3. ตรรกศาสตร์ หน้า 3
3. การหาค่าความจริงของประพจน์
3.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประพจน์เมื่อกาหนดเงื่อนไขเพียงพอในรูปต่างๆได้
3.2 เนื้อหา
กาหนดให้ p และ q แทนประพจน์ใดๆ และให้ T แทนค่าความจริงเป็น “จริง” F แทนค่าความจริงเป็น “เท็จ”
การหาค่าความจริงของประพจน์ซึ่งได้จากการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อมต่างๆ หาได้จากตารางค่าความจริงดังต่อไปนี้
1) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” p และ q เขียนแทนด้วย pq
ในบางครั้งจะใช้คาว่า “แต่ , กับ , ที่” แทนความหมายของ “และ” มีค่าความจริงดังตาราง
p q pq เช่น
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
2 เป็นจานวนเฉพาะและจานวนคู่ (T)
2 เป็นจานวนเต็มแต่ 3 เป็นจานวนคู่ (F)
3 เป็นจานวนคู่และ 2 เป็นจานวนคู่ (F)
0 และ 4 เป็นจานวนคี่ (F)
2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” p หรือ q เขียนแทนด้วย pq มีค่าความจริงดังตาราง
p q pq เช่น
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
4 0 หรือ 4 เป็นจานวนคู่ (T)
4 0 หรือ 4 เป็นจานวนเฉพาะ (T)
4 0 หรือ 4 เป็นจานวนคู่ (T)
4 0 หรือ 4 เป็นจานวนเฉพาะ (F)
3) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” ถ้า p แล้ว q เขียนแทนด้วย pq มีค่าความจริงดังตาราง
p q pq เช่น
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
ถ้า 2 เป็นจานวนคู่แล้ว 2+2 = 22
(T)
ถ้า 2 เป็นจานวนคู่แล้ว 3 เป็นจานวนคู่ (F)
ถ้า 2 เป็นจานวนคี่แล้ว 2 เป็นจานวนเฉพาะ (T)
ถ้า 2 เป็นจานวนคี่แล้ว 2 เป็นจานวนอตรรกยะ (T)
4) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” p ก็ต่อเมื่อ q เขียนแทนด้วย pq มีค่าความจริงดังตาราง
p q pq เช่น
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
2 เป็นจานวนคู่ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจานวนเฉพาะ (T)
2 เป็นจานวนคู่ก็ต่อเมื่อ 4 เป็นจานวนเฉพาะ (F)
3 เป็นจานวนคู่ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจานวนเฉพาะ (F)
3 เป็นจานวนคู่ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจานวนคี่ (T)
5) นิเสธของประพจน์ นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย p มีค่าความจริงดังตาราง
p p เช่น
T
F
F
T
นิเสธของ 2 + 2 = 2
2 คือ 2 + 2 2
2
นิเสธของ – 2 0 คือ –2 0 หรือ –2 0
7. ตรรกศาสตร์ หน้า 7
3. จงสร้างตารางค่าความจริงเพื่อตรวจสอบว่าประพจน์ในต่อไปนี้เป็นนิเสธกันหรือไม่
1) (pq)r กับ (pq)r 2) (pr)(qr) กับ (pq)r
4. จงหานิเสธของข้อความต่อไปนี้
1) ฝนตกหรือแดดออก ..................................................................................
2) ณวัชชอบอ่านหนังสือและร้องเพลง ..................................................................................
3) ถ้า 2 + 3 = 5 แล้ว 2
2 = 4 ..................................................................................
4) ถ้า p เป็นประพจน์แล้ว p มีค่าความจริงเป็นจริง………...……………...............................................
5) pq ..................................................................................
6) pq ..................................................................................
7) p(qr) ..................................................................................
8) (pq)r ..................................................................................
9) pq ..................................................................................
10) (pq)(pq) ..................................................................................
