Campo magnético y fuerza magnética

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Toribio Córdova C.

CAPITULO VIII
Campo magnético y fuerza
magnética

344

Física General III


Toribio Córdova C.

8.1 Polos magnéticos y líneas de campo
La ciencia del magnetismo nació de la observación de que ciertas piedras (Magnetita Fe3O4) atraían pedazos de
hierro. A estas piedras se les denominaron imanes naturales (véase la figura 8.1a). Uno de los imanes naturales más
importante es la tierra (véase la figura 8.1b), cuya acción orientadora sobre la brújula ha permitido diferenciar el
polo norte verdadero del norte geográfico y determinar los denominados polos magnéticos de un imán.

(a)
Figura 8.1.

(b)

(a) Imán natural en forma de barra, (b) Imán terrestre con sus polos norte y sur

A partir de una experimentación cualitativa se puede establecer que:







Una barra imanada presenta dos polos. Estas son regiones cercanas a los extremos del imán donde
aparentemente se concentra la actividad magnética.
Entre dos polos magnéticos existe siempre o una atracción o una repulsión
Sólo existen dos clases de polos magnéticos denominados polo norte(N) y polo sur(S).
En ausencia de otros imanes en su vecindad, una brújula se orienta por sí misma en la dirección norte - sur. El
polo que apunta hacia el norte geográfico se le denomina polo norte y el que apunta hacia el sur geográfico se le
denomina polo sur del imán.
La fuerza de interacción entre dos polos magnéticos presenta la dependencia del inverso al cuadrado de la
distancia que los separa.
Dos polos de diferente nominación experimentan una interacción atractiva como se muestra en las figuras 8.2a
y 8.2b y dos polos de la misma nominación experimentan una interacción repulsiva como se muestra en la
figura 8.2c y 8.2d.

Figura 8.2.

(a) y (b) Interacción atractiva entre dos polos de diferente nominación; (c) y (d) interacción repulsiva entre
polos de igual nominación

Debe señalarse que cuando una brújula se coloca en una región cerca de un alambre que no transporta corriente
eléctrica, la brújula no experimenta una orientación respecto al alambre (figura 8.3a). Sin embargo, si por alambre
circula una corriente hacia arriba (figura 8.3b) o hacia abajo (figura 8.3c), la brújula experimenta una orientación.
Esta situación indica que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas.

345

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(a)
Figura 8.3.

Toribio Córdova C.

(b)

(c)

(a) la brújula en la cercanía a un conductor por el que no fluye corriente no experimenta orientación, (b) la
brújula en la cercanía de un conductor que transporta corriente hacia arriba experimenta una orientación,
(c) si la corriente fluye hacia abajo la brújula se orienta en dirección opuesta

En la práctica resulta imposible aislar a un sólo polo magnético, es decir si se divide a un imán en dos partes iguales
como se muestra en la figura 8.4, lejos de obtener un sólo polo se obtiene dos imanes con sus propios polos
magnéticos norte y sur y si nuevamente dividimos a estos imanes en dos partes se obtiene cuatro imanes. Por lo
tanto, se dice que el campo magnético es de origen dipolar.

Figura 8.4.

El campo magnético es de origen dipolar es decir si se divide a un imán en n partes se obtiene n imanes.

Para trazar un campo magnético se utilizan las brújulas, siendo la dirección del campo magnético la que apunta la
aguja de este instrumento cuando se coloca cerca de un imán (véase la figura 8.5a. El vector campo magnético (B)
conocido también con el nombre de Inducción Magnética, se le puede representar por líneas de campo como se
muestra en la figura 8.5b.

(a)
Figura 8.5.

(b)

Trazado de las líneas de campo magnético para un imán en forma de barra usando una brújula, (b) el
campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético

El ampo magnético se encuentra relacionado con las líneas de fuerza de la siguiente manera:
a) El campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético.

346

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Toribio Córdova C.

b) Las líneas de campo magnético se dibujan de tal manera que el número de líneas por unidad de área de sección
transversal sea proporcional a la magnitud del campo magnético.
c) Las líneas de campo magnético son cerradas y terminan en el interior del imán.
d) Las líneas de inducción se dibujan saliendo del polo norte y entrando en el polo sur.
En la Figura 8.6a, 8.6b y 8.6c, se muestran la forma como se dibujan las líneas de campo magnético.

Figura 8.6.

(a) Líneas de fuerza para un imán en forma de barra, (b) líneas de campo magnético para una bobina que
transporta una corriente I, y (c) un imán en forma de herradura produce un campo magnético uniforme

Experimentalmente se demuestra que cuando una partícula cargada q, se mueve con una velocidad ⃗ , en el espacio
𝑣
�⃗, experimenta una fuerza de origen magnético ⃗ 𝑚 como se muestra en la
en donde existe un campo magnético 𝐵
𝐹
figura 8.7a. La fuerza magnética tiene las siguientes características.

8.2. Fuerza magnética y campo magnético.

a) La fuerza magnética sobre una partícula cargada es siempre perpendicular tanto al vector campo magnético �⃗,
𝐵
así como al vector velocidad ⃗ , de la partícula.
𝑣
b) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional a la magnitud de �⃗, a la magnitud de la
𝐵
velocidad de la partícula ⃗ y a la carga q que lleva la partícula.
𝑣
c) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional al seno del ángulo entre el vector velocidad
⃗ de la carga y al vector campo magnético �⃗.
𝑣
𝐵
d) La fuerza magnética depende del signo de la carga puntual móvil.
Todas estas características se resumen en la ecuación matemática


 
FB = λ (qvxB )

(8.1)

Donde λ es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegidas. En el sistema
internacional de unidades λ es igual a la unidad. Por lo tanto la ecuación anterior se escribe:


 
FB = qvxB

(8.2)

La magnitud de la fuerza magnética se expresa

FB = qvBsenθ

(8.3)

La dirección se determina usando la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.7c.
En la figura 8.7a, se observa que si la carga q se mueve dentro de un campo magnético producido por un imán
experimenta una fuerza magnética y en la figura 8.7b se observa que si q se mueve con una velocidad ⃗ que está
𝑣
�⃗, la fuerza magnética ⃗ 𝐵 siempre es perpendicular al plano
formando un ángulo θ con el camp o magn
ético
𝐵
𝐹
formado por ⃗ y �⃗, entonces dicha fuerza siempre será todo el tiempo una fuerza lateral.
𝑣 𝐵

347

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(a)

Toribio Córdova C.

(b)

(c)

Figura 8.7. (a) Gráfica que ilustra el trazo de la fuerza magnética, (b) Aplicación de la regla de la mano derecha para
determinar la dirección de la fuerza magnética

Por otro lado la ecuación (3) también indica que:




La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es cero.
La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es paralela al campo magnético
(figura 8.8a)
La fuerza magnética sobre la partícula cargada tiene su valor máximo cuando la velocidad y el campo
magnético son perpendiculares esto es θ = 90º como se muestra en la figura 8.8c. Este valor está dado por:
Fmax = qvB

(8.4)

La unidad del campo magnético en el sistema internacional de unidades es
B: 1Tesla = N.s/C.m = N/A.m = 1 Weber/m2
Las unidades del campo magnético en el sistema c.g.s. el denominado Gauss.
1 Tesla = 104 Gauss.
Si la partícula se mueve en una región en donde existe un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza
resultante sobre la partícula cargada se expresa en la forma



 
FR qE + qvxB
=

(8.5)

A la ecuación anterior se le denomina como Fuerza de Lorentz.

(a)
Figura 8.8

(b)

(c)

(a) la fuerza magnética es nula cuando la carga se mueve paralelamente al campo magnético, (b) la fuerza
magnética es perpendicular al plano de la velocidad y el campo magnético y (c) la fuerza magnética es
máxima cuando la velocidad y el campo magnético son perpendiculares.

Debe observarse además que la fuerza magnética al ser perpendicular a la velocidad de la partícula cargada y al
campo magnético, no produce cambio alguno en la velocidad y como tal la energía cinética se mantiene constantes.

348

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En otras palabras, la fuerza magnética no puede mover hacia arriba o hacia abajo a la carga. Consecuentemente, la
fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula.

 
  
  
= Fm .ds q (vxB).(vdt ) q (vxv ).Bdt 0
dW =
=
=

(8.6)

Sin embargo, la dirección de la velocidad de la partícula puede ser alterada por la fuerza magnética, como veremos
posteriormente

8.3 Flujo magnético
Se define al flujo magnéticoΦ B a través de una superficie dada S como la integral de la componente del campo
magnético �⃗ perpendicular a la superficie, sobre el área dada.
𝐵

Para determinar el valor de ΦB consideremos una superficie arbitraria S tal como se muestra en la figura 8.9, y
dividámoslo a ella en elementos dA. Por lo general el campo magnético �⃗ no es constante ni en magnitud ni en
𝐵
dirección sobre la superficie, sino que el campo magnético �⃗ determina el valor local del campo magnético en el
𝐵
punto P.

La componente de �⃗ normal a dA en ese punto, es simplemente la componente del campo magnético en la
𝐵
dirección del vector unitario normal �⃗ a la superficie, esto es
𝑛

Figura 8.9. Flujo magnético a través de una superficie.


= B cos φ B.n
Bn =

(8.7)

El elemento de flujo dΦB a través del área dA será


d Φ B BB dA B.ndA
=
=

(8.8)

Para calcular el flujo total ΦB que atraviesa toda la superficie S se procede a integrar la ecuación (8),

=
ΦB

 
B=
∫ .dA


B.ndA
∫

(8.9)

Si el campo magnético ��⃗ es constante en magnitud y dirección en todos los puntos de la superficie y si ésta es
𝑩

plana, la cantidad B.n también será la misma para todos los elementos dA. Por lo tanto, la ecuación (8) se escribe
S

S


= B.n ∫ dA BA cos φ
ΦB
=

(8.10)

S

Donde A es el área total de la superficie. Si además el campo magnético es perpendicular al superficie0º, la
θ=
expresión anterior se reduce a
(8.11)
ΦB =
BA
Las unidades del flujo magnético en el sistema internacional de unidades es Weber.
8.4 La ley de Gauss para el magnetismo.

349

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Si se tiene un imán en forma de barra de longitud muy grande, la fuerza magnética entre los polos obedece a la ley
de Coulomb, en el sentido de que son inversamente proporcionales al inverso al cuadrado de la distancia entre los
mismos. Como las “cargas magnéticas” se pueden considerar como la fuente de los campos magnéticos los
mismos que decrecen con la inversa del cuadrado de la distancia, se puede demostrar temporalmente la ley de Gauss
para el magnetismo, imaginando que B se origina en una “carga magnética” aislada. En forma análoga a lo que se
hizo con la ley de Gauss para el campo eléctrico


∫ B.ndA = 4πKq

(8.12)

m

S

La integral se evalúa sobre toda la superficie y la carga magnética qm es la carga magnética total encerrada dentro de
la superficie gaussiana. La constante K relaciona a B con la supuesta “carga magnética” qm y la distancia, es decir

 q 
 2 
B = K  m e r
r 

(8.13)

Puesto que la única causa que origina a los campos magnéticos es las corrientes eléctrica y además los campos
magnéticos son de origen dipolar, la “carga magnética” realmente no existe, es decir equivale a un valor cero para
qm. Entonces la ley de Gauss para el magnetismo se escribe


∫ B.ndA = 0

(8.14)

S

Geométricamente se puede entender observando que las líneas de campo magnético comienzan en el polo norte (N)
y terminan en el polo sur (S) es decir forman líneas cerradas, entonces la ecuación (8.14) se satisface en la medida
de que todas las líneas de campo que entran en la superficie S también salen de la superficie, es decir ninguna línea
puede comenzar o terminar dentro de la superficie.

8.5. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica.
Debido a que la corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento, ellas estarán sometidas a una fuerza
lateral, si sobre ella actúa un campo magnético �⃗ como se muestra en la Figura 8.10. Dicha fuerza es proporcional a
𝐵
la intensidad de corriente I, a la inducción magnética B y es perpendicular a ambas cantidades. La dirección de la
fuerza magnética se determina mediante la regla de la mano derecha aplicada como se muestra en la figura 8.10b.
En la figura 8.10c, se muestra un experimento que muestra el efecto del campo magnético sobre un corriente

(a)
Figura 8.10.

(b)

(c)

(a). Cuando un alambre que transporta una corriente I se encuentra en un campo magnético, experimenta
una fuerza magnética, (b) regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética y
(c) experimento en el laboratorio que muestra la fuerza magnética sobre corrientes

Consideremos un alambre recto suspendido en la región entre dos polos magnéticos de un imán como se muestra en
la figura 8.11a. El campo magnético se encuentra ingresando al plano de la página y se representa mediante aspas

350

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(x). Podemos demostrar rápidamente que cuando no pasa corriente a través del alambre (figura 8.11b) el alambre se
mantiene recto. Sin embargo, si a través del alambre fluye una corriente de abajo hacia arriba (figura 8.11c) el
alambre sufre una deflexión hacia la izquierda, mientras que si por el alambre fluye una corriente de arriba hacia
abajo el alambre experimenta una deflexión hacia la derechas como se muestra en la figura 8.11d.

(a)

(b)

(c)

(d)

Para determinar una expresión matemática que relacione el campo magnético �⃗, la intensidad de corriente I y la
𝐵
⃗ 𝐵 , consideremos un conductor recto de sección transversal A y longitud l que transporta una
fuerza magnética 𝐹
corriente eléctrica constante I, tal como se muestra en la Figura 8.12a. El campo magnético se encuentra entrando a
la página.
Figura 8.11.

Deflexión experimentada por un alambre que transporta corriente

(a)
Figura 8.12.

(b)

(a) Fuerza magnética sobre un conductor recto; (b) fuerza magnética sobre un elemento
corriente

diferencial de

La carga se mueve con una velocidad de deriva promedio ⃗ 𝑑 . Debido a que la cantidad de carga total en este
𝑣
segmento es 𝑄 𝑡 = 𝑞(𝑛𝐴𝑙), donde n es el número de cargas por unidad de volumen, la fuerza magnética total sobre
el segmento es

 

 
 
= Qtot vd xB q (nAl )(vd xB ) nqAvd lxB
Fm =
=
 

Fm = I (lxB )

Donde: 𝐼 = 𝑛𝑞𝐴𝑣 𝑑 y ⃗ es un vector dirigido a lo largo de la dirección de la corriente eléctrica
𝑙

(8.15)

Para determinar la fuerza magnética sobre un alambre de forma arbitraria, se divide al conductor en elementos
⃗
diferenciales de longitud 𝑑𝑙, sección transversal A que transporta una corriente tal como se muestra en la figura

351

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8.12b, y se evalúa la fuerza sobre dicho elemento La carga dentro del conductor se mueve con una velocidad v y en
el tiempo dt atraviesa un volumen dV dado por
dV = Adl

(8.16)


 
dF = dq (v xB )

(8.18)

⃗
El desplazamiento de la carga es 𝑑𝑙 , el cual apunta en la dirección de la corriente en tal punto, con esto la velocidad
se expresa

 dl
(8.17)
v=
dt
⃗
El elemento de fuerza 𝑑𝐹, sobre la carga dq será

Remplazando la ecuación (8.17), en la ecuación (8.18), se tiene


 dl  
dF = dq
 dt xB 




(8.19)

Siendo ρ la densidad de carga por unidad de volumen, la carga dq se escribe en la forma
dq = ρdV = ρAdl

(8.20)

Por lo tanto, la fuerza magnética sobre el elemento será


 dl  
dl  
dF = ρAdl 
 dt xB  = ρA dt (dl xB )




(8.21)

Pero (dl/dt) es la magnitud de la velocidad, entonces la ecuación anterior se escribe
 

dF = ρAv(dl xB )

(8.22)

Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente se define como
I = JA = ρvA

(8.23)

 

dF = I (dl xB )

(8.24)

La ecuación (8.20) se escribe
⃗
La ecuación (8.24), nos permite determinar el elemento de fuerza 𝑑𝐹, que actúa sobre la carga dq dentro de un
⃗. La fuerza resultante sobre un segmento de conductor de longitud finita, se
segmento de conductor de longitud 𝑑𝑙
obtiene integrando la ecuación (24) sobre todos los elementos del conductor

F=

 



∫ I (dl xB ) = I ∫ (dl xB )

(8.25)

En donde se ha sacado la intensidad de corriente I, fuera de la integral ya que se trata de una corriente eléctrica
continua. Para un circuito cerrado la integral se calcula alrededor de la trayectoria formada por el conductor, esto es

 

F = I (dlxB )
∫

(8.26)

Existen en la práctica dos casos que merecen nuestra especial atención:
a) El campo magnético �⃗ es de magnitud y dirección constante y el alambre es finito, entonces la expresión (8.26),
𝐵
se escribe (véase figura 8.13a)
C

352

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B
 
 
 
F =  I dl  xB = I (l AB xB )
 A 



∫

(8.27)

b) El campo magnético es de magnitud y dirección constante y la trayectoria es un circuito cerrado, entonces se
tiene (véase figura 8.13b)

[∫ ]

 

F = I dl xB = 0

(8.28)

⃗
En esta ecuación, la integral se anula ya que la suma vectorial de todos los elementos de longitud 𝑑𝑙 , es igual a cero
porque ellos forman un polígono cerrado.

(a)
Figura 8.13.

(b)

(a) Fuerza magnética sobre un alambre curvo que lleva una intensidad de corriente I y se encuentra dentro
de un campo magnético uniforme, (b) Fuerza magnética sobre un conductor cerrado que lleva una
corriente I y se encuentra en un campo magnético uniforme

Una de las aplicaciones de las fuerza sobre corrientes se da en los altavoces (véase la figura 8.14). El campo
magnético radial creado por el imán permanente ejerce una fuerza sobre la bobina de voz la cual es proporcional a
la intensidad de corriente en la bobina, la dirección de la fuerza puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda
según el sentido de la corriente. La señal proveniente del amplificador hace oscilar la corriente en términos de
sentido y magnitud. La bobina y el altavoz al que está acoplada responden oscilando con una amplitud proporcional
a la amplitud de la corriente en la bobina.

Figura 8.14.

Componentes de un altavoz. El campo magnético radial ejerce una fuerza sobre la corriente de la bobina de
voz en la dirección mostrada. Cuando la corriente oscila en la bobina de voz, el cono acoplado a la bobina
oscila a la misma frecuencia.

8.6. Momento o Torque sobre una espira que lleva una corriente eléctrica.

353

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Cuando un alambre por el que circula una corriente eléctrica I se sitúa en el interior de un campo magnético
uniforme �⃗, se ejercen fuerzas sobre cada trozo de alambre. Si el conductor tiene la forma de una espira cerrada, no
𝐵
existe ninguna fuerza neta sobre ella debido a que las distintas fuerzas ejercidas sobre la espira se suman
vectorialmente dando una resultante nula. Sin embargo, en general las fuerzas magnéticas producen un par o
momento sobre la espira que tiende a hacer girar a la espira como se muestra en la figura 8.15a, de modo que su
superficie resulte perpendicular a la inducción magnética �⃗ como se muestra en la figura 8.15b.
𝐵
Para mostrar esta situación consideremos una espira rectangular de lados a y b por la que circula una corriente
constante I como se muestra en la Figura 8.15c. La espira se encuentra en una región en donde existe un campo
magnético uniforme paralelo al plano de la espira.

(a)
Figura 8.15.

(b)

(c)

(a) Espira de corriente en el interior de un campo magnético, (b) espira con el área perpendicular al campo
magnético y (c) Fuerza y Momento (torque) magnético sobre una espira de corriente

Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira serán:
Fuerza sobre AB



 
= I (l AB j ) xBj ⇒ F1 0
F1
=

(8.29)

Fuerza sobre el alambre BC

 



F2 =lBC k ) xBj ⇒ F2 =
I(
− IaBi

(8.30)



 
F3 =I (−lCD j ) xBj ⇒ F3 =0

(8.31)

 



F4 =−lDA k ) xBj ⇒ F4 =
I(
+ IaBi

(8.32)

Fuerza sobre el conductor CD

Fuerza sobre el conductor DA

Analizando las ecuaciones (8.29), (8.30), (8.31) y (8.32), se observa que las fuerzas sobre los lados AB y CD son
nulas y que las fuerzas sobre los lados BC y CD son iguales en magnitud pero sentido opuesto formando estas dos
fuerzas una cupla o par de fuerzas. La fuerza neta sobre la espira sigue siendo nula pero el momento respecto a
cualquier punto es diferente de cero.
El momento de la fuerza F2 respecto del punto O, es



   b 
M 2 = r2 xF2 =  j  x(− IaBi ) = 1 IB(ab )k
2
2 

354

(8.33)

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El momento de la fuerza F4 respecto del punto O, es



   b 
M 4 = r4 xF4 =  − j  x(IaBi ) = 1 IB(ab )k
2
 2 

(8.34)

El momento total con respecto al punto O debido a todas las fuerzas será






MT = M1 + M 2 + M 3 + M 4



M T = 0 + 1 IB(ab)k + 0 + 1 IB(ab)k
2
2


M T = IB(ab)k

(8.35)

Pero el producto (ab) es igual al área de la espira A, entonces el momento se expresa


M T = IBAk

(8.36)

El momento resulta igual al producto de la corriente eléctrica I, por el área A de la espira por el campo magnético B.
Este momento tiende a hacer girar a la espira alrededor del eje Z.
Considere ahora un circuito rectangular que transporta una corriente I colocado de tal forma que el vector unitario
�⃗, y los lados de la espira son
normal �⃗ al plano de la espira forme un ángulo el campo magn
𝑛
θ con
ético
𝐵
perpendiculares al campo magnético, como se muestra en la figura 8.16.

(a)
Figura 8.16.

(b)

(a) Fuerzas sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme. La fuerza resultante es cero
pero la magnitud del momento (torque) es diferente de cero, (b) el momento de torsión es máximo cuando la
normal a la espira es perpendicular al campo magnético

Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira son:
Fuerza sobre el conductor AB




F1 = I (−l AB i ) x(− Bsenθi + B cos θj )


F1 = −bIB cos θk

(8.37)





F3 = I (l CD i ) x(− Bsenθi + B cos θj )


F3 = +bIB cos θk

(8.38)

Fuerza sobre el conductor CD

Fuerza sobre el conductor BC

355

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



F2 = I (l BC k ) x(− Bsenθi + B cos θj )



F2 = −aIB(cos θi + senθj )

(8.39)





F4 = I (−l DA k ) x(− Bsenθi + B cos θj )



F4 = + aIB(cos θi + senθj )

(8.40)

Fuerza sobre el conductor DA

Las ecuaciones (35), (36), (37) y (38), muestran una vez más que la fuerza neta sobre la espira es cero, veamos
ahora que sucede con los momentos respecto al punto O.
Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O



 
M 1 = r1 xF1 = (− 1 ak )x(− bIB cos θk )
2

M1 = 0

(8.41)




 
M 3 = r3 xF3 = ( 1 ak )x(− bIB cos θk )
2

M3 = 0

(8.42)






 
M 2 == ) x  − aIB ( cos θ i + senθ j ) 
r2 xF2 ( − 1 bi 
2



1
M 2 = 2 ( ab ) IBsenθ k

(8.43)



 
= r4 xF4
M4 =




bi ) x  aIB ( cos θ i + senθ j ) 




1
M 4 = 2 ( ab ) IBsenθ k

(8.44)






M T = M1 + M 2 + M 3 + M 4



M T = 0 + 1 IB(ab) senθ k + 0 + 1 IB(ab) senθ k
2
2


M T = IBAsenθ k

(8.45)

(

1
2

El momento total respecto al punto O será:

La magnitud del momento será

M T = IBAsenθ

(8.46)

Si en lugar de una sola espira se tiene N espiras del mismo tamaño. El momento sobre toda la espira será
M = (NIA)Bsenθ

(8.47)

Se define al momento dipolar magnético ⃗ como una cantidad vectorial perpendicular al plano del circuito y está
𝜇
expresado mediante la ecuación





µ = NIAn

Entonces la ecuación (41) se escribe

356

(8.48)

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M = µ Bsenθ

(8.49)

  
M = µ xB

(8.50)

Ecuación que en forma vectorial se escribe
Esta ecuación es similar a aquella obtenida para el momento producido por un campo eléctrico �⃗ , externo sobre un
𝐸

dipolo eléctrico M = µ E xE . Es necesario señalar que el sentido del momento dipolar magnético ⃗ es el de avance
𝜇
del tornillo de rosca derecha que gira en el mismo sentido que el de la corriente eléctrica. Es decir el sentido
también se puede determinar mediante el uso de la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.17.
Las unidades del momento dipolar magnético son el amperio por metro2 (A.m2)



Figura 8.17.





Regla de la mano derecha para determinar el momento dipolar magnético de una espira circular que
transporta una corriente en sentido antihorario.

Debido a que, cuando una espira que transporta corriente se encuentra dentro de un campo magnético externo, obra
un momento de torsión, deducimos que debe hacerse trabajo positivo o negativo mediante un agente externo para
cambiar la orientación de la espira. Es decir, una espira de corriente o cualquier dipolo magnético tienen una energía
potencial asociada con su orientación en el campo magnético. El trabajo hecho por el agente externo para rotar el
dipolo magnético desde un ángulo θ 0 a un ángulo θ está dado por
θ

θ

θ0

θ0

Wext =U − U 0 =∫ Mdθ =∫ µ Bsenθ dθ =µ B (cos θ 0 − cos θ )

(8.51)

Puesto que Wext = - W, donde W es el trabajo hecho por el campo magnético. Se puede determinar la energía para
una rotación cualquiera giro asumiendo que U0 = 0 cuando el momento dipolar magnético y el campo magnético
son perpendiculares. Entonces la energía potencial en cualquier posición será

 
U =θ =
− µ B cos
− µ .B

(8.52)

La configuración es de equilibrio estable cuando ⃗ 𝑚 se encuentra alineado paralelamente con �⃗, siendo U un
𝑝
𝐵
mínimo con 𝑈 𝑚𝑖𝑛 = −𝜇𝐵. Por otro lado, cuando ⃗ y �⃗ son anti-paralelos la energía potencial es un máximo
𝜇
𝐵
𝑈 𝑚𝑎𝑥 = +𝜇𝐵, en estas condiciones el sistema es inestable.
8.7. Fuerza magnética sobre un dipolo magnético.

En la sección anterior se ha demostrado que, la fuerza que experimenta una espira de corriente (dipolo magnético)
localizada en un campo magnético uniforme es nula. ¿Qué sucedería si el dipolo magnético se encuentra en un
campo magnético no uniforme?. En este caso debemos esperar que la fuerza magnética neta sobre el dipolo sea
diferente de cero.

Para ilustrar esta situación consideremos un pequeño dipolo cuyo momento dipolar ⃗ 𝑚 = ⃗ es localizado a lo largo
𝑝
𝜇
del eje de un imán en forma de barra, como se muestra en la figura 8.18,

357

Física General III


Toribio Córdova C.

El dipolo experimenta una fuerza atractiva ejercida por el imán cuando el campo magnético en el espacio no es
uniforme. Así, puede aplicarse una fuerza externa para mover el dipolo hacia la derecha. La fuera 𝐹𝑒𝑥 ejercida por
un agente externo para mover al dipolo una distancia ∆𝑥 hacia la derecha está dada por

Fex (∆x) = ∆U = − µ B( x + ∆x) + µ B( x) = − µ[ B( x + ∆x) − B( x)]

(8.53)

Para desplazamientos ∆𝑥 pequeños, la fuerza puede expresarse en la forma

Figura 8.18.

Un dipolo magnético en la cercanía de un imán en forma de barra

[ B ( x + ∆x) − B ( x)]
d B
Fex = =
−µ
−µ
dx
∆x

(8.54)

La cual es una cantidad positiva ya que
< 0, es decir el campo magnético disminuye con un aumento de la
𝑑𝑥
distancia x. esta es precisamente la fuerza necesaria para mover el dipolo en contra de la atracción magnética
ejercida por la barra.- En forma general la fuerza magnética se expresa en la forma
𝑑𝐵

dB d  
Fm =
( µ .B )
= µ
dx dx

(8.55)

Utilizando la definición de gradiente la expresión anterior se escribe

 
Fm = ∇( µ .B)

(8.56)

8.8. Movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético.
Una característica importante de la fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento en el interior de un
campo magnético es que dicha fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por consiguiente la
fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula y la energía cinética de ésta no sufre alteración por acción de
dicha fuerza, lo único que hace la fuerza magnética es modificar la dirección de la velocidad y no su magnitud,
En el caso en el cual la velocidad de la carga sea perpendicular al campo magnético considerado uniforme, como se
muestra en la figura 8.19, la fuerza magnética nos da la fuerza centrípeta responsable del movimiento circular.

Para encontrar una relación entre el campo magnético �⃗, la velocidad ⃗ , el radio del círculo r, se aplica la segunda
𝐵
𝑣
ley de Newton en dirección normal, esto es:

∑ Fn = ma n
Fm = qvB =

mv 2
r

De donde se obtiene el radio de la órbita descrita por la partícula cargada

r=

mv
qB
358

(8.57)

Física General III


Toribio Córdova C.

De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por

v
r

ω= =

v
q
⇒ω = B
(mv / qB )
m

(8.58)

Esta ecuación nos indica que la velocidad angular con que gira la partícula es independiente de la velocidad v y sólo
depende de la carga q, de la masa m y del campo magnético B. La expresión vectorial de la velocidad angular está
dad por

q



ω = −  B
m

(8.59)

El signo menos indica que la velocidad angular tiene un sentido opuesto a la dirección del campo de inducción
magnético.

(a)
Figura 8.19.

(b)

(c)

(a) Movimiento de una partícula cargada dentro de un campo magnético uniforme. (b) Haz de electrones
moviéndose en una trayectoria circular dentro de un campo magnético

Por otro lado, si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo magnético, la componente de la
velocidad paralela al campo es constante pero no existe ninguna fuerza paralela al campo. En estas condiciones la
carga se mueve describiendo una hélice (véase la figura 8.20a), cuyo radio de hélice está dado por la ecuación (56),
donde ⃗ es ahora la componente perpendicular al campo �⃗.
𝑣
𝐵

Figura 8.20.

(a) Movimiento de una carga puntual que inicialmente tiene componente perpendicular y paralela al campo
magnético, (b) Movimiento de una partícula cargada en el interior de la botella magnética

El movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético no uniforme es aún más complejo. La
figura 8.20b, muestra el campo producido por dos bobinas separadas cierta distancia. Si una partícula entra en esta
región experimentará fuerzas hacia el centro en las regiones cercanas a las bobinas y si esta tiene energía cinética
suficiente circulará de un lado a otro en el campo producido por las bobinas. Este campo se denomina botella
magnética.

359

Física General III


Toribio Córdova C.

En forma análoga el campo magnético terrestre no uniforme atrapa a las partículas cargadas provenientes del sol en
regiones en forma de rosquillas que circundan a la tierra, como se muestra en la figura 8.21. Estas regiones se
denominan cinturones de radiación Van Allen

(a)
Figura 8.21.

(b)

(a) Cinturones de radiación Van Allen alrededor de la tierra. (b) auroras boreales originadas por el
movimiento de las partículas cargadas dentro del campo magnético.

8.9 El motor de corriente continua.
Un motor eléctrico es aquel dispositivo que trabaja o se alimenta de corriente contínua. Está formado generalmente
por las siguientes partes.

8.9.1.

Partes principales
 Un inductor o estator. Es un electroimán formado por un número par de polos. Las bobinas que las
arrollan son las encargadas de producir el campo inductor al circular por ellas la corriente de excitación.
 Inducido o rotor (arrollamiento de inducido). Es una pieza giratoria formada por un núcleo magnético
alrededor del cual va el devanado de inducido sobre el que actúa el campo magnético.
 Colector de delgas: Es un anillo de láminas de cobre llamadas delgas, dispuesto sobre el eje del rotor
que sirve para conectar las bobinas del inducido con el circuito exterior a través de las escobillas.
 Escobillas. Son unas piezas de grafito que se colocan sobre el colector de delgas, permitiendo la unión
eléctrica de las delgas con los bornes de conexión del inducido.
Al girar el rotor, las escobillas van rozando con las delgas, conectando la bobina del inducido
correspondiente a cada par de delgas con el circuito exterior. El motor y su estructura básica se muestra en
la figura 8.22.

8.9.2.

Funcionamiento.
El motor de CC basa su funcionamiento en la fuerza ejercida por el campo magnético de un imán sobre un
elemento en forma de espira la cual transporta una corriente. Se obtendrá el valor máximo de fuerza
cuando el campo magnético sea perpendicular al conductor y tendrá una fuerza nula cuando el campo sea
paralelo al flujo de corriente eléctrica. El par torsor ��⃗ que se origina es ��⃗ = ⃗ 𝑥𝐵. En la figura 8.23, cada
𝑀
𝑀
𝜇 �⃗
uno de los segmentos del conmutador hace contacto con uno de los bornes, o escobillas de un circuito
externo que incluye una fuente de fem. Esto hace que entre la corriente por uno de los lados del rotor y
salga por el otro. El rotor al están en el campo magnético producido por el imán, gira en sentido anti
horario debido al par producido por el campo sobre la corriente (véase figura 8.23a).

360

Física General III


Toribio Córdova C.

Figura 8.22. Estructura básica de un motor de corriente contínua.
En la figura 8.23b, se observa al rotor girado 90° respecto a su posición inicial. Si la corriente a través del
rotor fuese constante, el rotor estaría en equilibrio. Pero es en estos instantes en que entra en juego el
conmutador, ahora cada escobilla está en contacto con ambos segmentos del conmutador. Por tanto, aquí
no hay diferencia de potencial entre los conmutadores siendo la corriente en el rotor igual a cero y el
momento magnético es cero. El rotor sigue girando en sentido anti horario debido a su inercia y una vez
más fluye corriente a través del rotor como se muestra en la figura 8.23c. Pero ahora la corriente entra por
el lado de color azul y sale por el rojo, esto es una situación opuesta a la figura 8.23a. En tanto que el
sentido de la corriente se ha invertido con respecto al rotor, el cual ha girado 180°. El motor de la figura
8.23 es de una sola espira. En los motores prácticos existen muchas espiras aumentándose de este modo el
momento magnético y como tal aumenta también el momento torsor.
Debido a que un motor convierte energía eléctrica en mecánica, requiere entonces de una alimentación de
energía eléctrica. Si la diferencia de potencial entre sus bornes de Vab y la corriente es I, entonces la
potencia de alimentación será P =VabI. Aun cuando la resistencia del devanado es aproximadamente nula,
debe existir siempre una diferencia de potencial para que la potencia P sea diferente de cero. Veremos más
adelante la aparición de una fem inducida la que provoca una fuerza contra electromotriz.

Figura 8.23

Diagrama esquemático de un motor simple de CC. El rotor es una espira de alambre que gira en
torno a un eje. Los extremos del rotor están acoplados al conmutador. Los segmentos del
conmutador están aislados unos de otros.

8.10 El efecto Hall.
E. C Hall descubrió que cuando una placa metálica por la que pasa una corriente I se coloca en un campo magnético
perpendicular a ella, aparece una diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este efecto
se denomina efecto Hall.

361

Física General III


Toribio Córdova C.

Para mostrar dicho fenómeno consideremos una placa metálica que transporta una corriente I, como se muestra en la
figura 8.24. Supongamos además que los portadores de carga eléctrica son los electrones cuya carga es q = - e.
Cuando se aplica un campo magnético B, perpendicular a la placa, en el sentido del eje +y, los electrones se
encuentran sometidos a la fuerza magnética expresada por


 
Fm = ( −e ) ve xB

 
Fm =−e ) ( −ve ixBj )
(

(

)



Fm = e ve Bk

(a)
Figura 8.24.

(8.60)

(b)

(a) Conductor de ancho t instalado en circuito y sometido a un campo magnético, (b) los electrones
experimentan una fuerza magnética FB de tal manera que son desplazados hacia el lado superior de la placa

La ecuación (8.60) indica que los electrones resultan sometidos a una fuerza en la dirección + z, es decir los
electrones son desviados al lado superior de la placa, el cual resulta cargado negativamente. Por lo tanto, el lado
inferior resulta cargado positivamente al tener una deficiencia de electrones, como resultado de esto aparece un


campo eléctrico �⃗ 𝐻 paralelo al eje +z. La fuerza debido a este campo eléctrico será Fe = −eE dirigida hacia abajo,
𝐸
llegando en algún instante a contrarrestar a la fuerza magnética debida al campo magnético, produciéndose el
equilibrio (véase la figura 8.25a). Esto a su vez da lugar a una diferencia de potencial vertical entre los bornes
opuestos del conductor, siendo el lado superior el que está a un potencial menor que el inferior; dicha diferencia de
potencial es proporcional al campo magnético. Para mostrarlo, observe que las dos fuerzas que actúan sobre los
electrones se encuentran en equilibrio, esto es

 
F = Fe + Fm


 
F = −eE + (− e )v xB = 0
De donde se obtiene


 
E H = −ve xB

(8.61)

La magnitud del campo eléctrico será

= v= ve B
EH
e B sen90º

(8.62)

Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial está dada por

∆V H = E H d
Remplazando la ecuación (50) en la ec. (51), resulta

362

(8.63)

Física General III


Toribio Córdova C.

∆VH =
ve Bd

(8.64)

A partir de las medidas de la diferencia de potencial para una cinta de tamaño determinado por la que circula una
corriente I en el interior de un campo magnético B se puede determinar el número de portadores de carga por unidad
de volumen. Teniendo en cuenta que la densidad de corriente J está dada por

J = nev d
La velocidad de los portadores es

ve =

J
ne

(8.65)

Al sustituir la ecuación (53) en la ecuación (52), da como resultado

 J 
∆V H =   Bd
 n.e 

(8.66)

Recordando que (J = I/A), la expresión anterior se escribe

∆V H =

IBd
n.e. A

(8.67)

De donde se obtiene que el número de portadores por unidad de volumen está dado por

n=

IBd
eA∆V

(8.68)*

Un análisis idéntico pero esta vez usando portadores de carga positivo permite obtener la misma ecuación (56)* con
la única diferencia es que los portadores de carga positivos se acumularían en la parte superior dejando un exceso de
portadores negativos en la parte inferior (véase la figura 8.25b)

(a)
Figura 8.25.

(b)

(a) Si los portadores son negativos el borde superior se carga negativamente, dicho lado se encuentra a un
potencial menor al del lado inferior, (b) Si los portadores son positivos el borde superior se carga
positivamente, dicho lado se encuentra a un potencial mayor al del lado inferior

8.11. Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en el interior de campos magnéticos.
En esta sección se describe algunas aplicaciones de los principios formulados en el capítulo. Se sugiere al lector
leerlo detenidamente y ampliar sus fundamentos con la lectura del mimo tema proporcionado por otros autores.
8.11.1

Selector de velocidades.

363

Física General III


Toribio Córdova C.

Cuando se produce un haz de partículas cargadas en un filamento caliente (cátodo), no todas las
partículas tienen la misma velocidad. Una forma cómo seleccionar un conjunto de partículas que tengan la misma
rapidez es usar el dispositivo mostrado en la figura 8.26a, en donde se observa la presencia de un campo eléctrico
y un campo magnético mutuamente perpendiculares a este se llama selector de velocidades. En la figura se
observa una partícula con carga +q, masa m, que ha sido liberada en la fuente de iones con una velocidad v y
atraviesa una ranura entrando en el espacio donde el campo eléctrico y magnético son perpendiculares. El campo
eléctrico está dirigido hacia abajo y el campo magnético ingresando al plano del dibujo. Por tanto, la partícula +q
�⃗
experimenta una fuerza eléctrica ⃗ 𝐸 = 𝑞𝐸 , hacia abajo y una fuerza magnética ⃗ 𝐵 = 𝑞𝑣 𝑥𝐵, hacia arriba. Si se
𝐹
𝐹
⃗ �⃗
escogen las magnitudes de los campos de tal manera que las fuerza se equilibren, la fuerza neta sobre +q será nula.
Entoces aplicando la segunda ley de Newton al diagrama de cuerpo libre (figura 8.26b), se tiene

∑F

y

= qvB =
0⇒
qE
v=

(8.69)

E
B

Es decir solamente aquellas partículas que tengan la misma velocidad v pasará a través de la ranura de S2 sin
desviarse.

Figura 21.

8.11.2

(a) selector de velocidades de partículas cargadas, (d) DCL de una partícula positiva dentro de los campos
cruzados.

Experimento de Thomson

J. J. Thomson (1856 – 1940) utilizó el aparato mostrado en la figura 22 para medir la relación de carga
a masa del electrón. El aparato consiste de un tubo de vidrio en cuyo interior se ha hecho alto vacío y en el cual se
aceleran electrones provenientes del cátodo caliente y se reúnen en un haza mediante una diferencia de potencial
∆V entre los dos ánodos. La velocidad de los electrones es determinada por el potencial acelerador ∆V. Utilizando
la conservación de la energía se tiene

1 2
mv = e[∆V ] ⇒ v =
2

2e(∆V )
m

(8.70)

Los electrones pasan entre las placas e inciden en la pantalla del extremo del tubo, la cual está recubierta de un
material fluorescente que emite luz en el punto de impacto. Los electrones pasan en línea recta entre las placas
cuando se cumple la ecuación (8.69), al remplazar esta ecuación en la ecuación (8.70) se riene

E
=
B

2e(∆V )
e
E2
=
⇒
m
m 2 B 2 ∆V

(8.71)

En esta ecuación todas las cantidades del segundo miembro se pueden medir por tanto se puede determinar la
relación e/m.
El aspecto más importante del experimento de Thomson es que encontrón un solo valor para e/m. Es decir esta
magnitud no depende ni del material del cátodo ni del gas residual presente en el tubo ni de ningún otro aspecto
del experimento. Esta independencia permitió descubrir la primera partícula subatómica que ahora llamamos

364

Física General III


Toribio Córdova C.

electrón. Así mismo Thomson demostró que la rapidez de los electrones eran casi un décimo de la velocidad de la
luz. El valor más preciso de e/m es

e
= 1, 758820174.1011 C / kg
m

(8.72)

Años posteriores al descubrimiento de Thomson, Robert Millikan pudo medir la carga del electrón con una alta
precisión permitiendo de esta manera encontrar la masa del electrón obteniéndose:

me = 9,10938188.10−31 kg

Figura 22.

8.11.3

(8.73)

Aparato de Thomson para medir la relación e/m del electrón

Espectrómetro de masas.

Un espectrómetro de masas es un dispositivo que se emplea para separar iones dentro de una
muestra que poseen distinta relación carga/masa. La mezcla puede estar constituida por distintos isótopos de
una misma sustancia o bien por distintos elementos químicos.
Existen distintos modelos de espectrómetros. En la figura anterior se ha representado un esquema de su principio
de funcionamiento.
Todos los elementos del espectrómetro deben estar en el interior de una cámara de vacío. La muestra gaseosa
(situada a la izquierda de la figura) se ioniza mediante un haz de electrones. Los iones positivos son acelerados
por un campo eléctrico. Entre las placas aceleradoras existe un campo eléctrico, por lo que los iones
experimentarán una fuerza dada por:



Fe = qE
Donde q es la carga de los iones positivos.
A continuación el haz de iones pasa por una zona del espacio donde existe un campo magnético B. La fuerza que
el campo magnético hace sobre una carga es


 
Fm = q[vxB ]
Fuerza que es perpendicular al campo magnético y al vector velocidad de la carga (en este caso, de los iones
positivos).

365

Física General III

Figura 22.


Toribio Córdova C.

Espectrómetro de masas el cual utiliza un selector de velocidad para obtener partículas con velocidad
constante posteriormente las partículas se mueven en trayectorias curvilíneas (semicircunferencias para
después impactar sobre una pantalla fluorescente

Como la fuerza (representada en verde en la figura) es perpendicular a la trayectoria de los iones, éstos tendrán
aceleración normal y se desviarán describiendo una trayectoria curva.
Utilizando la la segunda ley de Newton, se tiene

∑ Fn = man ⇒ qvB =
R=

mv 2
R

mv
q B

Para un valor fijo de la velocidad y del módulo del campo magnético, cuanto menor sea el cociente m/q menor
será el radio de curvatura R, de la trayectoria descrita por los iones, y por tanto su trayectoria se deflectará más.
Si la muestra está constituida por isótopos del mismo elemento, todos tendrán la misma carga, pero los que sean
más pesados se deflectarán menos.
Por tanto, haces de iones de distinta relación carga/masa llegarán a puntos diferentes de un detector, y, en función
de la intensidad de las señales que dejan, se determina la abundancia relativa de cada tipo.
El primer espectrómetro de masas fue desarrollado en la década de 1920 por el físico inglés Francis William
Aston, y recibió en 1922 el Premio Nobel de Química por su desarrollo.

366

Física General III


Toribio Córdova C.

W = ∆Ek (2)

8.12 PROBLEMAS RESUELTOS.
1.

Un electrón es lanzado dentro de un campo
magnético dado por �⃗ = (1,4𝚤 + 2,1𝚥
𝐵
⃗
⃗) T.
Determine la expresión vectorial de la fuerza
magnética sobre dicho electrón si se mueve con
una velocidad ⃗ = (3,7. 105 ⃗) m/s.
𝑣
𝚥

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene

1 2
mv qα (∆V ) (3)
=
2
La velocidad de la partícula será

Solución






i
j
k
j
k
v y = 0 3,7.105 0
vz
Bx By Bz 1,4 2,1 0


F = −1, 6.10−19 [−1, 4(3, 7.105 )]k


F = (8,3.10−14 k ) N Rta


i

 
F =
= qvxB v x

2.

v=

Debido a que la partícula describe un movimiento
circular, la fuerza magnética siempre se dirige al
centro de la trayectoria. Entonces se tiene

v2
r
mv
m 2qα (∆V )
r
= =
qα B qα B
m

∑ Fn = man ⇒ qvB = m

Un protón se está moviendo con una velocidad
⃗ = (6. 106 ⃗) m/s en una región del espacio en
𝑣
𝚥
donde el campo magnético viene expresado por la
�⃗
ecuación �⃗ = (3,0𝚤 − 1,5, ⃗ + 2𝑘) T. ¿Cuál es la
𝐵
⃗
𝚥
magnitud de la aceleración en este instante?.

r=

Solución



 
FB ma q p vxB
= =


i
j
1, 6.10−19
 qp  
= =
(vxB )
6.106 0
a
1, 67.10−27
m
3
-1,5



= 0,958.108 (12.106 i − 9.106 k )
a



a = (11.496i − 8, 622k ).1014 m / s 2

a = 14,37.1014 m / s 2
3.

2qα (∆V )
m


k

r=

1
0, 2T

1 2mqα (∆V )
B
qα

2(3,3,10−27 kg )(1000V )
2(1, 6.10−19 C )

r = 2, 27.10−2 m

0
2
4.

Una partícula alfa (m = 3,3.10-27 kg, 𝑞 = 2| 𝑒|) es
acelerada desde el reposo a través de una diferencia
de potencial de 1 kV. Entonces la partícula ingresa
en una región donde existe un campo magnético
𝐵 = 0,2 𝑇, perpendicular a la dirección de su
movimiento. ¿Cuál es el radio de la trayectoria que
describe la partícula alfa?.

R ta

Una varilla conductora de 72 cm de longitud tiene
una masa de 15 g. La varilla se encuentra
suspendida en un plano vertical por un par de
alambres flexibles dentro de un campo magnético
B = 0,54 T cuya dirección es saliendo de la página
tal como se muestra en la figura. ¿Qué corriente
debe fluir a través de la varilla para que la tensión
en los alambres soportantes sea igual a cero?

Solución
El trabajo que realiza el campo eléctrico en la
región donde existe una diferencia de potencial
sobre la partícula alfa es

W qα (∆V )
=

Solución
Para que las tensiones en los alambres verticales
sean nulas entonces la fuerza magnética debo estar
dirigida hacia arriba para que equilibre al peso.
Entonces aplicando la regla de la mano derecha so
obtiene que la corriente debiera estar dirigida hacia
la izquierda es decir de Q a P tal como se muestra
en el DCL de la varilla

(1)

Por otro lado el trabajo es igual a la variación de
energía cinética, es decir

367

Física General III


Toribio Córdova C.

Usando coordenadas cilíndricas tenemos





dF = θ er + B cos θ ez )
I (−dleϕ ) x( Bsen



= IBdlsenθ ez − IBdl cos θ er
dF
Debido a la simetria que presenta la figura, las
componentes radiale se cancelan mutuamente ya
que existe una componente idéntica en el lado
izaquierdo. Entonces sólo queda la componente z

La fuerza magnética se expresa mediante la
ecuación

 



= I ∫ dlxB I ∫ −dli x( Bk )
FB
=


FB = IlQP Bj

FB = IlQP B

(

)

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

∑F

y

La fuerza magnética neta que actua sobre el anillo
será

= ⇒ FB = =
W mg
0


=
F

IlQP B = mg
I=

5.



z

C

mg 0, 015 kg (9,8m / s 2 )
=
lQP B
0, 72 m(0,54T )
I = 378 mA



dF ∫
θe
∫=  IBdlsen=


IBsenθ ez dl
∫



F = 2π IBsenθ ez

F = 2π IBsenθ

Rta

C

La fuerza magnética sobre el anillo es repulsiva ya
que está dirigida hacia arriba en la dirección +z.

Un imán en forma de barra con su polo norte arriba
es localizado simétricamente en el eje y debajo de
un anillo conductor de radio r el cual transporta una
corriente I en sentido horario como se muestra en la
figura. En la localización del anillo, el campo
magnético forma un ángulo θ con la vertical. ¿Cuál
es la magnitud y dirección de la fuerza resultante
sobre el anillo?

6.

Un protón, acelerado por una diferencia de
potencial ∆𝑉 = 500 𝑘𝑉 atraviesa un campo
magnético homogéneo transversal cuya inducción
es B = 0,51 T. El espesor de la zona del campo es d
= 10 cm (véase la figura. Determine: (a) el ángulo
α de desviación del protón respecto a la dirección
inicial del movimiento, (b) el desplazamiento
vertical ∆y1 al salir de la región del campo
magnético (c) el momento lineal de la partícula
cuando sale del campo magnético. Considere que
mp = 1,67.10-27kg y qP=1,6.10-19C.

Solución
Para evaluar la fuerza magnética sobre el anillo se
divide a éste en elementos diferenciales de
⃗
corriente pequeños 𝐼𝑑𝑙 , como se muestra en la
figura. La fuerza sobre el elemento será

 

dF = IdlxB

Solución
Datos e incógnitas.

368

Física General III


Toribio Córdova C.

= 500 = 0,51T d 10.10−2 m
∆V
=
V B

d 10
=
R 20
α 30°
=

senα
=

= 1, 67.10−27 kgq p 1, 6.10−19 C
mp =

= ???; ∆= ???; = ???
y1
p
α

Se procede ahora a determina el desplazamiento
vertical

Al ingresar el protón en la región donde existe un
campo magnético, experimentará una fuerza
expresada como

∆y1 = R − R cos α = 20.10−2 m[1 − cos 30°]
∆y1 = 679cm
2,


 
ˆ
ˆ
= q= q p (v0i ) x(− Bk )
Fm
vxB

ˆ
Fm = q p v0 Bj
Fm = q p v0 B

Finalmente el vector momento lineal está dado por
(1)





ˆ
p = = v0 cos 30 i + v0 sen30° ˆ]
mv m p [
j
−27

ˆ
p
j
Debido a que el protón en = 1, 67.10 kg (9, 788.10 m / s )[0,8i + 0,5 ˆ ]
el interior del campo

describe un movimiento circular, la aplicación de la
ˆ
= [14.16.10−21 i + 8,17.10−21 ˆ]kg .m / s
p
j
segunda ley de Newton nos da
∑ Fn = n
ma
q p v0 B = m

R=

7.

2
0

v
R

mv0
qp B

(2)

Ahora se procede a determinar la velocidad con
que ingresa el protón al interior del campo
magnético.

6

Una barra cilíndrica de masa m radio R es colocada
sobre dos rieles paralelos de longitud l separados
por una distancia d, como se muestra en la figura.la
varilla lleva una corriente I y rueda sin deslizar a lo
largo de los rieles los cuales están ubicados en un
�⃗
campo
magnético
uniforme
𝐵
dirigido
verticalmente hacia abajo. Si la barra está
inicialmente en reposo, ¿Cuál es su velocidad
cuando abandona los rieles.

Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta

1 2
mv0 = q∆V
2
1
2
[1, 67.10−27 kg ]v0 = 1, 6.10−19 C[5.105V ]
2
v0 = 9, 788.106 m / s (3)

Solución

En la figura se muestra la trayectoria descrita por el
protón en el campo y la orientación del vector
velocidad con que abandona el campo

Para resolver el ejemplo se utiliza el sistema de
referencia mostrado en la figura

La fuerza magnética que actúa sobre la barra
cilíndrica será

 


= I= I ∫ dli x(− Bk )
F
dlxB
∫


F = IBd ( j )

(

369

)

Física General III


El trabajo total hecho por la fuerza magnética sobre
la barra cilíndrica cuando se mueve a través de la
región es.

=
Wi → f

f

 

F .ds
∫= ∫
i

i

f

Toribio Córdova C.

Al ingresar al campo experimenta una fuerza
magnética expresada por


 
ˆ
ˆ
= q= qe (v0i ) x(− Bk )
Fm
vxB
e

ˆ
Fm = − qe v0 Bj

 
l
=
IBd ( j ).dxj IBd ∫ dx
0

Wi → f = IBld

El módulo de la fuerza magnética será
Utilizando el teorema trabajo-energía cinética se
tiene.

Fm = qe v0 B

(E
Wi → f =Ek = k ,tras + Ek ,rot ) f − ( Ek ,tras + Ek ,rot )i
∆

(2)

Debido a que el electrón en el interior del campo
describe un movimiento circular,

Puesto que el momento de inercia de la barra es
𝐼 = 𝑚𝑅2 /2, y cuando la barra rueda sin deslizar se
cumple que 𝑣 = 𝜔𝑅, la ecuación anterior se escribe
en la forma

1
1
3
IBld = mv 2 + mv 2 = mv 2
2
4
4
v=

4I l B d
3m
La aplicación de la segunda ley de Newton nos da

8.

∑ Fn =an
me

Un electrón es acelerado desde el reposo a través
de una diferencia de potencial de ∆V = 500 V,
entonces ingresa dentro de un campo magnético B
uniforme. Este campo hace que la partícula recorra
media revolución en un tiempo de 2 ns. ¿Cuál es el
radio de su órbita?.

2
v0
qe v0 B = me
R
mv
(3)
R= e 0
qe B

De otro lado la velocidad angular con que gira la
partícula cargada está dada por

=
ω

q
v
v
=
= e B
r (me v / qe B) me
2π qe
B
=
T
me

B
=

2π me
2π (9,1.10−31 kg )
=
qeT
1, 6.10−19 C[4.10−9 s ]
B = 8.93.10−3 Tesla

(4)

Solución
Remplazando las ecuaciones (1) y (4) en (3)
resulta

En primer lugar se determina la velocidad del
electrón con que ingresa al campo magnético.

ve
=

2qe ∆V
=
me

R=

2(1, 6.10−19 C )(500V )
9,1.10−31 kg

ve = 1,33.107 m / s

me v0 9.1.10-31kg[1,33.107 m / s ]
=
1,6.10-19 C[8,93.10−3 T ]
qe B
R = 8, 43 mm

(1)
370

Rta

Física General III

9.


Toribio Córdova C.

8, 25.10−3 − [6, 6.10−6 C ][v][1, 02T ] =
6, 23.10−3 N

Una partícula cargada con q = +6,6µC, se mueve
en una región del espacio en donde existe un
campo eléctrico cuya magnitud es 1250 N/C
dirigido en la dirección positiva del eje x, y un
campo magnético de magnitud 1,02 T dirigido en la
dirección positiva del eje z. Si la magnitud de la
fuerza neta que actúa sobre la partícula es 6,23.10-3
N y se encuentra dirigida en la dirección +x.
Determine la magnitud y la dirección de la
velocidad de la partícula. Asuma que la velocidad
de la partícula se encuentra en el plano x-y.

v = 0, 255.10−3 m / s

v = [−255.103 ˆ]m / s
j

Rta

10. La espira de corriente mostrada en la figura,
consiste en un lazo con dos semicírculos de
diferente radio. Si la corriente en el circuito es I =
2 A, y los radios son a = 3,00 cm y b = 9,00 cm.
Determine el momento dipolar magnético de la
espira de corriente.

Solución
La dirección del campo eléctrico, el campo
magnético, y la fuerza involucrada en el problema
se muestran en el diagrama

Solución
El momento dipolar magnético viene expresado por



ˆ
µ B = NIAen
Estrategia. Debido a que la partícula está cargada
π

2
2
ˆ
µB
positivamente el campo eléctrico E, ejerce = 1[2,5 A] [(0, 09 m) + (0, 03m) ]( − k )
una
2
fuerza en la dirección +x. Por otro lado debido a

ˆ
que la fuerza neta que actúa sobre la partícula está
µ B = −0, 035 A m 2 k
en la dirección +x, la fuerza magnética puede estar
en la dirección x, pero podría tener la misma
11. Una corriente de 200 mA es mantenida en una
dirección o la opuesta. Para ver ello comparamos
bobina circular compuesta por 50 vueltas de 25 cm
las magnitudes relativas de la fuerza neta y la
de radio cada una. Si dicha bobina es ubicada en un
fuerza eléctrica para decidir con cuál de estas dos
campo magnético de 0,85 T con su área paralela al
direcciones coincide la fuerza magnética. Debido a
campo como se muestra en la figura. Determine:
que la dirección de la fuerza neta es conocida, se
(a) el momento dipolar magnético de la bobina y
usa la regla de la mano derecha para determinar la
(b) la magnitud del torque magnético ejercido por
dirección de la velocidad de la partícula.
el campo magnético sobre la bobina.
La fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula es



ˆ
Fe qE 6, 6.10−6 C[1250 i N / C ]
= =

Fe = 8, 250.10−6 N
(1)
Debido a que la fuerza neta es menor que la fuerza
magnética se encuentra dirigida en sentido –x. De
acuerdo con la regla de la mano derecha se
determina que la velocidad de la partícula se
encuentra en sentido –y.

Solución
Parte (a). Cálculo del momento dipolar magnético



ˆ
µ B = NIAen
π

Aplicando la segunda ley de Newton se tiene



ˆ
µ B = 50[0, 2 A][ (0, 25m) 2 (−k )

∑ F= Fneta ⇒ Fe − Fm= Fneta

2
ˆ
µ B = [−0,982k ] A m 2

qE − qvB =
Fneta



371

Física General III


Parte (b). Cálculo del torque magnético

Toribio Córdova C.

En la figura se muestra el DCL del alambre

  
ˆ
ˆ
M = µ B xB = [−0,982 k ]x[0,85 i ]

M = [0,84 ˆ]T A m 2
j

M = (0,84) T A m 2
12. Un alambre masa es m = 10 g está suspendido
mediante unos alambres flexibles, como se muestra
en la figura en un campo magnético dirigido hacia
el interior de la página y cuyo módulo es
B = 1,25 T. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la
corriente necesaria para eliminar la tensión en los
alambres flexibles?. Considere que el sistema se
encuentra en un plano vertical y que el radio del
alambre es R = 10 cm.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

∑ Fy = ⇒ Fm =
mg
0
2 IRB = mg
I
=

mg 10.10−3 kg[9,8m / s 2 ]
=
2 RB
2[0,1m(1, 25 T )]
I = 392 mA

13. Un campo magnético uniforme de magnitud 0,15 T
está dirigido a lo largo del eje positivo de las x. Un
positrón que se mueve a 5.106 m/s entra en el
campo siguiendo una dirección que forma un
ángulo θ = 85° con el eje de las x como se muestra
n la figura. Se espera que el movimiento de la
partícula sea helicoidal. Determine: (a) el paso de
hélice p y el radio r de la trayectoria.

Solución
Para que sean eliminadas las tensiones en los
alambres flexibles es necesario que la fuerza
magnética que actúe sobre el alambre esté dirigida
hacia arriba. Por ello se usa la regla d la mano
derecha y se observa que la corriente se dirige de
izquierda a derecha como se ve en la figura

Solución
La fuerza magnética sobre la partícula cargada será


 
Fm = q (vxB )

ˆ
ˆ
= q[v0 x i + v0 y ˆ]x[ B i ]
Fm
j

ˆ
Fm = − q[v0 y B k ] (1)

La fuerza magnética será

 
 

= I= I [ ∫ dl ]xB
Fm
(dl x B )
∫

ˆ
ˆ
Fm = I  ∫ (dlsenθ i − dl cos θ ˆ)  x[− B k ]
j 


π
ˆ
ˆ
= IRB  ∫ ( senθ dθ i − cos θ dθ ˆ  x k
Fm
j
 0




Fm = 2 IRB ˆ
j

Las componentes de la fuerza serán

Fx = 0

(2)

Fy = 0

(3)

Fz = −q v0 y B
372

(4)

Física General III


Las ecuaciones (2) y (3) indican que las
componentes de la velocidad no varían en estas
direcciones. Es decir el protón se moverá a lo largo
del eje x con velocidad constante si ser perturbado
por el campo magnético B debido a que v0x es
paralelo a B, siendo su rapidez.

Toribio Córdova C.

El movimiento descrito por el protón es helicoidal
por tano el avance que experimenta en el eje x se
denomina paso de hélice y está dado por

p 0 xt
= v= (5.106 cos85°m / s )[0, 43.10−6 s ]
p = 0,187 m

= v0 cos85° 5.10 cos85°
v0 x
=
6

14. Un disco de radio R tienen una densidad de carga
uniforme σ (C/m2). El disco rota alrededor de su
eje central con una velocidad anular ω rad/s con
su eje perpendicular a un campo magnético
uniforme �⃗ = 𝐵𝚥̂. (a) Encuentre su momento
𝐵
dipolar magnético, (b) Muestre que el torque
magnético sobre el disco tiene una magnitud de
1
𝑀 = 𝜎𝜔𝜋𝐵𝑅4 .

v0 x = 0, 436.106 m / s
Sin embargo la componente y de la velocidad es
perpendicular al campo magnético. Por ello el
protón experimentará una fuerza Fz dirigida
perpendicularmente al plano que contiene a v0y y al
campo magnético B. Dicha fuerza hará que gire el
protón con una velocidad angular ω alrededor de
un eje paralelo al campo magnético (eje x)
describiendo un círculo de radio R como se
muestra en la figura.

4

Solución
El disco se divide en elemento de carga dq en
forma de anillos de radio r y espesor dr como se
muestra en la figura

Aplicando la segunda ley de Newton en dirección
centrípeta se tiene

∑ Fn = man ⇒ Fm = m
q v0 y B = m

R=
R=

2
v0 y

R

2
0y

v

R

mv0 y
qB

1.6725.10−27 kg (5.106 sen85°m / s )
1, 6.10−19 C[0,15T ]
R = 0, 0347 m

La densidad de carga dq será

dq
⇒ dq = σ dA
dA
dq = σ (2π rdr )
(1)

σ=

El período no es más sino el tiempo que demora en
dar una vuelta completa. Esto es

=
T

2π m p 2π (1, 6725.10−27 )
=
qp B
1, 6.10−19 (0,15)

Si el disco gira a una velocidad angular ω
constante, la corriente generada por tal rotación
será

T = 0, 43 µ s

373

Física General III

dI
=


dq 2πσ rdr
=
= σω rdr
T
2π / ω

(2)

El momento dipolar magnético está dado por


ˆ
d µ B = (dI ) Aen


ˆ
d µ B = [σω rdr ][π r 2 ]k

ˆ
d µ B = πσω r 3 dr k
(3)
Integrando expresión (3) resulta



R

ˆ
µ B = πσω ∫ r 3dr k
0



µB =

πσω R 
4

4

k

Rta

Parte (b). Para determinar el torque magnético,
primero se determina el torque diferencial
producido por el momento dipolar magnético
diferencial. Esto es




ˆ
= (= [πσω r 3 dr k ]x( B ˆ)
dM
d µ B ) x( B)
j

ˆ
dM = −πσω B r 3 dr i
Integrando la expresión anterior se tiene


R
ˆ
M = −πσω B ∫ r 3 dr i
0


πσω BR 4 ˆ
M= −
i
4
 πσω BR 4
M =
R ta
4

374

Toribio Córdova C.

Física General III


Toribio Córdova C.

magnética sobre la porción recta y curva del
alambre

8.13. PROBLEMAS PROPUESTOS.
15. Un protón viaja con una velocidad de 3.106 m/s a
un ángulo de 37° en la dirección del campo
magnético con un valor de 0,3 T en la dirección de
las y positiva. Determine: (a) La magnitud de la
fuerza magnética sobre el protón
y (b) su
aceleración
16. Un protón se mueve perpendicularmente a un
campo magnético uniforme B a una velocidad de
1.107 m/s y experimenta una aceleración de 2.1013
m/s2 en la dirección positiva de las x cuando su
velocidad está en la dirección positiva de las z.
determine la magnitud y dirección del campo
magnético.

20. Una varilla con 0,72 kg de masa y un radio de
6.00 cm descansa sobre dos rieles paralelos como
se muestra en la figura que están separados por una
distancia d = 12, cm y tienen una longitud
L = 45 cm de largo. La varilla conduce una
corriente I = 48 A (en la dirección que se muestra)
y rueda por los rieles sin deslizar.
Perpendicularmente a la varilla y a los rieles existe
un campo magnético uniforme
de magnitud
B = 0,24 T. Si la varilla parte del reposo, determine
la velocidad de la varilla cuando abandona los
rieles.

17. Una partícula con una carga de +8,4 μC y una
velocidad de 45 m/s entra en una región donde
existe un campo magnético uniforme de 0,3 T. Para
los casos mostrados en la figura, encuentre la
magnitud y la dirección de la fuerza magnética
sobre la partícula.

18. Un conductor suspendido por dos alambres
flexibles, como se muestra en la figura tiene una
masa por unidad de longitud igual a 0,040 kg/m.
Determine la corriente que debe pasar por el
conductor para que la tensión en los alambres de
soporte sea igual a cero cuando el campo
magnético tiene un valor de 3,6 Tesla dirigido
hacia la página. ¿Cuál es la dirección de I? .

21. En la figura el cubo tiene aristas de 40 cm. Cuatro
segmentos rectos de alambre, ab, bc, cd, y da
forman un lazo cerrado por el que fluye una
corriente I = 5 A en la dirección indicada. En la
dirección positiva de las y existe un campo
magnético uniforme de magnitud B = 0,02 T.
Determine la magnitud y la dirección de la fuerza
magnética que se ejerce sobre cada segmento.

19. Un alambre doblado en forma de semicírculo, de
radio R = 0,25 m, forma un circuito cerrado y
conduce una corriente I = 3 A. el alambre está en el
plano xy y con un campo magnético uniforme está
dirigido a lo largo del eje positivo de las y como se
muestra. Si la magnitud del campo es B = 0,25 T.
Determine la magnitud y dirección de la fuerza

22. Una bobina de N = 200 vueltas, muy apretadas
tiene las dimensiones de a = 8 cm y b = 6 cm. Si la
bobina se encuentra en un campo magnético
B = 0,48 T en la dirección + x como se muestra en
la figura. Determine: (a) El momento dipolar

375

Física General III


magnético, (b) la magnitud del torque magnético
sobre la espira cuando por esta circula una
intensidad de corriente I = 15 A y (c) el sentido de
rotación de la bobina.

Toribio Córdova C.

25. Un lazo cuadrado de alambre, de longitud l = 0,1 m
por lado, tiene una masa de 50 g y pivota sobre el
eje AA’ que corresponde a un lado horizontal,
como se muestra en la figura. Un campo magnético
uniforme de 500 G, dirigido verticalmente hacia
abajo llena completamente la región en la vecindad
del lazo. El lazo lleva una corriente I tal que su
posición de equilibrio se alcanza cuando = 20°.
θ
(a) Considere la fuerza sobre cada segmento
separadamente y encuentre la dirección de la
corriente en el lazo para mantener el ángulo en 20°.
(b) Calcule el torque alrededor del eje debido a
estas fuerzas. (c) Encuentre la corriente en el lazo
que se requiere para que la suma de todos los
torques (alrededor del eje sea cero. Considere el
efecto de la gravedad sobre cada uno de los cuatro
segmentos del alambre separadamente.

23. Una partícula A con una carga q y masa mA y una
partícula B con carga 2q y masa mB son aceleradas
desde el reposo mediante una diferencia de
potencial ΔV y subsecuentemente deflectadas por
un campo magnético uniforme en trayectorias
semicirculares. Los radios de las trayectorias de las
partículas A y B son r y 2r, respectivamente. La
dirección del campo magnético es perpendicular a
la velocidad de las partículas. Determine la razón
entre sus masas.

26. El campo magnético B en cierta región es de
0,138 T, y su dirección es la del eje de las +z en la
figura ¿Cuál es el flujo magnético a través de la
superficie abcd?. ¿Cuál es el flujo magnético a
través de la superficie befc?. ¿Cuál es el flujo
magnético a través de la superficie aefd?. ¿Cuál es
el flujo neto a través de toda la superficie?

24. Un lazo de corriente consiste de un semicírculo de
radio R y dos segmentos rectos de longitud l con un
ángulo θ entre ellos. El lazo es entonces localizado
en un campo magnético uniforme representado por
los puntos en la figura mostrada. Determine: (a) La
fuerza neta sobre el lazo de corriente, (b) El
momento dipolar magnético y (c) El torque
magnético sobre el lazo de corriente.

27. Un estudiante de física afirma que ha acomodado
imanes de modo tal que el campo magnético dentro
del volumen sombreado de la figura del problema
27 es


=
B

( β − γ y ) ˆj
2

Donde β= 0,3 T y γ = 2,0 T/m2. (a) Halle el flujo
magnético neto de ��⃗ a través de las cinco caras
𝑩
que encierra el volumen sombreado de la figura?.
¿Es plausible la afirmación del alumno?. ¿Porqué?

376

Física General III


Toribio Córdova C.

aceleración de la barra si �⃗ es el doble del valor
𝐵
hallado?.

28. Una varilla metálica con una masa por longitud
unitaria λ Transporta una corriente I. La varilla está
suspendida de alambres verticales en un campo
magnético vertical uniforme, como se muestra en la
figura. Si los alambres forman un ángulo con la
θ
vertical cuando están en equilibrio. Determine la
magnitud del campo magnético.

31. La espira rectangular de alambre de la figura tiene
una masa de 0,19 g por centímetro de longitud y
está fija en el lado ab a un eje de rotación sin
fricción. La corriente en el cable es de 6,8 A en la
dirección mostrada. Encuentre la magnitud y la
dirección del campo magnético paralelo al eje y
que ocasionará que la espira se balancee hasta que
su plano forme un ángulo de 30º con el plano yz
29. El circuito de la figura está formado de alambres en
su parte superior e inferior y de resortes metálicos
idénticos en los lados derecho e izquierdo. La
porción superior del circuito se encuentra fija. El
alambre inferior tiene una masa de 10 gramos y
una longitud de 5 cm. Los resortes se estiran 0,5 cm
bajo la acción del peso del alambre y el circuito
presenta una resistencia total de 12 Ω. Cuando el
campo magnético se encuentra operando hacia el
exterior de la página, los resortes se estiran 0,3 cm
adicionales. Determine la magnitud del campo
magnético.
32. Un alambre doblado como se muestra en la figura.
Si cada tramo recto tiene una longitud 3L y el
medio círculo tiene una radio L y por el alambre
circula una corriente I en el sentido indicada.
Determine la fuerza magnética sobre el alambre
cuando éste se encuentra en un campo magnético
�⃗ dirigido en la dirección +x.
𝐵
30. Una barra metálica de masa m está apoyada sobre
un par de varillas conductoras horizontales
separadas una distancia L y unidas a un fuente ∆V,
según se ve en la figura. Si la resistencia del
circuito es R cuando se establece un campo
magnético �⃗ vertical. (a) Despreciando el
𝐵
rozamiento y considerando que en t = 0 la barra
está en reposo, determinar la velocidad de la barra
en cualquier instante. (b) ¿En qué sentido se
mueve?. (c) Si ahora se considera la fricción siendo
el coeficiente de rozamiento estático es S, halle el
μ
valor mínimo del campo B necesario para hacer
que se ponga en movimiento. (d) si los conductores
de apoyo carecen de rozamiento pero están
inclinados hacia arriba de modo que forman un
ángulo θ con la horizontal ¿Qué campo magnético
vertical �⃗ se necesita para que la barra no deslice
𝐵
hacia abajo por los conductores?. ¿Cuál es la

33. Un área circular con un radio de 6,5 cm yace en el
plano xy . ¿Cuál es la magnitud del flujo magnético
a través de éste círculo debido a un campo
magnético uniforme B = 0,23 T. (a) en la dirección
+z, (b) a un ángulo de 53,1° respecto al eje +z y (c)
en la dirección +y.
34. Una partícula cargada entra en un campo
magnético uniforme B y sigue la trayectoria

377

Física General III


circular mostrada en el diagrama. (a) ¿La partícula
está cargada positivamente o negativamente?, (b)
La velocidad de la partícula es 140 m/s, la
magnitud del campo magnético es de 0,48 T, y el
radio de la trayectoria descrita es 960 m. Determine
la masa de la partícula si su carga es 820 μC.

Toribio Córdova C.

de los alambres rectos y (b) el torque magnético
total que produce el campo magnético.

38. Sea la espira rectangular de la figura de lados a y b,
recorrida por una corriente de intensidad I en el
sentido indicado, situada en el interior de un campo
magnético no uniforme de valor

35. Dos rieles conductores se encuentran fijos sobre un
plano inclinado 30° con la horizontal. Si en la
región del espacio existe un campo magnético cuya
magnitud es B = 0,05 T. ¿Cuál será la intensidad
de corriente que debe fluir por la barra de aluminio
de 0,27 kg para que ésta deslice sin fricción a una
velocidad constante.


a
B = B0 k
x

Calcular la fuerza que aparece sobre los lados cd y
de.

36. Un haz de protones se mueve a través de un campo
magnético uniforme de magnitud 2,00 T, dirigido a
lo largo del eje positivo de la z. los protones tiene
una velocidad de 3.106 m/s en el plano xz a un
ángulo de 30° con el eje +z. Encuentre: (a) La
fuerza sobre el protón y (b) su aceleración.

39. Un alambre compuesto por dos segmentos rectos
de longitud 2a y un cuarto de circunferencia de
radio a que transporta una corriente I, se encuentra
fijo en una región donde existe un campo
magnético B en la dirección +x. Encuentre la
fuerza neta que actúa sobre el alambre.

37. Una espira cuadrada de lado 2a de alambre que
transporta una corriente I, se encuentra en el
interior de un campo magnético B dirigido en la
dirección –z como se muestra en la figura.
Determine: (a) la fuerza magnética sobre cada uno

40. En la figura se muestra una espira cuadrada de
alambre que se encuentra en el plano xy. La espira
tiene lados de longitud L y por ella circula una
corriente constante I en el sentido horario. El
campo
magnético
está
dado
por



B = ( B0 z / L) j + ( B0 y / L)k , con B0 una

378

Física General III


Toribio Córdova C.

constante positiva. (a) Encuentre la magnitud y la
dirección de la fuerza magnética ejercida sobre
cada alambre, (b) Encuentre la magnitud y la
dirección de la fuerza magnética neta sobre la
espira.

44. La barra AC de la figura tiene 40 cm de longitud y
una masa de 40 g, y se desliza libremente sobre las
tiras metálicas en los bordes de un plano inclinado.
Una corriente I fluye a través de estas tiras y la
barra, y existe un campo magnético
By = 0,2 T
en la dirección opuesta al eje y. (a) ¿De qué
magnitud debe ser I para que la barra permanezca
en reposo?. (b) Si la corriente que fluye en el
conductor es realmente 2,5 A
¿Cuál es la
aceleración de la barra a lo largo del plano
inclinado?.

41. Un protón se está moviendo a 1500 m/s en el
campo de 135 T mostrado en la figura. ¿Cuál es el
radio de la trayectoria descrita por el protón?.

45. Una bobina circular de alambre con un radio R = 1
cm tiene N = 100 vueltas y transporta una
corriente I = 500 mA. ¿Cuál será el torque ejercido
sobre la bobina cuando esta es ubicada en una
región donde existe un campo magnético uniforme
B = 5 mT el cual hace un ángulo de 60° con el
plano de la bobina?

42. El lazo triangular de alambre mostrado en la figura
lleva una intensidad de corriente I = 4,70 A. Un
campo magnético uniforme está dirigido
paralelamente al lado AB del triángulo y tiene un
magnitud de 1,8 T. (a) Encuentre la magnitud y la
dirección de la fuerza ejercida sobre cada uno de
los lados del triángulo, (b) determine la magnitud
de la fuerza neta ejercida sobre el alambre, (c)
encuentre la magnitud y dirección del momento
dipolar eléctrico y (c) la torsión sobre el alambre

46. A un alambre conductor se le da la forma de una
M con las dimensiones que se muestran en la
figura y se le hace conducir una corriente de 15 A.
Un campo magnético externo B = 2,5 Tesla está
dirigido como se muestra y está a través de toda la
región ocupada por el conductor. Calcule la
magnitud y dirección de la fuerza total ejercida
sobre el conductor por el campo magnético.

43. Un electrón que se halla en el punto A de la figura
tiene una rapidez v0 = 1,41.106 m/s. Determine: (a)
la magnitud y dirección del campo magnético que
obliga al electrón a seguir la trayectoria
semicircular de A a B; (b) el tiempo necesario para
que el electrón se traslade de A a B.

47. Un campo magnético no uniforme ejerce una
fuerza neta sobre un dipolo magnético. Un imán de
gran intensidad se pone bajo un anillo conductor

379

Física General III


Toribio Córdova C.

50. Una espira de alambre está formada por dos
semicilindros conectados por dos segmentos
rectos. Los radios interiores y exteriores son 0,3 m
y 0,5 m, respectivamente. Por el circuito fluye una
corriente de 1,5 A, siendo su sentido horario en el
semicírculo exterior. Determine el momento
magnético de esta espira de corriente?.

horizontal de radio r que conduce una corriente I,
como se muestra en la figura. Si el campo
magnético B forma un ángulo θ con la vertical en la
posición del anillo. ¿Cuáles son la magnitud y la
dirección de la fuerza resultante sobre el anillo?.

51. Una barra metálica delgada de L = 50 cm de largo,
con una masa de m = 750 g descansa sobre dos
apoyos metálicos (sin estar sujetos a ellos) en un
campo magnético uniforme de
B = 0,450 T,
como se muestra en la figura. Una batería y un
resistor de R = 25 Ω est n conectados a los
á
soportes. (a) ¿Cuál es la máxima fem que la
ε,
batería puede tener sin que si interrumpa el
circuito en los soportes?. (b) La fem de la batería
tiene el valor máximo calculado en el inciso (a). Si
el resistor recibe de improviso un cortocircuito
parcial y su resistencia disminuye a R’ = 2,0 Ω,
encuentre la aceleración inicial de la barra.

48. Una bobina rectangular con 200 espiras tiene 5 cm
de alto y 4 cm de ancho. Cuando la bobina es
colocada en un campo magnético de 0,35 T, su
máximo torque es 0,22 N.m. ¿Cuál será la corriente
que fluye en la bobina?.

49. Una bobina rectangular de 50 vueltas tiene lados de
6 cm y 8 cm y transporta una corriente de 1,75 A.
está orientada como indica la figura y pivota
alrededor del eje z. (a) Si el alambre situado en el
plano xy forma un ángulo θ = 37º con el eje y como
se indica, ¿qué ángulo forma el vector unitario
normal n con el eje x; (b) Expresar n en función de
los vectores i y j; (c) ¿Cuál es el momento
magnético de la bobina?; (d) Determine el
momento magnético del par que actúa sobre la
bobina cuando se sitúa en un campo magnético
uniforme B = (1,5 j) Tesla.

52. Los protones con una energía cinética de 5,0 MeV
se mueven inicialmente en la dirección positiva de
las x, y entran en un campo magnético

ˆ
B = (0, 05k )T dirigido perpendicularmente hacia
afuera del plano de la página que se extiende
desde x = 0 hasta x = 1,0 m, como se muestra en la
figura. Determine: (a) la componente y del
momento de los protones cuando salen del campo
magnético, (b) el ángulo α entre el vector
velocidad inicial del haz de protones y el vector de
velocidad después de que el haz de protones salga
del campo. Ignore los efectos relativistas y
considere que 1 eV = 1,6.10-19 J.

380

Física General III


Toribio Córdova C.

anchura y su masa por unidad de longitud es
λ 𝑚 = 20 𝑔/𝑐𝑚. Un campo magnético uniforme B
= 0,2 T tiene la dirección mostrada. Por medio de
dos alambre superiores puede enviarse una
corriente que circula por la estructura. (a) si no
pasa corriente por la estructura. ¿Cuál es el
período de éste péndulo físico para pequeñas
oscilaciones?. (b) si una corriente de 8 A fluye a
través de los conductores en el sentido indicado,
¿Cuál es el período de este péndulo físico?. (c) Si
la corriente es de sentido opuesto al indicado en la
figura, la estructura se desplazará un ánguloa
θ
partir de la posición vertical. ¿Cuál debe serla
magnitud de la corriente para que la estructura
permanezca en equilibrio

53. Un haz de protones con una energía cinética de
3,00 MeV se mueve en la dirección positiva de las
x y entra en una región donde existe un campo
�
magnético �⃗ = (0,02𝑘)𝑇, dirigido hacia afuera
𝐵
del plano de la página y que se extiende desde
x = 0 hasta x = 1 m, como se muestra en la figura .
Determine el desplazamiento vertical del haz al
salir de la región donde existe el campo
magnético.

54. Un electrón de velocidad 107 m/s entra a una
región de campo magnético uniforme B = 0,8 T,
dirigido hacia el exterior de la página como
muestra la figura. Si el ángulo θ = 60°, Determine:
(a) el ángulo φ, (b) la distancia d, (c) el tiempo que
permanece en el interior del campo (d) la
frecuencia del movimiento.

57. El circuito de la figura está formado por una batería
cuya fem es 𝜀 = 24 𝑉, conectada por alambres en
su parte superior e inferior y de resortes metálicos
idénticos en los lados derecho e izquierdo. La
porción superior del circuito se encuentra fija. El
alambre inferior de forma semicircular tiene una
masa de 24 gramos y un radio de r = 8 cm. Los
resortes se estiran 0,6 cm bajo la acción del peso
del alambre cuando no existe campo magnético y el
circuito presenta una resistencia total de R = 16 Ω.
Cuando el campo magnético �⃗, dirigido
𝐵
perpendicularmente hacia el interior de la página se
encuentra actuando, los resortes se estiran 0,4 cm
adicionales. Determine: (a) la intensidad de
corriente que fluye en el circuito y (b) la magnitud
del campo magnético aplicado.

55. Un cable conductor por el que circula una
corriente I tiene la forma de una espira
semicircular de radio R situado sobre el plano xy.
Si en la región existe un campo magnético
�
�⃗ = 𝐵𝑘 perpendicular al plano de la espira como
𝐵
se muestra en la figura. Determine la fuerza
magnética sobre la espira.

56. La estructura rectangular de la figura puede girar
libremente alrededor del eje A-A horizontal. La
estructura es de 16 cm de longitud y 6 cm de

381

Física General III


Toribio Córdova C.

horizontal en el punto de salida del campo, (d)
determine ∆𝑥, la desviación horizontal total.

58. Un alambre doblado como se muestra en la figura
transporta una corriente I y va colocado en un
campo magnético uniforme �⃗, que sale del plano
𝐵
de la figura. Determine la fuerza magnética que
obra sobre el alambre.

59. Un anillo de radio R tienen una densidad de carga
uniforme λ (C/m). El anillo rota alrededor de su eje
central con una velocidad anular ω rad/s con su eje
perpendicular a un campo magnético uniforme
�⃗ = 𝐵𝚥̂. Determine: (a) el momento dipolar
𝐵
magnético, (b) El torque magnético que ejerce el
campo magnético

63. Una esfera no conductora tienen una masa de 80 g
y un radio de 20 cm. A su alrededor se enrolla
apretadamente una bobina plana y compacta de
alambre con 5 vueltas, donde cada vuelta es
concéntrica con la esfera. Como se puede ver en la
figura la esfera es colocada en un plano inclinado
que se inclina a la izquierda abajo, formando un
ángulo θ con la horizontal, de manera que la bobina
resulta paralela al plano inclinado. En la región
existe un campo magnético uniforme de 0,35 T
dirigido verticalmente hacia arriba. ¿Qué corriente
debe pasar por la bobina para que la esfera pueda
quedar en equilibrio sobre el plano inclinado?.
Demuestre que el resultado no depende del valor
del ánguloθ.

60. Una corteza esférica de radio R posee una
densidad de carga superficial σ. Si a dicha esfera
se le hace girar alrededor de su diámetro con una
velocidad angular ω. Determine el momento
angular de esta esfera giratoria.
61. Una corteza sólida de radio R posee una densidad
de carga uniforme ρ. Si a dicha esfera se le hace
girar alrededor de su diámetro con una velocidad
angular ω. Determine el momento angular de esta
esfera giratoria.
62. Una partícula con una carga de 2,15 μC y una
masa de 3,2.10-11 kg viaja inicialmente en la
dirección +y con una rapidez v0 = 1,45.105 m/s.
Después entra en una región que contiene un
campo
magnético
uniforme
dirigido
perpendicularmente e ingresando a la página
como se muestra en la figura. La magnitud del
campo magnético es de 0,42 T. La región se
extiende hasta una distancia de 25 cm a lo largo de
la dirección inicial del recorrido; a 75 cm desde el
punto de entrada en la región de campo magnético
hay una pared. Cuando la partícula con carga entra
en el campo magnético, sigue una trayectoria
curva cuyo radio de curvatura es R. Después sale
del campo magnético al cabo de un tiempo t1,
habiendo sido desviada una distancia ∆𝑥1. A
continuación la partícula viaja en la región libre
del campo e incide en la pared después de sufrir
una deflexión total de ∆𝑥. (a) Encuentre el radio R
de la parte curva de la trayectoria. (b) Determine
t1, el tiempo que la partícula pasa en el campo
magnético, (c) Determine ∆𝑥1, la desviación

64. La figura muestra un dispositivo usado por
Dempster para medir la masa de los iones. La
puerta S es un cámara en la cual se está efectuando
una descarga en un gas y produce un ión de masa
M y carga +q casi sin velocidad. El ión se acelera
mediante una diferencia de potencial ∆V y se hace
ingresar en magnético B. En el campo describe un
semicírculo y va a chocar contra una placa
fotográfica a una distancia x de la abertura de
entrada dejando ahí su marca. Demuestre que la
masa M está dada por la ecuación

M=

382

qB 2
x
8(∆V )

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67. Un alambre flexible cuelga del punto P en una
región donde hay un campo magnético horizontal
uniforme de magnitud B, dirigido hacia el plano de
la figura y perpendicular a él. Se sujeta una pesa a
la parte inferior del alambre a fin de proporcionar
una tensión uniforme T a todo el alambre de peso
despreciable. Cuando fluye una corriente I de la
parte superior a la inferior del alambre, éste se
curva para formar un arco circular de radio R. (a)
considerando las fuerzas que actúan sobre un
segmento pequeño de alambre que subtiende un
ángulo θ. Demuestre que el radio de curvatura de
alambre es R = T/IB. (b) Si ahora se retira el
alambre y en el punto P se lanza una partícula con
carga –q y masa m en la misma dirección en la que
se extendía a partir de P, demuestre que la
trayectoria de la partícula sigue el mismo arco
circular formado por el alambre si la rapidez de la
partícula es v = qT/mI.

65. Una barra conductora de masa m y longitud L se
desliza sobre rieles horizontales conectados a una
fuente de voltaje. La fuente de voltaje mantiene
una corriente constante I en los rieles y en la barra,
y un campo magnético vertical uniforme ��⃗ llena la
𝑩
región comprendida entre los rieles como se
muestra en la figura. (a) Despreciando la fricción,
determine la magnitud y la dirección de la fuerza
neta que actúa sobre la barra conductora. (b) Si la
barra tiene un masa m, halle la distancia d que la
barra debe recorrer a lo largo de los rieles a partir
de su posición de reposo hasta alcanzar la
velocidad v

68. Cierta bobina de voz de un altavoz tiene 50 espiras
de alambre y un diámetro de 1,56 cm, y la corriente
que fluye en la bobina es de 950 mA. Suponga que
el campo magnético en cada punto de la bobina
tiene una magnitud constante de B = 0,22 T y está
dirigido a un ángulo de 60° hacia afuera respecto a
la normal al plano de la bobina como se muestra en
la figura. El eje de la bobina está en la dirección y.
La corriente en la bobina tiene un sentido anti
horario. Determine la magnitud y la dirección de la
fuerza magnética sobre la bobina.

66. Una partícula alfa cuya carga es q = +2e que tiene
una masa m = 6,65.10-27 kg se mueve en una
trayectoria circular de radio R = 0,5 m en el
�⃗ =
interior de un campo magnético
𝐵
� �𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎, como se muestra en la figura.
�−1,00𝑘
Determine: (a) el período del movimiento, (b) las
velocidades lineal y angular del movimiento de la
partícula alfa y (c) la energía cinética (en
electronvoltios) de la partícula alfa

69. Un alambre aislado de masa m = 5,4.10-5 kg está
doblado en forma de U invertida, de tal modo que
la parte horizontal tiene una longitud l = 15 cm.
Los extremos dolados del alambre se encuentran
parcialmente sumergidos en dos depósitos de
mercurio, con 2,5 cm de cada extremo debajo de la
superficie libre del mercurio. La estructura entera
se halla en una región donde existe un campo
magnético uniforme B = 6,5 mT dirigida hacia el
interior de la página como se muestra en la figura.
Se establece una conexión eléctrica entre los

383

Física General III


depósitos de mercurio a través de los extremos del
alambre. Los depósitos de mercurio están
conectados a una batería de 1,50 V y a un
interruptor S. Cuando se cierra S, el alambre salta
3,5 cm en el aire, medidos respecto a la posición
original. (a) Determine la rapidez v del alambre en
el momento en que sale del mercurio, (b)
suponiendo que la corriente I a través del alambre
fue constante desde el momento en que se cerró el
interruptor hasta que el alambre salió del mercurio,
halle el valor de I.

70. El circuito de la figura está formado por una batería cuya
fem es 𝜀 = 24 𝑉, conectada por alambres en su parte
superior e inferior y de resortes metálicos idénticos en
los lados derecho e izquierdo. La porción superior del
circuito se encuentra fija. El alambre inferior de forma
semicircular tiene una masa de 24 gramos y un radio de
r = 8 cm. Los resortes se estiran 0,6 cm bajo la acción del
peso del alambre cuando el interruptor S se encuentra
abierto y el circuito presenta una resistencia total de R =
16 Ω. Cuando se cierra S y el campo magnético �⃗ ,
𝐵

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72. En la figura se muestra una espira cuadrada de
alambre que se encuentra en el plano xy. La espira
tiene lados de longitud L y por ella circula una
corriente constante I en el sentido horario. El
campo
magnético
está
dado
por

ˆ
= ( B0 y / L)i + ( B0 x / L) ˆ , con B0 una constante
B
j
positiva. (a) Encuentre la magnitud y la dirección
de la fuerza magnética ejercida sobre cada alambre,
(b) Encuentre la magnitud y la dirección de la
fuerza magnética neta sobre la espira, (c) si la
espira puede girar libremente en torno al eje x,
encuentre la magnitud y dirección del torque
magnético sobre la espira.

dirigido perpendicularmente saliendo del plano de la
página se encuentra actuando, los resortes se estiran 0,4
cm adicionales. Determine: (a) la intensidad de corriente
que fluye en el circuito y (b) la magnitud del campo
magnético aplicado.

71. En el espectrómetro de masas de la figura, los iones
acelerados por una diferencia de potencial V entre
S y A entran en el campo magnético B que cubre
un sector de 60° y son enviados a una emulsión
fotográfica. Demostrar que q/m = 32V/B2D2.

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