bac math tun

1. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 1
Activité :
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . P la
courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=x² . D la
droite d’équation
1
4
y
−
= et
1
0,
4
F
 
 
 
.
Soit le point M(x,y) et H son projeté orthogonale sur D.
1) Calculer les distances MF et MH.
2) Montrer que MF=MH si et seulement si M appartient à P.
Définition :
Soit D une droite et F un point n’appartenant pas à D. pour
tout point M du plan on note H son projeté orthogonale sur
la droite D.
On appelle parabole de foyer F et de directrice D l’ensemble
des points M du plan tels que MF=MH.
• La perpendiculaire à D passant par F est appelée axe focal de la parabole.
• La distance du foyer à la directrice est appelé paramètre de la parabole.
Application:
Soit D une droite du plan et F un point n’appartenant pas à D.
1) Soit H un point de D ; construire le centre M du cercle passant par F et tangent à D en
H. que vaut
MF
MH
?
2) On désigne par P l’ensemble des centres des cercles passant par F et tangents à D.M
un point du plan et H son projeté orthogonal sur D.
a) Montrer que 1
MF
P M tels que
MH
 
= = 
 
.
b) Construire P.
3) Soit K le projeté orthogonal de F sur D et O le milieu de [KF]. Montrer que O
appartient à P.

2. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 2
:
2
p
D x = −
Activité :
P une parabole de foyer F et de directrice D ; K le projeté orthogonal de F dur D.
1) Montrer que la parabole P coupe l’axe focale en un unique point S milieu de [FK].
2) Montrer que M appartient à P si et seulement si son symétrique par rapport à (FK)
appartient à P.
Théorème :
• Toute parabole admet comme axe de symétrie son axe focal.
• Le sommet d’une parabole de foyer F et de directrice D est le milieu du segment [FK]
ou K est le projeté orthogonal de F sur D.
Activité :
Soit P une parabole de foyer F, de directrice D et de sommet S. K le projeté orthogonal de F
sur D ; FK=p ;
SF
i
SF
= ; le plan est munie du repère orthonormé ( ), ,S i j .
1) Donner une équation de la droite D.
2) Soit M un point de coordonnées (x,y). Montrer que M appartient à P si et seulement
si y²=2px.
Théorème :
• Si P est la parabole de foyer F , de directrice D ,
de sommet S et de paramètre p alors la
parabole P a pour équation y²=2px, la directrice
D a pour équation
2
p
x = − et le foyer F a pour
coordonnées , 0
2
p 
 
 
dans le repère
orthonormé ( ), ,S i j ou
SF
i
SF
=
• Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ), ,O i j , l’ensemble des points M(x,y)
tels que y²=2px ; p>0 est la parabole de foyer F , 0
2
p 
 
 
, de directrice D :
2
p
x = − ;
de sommet O et de paramètre p.
,0
2
p
F
 
 
 

3. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 3
Remarques :
• P :y²=-2px ; p>0 dans un repère
orthonormé ( ), ,O i j si et seulement si
P est la parabole de foyer F , 0
2
p 
− 
 
;
de directrice D :
2
p
x = ; de sommet O
et de paramètre p.
• P : x²=2py ; p>0 dans un repère orthonormé
( ), ,O i j si et seulement si P est la parabole de
foyer 0,
2
p
F
 
 
 
, de directrice :
2
p
D y = − de
sommet O et de paramètre p.
• P :x²=-2py , p>0 dans un repère orthonormé
( ), ,O i j si et seulement si P est la parabole de
foyer 0,
2
p
F
 
− 
 
, de directrice :
2
p
D y = ,
de sommet O et de paramètre p.
Application :
Le plan est munie d’un repère orthonormé ( ), ,O i j .
Représenter les paraboles d’équation : y²=4x ; y²=-4x
,0
2
p
F
 
− 
 
D :
2
p
x =
0,
2
p
F
 
 
 
:
2
p
D y = −
0,
2
p
F
 
− 
 
:
2
p
D y =

4. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 4
Activité :
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( ), ,O i j . on considère la parabole P :
x²=2py et la parabole P : y²=2px.
1) Montrer que l’équation de la tangente T en un point M0(x0 ;y0) de P a pour équation :
x0x=p(y+y0).
2) En déduire une équation de la tangente T’ à P’ en un point M0(x0 ;y0) de P’.
Théorème :
Le plan est muni d’un repère orthonormé
( ), ,O i j .
• Si P est la parabole d’équation y²=2px alors
la tangente à P en un point M0(x0 ;y0) est la
droite d’équation y0y=p(x+x0).
• Si P est la parabole d’équation x²=2py alors
la tangente à P en un point M0(x0 ;y0) est la
droite d’équation x0x=p(y+y0).
Application :
P une parabole de foyer F et de directrice D , M0 un point de P et H son projeté orthogonal
sur D. T la tangente à P en M0 . Montrer que T est la médiatrice de [FH].

5. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 5
Activité :
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . ℋ la
courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=
1
x
.
on considère le point ( 2, 2 )F et la droite d’équation
2 0x y+ − = . soit M(x,y) un point du plan et H son
projeté orthogonal sur D.
1) Calculer les distances MF et MH.
2) En déduire que 2MF MH= ; si et seulement si ; M appartient à ℋ.
Définition :
Soit D une droite , F un point n’appartenant pas à D et e un
réel e>1.
On appelle hyperbole de foyer F, de directrice D et
d’excentricité e l’ensemble des points M du plan tels que
MF
e
MH
= ou H est le projeté orthogonal de M sur D.
La perpendiculaire à D passant par F est appelée axe focal de l’hyperbole.
Application :
Soit D une droite du plan, F un point n’appartenant
pas à D et K le projeté orthogonal de F sur D.
1) Construire le point S barycentre de (F,1) et
(K,-2).Déterminer le rapport
SF
SK
.
2) Construire le point S’ barycentre de (F,1) et
(K,2) ; déterminer le rapport
'
'
S F
S K
.
3) soit ℋ= 2
MF
M tels que
MH
 
= 
 
ou H est
le projeté orthogonale de M sur D.
soit (C) le cercle de centre S et passant par F ; B un point de (C)distinct de F ; I le
point d’intersection de D et (FB) . on désigne par h l’homothétie de centre I qui
envoie B en F ; M l’image de S par h et H le projeté orthogonal de M sur D.
MF
e
MH
=

6. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 6
a) Montrer que h envoie K en H.
b) Déterminer le rapport
MF
MH
et en déduire que M∈ℋ.
c) Construire quelques points deℋ.
Activité :
Soit ℋ une hyperbole de foyer F, de directrice D et d’excentricité e. K le projeté orthogonal
de F sur D.
1) Montrer que l’intersection de ℋ avec l’axe focal est deux points.
2) Montrer que M appartient à ℋ si et seulement si son symétrique par rapport à l’axe
focal appartient à ℋ.
Théorème :
Soit ℋ une hyperbole de foyer F, de directrice D et
d’excentricité e. K le projeté orthogonal de F sur D.
• L’axe focal de ℋ est un axe de symétrie de ℋ.
• ℋ coupe l’axe focal en deux points appelés
sommets de l’hyperbole et ils sont les
barycentres de (F,1), (K,e) et (F,1), (K,-e) .
ActivitéActivitéActivitéActivité ::::
Soit ℋ une hyperbole de foyer F de directrice D et d’excentricité e.
On désigne par K le projeté orthogonal de F sur D et on noté S et S’ les sommets de ℋ et
O le milieu de [SS’].
1) Montrer que
1
OF eOS et OK OS
e
= = ; ou S est le barycentre de (F,1) et
(K,e).
2) On pose
OF
i
OF
= et ( ), ,O i j un repère orthonormé direct ; on désigne par (c,0)
les coordonnées de F et (a,0) les coordonnées de S dans ( ), ,O i j .
a) Montrer que
²c a
e et OK
a c
= = .
b) Soit M(x,y). montrer que M appartient à ℋ , si et seulement si,
² ²
1
² ² ²
x y
a c a
− =
−
.

7. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 7
ThéorèmeThéorèmeThéorèmeThéorème ::::
• Soit ℋ une hyperbole de foyer F, de
directrice D , d’excentricité e et de sommets
S et S’, on pose
OF
i
OF
= et ( ), ,O i j un
repère orthonormé direct. Si S a pour
coordonnées (a,0), F a pour coordonnées
(c,0) dans ( ), ,O i j alors ℋ a pour
équation
² ²
1
² ²
x y
a b
− = avec b²=c²-a².
• Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ( ), ,O i j , l’ensemble des points
M(x,y) tels que
² ²
1
² ²
x y
a b
− = (a>0,b>0) est une hyperbole de centre O, de foyer
F( ² ²a b+ ,0), de directrice D :
²a
x
c
= , d’excentricité
c
e
a
= avec c= ² ²a b+
et de sommets S(a,0) et S’(-a,0).
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque ::::
ℋ :
² ²
1
² ²
x y
a b
− + = (a>0,b>0) dans un repère
orthonormé ( ), ,O i j si et seulement si ℋ est
l’hyperbole de centre O, de foyer F(0, ² ²a b+ ),
de directrice D :
²b
y
c
= , d’excentricité
c
e
b
=
avec c= ² ²a b+ et de sommets S(0,b) et S’(0,-b).
ThéorèmeThéorèmeThéorèmeThéorème ::::
• Toute hyperbole admet un centre de symétrie, qui est le milieu des sommets ;
appelé centre de l’hyperbole.
• Toute hyperbole admets deux axes de symétrie qui sont l’axe focal et l’axe
perpendiculaire à l’axe focale et passante par le centre de l’hyperbole.
ConséquencesConséquencesConséquencesConséquences ::::
Soit ℋ une hyperbole de directrice D et de foyer F.
² ²
: 1
² ²
x y
a b
− =H
( )² ² , 0F a b+
S(a,0)
S’(-a,0)
²
:
a
D x
c
=
c
e
a
=
²
:
b
D y
c
=
² ²
: 1
² ²
x y
a b
− + =H
( )0, ² ²F a b+
S(0,b)
S’(0,-b) c
e
b
=

8. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 8
Le fait que l’hyperbole admet un centre de symétrie implique qu’elle admet une
deuxième directrice D et un deuxième foyer F’ symétriques respectives de D et F.
On dit que F est le foyer associé à D et que F le foyer associé à D’.
AAAApplicationpplicationpplicationpplication ::::
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j ; on considère l’ensemble ℋ des
points M(x,y) tel que
² ²
1
9 25
x y
− = .
1) Montrer que ℋ est une hyperbole de foyer F(5,0), de directrice D :
9
5
x = et
d’excentricité
5
3
e = .
2) a) étudier la fonction f définie par
²
( ) 4 1 ; 3
9
x
f x x= − ≥ .
c) représenter Cf la courbe représentative de f et en déduire une représentation
graphique de ℋ .
ActivitéActivitéActivitéActivité ::::
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j ; on considère l’hyperbole
ℋ :
² ²
1
² ²
x y
a b
− = .
1) soit ℋ1 l’ensemble des points M(x,y) appartenant à ℋ tels que x≥ 0 et y≥0.
a) Montrer que M∈ℋ1 si et seulement si ² ²
b
y x a
a
= − .
b) Montrer que la droite d’équation
b
y x
a
= est une asymptote de ℋ1.
c) En déduire les asymptotes à ℋ.
2) Soit M(x0,y0) un point de ℋ. Montrer que la tangente àℋ en M0 a pour équation :
0 0
1
² ²
xx yy
a b
− =

9. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 9
ThéorèmeThéorèmeThéorèmeThéorème ::::
Le plan est muni d’un repère orthonormé
( ), ,O i j ; on considère l’hyperbole
ℋ :
² ²
1
² ²
x y
a b
− = .
• ℋ admet deux asymptotes d’équations
b b
y x et y x
a a
= = − .
• La tangente à ℋ au point M0 (x0,y0) a
pour équation : 0 0
1
² ²
xx yy
a b
− =
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque ::::
La tangente à une hyperbole en son sommet S a pour équation x=a.
ApplicationApplicationApplicationApplication ::::
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j .
1) Déterminer l’équation réduite de l’hyperbole ℋ de
centre O, de sommet S(5,0) et dont l’une de ses
asymptotes est la droite d’équation 5xy+3x=0.
Représenter ℋ.
2) On dans la figure ci-contre le foyer F et les
sommets s et S’ d’une hyperbole ℋ. Construire les
asymptotes de ℋ et ℋ
ActivitéActivitéActivitéActivité ::::
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . on considère l’hyperbole ℋ
d’équation
² ²
1
² ²
x y
a b
− = ; les vecteurs
a a
u et u
b b
   
   
−   
.
M un point du plan de coordonnées (x,y) dans ( ), ,O i j et (X,Y) dans ( ), ,O u v .
Montrer que
( )
( )
x a X Y
y b Y X
= +

= −
.
b
y x
a
= −
b
y x
a
=
0 0
: 1
² ²
xx yy
T
a b
− =

10. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 10
Montrer que M(x,y)∈ℋ si et seulement si XY=
1
4
.
ThéorèmeThéorèmeThéorèmeThéorème ::::
Toute hyperbole rapportée à ses asymptotes a une équation de la forme XY=k ou k un
réel non nul
AAAApplicationpplicationpplicationpplication ::::
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . on considère l’hyperbole ℋ de
centre O, de foyer F(2,0) et de directrice associée la droite D :
1
2
x = .
1) a) donner la forme réduite de ℋ.
b)Construire ℋ.
2) Soit les vecteurs
1 1
3 3
u et u
   
      −   
. écrire une équation de ℋ dans le repère
( ), ,O u v .

11. L.S.Marsa Elriadh
Coniques
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 11