ejercicios de gamma y beta para ingenieros, con calculo superior

1. Calculo superior para ingenieros
∞
𝑥 𝑝−1 ln 𝑥
𝑑𝑥
0 1+ 𝑥
𝑦= 𝑥𝑝
ln 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 𝑝
ln 𝑦 = 𝑝 𝑙𝑛𝑥
𝑒 𝑙𝑛𝑝 = 𝑒 𝑝 𝑙𝑛𝑝
𝑦= 𝑒𝑝 𝑙𝑛𝑝
𝑑𝑦
= 𝑒𝑝 𝑙𝑛𝑝
∗ 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑝
𝑑𝑥 𝑝
= 𝑥 𝑝 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑝
Reemplazamos
∞
𝑥 𝑝 ln 𝑥
𝑑𝑥
0 𝑥 1+ 𝑥
∞
1 𝑑 𝑥𝑝
𝑑𝑥
0 𝑥 1+ 𝑥 𝑑𝑝
∞
𝑑 𝑥𝑝
𝑑𝑥
0 𝑑𝑝 𝑥 1+ 𝑥
∞
𝑑 𝑥𝑝
𝑑𝑥
𝑑𝑝 0 𝑥 1+ 𝑥
∞
𝑑 𝑥 𝑝−1
𝑑𝑥
𝑑𝑝 0 (1 + 𝑥)
Comparado con
𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 =
1 + 𝑢 𝑥+𝑦
𝑦−1= 𝑝−1 → 𝑦= 𝑝 𝑥+ 𝑦 =1 → 𝑥 =1− 𝑦

2. Γ 1−y Γ p
𝛽 𝑥, 𝑦 =
Γ 1−y+y
Como y=p
Γ 1−p Γ p
𝛽 𝑥, 𝑦 =
Γ 1−p+p
Γ 1−p Γ p
𝛽 𝑥, 𝑦 =
Γ 1
𝛽 𝑥, 𝑦 = Γ 1 − p Γ p
Por teorema de gamma tenemos que
𝜋
Γ x Γ 1−x =
𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥
Por lo tanto
∞
𝑑 𝑥 𝑝−1
𝑑𝑥
𝑑𝑝 0 1+ 𝑥
𝑑 𝜋
=
𝑑𝑝 𝑠𝑒𝑛 𝑝𝜋
𝑑
= 𝜋 csc 𝑝𝜋
𝑑𝑝
= 𝜋 ∗ 𝜋 (− csc 𝑝𝜋 ∗ cot 𝑝𝜋)
= − 𝜋 2 csc 𝑝𝜋 ∗ cot 𝑝𝜋

3. ∞
𝑑𝑥
−∞ 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏 2
𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏 2 + 𝑎2 − 𝑎2
𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑎2
2
𝑥+ 𝑎 + 𝑏 2 − 𝑎2
∞
𝑑𝑥
−∞ 𝑥 + 𝑎 2 + 𝑏 2 − 𝑎2
Hacemos
1
𝑏 2 − 𝑎2 2 𝑦= 𝑥+ 𝑎
𝑏 2 − 𝑎2 1/2
𝑑𝑦 = 𝑑𝑥
Reemplazamos
∞
𝑏2 − 𝑎2 1/2 𝑑𝑦
−∞ 𝑏 2 − 𝑎2 𝑦 2 + 𝑏 2 − 𝑎2
1
∞
𝑏2 − 𝑎2 2 𝑑𝑦
−∞ 𝑏 2 − 𝑎2 𝑦 2 + 1
∞
1 𝑑𝑦
𝑏 2 − 𝑎2 1/2
−∞ (𝑦 2 + 1)
Hacemos un corrimiento hacia la derecha para hacer un traslado a la
función beta
∞
2 𝑑𝑦
𝑏 2 − 𝑎2 1/2
0 𝑦2 + 1
1
Sustituimos 𝑤 = 𝑦 2 → 𝑤 1/2 = 𝑦 𝑤 −1/2 𝑑𝑤 = 𝑑𝑦
2
∞
2 1 𝑤 − 1/2
1 ∗ 𝑑𝑤
2 𝑤+1
𝑏 2 − 𝑎2 2 0
Por definición tenemos que

4. 𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 =
1 + 𝑢 𝑥+𝑦
Hacemos la analogía y:
1
𝑥−1= − 𝑥+ 𝑦=1
2
1 1
𝑥= 𝑦=
2 2
Luego entonces
1 1 1
1 𝛽 ,
2 2
𝑏 2 − 𝑎2 2
1 1
1 Γ Γ
2 2
1 1 1
𝑏 2 − 𝑎2 2 Γ +
2 2
1 1 1
1 Γ Γ
2 2
𝑏 2 − 𝑎2 2
1
1 𝜋∗ 𝜋
𝑏2 − 𝑎2 2
𝜋
= 1
𝑏2 − 𝑎2 2
…Rta

