1. ECUACIONES DIFERENCIALES
J22
ECUACIONES DIFERENCIALES
JAIR OSPINO ARDILA
VALLEDUPAR-CESAR
~1~

2. ECUACIONES DIFERENCIALES
J22
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL
La E.D. de Bessel es la ecuación diferencial de segundo orden lineal propuesta por
2
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑛2 𝑦 = 0.
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
De manera equivalente, dividiendo por𝑥 2 ,
𝑑 2 𝑦 1 𝑑𝑦 𝑛2
+ + 1− 2 𝑦 = 0.
𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑥
Las soluciones a esta ecuación definen las funciones de Bessel𝐽 𝑛 𝑥 y 𝑌 𝑛 𝑥 . La
ecuación tiene una regular singularidad a 0 y una regular singularidad en ∞.
Una versión transformada de la ecuación diferencial de Bessel propuesta por Bowman
(1958) es
2
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑥 + (2𝑝 + 1)𝑥 + 𝑎2 𝑥 2𝑟 + 𝛽 2 𝑦 = 0.
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
La solución es
𝛼 𝛼
𝑦 = 𝑥 −𝑝 𝐶1 𝐽 𝑞/𝑟 𝑥 𝑟 + 𝐶2 𝑌 𝑞/𝑟 𝑥𝑟 ,
𝑟 𝑟
Donde
𝑞≡ 𝑝2 − 𝛽 2 ,
𝐽 𝑛 𝑥 y 𝑌 𝑛 𝑥 son las funciones de Bessel de primera y segunda clase , y 𝑐1 y𝑐2 son
constantes. Otra forma se da por dejar que 𝑦 = 𝑥 𝜕 𝐽 𝑛 𝛽𝑥 𝑦 , 𝑛 = 𝑦𝑥 −𝜕 , 𝑌 𝜀 =
𝛽𝑥 𝑦 (Bowman, 1958, p.117), a continuación,
𝑑 2 𝑦 2𝛼 − 1 𝑑𝑦 2 2 2𝑦−2
𝛼 2 − 𝑛2 𝑦 2
− + 𝛽 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 0.
𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2
La solución es
~2~

3. ECUACIONES DIFERENCIALES
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𝑥 𝛼 𝐴 𝐽 𝑛 𝛽𝑥 𝑦 + 𝐵 𝑌 𝑛 𝛽𝑥 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑛
𝑦= 𝛼
𝑥 𝐴 𝐽 𝑛 𝛽𝑥 𝑦 + 𝐵 𝐽−𝑛 𝛽𝑥 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑛.
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE
La ecuación diferencial de Legendre es la ecuación diferencial normal de segundo
orden.
2
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
1− 𝑥 − 2𝑥 + 1 𝑙 + 1 𝑦 = 0,
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
Que puede ser reescrito
𝑑 𝑑𝑦
(1 − 𝑥 2 ) + 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0.
𝑑𝑥 𝑑𝑥
El formulario anterior es un caso especial de la "ecuación diferencial de Legendre
asociada" llamada correspondiente al caso𝑚 = 0.La ecuación diferencial de Legendre
tiene puntos singulares regulajres en −1, 1 y ∞.
Si la variable x se sustituye por cos 𝜃 , Entonces la ecuación diferencial de Legendre
se convierte en
𝑑 2 𝑦 cos 𝜃 𝑑𝑦
+ + 𝑙 𝑙 + 1 𝑦 = 0,
𝑑𝜃 2 sin 𝜃 𝑑𝜃
derivados a continuación para el asociado (𝑚 ≠ 0) Caso.
Dado que la ecuación diferencial de Legendre es una ecuación ordinaria de segundo
orden, tiene dos soluciones linealmente independientes. Una solución𝑃1 (𝑥) que es
regular en los puntos finitos, se llama una función de Legendre de primera especie,
mientras que una solución 𝑄1 (𝑥) que es singular en ±1, se llama una función de
Legendre de segunda especie . Si l es un número entero, la función de la primera clase
se reduce a un polinomio conocido como el polinomio de Legendre .
