1 4 2
𝛽 ,
3 3 3
4 2
1 Γ 3 Γ 3
= ∗
3 4 2
Γ 3+3
1 1 2
1 Γ 3 Γ 3
= ∗ 3
3 6
Γ 3
1 2
1 Γ 3 Γ 3
= ∗
9 Γ(2)
Γ 2 = 1!
1 1 2
= ∗Γ Γ
9 3 3
1 1 1
= ∗Γ Γ 1−
9 3 3
Aplicamos teorema de gamma
1 π
= ∗
9 sen π
3
1 π
= ∗
9 3
2
2 π
= ∗
9 3

6. Resolver
3
𝑑𝑥
1 𝑥−1 3− 𝑥
3 1 1
− −
𝑥−1 2 3− 𝑥 2 𝑑𝑥
1
Sea x – 1 = 2y  x = 2y+1  dx = 2dy
Cuando x = 1 y = 0 cuando x=3 y=1
1 1 1
− −
= 2𝑦 2 3 − 2𝑦 + 1 2 2𝑑𝑦
0
1 1 1 1
− −
=2 2 2 (𝑦)−2 3 − 2𝑦 + 1 2 𝑑𝑦
0
1
2 −
1
−
1
= 𝑦 2 3 − 2𝑦 − 1 2 𝑑𝑦
2 0
1
2 1 1
= 𝑦 −2 2 − 2𝑦 −
2 𝑑𝑦
2 0
1 1
2 −
1 −
2
= 𝑦 2 2 1− 𝑦 𝑑𝑦
2 0
1
2 1 1 1
= 𝑦 −2 2−2 1− 𝑦 −
2 𝑑𝑦
2 0
1
2
= 𝑦 − 1/2 (1 − 𝑦)− 1/2 𝑑𝑦
2 2 0
Sea x - 1 = - ½ x=½ y – 1 = - ½  y= ½
Luego
1 1 1 1
1 1 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 1 1
𝛽 , = 1 1   Γ Γ
2 2 Γ 2 +2 Γ(1) 2 2
= 𝜋∗ 𝜋
= 𝜋 Rta

7. Ejercicio especial
Resolver
1 𝑚 −1
𝑥 1 − 𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
0 𝑥 + 𝑟 𝑚 +𝑛
𝑟+1 𝑥
Sugerencia 𝑦=
𝑟+𝑥
𝑦 𝑟+ 𝑥 = 𝑟+1 𝑥 Derivada de un cociente
𝑦𝑟 + 𝑦𝑥 = 𝑟 + 1 𝑥 𝑟(𝑟 + 1 − 𝑦) − 𝑦𝑟(−1)
𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 𝑥 − 𝑦𝑥 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 + 𝑦𝑟
𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑥 𝑟 2 + 𝑟 − 𝑦𝑟 + 𝑦𝑟
𝑦𝑟 𝑟2 + 𝑟
𝑥=
𝑟+1− 𝑦
𝑟(𝑟 + 1)
𝑟 𝑟 + 1 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑟+1− 𝑦 2
𝑠𝑖 𝑥 = 0 → 𝑦 = 0
Reemplazamos
𝑠𝑖 𝑥 = 1
𝑚 −1 𝑛−1 𝑦𝑟
𝑦𝑟 𝑦𝑟 1=
1 1− 𝑟 𝑟+1 𝑟+1− 𝑦
𝑟+1− 𝑦 𝑟+1− 𝑦
𝑚 +𝑛 2
𝑑𝑦
0 𝑦𝑟 𝑟+1− 𝑦
𝑟+1− 𝑦+ 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 = 𝑦𝑟
𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 + 1 = 𝑦𝑟 + 𝑦
1
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 −1 𝑟+1− 𝑦 𝑟 𝑟+1
𝑚 +𝑛 2
𝑑𝑦 𝑟+1= 𝑦 𝑟+1
0 𝑦𝑟 + 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑟+1− 𝑦
𝑟+1− 𝑦 𝑟+1
= 𝑦
𝑟+1
𝑦𝑟 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1
1
𝑟+1− 𝑦 𝑚 −1 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑛−1 𝑟(𝑟 + 1) 1= 𝑦
2 + 𝑟 − 𝑦𝑟 𝑚 +𝑛 𝑑𝑦
0 𝑦𝑟 + 𝑟 (𝑟 + 1 − 𝑦)2
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛
𝑚 −1
𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 2 + 𝑟
1
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 −1+𝑛−1+2
𝑑𝑦
0 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛

8. 𝑚 −1
𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟2 + 𝑟
1
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛
𝑑𝑦
0 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛
1 𝑚 −1
𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 2 + 𝑟 𝑟+1− 𝑦 𝑚 +𝑛
𝑑𝑦
0 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛
1 𝑚 −1 𝑛−1
𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑟2 + 𝑟
𝑑𝑦
0 𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛
1 𝑚 −1 𝑛−1
𝑦𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
2 + 𝑟 𝑚 +𝑛−1
𝑑𝑦
0 𝑟
1 𝑚 −1 𝑚−1 𝑛−1
𝑦 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
𝑑𝑦
0 𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1
1 𝑚 −1 𝑚−1 𝑛−1
𝑦 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
𝑚 +𝑛−1
𝑑𝑦
0 𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1
𝑚 +𝑛−1 −𝑚 +1 𝑚 +𝑛−1−𝑚 +1 𝑛
𝑟 ∗ 𝑟 = 𝑟 = 𝑟
1 𝑚 −1 𝑛−1
𝑦 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
𝑛
𝑑𝑦
0 𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1
Como m, n, r son constantes son sacadas de la integral
1
1 𝑚 −1 𝑛−1
𝑛 𝑚 +𝑛−1
𝑦 𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑑𝑦
𝑟 𝑟+1 0
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 − 𝑦(1 + 𝑟)
= 𝑟 + 1 (1 − 𝑦)
Nos queda entonces
1
1 𝑚 −1 𝑛−1
𝑛 𝑚 +𝑛−1
𝑦 𝑟+1 (1 − 𝑦) 𝑛−1 𝑑𝑦
𝑟 𝑟+1 0
𝑟 + 1 𝑛−1 1
𝑚 −1 𝑛−1
𝑛
𝑦 1− 𝑦 𝑑𝑦
𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1 0
1
1 𝑚 −1
𝑛 𝑚
𝑦 (1 − 𝑦) 𝑛−1 𝑑𝑦
𝑟 𝑟+1 0

9. Si comparamos con
1
𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑡 𝑥−1 1 − 𝑡 𝑦 −1
𝑑𝑡 ; 𝑥>0 𝑦>0
0
𝑥−1= 𝑚−1 → 𝑥 = 𝑚
𝑦−1= 𝑛−1 → 𝑦 = 𝑛
Reemplazamos los nuevos valores
1
= 𝑛 𝛽(𝑚, 𝑛) … Rta
𝑟 𝑟+1 𝑚