5. จงแสดงว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่ โดยไม่ต้องสร้างตารางค่าความจริง
1) (pq) กับ pq
3) p(qr) กับ (pq)(pr)
5) (pq)r กับ (pr)(qr)
2) (pq) กับ (qp)
4) (pq)r กับ p(qr)
6) (pq)r กับ (pr)(qr)
6. จงตรวจสอบดูว่าประพจน์คู่ใดเป็นนิเสธกัน โดยไม่ต้องสร้างตารางค่าความจริง
1) p(pq) กับ pq 2) p(qr) กับ (qr)p
3) (pq)q กับ pq
6. สัจนิรันดร์
6.1 ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง นักเรียนสามารถตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ด้วยวิธีต่างๆ ได้
6.2 เนื้อหา
สัจนิรันดร์ คือรูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
การตรวจสอบสัจนิรันดร์ มีวิธีตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้ดังต่อไปนี้
1) ตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริง เช่น (pq)(pq)
p q q pq pq (pq)(pq)
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
T
F
F
T
T
T
T
ประพจน์ (pq)(pq) เป็นสัจนิรันดร์
8. ตรรกศาสตร์ หน้า 8
2) ตรวจสอบโดยใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ที่สมมูลกันจะมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี ดังนั้นถ้านาประพจน์ที่สมมูลกันมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม
“” จะทาให้ได้รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี จึงเป็นสัจนิรันดร์ เช่น
(pq)(pq) เป็นสัจนิรันดร์ เพราะว่า ประพจน์ (pq) สมมูลกับ (pq)
3) ตรวจสอบโดยหาข้อขัดแย้ง โดยให้รูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
– ถ้าเกิดกรณีขัดแย้ง แสดงว่ารูปแบบนั้นเป็นเท็จไม่ได้ นั่นคือ รูปแบบของประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์
– ถ้าไม่เกิดกรณีขัดแย้ง แสดงว่ารูปแบบของประพจน์เป็นเท็จได้ นั่นคือรูปแบบของประพจน์นั้นไม่เป็น
สัจนิรันดร์
3.1 รูปแบบ AB AB เป็นเท็จ เมื่อ A และ B เป็นเท็จทั้งคู่
1) ถ้า A เป็นเท็จ และ B มีโอกาสเป็นเท็จได้แล้ว AB ไม่เป็นสัจนิรันดร์
2) ถ้า A เป็นเท็จ และ B ไม่มีโอกาสเป็นเท็จแล้ว AB เป็นสัจนิรันดร์
เช่น [ p (q r)] [q (p r)]
F F F T F
T T T F เกิดข้อขัดแย้ง
F F ดังนั้น [ p(qr)][q(pr)] เป็นสัจนิรันดร์
3.2 รูปแบบ AB AB เป็นเท็จ เมื่อ A เป็นจริง และ B เป็นเท็จ
1) ถ้า A เป็นจริง และ B มีโอกาสเป็นเท็จแล้ว AB ไม่เป็นสัจนิรันดร์
2) ถ้า B เป็นเท็จ และ A มีโอกาสเป็นจริงแล้ว AB ไม่เป็นสัจนิรันดร์
3) ถ้า A เป็นจริง และ B ไม่มีโอกาสเป็นเท็จแล้ว AB เป็นสัจนิรันดร์
4) ถ้า B เป็นเท็จ และ A ไม่มีโอกาสเป็นจริงแล้ว AB เป็นสัจนิรันดร์
เช่น [(p q) p] q
T F F
T T เกิดข้อขัดแย้ง
F F ดังนั้น [(pq)p]q เป็นสัจนิรันดร์
3.3 รูปแบบ AB
AB เป็นเท็จ เมื่อ A เป็นจริง และ B เป็นเท็จ
หรือ A เป็นเท็จ และ B เป็นจริง
การตรวจสอบสัจนิรันดร์ในกรณีนี้ จะต้องพิจารณา 2 กรณี
เช่น (pq)(pq)