La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de Frobenius,
haciendo un desarrollo en serie con 𝑘 = 0 ,
∞
𝑦= 𝑎𝑛 𝑥𝑛
𝑛 =0
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4. ECUACIONES DIFERENCIALES
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∞
𝑦′ = 𝑛 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−1
𝑛=0
∞
𝑦′′ = 𝑛 𝑛 − 1 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−2
𝑛=0
Enchufar el aparato,
∞ ∞ ∞
2 𝑛−2 𝑛−1
(1 − 𝑥 ) 𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑥 − 2𝑥 𝑛𝑎 𝑛 𝑥 + 𝑙(𝑙 + 1) 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑛 =0 𝑛 =0 𝑛=0
∞ ∞
𝑛 𝑛 − 1 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−2 − 𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑥𝑛
𝑛 =0 𝑛=0
∞ ∞
𝑛−1
−2𝑥 𝑛𝑎 𝑛 𝑥 + 𝑙 𝑙+1 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑛=0 𝑛=0
∞ ∞
𝑛 𝑛 − 1 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−2 − 𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑥𝑛
𝑛 =0 𝑛=0
∞ ∞
−2𝑥 𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−1 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑛=0 𝑛=0
∞ ∞
𝑛 + 2 (𝑛 + 1)𝑎 𝑛+2 𝑥 𝑛 − 𝑛(𝑛 − 1)𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑛=0 𝑛 =0
∞ ∞
−2 𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑛 =0 𝑛 =0
∞
{(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)𝑎 𝑛+2 + [−𝑛 𝑛 − 1 − 2𝑛 + 𝑙(𝑙 + 1)]𝑎 𝑛 } = 0,
𝑛 =0
por lo que cada término debe desaparecer y
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5. ECUACIONES DIFERENCIALES
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𝑛+1 𝑛 + 2 𝑎 𝑛+2 + −𝑛 𝑛 + 1 + 𝑙(𝑙 + 1) 𝑎 𝑛 = 0
𝑛 𝑛 + 1 − 𝑙(𝑙 + 1)
𝑎 𝑛+2 = 𝑎𝑛
𝑛 + 1 (𝑛 + 2)
[𝑙 + 𝑛 + 1 ](𝑙 − 𝑛)
𝑎 𝑛+2 = − 𝑎𝑛
𝑛 + 1 (𝑛 + 2)
Por lo tanto,
𝑙 𝑙+1
𝑎2 = − 𝑎0
1.2
𝑙 − 2 (𝑙 + 3)
𝑎4 = − 𝑎2
3∗4
𝑙 − 2 𝑙 [(𝑙 + 1)(𝑙 + 3)]
𝑎4 = (−1)2 𝑎0
1∗2∗3∗4
𝑙 − 4 (𝑙 + 5)
𝑎6 = − 𝑎4
5∗6
𝑙 − 4 𝑙 − 2 𝑙 [(𝑙 + 1)(𝑙 + 3)(𝑙 + 5)]
𝑎6 = (−1)3 𝑎0
1∗2∗3∗4∗5∗6
Por lo que la solución par es
∞
𝑛
𝑙 − 2𝑛 + 2 … 𝑙 − 2 𝑙 𝑙 + 1 𝑙 + 3 … 𝑙 + 2𝑛 − 1
𝑦1 𝑥 = 1 + −1 𝑥
2𝑛 !
𝑛 =1
Del mismo modo, la solución impar es
∞
𝑙 − 2𝑛 + 1 … 𝑙 − 3 𝑙 − 1 𝑙 + 2 𝑙 + 4 … 𝑙 + 2𝑛
𝑦2 𝑥 = 𝑥 + (−1) 𝑛
2𝑛 + 1 !
