1. 1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
PROBLEMA DE CLASE
1) De la figura mostrada calcule:
1
32
.11
2
L
LL  , si L1 , L 2 y L 3 son longitudes de arcos y
AB = BC = CD y “K” es el área del sector circular JAH
A) 4 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
SOLUCIÓN
Recordar:
( )( ) ( )( )
RESPUESTA E
2) La medida del ángulo central de un sector circular de radio R es 24º y se desea disminuirlo en 18º de tal
manera que el área no varié si aumentamos el radio una longitud “x” .determinar “x”
A) R B) 2R C) R/2 D) R/3 E) 3R
SOLUCIÓN
Recordar:

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( )
⇒
RESPUESTA A
3) De la figura mostrada, Siendo O centro del sector circular AOB y COD, xBDAC  , 1 xLCD
, 1 xLAB
,
entonces el valor de x. , es:
A) 1 B) 1,5 C)2 D) 2,5 E) 3
SOLUCIÓN
Recordar:
Resolviendo:
⇒
RESPUESTA C
4) De la figura mostrada si AOB, COD y EOF son sectores circulares, además; CDLOBOA  ,
ABLDFCE  ; EFLBDAC  . Calcule:





1
1 3
M

3. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
A) ½ B) ¼ C)1 D) 2 E) 4
SOLUCIÓN
Recordar:


…..( 1 )
…… ( 2 )
…… ( 3 )
Reemplazando 1 en 2
…… ( 4 )
Reemplazando 1 en 3
…… ( 5 )
Multiplicando 4 y 5
⇒ RESPUESTA D
5) La figura adjunta es una semicircunferencia donde O es el punto medio de AD. Si el área de la región
sombreada es  y m<BOC = 90º, determine el área de la región triangular BDC.
A)
2

B)
2
2


C)
2

D)
2
2


E)
2
2




SOLUCIÓN

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RESPUESTA B
6) En la figura mostrada, Se muestra dos circunferencias de radios r1 y r2 (r1 < r2) y L1, L2 son las longitudes
de arco de los sectores circulares, AOB y COD respectivamente. calcular L1/L2
A)
1
21.

rr B)
1
12 .

rr C) 21 rr  D) 21.rr E) 21 rr 
SOLUCIÓN
Recordar:
RESOLVIENDO:
( )
( )
RESPUESTA A

5. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
5 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
7) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 = 3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran inicialmente al
mismo nivel y la rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la diferencia de alturas (h),
después de este giro (en u), es:
A) 2.5 B)2 C) 3 D) 3,5 E) 1
SOLUCIÓN
RESOLVIENDO:
 X = 1 rad. *2
 X = 2
 LAB = 4
 4 = 8* 
 
 y= 1/2 * 3
RESPUESTA D 
8) De la figura mostrada, determinar el número de vueltas que da una rueda de radio r para recorrer el
circuito MNP.
A)
r
rR
6
3
B)
r
rR
6
3
C)
r
rR
2
3 D)
r
rR
2
3  E)
r
rR
6
3 
SOLUCIÓN

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( ) ( )
⇒
RESPUESTA E
9) Calcule la altura en términos de R, a la que se encontrará el punto A de la rueda, cuando éste gire un
ángulo de 1305º, desplazándose sobre una pista horizontal.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Primero dividimos 1305° entre 360° , lo cual indica que da dos vueltas y queda como residuo 225° , por lo
tanto la altura seria :
√
⇒ ( √ )
RESPUESTA D
10)Determine el área de un sector circular en función de su perímetro P, si se sabe que dicha área es
máxima.
A)
2
2
P
B)
4
2
P
C)
8
2
P
D)
16
2
P
E)
32
2
P
SOLUCIÓN
El perímetro del sector es: P =2R + L
L = P – 2R
Además:
( )
Completando cuadrados: ( )
RESPUESTA D
R
A
 2 1 R
1 2 2
R
2
 
  
 
1 2 2
R
2
 
  
 
2 2
R
2
 
  
 
2 2 1
R
2
  
  
 

7. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
7 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
11)Determine el número de vueltas que da la rueda de ir de A hacia B. Si AC = CE = 9r/2 , R = 9r
A) 6 B) 5 C) 3 D) 8 E) 9
SOLUCIÓN
Resolvemos ⇒
RESPUESTA A
12)De la figura mostrada sí 3r ; AM = 6,
MB =8. Calcule el número entero de vueltas que da la rueda al ir desde A hasta B sin deslizamiento.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
SOLUCIÓN
; a = 1
√
RESPUESTA B
13)Dos ruedas de radio r y R (r < R), recorren la misma distancia horizontal. Si la suma del número de
vueltas de ambas ruedas es igual a 10 veces su diferencia. Entonces, el cociente entre los ángulos
barridos, de la rueda menor a la rueda mayor es:
A)
11
9 B)
10
9 C)
9
10 D)
9
11
E)
10
11
SOLUCIÓN
Según los datos:
( )