5. ∞
𝑒 𝑛𝑥
𝑛+1 𝑥
𝑑𝑥
−∞ 𝑎𝑒 + 𝑏
𝑢 = 𝑒 (𝑛+1)𝑥 ln 𝑢 = ln 𝑒 (𝑛 +1)𝑥
ln 𝑢 1 𝑑𝑢
ln 𝑢 = 𝑛+1 𝑥 → = 𝑥 → 𝑑𝑥 =
𝑛+1 𝑛+1 𝑢
Reemplazamos los nuevos valores en la integral y los limites
correspondientes
ln 𝑢
∞ 𝑛
𝑒 𝑛 +1 1 𝑑𝑢
0 𝑎𝑢 + 𝑏 𝑛+1 𝑢
𝑛
ln 𝑢
1 ∞ 𝑒 𝑛 +1 ∗ 𝑢 −1
0
𝑑𝑢
𝑛 +1 𝑎𝑢 +𝑏
Por propiedades de los logaritmos y euler 𝑛 1
−1 = −
𝑛+1 𝑛+1
𝑛
∞
1 𝑢 𝑛+1 ∗ 𝑢−1
𝑑𝑢
𝑛+1 0 𝑎𝑢 + 𝑏
−1
∞
1 𝑢 𝑛+1
𝑑𝑢
𝑛+1 0 𝑎𝑢 + 𝑏
Realizamos otra sustitución de tal manera que
𝑗𝑏 𝑏
𝑗𝑏 = 𝑎𝑢 → = 𝑢 → 𝑑𝑗 = 𝑑𝑢
𝑎 𝑎
−1
𝑗𝑏 𝑛+1
∞
1 𝑎 𝑏
∗ 𝑑𝑗
𝑛+1 0 𝑗𝑏 + 𝑏 𝑎
−1
𝑗𝑏 𝑛+1
−1
∞
1 𝑎 𝑏𝑛+1
∗ 𝑑𝑗
𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 𝑎

6. −1 −1
𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 𝑏
−1 ∗
∞ 𝑎
1 𝑎 𝑛+1
𝑑𝑗
𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1
−1 −1
+1
𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1
−1
∞ +1
1 𝑎 𝑛+1
𝑑𝑗
𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1
−1 𝑛
𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1
𝑛
∞
1 𝑎 𝑛+1
𝑑𝑗
𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1
Trasponemos términos
−1 𝑛
∞
1 𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1
𝑛 𝑑𝑗
𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 ∗ 𝑎 𝑛+1
−1 𝑛
∞ –1
1 𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1
𝑛 𝑑𝑗
𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑛+1 0 𝑗+1
−1 1
∞ −
1 𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛 +1
𝑛 𝑑𝑗
𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑛+1 0 𝑗+1
−1
∞
1 𝑗 𝑛+1
𝑛 1 𝑑𝑗
0 𝑗+1
𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1)
Si comparamos con
𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 =
𝑢 + 1 𝑥+𝑦
1 1 𝑛
𝑦−1=− → 𝑦=− +1 → 𝑦 =
𝑛+1 𝑛+1 𝑛+1

7. 𝑛 1
𝑥+ 𝑦=1 → 𝑥 =1− 𝑦 → 𝑥 =1− → 𝑥=
𝑛+1 𝑛+1
1 1 𝑛
𝑛 1 𝛽 ,
𝑛+1 𝑛+1
𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1)
1 𝑛
1 Γ Γ
𝑛+1 𝑛+1
𝑛 1 1 𝑛
𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1) Γ 𝑛 + 1 + 𝑛 + 1
1 𝑛
1 Γ Γ
𝑛+1 𝑛+1
𝑛 1 𝑛+1
𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ 𝑛+1 Γ
𝑛+1
1 1 𝑛
𝑛 1 Γ Γ
𝑛+1 𝑛+1
𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ 𝑛+1
1 1 1
𝑛 1 Γ Γ 1−
𝑛+1 𝑛+1
𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1)
Aplicamos ahora el teorema de gamma de tal manera que
𝜋
Γ x Γ 1−x =
𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥
1 𝜋
𝑛 1 ∗ 𝜋 𝑅𝑡𝑎 …
𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1) 𝑠𝑒𝑛
𝑛+1

8. 1
𝑚 𝑛
𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
0
−𝑢 = ln 𝑥
𝑒 −𝑢 = 𝑥
−𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑒 −𝑚𝑢 = 𝑥 𝑚
𝑠𝑖 𝑥 = 0 → 𝑢 = ∞ 𝑠𝑖 𝑥 = 1 → 𝑢=0
0
𝑒 −𝑚𝑢 – 𝑢 𝑛
– 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢
∞
0
− 𝑒 −𝑢(𝑚 +1) ∗ 𝑢 𝑛 𝑑𝑢
∞
𝑑𝑡
𝑡 = 𝑢 𝑚+1 → 𝑑𝑡 = 𝑚 + 1 𝑑𝑢 → = 𝑑𝑢
𝑚+1
𝑡 𝑛
𝑡𝑛
= 𝑢 → 𝑢 =
𝑚+1 (𝑚 + 1) 𝑛
∞
−𝑡
𝑡𝑛 𝑑𝑡
− 𝑒 ∗ 𝑛
∗
0 𝑚+1 𝑚+1
∞
1
− 𝑒 −𝑡 ∗ 𝑡 𝑛 𝑑𝑡
(𝑚 + 1)(𝑚 + 1) 𝑛 0
∞
1
− 𝑒 −𝑡 ∗ 𝑡 𝑛 𝑑𝑡
(𝑚 + 1) 𝑛+1 0
𝑥−1= 𝑛 → 𝑥 = 𝑛+1
1
− 𝑛+1
Γ 𝑛+1
𝑚+1
−1 𝑛 𝑛!
= 𝑅𝑡𝑎 … God bless
(𝑚 +1) 𝑛 +1