𝑛=1
Si l es un entero, la serie y1(x) se reduce a un polinomio de gradol con sólo
hastapotencias de xy la serie y2(x) diverge. Si l es un impar entero, la serie y2(x) se
reduce a un polinomio de grado l con sólo impares de xy la serie y1(x) diverge. La
solución general para un número enterolentonces se da por el polinomio de Legendre
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6. ECUACIONES DIFERENCIALES
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Evenodd
𝑦1 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑐 𝑛
𝑦2 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
1 1 1
2𝐹1 − , 𝑙 + 1 ; , 𝑥 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑝𝑎𝑟
𝑃𝑛 = 𝑐 𝑛 2 2 2
1 1 3
𝑥 2 𝐹1 𝑙 + 2 , 1 − 𝑙 ; ; 𝑥 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
2 2 2
Donde 𝑐 𝑛 se seleccionara de forma que el rendimiento de la normalización 𝑃𝑛 1 = 1
y 2𝐹1 𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧 es una función hipergeometrica.
El asociado de la ecuación diferencial de Legendre es
𝑑 2
𝑑𝑦 𝑚2
1− 𝑥 + 𝑙 𝑙+1 − 𝑦 = 0,
𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 − 𝑥2
Que se puede escribir
2
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 𝑚2
1− 𝑥 − 2𝑥 + 𝑙 𝑙+1 − 𝑦=0
𝑑𝑥 2 𝑦𝑥 1 − 𝑚2
Las soluciones 𝑃1 𝑚 (𝑥) a esta ecuación se llaman los polinomios asociados de Legendre
(si l es un número entero), o las funciones asociadas de Legendre de primera especie (si l
no es un número entero). La solución completa es
𝑦 = 𝐶1 𝑃1 𝑚 𝑥 + 𝐶2 𝑄1𝑚 𝑥 ,
Donde 𝑄1𝑚 𝑥 es una función de Legendre de segunda especie.
La ecuación diferencial asociada de Legendre se escribe a menudo en una forma que se
obtiene mediante el establecimiento de 𝑥 ≡ cos 𝜃. Al conectar las identidades
𝑑𝑦 𝑑𝑦
=
𝑑𝑥 𝑑(cos 𝜃)
𝑑𝑦 1 𝑑𝑦
=−
𝑑𝑥 sin 𝜃 𝑑𝜃
𝑑2 𝑦 1 𝑑 1 𝑑𝑦
=
𝑑𝑥 2 sin 𝜃 𝑑𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
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7. ECUACIONES DIFERENCIALES
J22
𝑑2 𝑦 1 𝑑 2 𝑦 cos 𝜃 𝑑𝑦
2
= −
𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 2 sin 𝜃 𝑑𝜃
En (◇), entonces da
𝑑 2 𝑦 cos 𝜃 𝑑𝑦 cos 𝜃 𝑑𝑦 𝑚2
− +2 + 𝑙 𝑙+1 − 𝑦=0
𝑑𝜃 2 sin 𝜃 𝑑𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
𝑑 2 𝑦 cos 𝜃 𝑑𝑦 𝑚2
+ + 𝑙 𝑙+1 − 𝑦 = 0.
𝑑𝜃 2 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
Luna y Spencer (1961, p. 155) llamada
2 ′′ ′ 2 2 2
𝑞2
1− 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 − 𝑘 𝑎 𝑥 −1 − 𝑝 𝑝+1 − 2 𝑦=0
𝑥 −1
Función de onda de Legendre (Zwillinger 1997, p. 124).
