1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
SenA  CO  a CscA  H  b
CEPUNS CosA 
H b
CA c

CO a
SecA  H  b
Ciclo 2013-III H b CA c
CA c
TanA  CO  a CotA  
TRIGONOMETRÍA CA c CO a
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO” Semana Nº 3
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que Razones Trigonométricas Recíprocas
resultan de dividir dos lados de un triángulo Siendo  un ángulo agudo se cumple:
rectángulo. 1
csc    sen . csc   1 ;
sen
1
sec    cos  . sec   1 ;
cos 
1
ctg   tg .ctg  1
tg
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
Razones Trigonométricas De Ángulos
hipotenusa”
Complementarios
. a2 + b2 = c2
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
En la figura se muestra:
 y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)
Cateto Opuesto a Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
Sen = =
Hi potenusa c como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en
Cateto Adyacente consecuencia:
Cos = = b
Hipotenusa c b a
sen   cos  ; cos    sen
c c
Cateto Opuesto a
tg = = b a
Cateto Adyacente b tg    ctg  ; ctg    tg 
a b
Cateto Adyacente b c c
Ctg = = sec    csc ; csc   sec 
Cateto Opuesto a a b
Hi potenusa c Debido a estas relaciones las co-razones son::
Sec = =  seno y coseno.
Cateto Adyacente b  tangente y cotangente.
Hi potenusa c  secante y cosecante.
csc = =
Cateto Opuesto a Teorema del complemento
RTα  co  RTcomplemento de  
1
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
Se llaman co–razones trigonométricas una de la
67º 30' 75º 71º 30'
otra. 4+ 2 2 10
1 4
6- 2 1
NOTA: 22º 30' 15º 18º 30'
Sen   Csc  1 2+1 6+ 2 3
 Si: 
Cos   Sec   1    
   Ctg  1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Tg
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
 Si: RT   co  RT       90º mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
ángulo agudo que también se conoce.
60º Criterio:
45º
2 2 Lado desconocid o  R.T.( conocido)
1 1 Lado conocido
45º 30º
1 Casos:
3
1.
53º C
5
3 I) BC  Tan   BC 
L
37º AC   AC 
II)
4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
 L
A L B
30º 37º 45º 53º 60º
2.
1 3 2 4 3 C
Sen
2 5 2 5 2
I) AB  Cot   AB 
3 4 2 3 1 L
Cos L
2 5 2 5 2 AC   AC 
II)
3 3 4
 L
Tan 1 3 A B
3 4 3
Cot 3
4
1
3 3 3
3 4 3 C
I) BC  Sen   BC 
2 3 5 5
Sec 2 2 L
3 4 3 L
5 5 2 3 AB   
II)
Csc 2
3
2
4 3  L
A B
A partir de estos se determinarán otros
adicionales como: PROBLEMAS RESUELTOS
B
63º 30' 82º 74º
5 5 2 25 1. Halle “ctg” del gráfico, si:
1 120º
1 7 AB  BC
M
26º 30' 8º 16º
2 7 24

A C
2
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3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
B
A) 2 3 B) 3 3 C) 3 D) 3 / 6 E) 3 / 9
RESOLUCIÓN
B 3a
2n 4n
60º 60º
4n n 30º D
M
a
n 3
60º 2n 
30º A C
n
  30º
A) 3 B) 3 C) 3 D) 3 E) 3
A C
2n 3 n 3 P n 3 5 6 7 8 9
RESOLUCIÓN
3n 3 B
3n 3 60º
APM : ctg 
n
 ctg  3 3 3a = 6k
RPTA.: B 8k
2. Si CD  3AD, halle: tg D
(tomar: sen37º=0,6)
60º k 3 30ºa = 2k
  60º
A 7k k C
k 3 3
tg  
53º 7k 7
RPTA.: C
A D C
A) 1 B) 1 C) 3 D) 3 E) 1 4. Siendo “” y " β" las medidas de 2
16 8 8 16 4
ángulos agudos tales que:
RESOLUCIÓN
cos11. sec  1 
 cos . csc   1
9K Halle: W  tg  37º30' sen   52º30'
. 
12K
A)1 C) 3 D) 3 E) 3
B) ½
2 3
5K 15K 53º RESOLUCIÓN
A 53º D C Datos:
4K i) cos11.sec  =111=  … (I)
3K ii) cos . csc   1
3k 3
Se pide: tg  
16k 16 sen 90º . csc   90º        90º..(II )
RPTA.: D
I en (II ) :   11  90º    15º  7 º30'
3. Si el triángulo ABC es equilátero. 2
Determine tg.
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
 15º  165º RESOLUCIÓN
" " enI :   11   82º30'
 2  2
Piden:
W  tg   37 º30'.sen   52º30'  ?
 W  tg 45º .sen 30º   1
2 
RPTA.: B a 2
2a
5. En un triángulo rectángulo si la 45º
hipotenusa es el doble de la media a 2 a 2
geométrica de los catetos. Calcule la suma
a
de las tangentes trigonométricas de los
a
ángulos agudos del triángulo.
A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6 De la figura: Cot   3
RESOLUCIÓN RPTA.: D
 7. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.
c
a 
 3
b
Si: c  2 ab
Si pide: E  tg  tg 2
2 2
a b a b
E   x
b a ab A) 3cos   2Sen
Pero:
a² + b² = c² B) 2cos   3Sen
 E=
4ab C) 2sen  3cos
 4
ab D) 3sen  2cos
RPTA.: C
E) 2sen  3cos
RESOLUCIÓN
6. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N 3Sen
son puntos medios. Determine "cot " .

