Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Explicación de los tres metodos Sustitución, Igualación y Reducción

1. TEMA
SISTEMAS DE ECUACIONES
Profesor: Juan Sanmartín
Matemáticas
 Sistemas Lineales
 Método Sustitución
 Método Igualación
 Método Reducción.
Recursos subvencionados por el…

2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, en este caso
despejaremos x en la primera ecuación dejándola en función de y.






443
32
yx
yx





443
32
yx
yx
yx 23 
Una vez despejada, se sustituye el valor de x en la segunda ecuación.
yxyx 2332 
443  yx   44233  yy
4469  yy 5109446  yyy

3. Obtenemos una ecuación de primer grado en función de y.
2
1
y
213
2
1
23 





x
2
1
2


y
x
Una vez obtenida y, resolvemos el valor de x mediante la ecuación en la
que anteriormente despejamos la y
Resultado. (indicamos el resultado)
510 y
2
1
10
5


y
yx 23 

4. MÉTODO DE IGUALACIÓN

























2
53
7
510
532
5107
532
1057
y
x
y
x
yx
yx
yx
yx






532
1057
yx
yx
   5375102
2
53
7
510




yy
yy
Despejamos la misma incógnita en cada una de las
ecuaciones, en este caso despejamos la x
Igualamos ambas incógnitas despejadas, ya que al ser la misma x, tiene que
se igual

5.   5
70
35
7
5510
7
510





y
x
  5
2
10
2
553
2
53





y
x
5
5


y
x
2035211035211020  yyyy
5
11
55
5511 


 yy
Obtenemos una ecuación de primer grado en función de y
Obtenemos el valor de x por
cualquiera de estas dos
expresiones
Resultado

6. MÉTODO DE REDUCCIÓN
Reducimos ambas expresiones, restando
ambas de forma que una de las incógnitas
desaparezca, para ello podemos multiplicar
cada expresión por un número entero.






932
1553
yx
yx
 
 9323
1553)2(


yx
yx
3
19
57
5719 


 yy
57190
2796
30106



yx
yx
yx

7. 




932
1553
yx
yx
0
19
0
019  xx
3
0


y
x
 
 9325
15533


yx
yx
0019
451510
45159



yx
yx
yx
Resultado

8. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, en este caso
despejaremos y en la primera ecuación dejándola en función de x.
42xy 
Una vez despejada, se sustituye el valor de y en la segunda ecuación.
y42x 
53  yx   542x3x  5126xx 
5126  xx





42
53
yx
yx





42
53
yx
yx Para no tener problemas con el signo
paso la y a la derecha para despejarla.
77 x
7
7
x 1 1x

9. Una vez obtenida x, resolvemos el valor de y mediante la ecuación en la
que anteriormente despejamos la y
1x
y42x 





42
53
yx
yx
42xy    412y  2y 
1x
2y  




42
53
yx
yx    
    




4212
5231
Solución
Comprobación

10. MÉTODO DE IGUALACIÓN
Despejamos la misma incógnita en cada una de las
ecuaciones, en este caso despejamos la y
Igualamos ambas incógnitas despejadas, ya que al ser la misma y, tiene que se igual





yx
yx
26
1735





yx
yx
26
1735





yx
xy
26
5173










2
6
3
517
x
y
x
y
3
517
2
6 xx 


    251763  xx
xx 1034183  1834103  xx 5213 x
13
52
x 4 4x

11. Obtenemos el valor de y por cualquiera de estas dos expresiones
4x
4x
3
517 x
y


2
6

x
y
 
3
4517 

3
3
3
2017


 1
 
2
64 
 1
2
2

4x
1y 
Solución
Comprobación





yx
yx
26
1735    
    




1264
171345
Obtenida la incógnita x vamos a proceder a obtener la incógnita y
Tiene que dar el mismo resultado, en caso contrario estaría mal.

12. MÉTODO DE REDUCCIÓN
Reducimos ambas expresiones, restando ambas de forma
que una de las incógnitas desaparezca, para ello podemos
multiplicar cada expresión por un número entero.
 
1332
112)2(


yx
yx
357 y
3570
1332
2242



yx
yx
yx





1332
112
yx
yx
Comenzamos con la x, los coeficientes son múltiplos entre si, podemos reducir la x
multiplicando la ecuación superior por (-2). El signo negativo nos sirve para poder
restar y que desaparezca la x.
7
35
y
5y
5

13. 77 x
 
 13322
1123


yx
yx
707
2664
3363



yx
yx
yx





1332
112
yx
yx
7
7
x 1
1x
5y 
Solución
Comprobación





1332
112
yx
yx    
   




135312
11521
En el caso de la y, los coeficientes no son múltiplos entre si.
Multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente de
abajo y viceversa. Como tienen signo distinto no tenemos
que cambiárselo a ningún factor de multiplicación.

14. Reducimos ambas expresiones hasta obtener un
sistemas lineal de dos ecuaciones igual que los
anteriores.
 






3
23
232
yx
yyxx
 






3
23
232
yx
yyxx







6
18
6
3
6
2
2322
yx
yyxx





1832
2322
yx
yyxx





1832
25
yx
yx
Sistema
Operamos los paréntesis en la ecuación superior
y calculamos denominador común en la inferior.
Agrupamos términos de x e y
Y tenemos el sistema que queremos resolver

15. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, en este caso
despejaremos x en la primera ecuación dejándola en función de y.
yx 52 
Una vez despejada, se sustituye el valor de y en la segunda ecuación.
x5y2 
1832  yx   1835y-22  y 183104  yy
Para no tener problemas con el signo
paso la x a la derecha para despejarla.
147  y
7
14

y 2 2y





1832
25
yx
yx





1832
25
yx
yx
418310  yy

16. Una vez obtenida y resolvemos el valor de x mediante la ecuación en la
que anteriormente despejamos la x
2y
21x 
12x
2y 
Solución
x5y2 





1832
25
yx
yx
yx 52   252 x 102

17.  
 












11
3
52
2
7
23
15
yx
yx
yxx
   
   










3
33
3
10223
6
21
6
3552
yxyx
yxx
Reducimos ambas expresiones hasta obtener
un sistemas lineal de dos ecuaciones sencillo
que después resolvemos













11
3
1022
2
7
23
55
yx
yx
yxx










3
33
3
3066
6
21
6
331010
yxyx
yxx
 
 












11
3
52
2
7
23
15
yx
yx
yxx
Operamos los paréntesis
Obtenemos denominador común. Operamos

18. 




333066
21331010
yxyx
yxx
34340
214935
551535



yx
yx
yx





303375
102137
yx
yx





375
1137
yx
yx
34
34


y
Una vez eliminados los denominadores
en los dos lados del igual nos queda… Agrupando las incógnitas
 
   3757
1137)5(


yx
yx
3434  y
En este caso, los coeficientes de x e y no son múltiplos entre si. Multiplicamos la ecuación
de arriba por el coeficiente de abajo y viceversa. Como tienen el mismo signo tenemos que
cambiar el signo a un factor de multiplicación para poder restar
1
1y
Método de Reducción

19. 68034
92115
772149



yx
yx
yx
6834 x
Ahora con la y hacemos lo mismo





375
1137
yx
yx  
   3753
1137)7(


yx
yx
34
68
x 2
2x
1y 
Solución

20. FIN DE TEMA
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