1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“ÁNGULOS HORIZONTALES Y VERTICALES”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con ángulos horizontales y verticales.
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical
que, en la práctica, son formados por una línea
visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como
resultado de haberse efectuado una observación.
Estos resultados se clasifican en: ángulos de
elevación y ángulos de depresión.
(ver gráficos).
ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano
horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en
la Rosa Náutica.
Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento
de orientación que permitirá localizar una ciudad,
persona o punto; respecto de una referencia,
mediante el uso de las direcciones:
Note que dichas direcciones en este caso para A;
B y C; forman con los ejes principales ciertos
ángulos; con quienes se van a denotar dichas
direcciones. Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P" .
"B" se halla al O40ºN de "P" .
"C" se halla al S42ºO de "P" .
Línea Horizontal
Línea Visual

h
 : Ángulo de Elevación
H

Línea Horizontal
Línea Visual
 : Ángulo de Depresión
H

Línea Horizontal
Línea Visual
 : Ángulo de Depresión

Consideración: En el gráfico adjunto, " " es
el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note
que deben trazarse las dos visuales; una hacia
la parte alta y la otra hacia la parte baja.
Luego " " es el ángulo formado por las dos
visuales.



Consideración: En el gráfico adjunto, " " es
el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note
que deben trazarse las dos visuales; una hacia
la parte alta y la otra hacia la parte baja.
Luego " " es el ángulo formado por las dos
visuales.


Dirección
Dirección
Dirección
AB
C
P
Referencia
Oeste (O) Este (E)
Norte (N)
Sur (S)
42º
40º 30º
Semana Nº 15

Consideración: En el gráfico adjunto, " " es
el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note
que deben trazarse las dos visuales; una hacia
la parte alta y la otra hacia la parte baja.
Luego " " es el ángulo formado por las dos
visuales.



2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-15 Ingreso Directo
Ahora bien, algunas direcciones tienen la
particularidad de obtenerse trazando bisectrices
sucesivas, a partir de los ejes principales; por lo
que su notación será también particular.
Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el
Este, y usted concluye los restantes por analogía.
En cualquiera de los casos: ó
SITUACIONES COMBINADAS
Cuando los enunciados de los problemas mencionan
ángulos verticales (de elevación o de depresión) y
ángulos horizontales (uso de direcciones,
generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a
emplear asume una posición más real; es decir,
ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo,
grafiquemos la siguiente situación:
"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo
alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Si
luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta
ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación
para su parte más alta sería " ". Ahora, note la
representación gráfica:
PROBLEMA DE CLASE
1. Laura observa la parte superior de un árbol con
un ángulo de elevación 𝛼. Cuando la distancia
que los separa se ha reducido a la tercera
parte, el nuevo ángulo de elevación se ha
duplicado. Calcular 𝛼
A) 18º30’ B) 26º30’ C) 30º D) 37º E) 60º
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
2. Desde un punto A situado a 50m de un árbol,
una persona observa la parte superior de este
con un ángulo de elevación de 30º. Si la persona
se aleja x metros más del árbol y vuelve a
observar su parte superior se da cuenta que el
ángulo de elevación mide 15º. el valor de x es:
A) 5√3 B)
10√3
3
C) 50√3 D) 100√3 E)
100√3
3
3. Un alambre de suspensión sujeto a la punta de
un poste forma un ángulo de 72º con el piso. Si
desde un punto más alejado del poste , a
4(6 − 2√5)𝑚 de la base del alambre, el ángulo
de elevación de la punta del poste es 54º ,
entonces la longitud en metros del alambre de
suspensión es:
A) 15 B)16 C) 17 D) 18 E) 19
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
4. Se desea formar un triángulo, con un par de
lados que midan 3m y 5m, respectivamente. Si
se cuenta con un pedazo de alambre de 8m de
longitud que al doblarlo forma un ángulo de 30º
30º 66º
24º
10º
Q
N
P
EO
S
S
R