A B
3

M

2

x
D N C 2Cos
A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3
 x  3Sen  2Cos
RPTA.: D
4
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5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
8. En la figura, halle el perímetro del 2) Si Sen   40 y 0     , hallar 
Ctg  
 
rectángulo OABC si se conoce “  ”, y el radio 41 2 4
del cuadrante MON es “r”. 41  5
a) b) 41  5 c) 41  3
B C
 4 4 4
d) 41  3 e) 3
N 4 4
3º EXAMEN SUMATIVO 2010 III
3) En la figura AOB es un cuadrante, tal que
OD = 4 DE, entonces el valor de tg es:
r
A M O
A) 2r  sen  cos
B) r  csc  sen 
C) r  sen  cos 

D) 2r csc  sec 
2 A) 41  1 B) 41  3 C) 41  5 D) 1 E) 1
E) r sec csc
4 4 4 4 2
RESOLUCIÓN
r Csc 
4) En el gráfico mostrado, calcular "tg ".
B

C Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de
tangencia.
r Sec  r Sec 
r


A
r Csc  2
 Perímetro del rectángulo a) 1/3 b) ½ c) 2 d) 2 e) 2 2
OABC= 2R csc  sec 3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III
RPTA.: D
5) Si: E  x 2  y 2sen 20 ºxy (cos 70 º1) .
PROBLEMA DE CLASE
2 2
x  y cos 70 ºxy (sen 20 º1)
Reducir: 1  E
1) Si:  y   0º ;45º , además: 1E
a) x b) y c) y d) 2x e) 3y
Tg(  2  5).Tg(2    15º )  1; y x 2x y x
Cos(   ).Csc(2    15º )  1
Calcule Tg(    15º )  Tg2    6) Del gráfico halle:
A) 2 B) 2 3 C) 4 D) 4 3 E) 6 W  sen  cos 
5
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6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
B
127º
9 10 37
°
 y
x
A)1 B) 7 C) 23 D)  7 E)  23
17 17 17 17
A M C
A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 28
7) Del gráfico. Halle: W  sec   tg 
2 2
12) En la figura mostrada determine  4r 2  en
  2 
 c 
 
función de , Si AB = c
a)5 b) 1/5 c) 1 d) 7/2 e)7/3
8) Halle el valor aproximado de:
 53º   37º  A) 21  Sen 1  Cos  B) 21  Sen 1  Cos 
E  Ctg    Ctg    5  10
 4   4 
C) 21  Sen 1  Cos  D) 21  Sen 1  Cos 
A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6
E) 21  Sen  1  Cos  
2 2
9) En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y
M es un punto medio del lado AB. Hallar ctg . 13) En la figura, Calcule (AD – DB) si AB = 3
D C y AC = 27/16.