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8. ECUACIONES DIFERENCIALES
J22
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE HERMITE
El segundo fin de las ecuaciones diferenciales ordinarias
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
− 2𝑥 + 𝜆𝑦 = 0. (1)
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
Esta ecuación diferencial tiene una irregularidad en ∞. Se puede resolver utilizando el
método de la serie
∞ ∞ ∞
𝑛=0 𝑛+2 𝑛 + 1 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛 − 𝑛=1 2𝑛𝑎 𝑛 𝑥𝑛+ 𝑛=0 𝜆𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 0(2)
∞
2𝑎2 + 𝜆𝑎0 + 𝑛=1 𝑛+2 𝑛 + 1 𝑎 𝑛+2 − 2𝑛𝑎 𝑛 + 𝜆𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 0.(3)
Por lo tanto,
𝜆𝑎 0
𝑎2 = − (4)
2
Y
2𝑛 −𝜆
𝑎 𝑛 +2 = 𝑎𝑛 (5)
𝑛 +2 𝑛 +1
De n=1, 2,… puesto que (4) es solo un caso especial de (5),
2𝑛 −𝜆
𝑎 𝑛 +2 = 𝑎 𝑛 (6)
𝑛 +2 𝑛 +1
De n=0, 1,…
Las soluciones linealmente independientes son luego
𝜆 (4−𝜆)𝜆 8−𝜆 4−𝜆 𝜆
𝑦1 = 𝑎0 1 − 𝑥2 − 𝑥4 − 𝑥 6 − ⋯ (7)
2! 4! 6!
(2−𝜆)𝜆 6−𝜆 2−𝜆
𝑦2 = 𝑎1 𝑥 + 𝑥3 + 𝑥 5 + ⋯ .(8)
3! 5!
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9. ECUACIONES DIFERENCIALES
J22
Esto se puede hacer de forma cerrada como
1 1 1 3
𝑦 = 𝑎0 1 𝐹1 − ; ; 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥1 𝐹1 −  − 2 ; 2 ; 𝑥 2 (9)
4 2 4
1 1
𝑦 = 𝑎0 1 𝐹1 − ; ; 𝑥 2 + 𝑎2 𝐻 𝑥 ,(10)
4 2 2
donde es una función hipergeométrica confluente de primera especie y
es un polinomio de Hermite . En particular, para=0, 2, 4,..., las soluciones pueden
ser escritas
1
𝑦=0 = 𝑎0 + 𝜋𝑎1 𝑒𝑟𝑓𝑖(𝑥)(11)
2
2
𝑦=2 = 𝑎0 𝑒 𝑥 − 𝜋 𝑥 𝑒𝑟𝑓𝑖(𝑥) + 𝑥𝑎1 (12)
1 2
𝑦=4 = 2𝑒 𝑥 𝑥𝑎1 − 2𝑥 2 − 1 4𝑎0 + 𝜋𝑎1 𝑒𝑟𝑓𝑖(𝑥) ,(13)
4
dondeerfi(X) es la función erfi.
Si =0, entonces la ecuación diferencial de Hermite se convierte en
𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ = 0,(14)
Que es de la forma 𝑃2 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑃1 𝑥 𝑦 ′ = 0 y así tiene solucion
𝑑𝑥
𝑦 = 𝑐1 𝑃1 + 𝑐2 (15)
exp 𝑑𝑥
𝑝2
𝑑𝑥
𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 (16)
𝑒𝑥𝑝 −2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑦 = 𝑐1 2 + 𝑐2 = 𝑐1 𝑒𝑟𝑓𝑖 𝑥 + 𝑐2 .(17)
𝑒 −𝑥
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10. ECUACIONES DIFERENCIALES
J22
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAGUERRE
La ecuación diferencial de Laguerre viene dada por
𝑥𝑦 ′′ + 1 − 𝑥 𝑦 ′ +  𝑦 = 0.
Esta ecuación es un caso especial de la más general “ecuación diferencial de Laguerre
asociados”, definido por
𝑥𝑦 ′′ + 𝑣 + 1 − 𝑥 𝑦 ′ +  𝑦 = 0
Donde  y vson números reales con v=0.
La solución general de la ecuación asociada es
𝑡 = 𝐶1 𝑈 −, 1 + 𝑣, 𝑥 + 𝐶2 𝐿 𝑥 ,
𝑣
𝑣
Donde U(a,b,x) es una función hipergeometrica confluente de primera especie y 𝐿 𝑥
es un polinomio generalizado de Laguerre.