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 8
RESPUESTA D
14) En la figura. Si la rueda “A” gira un ángulo de 300
g
¿Qué ángulo girará la rueda D?
RA = 3, RB = 4, RC = 1, RD =2
A) 1620º B) 1680º C)1690º D) 1720º E) 1800º
SOLUCIÓN
Recordar
Tenemos: ⇒
⇒
RESPUESTA A
15)En la figura mostrada, cmRR BA 2 , cmOO 22'''  , Calcule el área de la región sombreada.
A) 22  B) 32  C) 2
72  D) 42  E) 52 
SOLUCIÓN
Calculando el área: ( )
RESPUESTA D
16)Si el perímetro de la región sombreada es √ , calcule la longitud del lado del cuadrado ABCD.

9. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
9 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
A) ½ B) 1 C) √ D) √ E) 2
SOLUCIÓN
Según los datos:
√
√
(√ ) √ ⇒
RESPUESTA E
PROBLEMA DE REPASO
1) En la circunferencia de la figura mostrada, dos autos A y B parten del punto P en la misma dirección, con
velocidades VA y VB respectivamente; después de un tiempo “t” el ángulo central formados por sus
posiciones finales mide 90º. Calcule el valor de  (en radianes), si se cumple que VA es a VB como 2 es a
5.
A)
6
 B)
5
 C)
4
 D)
3
 E)
2

SOLUCIÓN
Según los datos:
⇒
RESPUESTA E

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2) En la figura, las áreas de las superficies ABCD y DOC cumplen la relación
S ABCD = 2.S DOC .calcule 3
2

n
m
A)0 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
SOLUCIÓN
Según los datos:
( )
( )
( )
⇒
√
( ) √ = 1
RESPUESTA C
3) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de lado 4u. calcule el área de la región sombreada.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
SOLUCIÓN
Calculando S1 :
Cálculo de S : S ⇒ RESPUESTA B

11. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
11 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
4) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el ángulo (en radianes) que se debe girar para que los centros de
las esferas A y B se encuentren a la misma altura si inicialmente dicha diferencia de alturas es de 14
unidades?
A)0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5
SOLUCIÓN
Resolviendo:
2 + 5 = 14
RESPUESTA D
5) De la figura, calcular
2
1
S
S
; siendo S1: Área del sector AOB y S2: Área del sector COD.
a)
ba
a

b)
ba
a

c)
ba
a
2
d)
ba
a
2
e)
ba
a
2
SOLUCIÓN
Calculo de las áreas:
( )
Calculamos: √ RESPUESTA C
A
B
2u
5u

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 12
6) Hallar el área de la región sombreada si AOB y COD son sectores circulares, donde y .
A) B)  C)  D)  E)
SOLUCIÓN
Recordar:
Por Pitágoras:
Calculo del área sombreada:
( )
RESPUESTA A
7) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además O es el centro del sector circular AOB, entonces el perímetro de
la región sombreada es:
A) 2 B)
3
11 C)
3
5 D)
3
7 E) 3
SOLUCIÓN
2
9

 
BC 3m
O
A
C
B D


13. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
13 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Como las figuras son simétricas, el perímetro queda: ( ) ( )
RESPUESTA D
8) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la curva que une
los puntos D,E,F, y B, sabiendo que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.
A) 12cm B)16 cm C)18cm D)24 cm E) 30 cm
SOLUCIÓN
Como el perímetro es 18 el lado del triángulo es 6cm.
( ) ( ) RESPUESTA D
9) De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A
hasta B (R=7r).
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
SOLUCIÓN
( )
RESPUESTA B
10)En la figura mostrada, el extremo “A” del péndulo recorre los arcos L1 y L2 hasta llegar a C . Halle “x” (en m),
si L1 + L2 = 8m
135º
R
R
A
B r
r

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A) 7 B) 8 C) 8.5 D) 9 E) 9.2
SOLUCIÓN
Sabemos:
( ) ……….multiplicamos por 12 /
RESPUESTA B
11)En el sistema mostrado, las ruedas A y B están unidas por una faja, y las ruedas B y C están unidas por un
eje común. Halle el número de vueltas que da la rueda “C” si la rueda “A” barre un ángulo de 2160º
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
SOLUCIÓN
RESOLVIENDO:
= 2160° *1

RESPUESTA C 