A M B
A) 5 B)4 C) 3 D) 2 E) 1
10) En un triángulo rectángulo de lados mayores de A) 4 3 B) 3 3 C) 2 3 D) 3 E) 3
24 y 26u, se inscribe un rectángulo de modo 2
que dos de sus lados coincide con los catetos y 14) De la figura mostrada. si AD =2 , DE = 6 ,
uno de sus vértices está en la hipotenusa. EC = 4, determine BD.BE
Determine el área máxima del rectángulo.
A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 90
11) Del gráfico que se muestra encontrar el valor
de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es
mediana relativa a la hipotenusa.
6
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7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
A) 8.Sec .Cos B) 8.Sec .Sec 4) En un triángulo rectángulo, recto en “A”, uno de
C) 8.Sec .Sen D) 8.Cos .Sec sus catetos es el doble de la diferencia entre
E) 8.Sen .Sec la hipotenusa y el otro cateto. Calcule la
tangente del otro ángulo agudo
15) En un triángulo rectángulo, la longitud de un A) ½ B) 2/3 C) ¾ D) 4/5 E) 5/3
cateto es media proporcional entre el otro
cateto y la hipotenusa. Si es la medida del 5) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, O
menor ángulo agudo, entonces el valor de sen  es centro de la circunferencia, E es punto de
, es: tangencia , Calcule: tg + 2
A) 3  1 B) ½ C) 5  1 D) 3  1 E) 2
2 2 2 2
16) En la figura mostrada BC = 25u, Calcule AD
A) 2 B) 2  1 C) 2  1 D) 2  1 E) 2 2
2 2
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 6) Calcular aproximadamente el valor de:
 37º   53º 
2ctg    3ctg  
PROBLEMA DE REPASO  4   4 
A) 10 B) 10  5 C) 5
1) Si los catetos de un triángulo rectángulo son D) 3 10  2 5 E) 2 10  3 5
como 3 es a 5, el coseno del ángulo agudo
mayor Es: 7) Si  y  además
Tg2  5  215º tg   4  195º   1 ,
a) 1 b) 1 c) 3 d) 3 e) 34
Cos   Csc2    55º   1
43 34 34 43 3
Calcule Tg3    5º   tg     45º 
2) En la figura mostrada AB = 2, m<DAC = 30º;
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
mADB = 15º, Calcule la longitud del segmento
DC.
8) Calcular el valor de:
2Cos80º.Csc10º Csc 4 45º
Tg 26º30 ' Senx  30º   Cos60º  x 
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
9) Si se cumple     15º , donde  y  son
3 2 2
ángulos agudos, calcule:
A) 2 B) 1 C) D) 3 E) 1 3
3 Tg   3   Sec 2  2 
Csc2  4   Ctg 3  3 
3) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) -3
tiene que:   A 
Cot  2   SecC tgA  6SecA  4 ,
    10) Calcule la suma de los cuadrados de los senos
calcule 20CosC  TgA de los ángulos que forman la diagonal de un
A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29
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8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
cubo con las aristas que parten del vértice de A) 2 B) 1 C) 15 D) 4 E) ¼
donde partió la diagonal. 3
A) ½ B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 15) Calcule :
 15º  2  15º 
11) Calcule el valor numérico de la expresión: E  tg 2    Ctg  
 2   2 
 
g g
 50   200  A) 30  16 3 B) 30  16 3 C) 30  12 3
2  3 Tg    8Cos 
 3   3  D) 30  12 3 E) 30  3
 
2Tg    2 3Csc60º
4 16) Reducir la siguiente expresión:
A) 1/3 B) ½ C) 2/3 D) 5/6 E) 1 1  Csc27º .Cos63º
Ctg (27º  x).Ctg (63º  x)  Sen 27º
12) En un triángulo de la figura mostrada A) -1 B) -½ C) ½ D) 0 E) 1
m<BAE = 90º, BC = CD =DE; entonces, el valor
de 8Tgw.tg es: 17) En la figura adjunta, AB = 8r; AD = DC. Calcule
el valor de Csc
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
A) 3 B) 5 C) 6 D) 10 E) 13
13) Del gráfico adjunto calcule el valor de
18) En la figura ABCD es un cuadrado y BC = 3BP.
Ctg  3Ctg .Dado que AB = 8 y BD = EC = 2.
Determinar Tg + Ctg
A) 7  3 B) 9  3 C) 7  3
D) 9  3 E) 7  3 A) 0,5 B) 1,5 C) 2,5 D) 3,5 E) 4,5
14) En un triángulo mostrado, calcule 2Cos , si 19) En la figura , Calcule :
el área de la región triangular ADC es el    
3  8 Tg  2 3  1 Tg , Si 4BD = DC
cuádruple de la región ABD.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
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