R""deNE66ºalEstá
R""deEN24ºalEstá
P



R""dealEstá
R""deNO30ºalEstá
Q



R""dealEstá
R""deES10ºalEstá
S
E E
EE
O O
OO
S S
S S
N N
N N




NE
4
1N
NNE
N
4
1NE
NE
E
4
1NE
ENE
NE
4
1E
'15º11
rad
16




 60º
N60ºE

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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cuyos Lados tienen 3m y 5m ¿Cuánto más de
alambre se necesita para formar el tercer
lado?
A) m31543 B) m31534 
C) m35134  D) m51534
E) m334 
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I
5. Una persona colocada a la orilla de un rio ve un
árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un
ángulo de 60°, se aleja 40m y este ángulo mide
30°, cuál es la altura del árbol.
a) 43,60m b) 30,6 m c) 34,6 m
d) 36,4 m e) 38,4 m
(EXAMEN PREFERENTE – UNS 2013 I )
6. Desde los puntos A y B situados a ambos lados
de un edificio y en un mismo plano vertical, se
observa desde A la parte más alta y más baja
de un pararrayos que se encuentra sobre el
edificio con un ángulo de elevación de 60º y 53º
respectivamente y desde B se observa la parte
alta del para rayos con elevación de 30º. Si
AB = 60m, Calcule la altura del pararrayos.
a)  m20310  b)  m18315 
c) m40 d) 30 m e)  m20315 
(3° Examen sumativo 2011 – II)
7. Una torre esta al pie de una colina cuya
inclinación con respecto al plano horizontal es
de 15º. Una persona se encuentra en la colina a
12m de la base de la torre y observa la parte
más alta de esta con un ángulo de elevación de
45º. la altura de la torre, es:
a) m64 b) m66 c) m15
d) 14 m e) m65
( 3° examen sumativo 2011 – II)
8. Un niño observa una nube con un ángulo de
elevación de 37º; luego de avanzar cierta
distancia acercándose a la nube, el ángulo de
elevación con el cual ve la nube es de 53º. Si la
nube se mantiene estática a una altura de
120m; entonces, la distancia que camino el niño
es de :
a) 60m b) 70m c) 40m d) 50m e) 45m
( 3° examen sumativo 2012 – II)
9. Desde el extremo superior de una torre de
24m de altura se observan los puntos “A” y “B”
con ángulos de depresión de 37° y 53°
respectivamente. Si los puntos A y B se
encuentran alineados con la torre ,
entonces, la distancia entre dichos
puntos, es:
a) 14m b) 18m c) 32m d) 6m e) 16m
( 3° examen sumativo 2013 – I)
10.Si desde el puesto de vigía de un barco que
tiene 48m de altura, se observa que el ángulo
de depresión de un bote es de 30°, entonces la
distancia, en metros, a la que está el barco, es:
a) m334 b) m368 c) m312
d) m324 e) m348
( 3° examen sumativo 2013 – II)
11.Un poste vertical de m34 se encuentra
sujeto a una cuerda tensa de m35 que está
atada a una estaca en el suelo. Si una persona
observa la parte superior del poste con un
ángulo de elevación de 53º y observa la cuerda
en su totalidad con un ángulo de 30º. Calcular la
distancia en la que se encuentra la persona de
la estaca.
a) 14 m b) 15 m c) m33 d) 16m e) m315
12.Un niño y dos árboles se encuentran en una
misma línea. el niño, que está entre los árboles,
observa las partes superiores de dichos
árboles con ángulos de elevación x y 2x. si se
sabe que sus respectivas visuales miden 30 y
35m, calcule la altura del mayor árbol, teniendo
en cuenta que, si la distancia a la que se
encuentra el niño de un árbol es igual a la altura
del otro árbol y este ultimo el que se opone a
2x.
a) 60/7m b) 40/7m c) m
7
1060
d) m
7
1050 e) m
7
1045

