1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos trigonométricos especiales como ángulos en posición normal, cuadrantales, coterminales y negativos. Incluye tablas de signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes y para ángulos cuadrantales. 2) Se resuelven problemas aplicando las definiciones y propiedades presentadas, como calcular razones trigonométricas para ángulos en distintos cuadrantes. 3) El documento concluye con más problemas de aplicación y

1. 1Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
y
P ( )x ; y
o o
r
x o
y
o
α
α '
S e d e fin e :
o
o
o
o
x
y
T a n
r
x
C o s
r
y
S e n
=α
=α
=α
o
o
o
o
y
r
C s c
x
rS e c
y
x
C o t
=α
=α
=α
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-II
TRIGONOMETRÍA
“F.T. de Ángulos Especiales”
Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para
resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.
 Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición
Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase.
Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también en posición canónica o estándar. Es
aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el
origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con
el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición
normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes,
en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuadrante.
Del gráfico:
L a d o F in a l
L a d o In ic ia l
V é r t ic e
θ ( + )
x
y
* θ : es un ángulo en posición normal
*
0;IIC >θ∈θ
L a d o F in a l
L a d o In ic ia lV é r tic e
( - )
x
y
β
* β : Es un ángulo en posición normal
*
0;IIIC <β∈β
Definición de las Razones
Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en
posición normal, tomaremos un punto perteneciente a su
lado final.
x
y
P ( )x ; y
o o
r
x
o
y
o
α
α '
S e d e fin
T a n
C o s
S e n
=α
=α
=α
Semana Nº 04

2. 2Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
y
y
o
α
S e d e fin e :
o
o
o
o
x
y
T a n
r
x
C o s
r
y
S e n
=α
=α
=α
o
o
o
o
y
r
C s c
x
r
S e c
y
x
C o t
=α
=α
=α
*
2
o
2
o
yxr +=
* α´: se denomina ángulo de referencia
Signos de las R.T. en los
cuiadrantes
Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un ángulo
en posicion normal, sus R.T. pueden ser positivas o
negativas. Es asi como se obtiene el cuadro adjunto
Propiedad:
Si θ es un ángulo en posición normal positivo y menor que
una vuelta entonces se cumple:
Si θ ∈ I ⇒ 0 < θ < 90º
Si θ ∈ II ⇒ 90º< θ <180º
Si θ ∈ III ⇒ 180º < θ < 270º
Si θ ∈ IV ⇒ 270º < θ < 360º
Ángulos Cuadrantales
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final
coincide con cualquiera de los semiejes del
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son
ángulos frontera.
Forma General
< Cuadrantal = 90º.k ; Zk ∈
También
<Cuadrantal =
2
πk
; Zk ∈
Observación: para determinar si un ángulo es
cuadrantal, se divide entre 90º ó
.
2
rad
π
según
corresponda; si el resultado de la división es un
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.
Razones Trigonométricas de
Ángulos Cuadrantales
0 º 9 0 º 1 8 0 º 2 7 0 º 3 6 0 º
S E N 0 1 0 - 1 0
C O S 1 0 - 1 0 1
T A N 0 N D 0 N D 0
C O T N D 0 N D 0 N D
S E C 1 N D - 1 N D 1
C S C N D 1 N D - 1 N D
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:

3. 3Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
α
β
θ
V é r t ic e
L a d o
in ic ia l
L a d o
fin a l
i) ii)
P ( ; )x x
o o
x
y
a d o
n ic ia l
ii)
P ( ; )x x
o o
x
y
Se tiene que:
* α y θ : son coterminales
* Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:
Si α y θ son coterminales se cumple que:
I. II .
α θ- = 3 6 0 º n ; n Z R . T . ( α θ) = R . T . ( )
II.
R . T . ( α θ) = R . T . ( )
Observacion: en forma practica para determinar
si dos angulos son coterminales:
Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
2rad. y si el resultado es un numero entero ,
entonces los angulos son coterminales.
R.T. de Ángulos Negativos:
Sen (- α) = - sen α ; Cos (- α) = cos α
Tg (- α) = - tg α ; Ctg (- α) = - Ctg α
Sec (- α) = Sec α ; Csc (- α )= - Csc α
¡Muy importante!
Y
X
Q ( – b ;a )
P ( a ; b )
R ( – a ; b )–
M ( b ; – a )
PROBLEMA RESUELTOS
1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y
24
cosb
25
= , Halle:
V 5senb 6 tgb 12secb= + +
A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35
RESOLUCIÓN
24
cosb ;
25
= b ∈ 4to C.
7
senb
25
= −
7
tgb
24
= −
Se pide:
7 7 25
V 5 6 12
25 24 24
     
= − + − + ÷  ÷  ÷
     
V 9,35= RPTA.: D
2) Si:
2 1
cos , IV C
16
θ = θ ∈
Calcule:
sec csc
M
1 ctg
θ − θ
=
− θ
A)
15
4
B)
1
4
C)
15
4
−
D)
1
4
− E) 4
RESOLUCIÓN
1
cos
4
θ = IV Cθ ∈
{
sec csc sec csc
M M
1 ctg 1 ctg
−
θ − θ θ + θ
= ⇒ =
− θ + θ
φ
+ -

4. 4Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
4 4
1 15M
1
1
15
+
=
+
1
4 1
5
M
 
+ ÷
 
=
1
1
5
 
+ ÷
 
M 4⇒ =
RPTA.: E
3) Halle: ctgθ
A)
5
4
B)
5
4
− C)
3
4
D)
7
4
− E)
1
4
RESOLUCIÓN
x
Ctg
y
 
θ =  ÷
 
7
Ctg
4
θ = − RPTA.: D
4) Las medidas de dos ángulos coterminales son
proporcionales a los número 5 y 2. Además la
medida del mayor ellos está comprendida entre
1000º y 1700º; halle la suma de medidas de
dichos ángulos.
A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º
RESOLUCIÓN
• Sean “α” y “ β ” (α > β ) las medidas de los 2
ángulos coterminales, luego:
360º nα − β = × ….......(i);
"n"∈ ¢
•
5
2
α
= ⇒
β
… (ii)
(ii) en (i):
5k - 2k = 360º x n → k = 120ºx n
”k” en (ii): ⇒ ...(iii)
* 1000º < α < 1700º → 1000º<600º
x n < 1700º → n= 2
”n” en (iii) :
∴ α + β = 1680º
RPTA.: C
PROBLEMA DE CLASE
1) El producto de cinco razones trigonométricas
de un ángulo que pertenece al segundo
cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y
coseno.
a)
5
53
b)
5
5
− c)
2
31−
d)
2
13 −
e)
5
53
−
2) Si α es la medida de un ángulo en posición
normal, además:
5k
2k
α =
β =
600º n
240º n
α = ×
β = ×
1200º
480º
α =
β =

5. 5Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
0
3
2
cos;0;0 =−=−=+ ααααα tgtgsensen
Calcular: αα SecctgF += .5
A) -1 B) -2 C) -½ D) ½ E) 1
3) Si:
[ ] ( ) πα
πααα 2
2
3
;cos
4
1
2
1
2
1
2
<<−=















 senCos
Calcular: ( )αα cos16 −= ctgF
A) 773− B) 767− C)
761−
D) 754− E) 727−
19. Del gráfico adjunto calcular:
W=Tanθ 10Cosθ− , si las abscisas de A y B son
π
Cot
8
 
− 
  y
π
Tan
8
 
 
  respectivamente.
( 0 ; 4 )
( - 2 ; 0 )
A
B
y
Xθ
A) -1 B) -2 C) 2 D) 4 E) 2 2
4) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) .
Calcular ctgα
A) - 4/3 B) - ¾ C) - 1/7 D) -7 E)
25−
5) Determine E = senθ + cosθ, PM = MN
A)
1
41
−
B)
11
41 C)
6
41
−
D)
6
41 E)
5
41
−
6) De la figura mostrada calcular:
φ
β
tg
tg
E
9
=
A) – 49 B) -9 C) 1 D) 9 E) 49
7) De la figura mostrada, calcular: F= Ctgθ .ctgφ

6. 6Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -6
8) Sean A(-2; -1) , B(4;7) y C(6;-3) los vértices de
un triángulo ABC y K un punto perteneciente al
lado final de una ángulo en posición normal θ. Si
K Es circuncentro del triángulo ABC .calcula
11Tg θ
A) 4/7 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 6
9) Calcular dos ángulos coterminales en donde el
mayor es el séxtuplo del menor y su suma está
comprendido entre 1000º y 1050º. Indique el
ángulo mayor.
A) 630º B) 680º C) 700º D) 800º E) 864º
10) De la figura mostrada, simplifique:
)().cos(.
2
αθ
αθ
−−




 −
= CtgsenM
A) αsen.2 B) αCos.2 C)
αsen.
2
2
D) αCos.
2
2
E) αTg.2
11) La expresión :
Es real, hallar el valor de:
Cuando ‘‘ ’’ es ángulo cuadrantal
a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 3
12) Del grafico siguiente; hallar tg θ + tg α
a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4
EXAMEN PREFERENTE 2012 - I

7. 7Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
13) Si ‘‘n’’ es un numero entero positivo,
calcule el valor de:
a) b) c)
d) e)
14) Q es un punto perteneciente a la
circunferencia mostrada, cuya ordenada
es máxima, halle .
Siendo un ángulo en posición normal,
cuyo lado final pasa por el punto Q.
Además AB=3BC.
a)16 b) 19 c) 14 d) e) -15
15) Del grafico mostrado, calcular el valor
de:

8. 8Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
a) b) c) d) e) 1
16) Si:
y . Hallar el valor de:
a) 0 b) 1 c) -1 d) -1 e) -2
17) Si y ,
Determine el signo de P, Q y R
a)(-),(-),(-) b)(-),(+),(+)
c) (+),(+),(+) d)(-),(-),(+)
e)(+),(-),(-)
18) Indicar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:

9. 9Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
I.
II.
III.
a) VVV b) VFF c) FVV
d) FFF e) N.A
19) Si es un ángulo agudo , hallar todos
lo valores de ‘‘ ’’ para que la expresión:
Resulte un número real
a) b) c)
d) e)
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si: . ¿A que es igual?
a) b)
c) 3/2 d) 5/2 e) 1/2

10. 10Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
2. Del gráfico , halle
a) 1 b) c) 2 d) e)
3. En el grafico mostrado el área del
triángulo AOB es igual al área del
triángulo DCB. Hallar el valor de:
a) ½ b) 1/3 c)
d) e)
4. Si:
b
Sen
a
θ=
, donde: a < b < 0
Calcular: tanθ ,
IICθ∈
A)
a
a b2 2− B)
b
a b2 2−
C)
a
a b2 2
−
− D)
b
a b2 2
−
− E) -b/a
5. Del grafico mostrado, calcular el valor
de:

11. 11Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
Si:
a)- b) c)
d) e) 0
6. Del gráfico mostrado, calcular:
“tanθ”, sí; OP = 2PQ.
A) 3 /5− B) 3 /7−
C) 3 /9− D) 3 /6− E) 3 / 4−
7. La figura adjunta, calcule el valor de:
a cos b sen
M
a b
α + α
=
+
Si: a > 0, b > 0
y
x
P ( - a ; - b )
A) ½ B) -1 C) 2 D) 1 E) -2
8. En el gráfico halle
tg .tgθ β
en términos de
"a" y "b"; siendo ABCD un cuadrado.
D
C
y
xA ( - a ; 0 )
B ( 0 ; b )
A)
b a b
a b 2a
+ 
 
+  B)
a a 2b
b b 2a
+ 
 
+ 
C)
a 2b
b a
+
− D)
2a b
b 2
+
+ E)
a b
a 2b
−
+
9. Dos ángulos coterminales están en la relación
de 2 a 5, si la suma de dichos ángulos están
comprendidos entre 1400° y 1700°. Calcular la
medida del menor ángulo.
A) 340° B) 380° C) 420°
D) 460° E) 480°

12. 12Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
10. Si el triángulo ABC es equilátero calcule
cot .θ
y
x
θ
A B
C
A) 3 B) 2 C)
2 3
3
D)
3
2 E)
2
2
11. Si ABCD es un cuadrado, calcular las
coordenadas del vértice "C".
A) (-12 ; 13) B) (-17 ; 15)
C) (-15 ; 5) D) (-13 ; 12) E) (-17 ; 12)
12. Del gráfico, ABCD es un rombo. Calcular:
tan cotα + α .
x
y
DA
B
3 0 º
α
M
A)
12
5
3
−
B)
3
5
−
C)
28 3
15
−
D)
25 3
3
−
E)
18 3
15
−