Tenga en cuenta que en el caso especial=0, La ecuación diferencial asociada Laguerre
es de la forma
𝑦 ′′ 𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 ′ 𝑥 = 0,
así que la solución se puede encontrar con un factor de integración
𝜇 = exp 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑣+1− 𝑥
𝜇 = exp 𝑑𝑥
𝑥
𝜇 = exp 𝑣 + 1 ln 𝑥 − 𝑥
𝜇 = 𝑥 𝑣+1 𝑒 −𝑥 ,
Como
~ 10 ~

11. ECUACIONES DIFERENCIALES
J22
𝑑𝑥
𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2
𝜇
𝑒𝑥
𝑦 = 𝐶1 𝑑𝑥 + 𝐶2
𝑥 𝑣+1
𝑦 = 𝐶2 − 𝐶1 𝑥 −𝑣 𝐸1+𝑣 −𝑥 ,
Donde 𝐸 𝑛 𝑥 es el n E-función.
Los asociados de ecuaciones diferenciales Laguerre tiene un punto singular regular a 0
y una singularidad irregulares en . Puede ser resuelto mediante un desarrollo en
serie,
∞ ∞ ∞ ∞
𝑥 𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 −2
+ (𝑣 + 1) 𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−1
− 𝑥 𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 −1
+ 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑛=2 𝑛=1 𝑛=1 𝑛 =0
∞ ∞ ∞ ∞
𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 −1
+ (𝑣 + 1) 𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 −1
− 𝑛𝑎 𝑛 𝑥 + 
𝑛
𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑛=2 𝑛=1 𝑛=1 𝑛 =0
∞ ∞ ∞ ∞
𝑛 + 1 𝑛𝑎 𝑛+1 𝑥 𝑛 + (𝑣 + 1) (𝑛 + 1)𝑎 𝑛+1 𝑥 𝑛 − 𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 +  𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑛=1 𝑛=0 𝑛=1 𝑛 =0
∞
𝑣 + 1 𝑎1 +  𝑎0 + 𝑛+1 𝑛+ 𝑣+1 𝑛+1 𝑎 𝑛+1 − 𝑛𝑎 𝑛 +  𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 0
𝑛=1
∞
𝑣 + 1 𝑎1 +  𝑎0 + 𝑛+1 𝑛 + 𝑣 + 1 𝑎 𝑛+1 +  − 𝑛 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 0.
𝑛=1
Para ello es necesario
~ 11 ~

12. ECUACIONES DIFERENCIALES
J22

𝑎1 = − 𝑎0
𝑣+1
𝑛−
𝑎 𝑛+1 = 𝑎
𝑛+1 𝑛+ 𝑣+1 𝑛
De n>1. Por lo tanto
𝑛−
𝑎 𝑛+1 = 𝑎
𝑛 + 1 (𝑛 + 𝑣 + 1) 𝑛
De n=1,2,…, por lo que
∞
𝑦= 𝑎𝑛 𝑥𝑛
𝑛 =0
𝑦 = 𝑎0 1 𝐹1 (−, 𝑣 + 1, 𝑥)
 (1 − )  1− 2−
𝑦 = 𝑎0 1 − 𝑥− 𝑥2 − 𝑥3 − ⋯ .
𝑣+1 2 𝑣 + 1 (𝑣 + 2) 2∗3 𝑣+1 𝑣+2 𝑣+3
Si  es un entero no negativo , entonces la serie termina y la solución viene dada por
! 𝐿 𝑥
𝑣
𝑦 = 𝑎0 ,
𝑣+1 
𝑣
donde𝐿 𝑥 está asociado un polinomio de Laguerre y (𝑎) 𝑛 es un símbolo de
Pochhammer . En el caso especial v=0,El correspondiente polinomio de Laguerre se
derrumba a una costumbre polinomio de Laguerre y la solución se contrae para
𝑦 = 𝑎0 𝐿 𝑥 .
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13. ECUACIONES DIFERENCIALES
J22
BIBLIOGRAFÍA
http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/LaguerreDifferentialEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html
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