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-15 Ingreso Directo
13.Dos móviles parten de un punto, el primero en
dirección en dirección NE y el segundo con
rumbo SE. cuando el primero recorre 20m, el
segundo 21m, la distancia que lo separa es 29m.
calcular
a)10º b) 30º c) 60º d) 45º e) 20º
14.Desde lo alto de un edificio de 16 pisos se
observa un se observa un punto en tierra con
un ángulo de depresión de medida 𝜶 ; desde lo
alto del noveno piso de dicho edificio se
observa el mismo punto con un ángulo de
depresión de medida 𝟗𝟎º − 𝜶 ; calcular tg 𝜶.
a)
1
2
b)
2
3
c)
3
4
d)
4
3
e)
3
2
15.Calcule la altura de un edificio que proyecta
una sombra de 56m a la misma hora que un
árbol de 21m de altura proyecta una sombra
de 24m.
a) 41m b) 48m c) 49m d) 56m e) 64m
16.Una hormiga observa la copa de un árbol con un
ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m
y observa el mismo punto con un ángulo de
elevación de 53º. Calcular la altura del árbol.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20
17.Se observa un poste con ángulo de elevación "
" nos acercamos "L" y el ángulo de elevación
es 45º. Si la altura de poste es "2 L".
Determinar: Tg .
a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) ½ e) 3/2
18.Un edificio tiene todos sus pisos de igual altura
𝒉. desde un punto en tierra; a una distancia 𝒙
del edificio, se observa la parte superior del
primer piso con un ángulo de elevación de
medida 𝜶. El segundo y tercer piso se visualiza
con un ángulo de observación de medida 𝜶 .
calcular 𝒙
a) h b) √2h c) √3h d) 2h e) 2,5 h
19.El ángulo de elevación de la parte alta de un
pedestal mide 68º11`, sobre ella se tiene una
estatua de 7,2m de altura, la cual forma un
ángulo de 2º10` a la vista del observador. Si
tg70º21´ = 2,80 y ctg 68º11` = 0,40. calcular la
altura de pedestal en metros.
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
20.Una hormiga se encuentra en el centro del piso
de una habitación de forma cubica y observo a
una de las esquinas del techo con un ángulo de
elevación de medida 𝜶 rad. Calcular ctg 𝜶/2
a) 2sen15º b) 2cos15º c) 2tg15º
d)
1
2
𝑠𝑒𝑛15º e)
1
2
𝑐𝑜𝑠15º
21.Dos lanchas parten a las 8:00 horas en forma
simultánea de un mismo punto, con velocidades
de 7km/h y 8km/h y con rumbos SO y S75ºE
respectivamente. ¿a qué hora su distancia será
de 32,5 km?
a) 9h30min b) 10:00h c) 10h30min
d) 11:00h e) 11h 30min
22.. Si dicho barco navega en la dirección S30ºE a
la velocidad de 18km/h. ¿a qué Dos
embarcaciones A y B parten de un puerto a un
puerto al mismo tiempo; en las direcciones ENE
y SSE respectivamente, después de un cierto
recorrido desde B se observa a A en
direcciones NE, si en ese instante están
separados 2√2 − √2 k, calcular la suma de las
distancias recorridas por A y B en km.
a) 4 b) 6 c) 5 d) 3 e) 2
23.Dos edificios de alturas H y h (H > h) están
separados por una distancia “d”. Desde el punto
más alto del edificio de altura H se observa las
partes más alta y más baja del otro edificio con
ángulo de depresión de 30º y 60º,
respectivamente .La razón H/h, es:
a) 4/3 b) 3/2 c) 2 d) 5/2 e) 8/3
24.Desde un punto A parte de un móvil hasta un
punto B que está al norte de A, luego se dirige
con rumbo sur Este 60º hasta un punto c que
está a 10m de B. Finalmente se dirige con
rumbo Sur Este 75º hasta un punto D situado
al este de A y a una distancia de este punto de
 m362  . Calcular la distancia de A hasta B.
a) 34 m b) 6m c) 8 m d) m26 e) m36
( 1° examen sumativo 2012 – III)



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Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo