O documento define subespaço gerado como a interseção de todos os subespaços que contém um conjunto de vetores. Ele também afirma que o subespaço gerado por um conjunto não vazio S é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores em S. Por fim, apresenta um exemplo de determinar o subespaço gerado por três vetores de R5.

1. Teorema
Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K . A interse¸˜o de
c ca
qualquer cole¸˜o de subespa¸os de V ´ um subespa¸o de V .
ca c e c

2. Defini¸˜o
ca
Seja S um conjunto de vetores em um espa¸o vetorial V . O
c
subespa¸o gerado por S ´ definido como sendo a interse¸˜o W de
c e ca
todos os subespa¸os de V que contem S. Quando S ´ um
c e
conjunto finito de vetores, S = {v1 , v2 , . . . , vn }, diremos que W ´
e
o subespa¸o gerado pelos vetores v1 , v2 , . . . , vn .
c
Nota¸˜o: W = [v1 , v2 , . . . , vn ] .
ca

3. Defini¸˜o
ca
Seja S um conjunto de vetores em um espa¸o vetorial V . O
c
subespa¸o gerado por S ´ definido como sendo a interse¸˜o W de
c e ca
todos os subespa¸os de V que contem S. Quando S ´ um
c e
conjunto finito de vetores, S = {v1 , v2 , . . . , vn }, diremos que W ´
e
o subespa¸o gerado pelos vetores v1 , v2 , . . . , vn .
c
Nota¸˜o: W = [v1 , v2 , . . . , vn ] .
ca
Teorema
O subespa¸o gerado por um conjunto n˜o vazio S de um espa¸o
c a c
vetorial V ´ o conjunto de todas as combina¸˜es lineares de
e co
vetores em S.

4. Defini¸˜o
ca
Se S1 , S2 , . . . , Sk s˜o subconjuntos de um espa¸o vetorial V , o
a c
conjunto de todas as somas
v1 + v2 + · · · + vk
de vetores vi ∈ Si ´ chamada soma dos subconjuntos
e
S1 , S2 , . . . , Sk e denotada por
k
S1 + S2 + · · · + Sk = Si .
i=1

5. Se W1 , W2 , . . . , Wk s˜o subespa¸os de V , ent˜o a soma
a c a
W = W1 + W2 + · · · + Wk
pode ser vista como o subespa¸o de V que cont´m cada um dos
c e
subespa¸os Wi .
c

6. Se W1 , W2 , . . . , Wk s˜o subespa¸os de V , ent˜o a soma
a c a
W = W1 + W2 + · · · + Wk
pode ser vista como o subespa¸o de V que cont´m cada um dos
c e
subespa¸os Wi .
c
Exemplo
Determine o subespa¸o de R5 gerado pelos vetores
c
v1 = (1, 2, 0, 3, 0)
v2 = (0, 0, 1, 4, 0)
v3 = (0, 0, 0, 0, 1).