Prob. y Estad. Distribuciones

Probabilidad y Estad´
ıstica
Distribuciones de probabilidad

Dr. Hćtor Avil´s
e e

Ingenier´ en Tecnolog´ de la Informaciń
ıa ıas o
Universidad Politćnica de Victoria
e
Cd. Victoria Tamaulipas

Agosto-Diciembre 2011

Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas

Contenido

Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor
esperado y varianza

Distribuciones de probabilidad discretas

Distribuciones de probabilidad continuas

H. Avil´s
e UPV
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Contenido

Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor
esperado y varianza



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Variables aleatorias

Un concepto muy util en probablidad es el de variables
´
aleatoria o variables estoc´stica
a

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´
a
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos y
las probabilidades asociadas

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´
a
Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores num´ricos
e
que describan los eventos, en vez de los eventos en si

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´
a
e
Las variables aleatorias nos ayudar´n a obtener tales valores
a
num´ricos
e

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´
a
e
Las variables aleatorias nos ayudar´n a obtener tales valores
a
num´ricos
e
Informalmente, una V.A. es una regla que asigna valores
num´ricos a cada salida de un experimento
e

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M´s formalmente, una V.A. X es una funci´n que transforma
a o
un evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R

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a o
Usualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a los
eventos donde se utilizan A, B ´ C )
o

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a o
o
Una V.A. se puede ver como el resultado de una medici´n en
o
alg´n proceso, e.g., Y = “El n´mero de soles al lanzar dos
u u
monedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2, Y ({´guila, sol}) =
a
1, Y ({sol, ´guila}) = 1, Y ({´guila, ´guila}) = 0
a a a

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a o
o
Una V.A. se puede ver como el resultado de una medici´n en
o
alg´n proceso, e.g., Y = “El n´mero de soles al lanzar dos
u u
monedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2, Y ({´guila, sol}) =
a
1, Y ({sol, ´guila}) = 1, Y ({´guila, ´guila}) = 0
a a a
En casos especiales, un evento e es igual al valor num´rico
e
deseado, i.e., X (e) = e, (e.g., Si X = “El n´mero que resulta
u
de lanzar un unico dado)
´

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Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por
u
una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona”
o

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u
o
En general, una V.A. puede ser discreta o continua

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u
o
Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambos
resultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},
X ∈ N es discreta ﬁnita

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u
o
Tambi´n hay V.A. discretas inﬁnitas como el n´mero de
e u
granos de arena en una playa ´ el n´mero de estrellas en el
o u
cielo

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u
o
Tambi´n hay V.A. discretas inﬁnitas como el n´mero de
e u
granos de arena en una playa ´ el n´mero de estrellas en el
o u
cielo
Para casos especiales, las V.A pueden considerar valores
cualitativos X ∈ {alto, mediano, bajo},
Y ∈ {estudiante, profesionista}

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Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en un
rango o intervalo de R

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Un ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”
o
´ Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de una
persona”

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Un ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”
o
´ Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de una
persona”
Las V.A. pueden representar eventos simples o eventos
compuestos

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Distribuciones de probabilidad discreta

Las V.A son importantes porque nos permiten deﬁnir
distribuciones de probabilidad sobre ellas

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Una distribuciń de probabilidad es una funciń que nos
o o
permite asignar valores de probabilidad para los valores de una
V.A.
Para el caso de una V.A. discreta X , la distribuciń de
o
probabilidad es una lista de probabilidades asociadas a los
valores de X

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Una distribuciń de probabilidad es una funciń que nos
o o
permite asignar valores de probabilidad para los valores de una
V.A.
Para el caso de una V.A. discreta X , la distribuciń de
o
probabilidad es una lista de probabilidades asociadas a los
valores de X
A una distribuciń de probabilidad de este tipo se les
o
denomina distribuciń de probabilidad discreta
o

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Sea X una V.A. discreta que puede tomar N valores distintos,
X ∈ {xi |1 ≤ i ≤ N}, entonces

P(X = xi ) = p(xi ),
N
donde 0 ≤ p(xi ) ≤ 1 y i=1 p(xi ) =1

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Distribuciones de probabilidad discreta - Ejemplo
Para un dado que no es justo y privilegia resultados impares:

xi p(xi )
1 3/12
2 1/12
3 3/12
4 1/12
5 3/12
6 1/12

Las distribuciones de probabilidad discreta pueden representarse
por medio de tablas o gr´ﬁcamente (i.e., mediante histogramas de
a
probabilidad)

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Funciń de probabilidad acumulada
o
Una funciń importante es la funciń de probabilidad
o o
acumulada
P(X ≤ xi ) = p(xj )
j≤i

A su gr´fica se le llama funciń escalera
a o
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Valor esperado
Otra funci´n importante es el valor esperado ´ esperanza
o o
matem´tica E [X ] de una V.A. discreta X :
a

E [X ] = xi · p(xi )
∀i

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Valor esperado
o o
a

E [X ] = xi · p(xi )
∀i

Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo con
X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es:
1 1 1 1 1 1
E [X ] = 1 · +2· +3· +4· +5· +6· =
6 6 6 6 6 6

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Valor esperado
o o
a

E [X ] = xi · p(xi )
∀i

1 1 1 1 1 1
E [X ] = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · = 3.5
6 6 6 6 6 6

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Valor esperado
o o
a

E [X ] = xi · p(xi )
∀i

1 1 1 1 1 1
E [X ] = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · = 3.5
6 6 6 6 6 6

Si la gr´ﬁca de la distribuci´n de probabilidad se ve como un
a o
objeto con masa, el valor esperado “balancea” la masa del
objeto en dos partes iguales
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Varianza

La varianza V (X ) es una medida que nos indica qu´ tanto se
e
“esparcen” o varian los valores de X en la distribuci´n (en el
o
eje horizontal de su gr´ﬁca), tomando en cuenta sus pesos (o
a
probabilidades)

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Varianza

e
o
a
probabilidades)
Para una variable X la varianza viene dada por
n
2
V (X ) = E [(X − E [X ]) ] = (xi − E [X ])2 · p(xi )
i=1

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Varianza

e
o
a
probabilidades)
Para una variable X la varianza viene dada por
n
2
V (X ) = E [(X − E [X ]) ] = (xi − E [X ])2 · p(xi )
i=1

Esto indica que V (X ) es el valor esperado de la diferencia al
cuadrado entre cada valor para X y su esperanza matem´tica a

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Varianza

La varianza tambi´n se puede calcular como:
e
V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor de
X elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X al
cuadrado)

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Varianza

e
cuadrado)
Por ejemplo, para un dado justo
E [X 2 ] = ∀i (xi )2 · p(xi )(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )/6 = 15.5,
y (E [X ])2 = ( ∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25

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Varianza

e
cuadrado)
E [X 2 ] = ∀i (xi )2 · p(xi )(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )/6 = 15.5,
y (E [X ])2 = ( ∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25
As´ V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 = 15.5 − 12.25 = 3.25
ı,

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Varianza

e
cuadrado)
E [X 2 ] = ∀i (xi )2 · p(xi )(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )/6 = 15.5,
y (E [X ])2 = ( ∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25
As´ V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 = 15.5 − 12.25 = 3.25
ı,
Esta forma es muy util cuando se tiene una descripci´n
´ o
anal´
ıtica de la distribuci´n
o

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Distribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio
Considere la siguiente tabla de edades y la V.A. X ´ la edad
o
de una persona del grupo. Graﬁque p(xi ) ∀i, su funci´n
o
acumulada, y obtenga E , V y P(X = 25 ´ X = 21)
o
Edad
25
22
21
24
25
29
21
22
25
24
21
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Distribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio

Para los siguientes valores de una variable X , graﬁque p(xi )∀i,
su funci´n acumulada, y calcule E , V y P(X ≤ 25)
o

13, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 24, 23, 38, 36, 24, 29, 25, 17, 17, 34,
36, 39, 34, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 37, 31, 37, 34, 32, 35, 28,
32, 31, 28, 15, 32, 13

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Variables aleatorias continuas

Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | − ∞ ≤ y ≤ ∞} y su
funci´n de densidad de probabilidad es p(y ), la probabilidad
o
de Y = y est´ dada por:
a
b
P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy
a

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o
a
b
P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy
a

donde a y b son los l´
ımites inferior y superior en que p(y )
debe evaluarse

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o
a
b
P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy
a

debe evaluarse
∞
Se debe satisfacer −∞ p(y )dy = 1 y p(y ) ≥ 0

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o
a
b
P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy
a

debe evaluarse
∞
Se debe satisfacer −∞ p(y )dy = 1 y p(y ) ≥ 0
y
Recordar que y p(y )dy = 0, por tanto, no podemos usar una
forma tabular para P(·) de V.A. continuas

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Funciń de probabilidad acumulada y valor esperado
o

La funciń de distribuciń acumulativa es:
o o
b
P(Y ≤ b) = p(y )dy
−∞

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o

o o
b
P(Y ≤ b) = p(y )dy
−∞

La esperanza matem´tica de Y es:
a
∞
P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) = y · p(y )dy
−∞

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o

o o
b
P(Y ≤ b) = p(y )dy
−∞

La esperanza matem´tica de Y es:
a
∞
P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) = y · p(y )dy
−∞

La varianza es:
∞
V (Y ) = (y − E (Y ))2 · p(y )dy
−∞

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Ejemplos de una funci´n de probabilidad continua (izquierda) y el
o
comportamiento de su funci´n acumulativa (derecha)
o

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Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento
a
[a, b] de la curva:

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a
[a, b] de la curva:
Gr´ficamente (para figuras geom´tricas simples como
a e
trińgulos y trapecios)
a

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a
[a, b] de la curva:
a e
a
Calculando la suma de segmentos (s´lo aproximaci´n)
o o

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a
[a, b] de la curva:
a e
a
o o
Cuando la forma de la integral es conocida (o puede
conocerse) y resolviendo para a y b

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a
[a, b] de la curva:
a e
a
o o
Cuando la forma de la integral es conocida (o puede
conocerse) y resolviendo para a y b

Recordar de los teoremas fundamentales de c´lculo:
a
b b = P(Y ≤ b) − P(Y ≤ a)
P(a ≤ Y ≤ b) = a p(y )dy = P(Y )|a
¡La anti-derivada P(Y) nos da la probabilida acumulada!

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Variables aleatorias continuas - Ejemplo

b
Si se considera que a p(y )dy = limn→∞ b p(yi ) · ∆n,
i=a
para una variable Y con densidad de probabilidad
1
2y 0≤y ≤2
p(y ) =
0 de lo contrario

calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4

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b
i=a
1
2y 0≤y ≤2
p(y ) =
0 de lo contrario

b−a 1−0 1
∆n = n = 4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) = i=0 p(yi ) · ∆n

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b
i=a
1
2y 0≤y ≤2
p(y ) =
0 de lo contrario

b−a 1−0 1
∆n = n = 4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) = i=0 p(yi ) · ∆n
1 1 1
P(0 ≤ Y ≤ 1) = ·i=0 2 (yi )
= (4)
( 4 ) · ( 1 )[(0) + (1/4) + (1/2) + (3/2)] ≈
1
2
9
32 o
´ 0.28

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1 1 1
Dado que 0 p(y )dy = 0 2 ydy

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1 1 1
Resolviendo la integral deﬁnida:
1
1 1 y2 1 1 1
ydy = ( ) |1 = ( )y 2 |1 = ( )[(1)2 −(0)2 ] = = 0.25
0 2 2 2 0 4 0
4 4

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1 1 1
1
1 1 y2 1 1 1
ydy = ( ) |1 = ( )y 2 |1 = ( )[(1)2 −(0)2 ] = = 0.25
0 2 2 2 0 4 0
4 4

Si se grafica la ecuaciń 1 y , se observa que es una l´
o 2 ınea recta
y forma un trińgulo en los l´
a ımites b y a

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1 1 1
1
1 1 y2 1 1 1
ydy = ( ) |1 = ( )y 2 |1 = ( )[(1)2 −(0)2 ] = = 0.25
0 2 2 2 0 4 0
4 4

Si se grafica la ecuaciń 1 y , se observa que es una l´
o 2 ınea recta
y forma un trińgulo en los l´
a ımites b y a
Si se recuerda que ´rea = base·altura , y
a 2
base = b − a = 1 − 0 = 1 y altura = p(y = 1) = ( 1 · 1) = 1/2,
2

base · altura 1· 1
2
´rea =
a = = 1/4
2 2

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E [Y ] de p(y ) = 1 y se obtiene como
2
2 2 2 3
1
0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 0 1 y 2 dy = ( 1 ) y3 |2 =
2 2 0
3
( 1 )[ 2 − 0] = ( 1 )( 8 ) = 8/6
2 3 2 3 = 4/3 ≈ 1.33

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2
2 2 1 2 1 2 1 y3 2
0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 0 2 y dy = ( 2 ) 3 |0 =
3
( 1 )[ 2 − 0] = ( 1 )( 8 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33
2 3 2 3
Si V (Y ) = E [Y 2 ] − (E [Y ])2 , V (Y ) podemos obtenerla
2 2 2 2 1
calculando E [Y 2 ] = 0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy =
2 1 3 1 y4 2 1 24 1 16
0 2 y dy = (2) 4 |0 = ( 2 )[ 4 − 0] = ( 2 )( 4 ) = 4/2 = 2

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2
2 2 1 2 1 2 1 y3 2
0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 0 2 y dy = ( 2 ) 3 |0 =
3
( 1 )[ 2 − 0] = ( 1 )( 8 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33
2 3 2 3
Si V (Y ) = E [Y 2 ] − (E [Y ])2 , V (Y ) podemos obtenerla
2 2 2 2 1
calculando E [Y 2 ] = 0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy =
2 1 3 1 2 y4
1 24 1 16
0 2 y dy = ( 2 ) 4 |0 = ( 2 )[ 4 − 0] = ( 2 )( 4 ) = 4/2 = 2
As´ V (Y ) = E [Y 2 ] − (E [Y ])2 = 2 − (1.33)2 ≈ .23
ı,

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Variables aleatorias continuas - Ejercicio 1

Considere una variable Y con densidad de probabilidad
1
10 (y + 3) −1 ≤ y ≤ 2
p(y ) =
0 de lo contrario

calcule P(1 ≤ Y ≤ 2) para n = 5 incrementos, resolviendo la
integral deﬁnida; adem´s calcule E [Y ] y V (Y )
a

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Variables aleatorias continuas - Ejercicio 2

Considere una variable Y con densidad de probabilidad

6y (1 − y ) 0≤y ≤1
p(y ) =
0 de lo contrario

calcule P(0.5 ≤ Y ≤ 1) con 10 incrementos, resolviendo la
integral deﬁnida y obtenga E [Y ] y V (Y )

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e UPV
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Distribuciones discretas

x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor
esperado y varianza



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e UPV
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Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen ser
muy importantes en la pr´ctica y teor´
a ıa

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e UPV
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a ıa
Por esto, algunas formas han recibido nombres especi´
ıﬁcos

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e UPV
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a ıa
ıﬁcos
Esto ayuda a su aplicaci´n y al estudio de sus propiedades
o

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a ıa
ıficos
Esto ayuda a su aplicaciń y al estudio de sus propiedades
o
Como casos especiales de distribuciones discretas veremos: la
distribuciń uniforme, de Bernoulli y la distribuciń binomial
o o

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e UPV
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Distribuci´n uniforme
o

La distribuci´n uniforme discreta es una de las distribuciones
o
discretas m´s simples
a

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e UPV
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o

o
a
La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementos
de un conjunto ﬁnito de valores (distribuidos en intervalos
iguales) que toma una V.A. discreta X

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e UPV
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o

o
a
Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidad
P(xn ) = 1/n, ∀n

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e UPV
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o

o
a
Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidad
P(xn ) = 1/n, ∀n
En general, nos permitir´ representar problemas en los que
a
todos los eventos simples tienen la misma probabilidad (e.g.,
lanzar un dado o una moneda “justa”)

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e UPV
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o

El valor esperado es:
E [X ] = n xi · p(xi ) =
i=1
1
n
n
i=1 xi · = 1
n · ( x1 +xn · n) =
2
x1 +xn
2

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e UPV
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o

El valor esperado es:
E [X ] = n xi · p(xi ) =
i=1
1
n
n
i=1 xi · = 1
n · ( x1 +xn · n) =
2
x1 +xn
2

La varianza es:
n
V (X ) = E [(X − E [X ])2 ] = i=1 (xi − E [X ])2 · p(xi )

H. Avil´s
e UPV
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Distribuciń uniforme - Ejercicio
o

Sea X una V.A. discreta con X ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
distribuida uniformemente. Su representaciń gr´fica es:
o a

Calcule su valor esperado, su varianza y grafique su funciń
o
escalonada

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e UPV
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Distribuci´n de Bernoulli
o

La distribuci´n de Bernoulli nos sirve para representar la
o
probabilidad de ´xito (p) y fracaso (q =1 − p) de un
e
experimento aleatorio

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e UPV
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o

o
e
Considere una V.A. X que indica si un evento se cumpli´ o no
o
en una unica repetici´n del experimento aleatorio
´ o

H. Avil´s
e UPV
31/44


o

o
e
o
´ o
En este caso X se comporta con una distribuci´n de Bernoulli
o
con par´metro p (X = 1 en caso de ´xito, X = 0 en fracaso)
a e

H. Avil´s
e UPV
31/44


o

o
e
o
´ o
En este caso X se comporta con una distribuci´n de Bernoulli
o
con par´metro p (X = 1 en caso de ´xito, X = 0 en fracaso)
a e
La funci´n de probabilidad es P(X ) = px · (1 − p)1−x , es
o
decir, P(X = 1) = p y P(X = 0) = q = 1 − p

H. Avil´s
e UPV
31/44


o

La esperanza matem´tica es: E [X ] = 1 x = i · p(x = i) =
a i=0
0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = p

H. Avil´s
e UPV
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o

La esperanza matem´tica es: E [X ] = 1 x = i · p(x = i) =
a i=0
0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = p

La varianza es:
V (X ) = E [(X − E [X ])2 ] = 1 (x = i − E [X ])2 · p(x = i) =
i=0
1 2 2
i=0 (x = i − p) · p(x = i) = (0 − p) · p(x =
0)+(1−p) 2 ·p(x = 1) = (0−p)2 ·(1−p)+(1−p)2 ·p = p·(1−p)

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e UPV
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Distribuci´n de Bernoulli - Ejemplo
o

Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamiento
de una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caer
cara, entonces p = P(X = 1) = .6

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e UPV
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o

Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado
“justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6

H. Avil´s
e UPV
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o

Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado
“justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6
Si Z es una V.A. que representa si el resultado es mayor de 3,
p = P(Z = 1) = 1/2

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o

H. Avil´s
e UPV
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Distribuciń de Bernoulli - Ejercicio
o

Para los 3 ejemplos anteriores, calcule E (·), V (·) y grafique su
funciń p(·)
o

H. Avil´s
e UPV
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Distribuci´n binomial
o

La distribuci´n binomial mide la probabilidad de un n´mero r
o u
de ´xitos en un conjunto de n repeticiones “independientes”
e
de Bernoulli, e.g., P(X = r ) donde 0 ≤ r ≤ n

H. Avil´s
e UPV
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o

o u
e
Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una moneda
n veces, ´ la probabilidad de que un coche siga avanzando en
o
una autopista o se detenga en un momento r determinado
(asumiendo que cada intento corresponde a una unidad de
tiempo)

H. Avil´s
e UPV
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o

o u
e
Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una moneda
n veces, ´ la probabilidad de que un coche siga avanzando en
o
una autopista o se detenga en un momento r determinado
(asumiendo que cada intento corresponde a una unidad de
tiempo)
La probabilidad de ´xito es p y de fracaso q = 1 − p
e

H. Avil´s
e UPV
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o

Para obtener P(X = r) suponga una sucesi´n de r resultados
o
exitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1
y Xr +1 = 0 ∧ Xr +2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ´
ındice indica la
posici´n del experimento aleatorio en la secuencia
o

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e UPV
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o

o
y Xr +1 = 0 ∧ Xr +2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ´
ındice indica la
o
As´ para esta situaci´n
ı, o
p1 ·p2 ·...·pr ·(1−p)r +1 ·(1−p)r +2 ·...·(1−p)n = pr (1−p)n−r

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e UPV
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o

o
y Xr +1 = 0 ∧ Xr +2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ´
ındice indica la
o
As´ para esta situaci´n
ı, o
p1 ·p2 ·...·pr ·(1−p)r +1 ·(1−p)r +2 ·...·(1−p)n = pr (1−p)n−r
Como s´lo estamos interesados en la probabilidad de r ´xitos
o e
(sin importar el orden), entonces hay que calcular el n´mero
u
de r combinaciones en n elementos:

n n!
=
r r !(n − r )!

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e UPV
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o

Como se tiene la probabilidad para una combinaci´n o
pr (1 − p)n−r s´lo resta multiplicar por el total de
o
combinaciones posibles:

n! n
pr (1 − p)n−r = pr (1 − p)n−r
r !(n − r )! r

H. Avil´s
e UPV
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o

o

n! n
pr (1 − p)n−r = pr (1 − p)n−r
r !(n − r )! r
De esta manera, la funci´n de probabilidad de la V.A. X con
o
n
distribuci´n binomial es P(X = r ) =
o pr (1 − p)n−r ,
r
0≤r ≤n

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e UPV
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o

o

n! n
pr (1 − p)n−r = pr (1 − p)n−r
r !(n − r )! r
De esta manera, la funci´n de probabilidad de la V.A. X con
o
n
distribuci´n binomial es P(X = r ) =
o pr (1 − p)n−r ,
r
0≤r ≤n
El valor esperado est´ dado por np y la varianza por np(1 − p)
a

H. Avil´s
e UPV
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o

Distribuci´n binomial para n = 20 y p = 0.1(rojo), p = 0.5(verde),
o
p = 0.8(azul)

H. Avil´s
e UPV
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Otras distribuciones

La distribuci´n geom´trica permite calcular la probabilidad de
o e
un n´mero r de repeticiones antes del primer ´xito
u e

H. Avil´s
e UPV
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o e
u e
La distribuci´n de Poisson calcula la probabilidad de que
o
ocurra un cierto evento r veces en un per´ıodo de tiempo (o
espacio) determinado (e.g., el n´mero de piezas defectuosas
u
en un d´ o las estrellas en un segmento particular del cielo)
ıa

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e UPV
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o e
u e
La distribuci´n de Poisson calcula la probabilidad de que
o
ocurra un cierto evento r veces en un per´ıodo de tiempo (o
espacio) determinado (e.g., el n´mero de piezas defectuosas
u
en un d´ o las estrellas en un segmento particular del cielo)
ıa

Para estas distribuciones describe su funci´n de probabilidad, el
o
valor esperado, su varianza y de un ejemplo

H. Avil´s
e UPV
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Contenido

x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor
esperado y varianza

x Distribuciones de probabilidad discretas


H. Avil´s
e UPV
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Distribuci´n normal
o

La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las
o
m´s utilizadas en la literatura
a

H. Avil´s
e UPV
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o

o
a
Permite modelar m´ltiples fen´menos en muchas ´reas de la
u o a
ciencia

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e UPV
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o

o
a
u o a
ciencia
Para una V.A. Y continua con distribuci´n normal, su
o
densidad de probabilidad est´ dada por:
a
1 1 y −µ 2
P(Y = y ) = √ e − 2 ( σ )
σ 2π

H. Avil´s
e UPV
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o

o
a
u o a
ciencia
o
a
1 1 y −µ 2
P(Y = y ) = √ e − 2 ( σ )
σ 2π
donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ = V (Y )
es la desviaci´n est´ndar (´ ra´ cuadrada de la varianza)
o a o ız

H. Avil´s
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o

o
a
u o a
ciencia
o
a
1 1 y −µ 2
P(Y = y ) = √ e − 2 ( σ )
σ 2π
donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ = V (Y )
es la desviaciń estńdar (´ ra´ cuadrada de la varianza)
o a o ız
La distribuciń normal frecuentemente se denota como
o
N (µ, σ)
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o

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o

Esta distribuci´n tiene diferentes propiedades interesantes:
o

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o

o
Es sim´trica con respecto a la media
e

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o

o
Es sim´trica con respecto a la media
e
Los porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a la
desviaci´n est´ndard
o a

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