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Introdu¸˜o e toolbox   ECP em EDE                            a
                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                     o      Referˆncias
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                             Expans˜o em caos polinomial
                                   a

                                         Wilson N. de Freitas

                            Departamento de Engenharia El´trica — PUC–Rio
                                                         e


                                       31 de Agosto de 2007
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Introdu¸˜o e toolbox   ECP em EDE                            a
                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                     o      Referˆncias
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      1    Introdu¸˜o e toolbox
                  ca
             Expans˜o em Caos Polinomial (ECP)
                     a
             Espa¸o de Hilbert
                  c
             Expans˜es ortogonais
                     o
             Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D)
                  c         co                        a
             Polinˆmios ortogonais
                  o
             Defini¸˜o de Caos Polinomial
                    ca

      2    ECP em EDE
             Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
                 co                     a
             M´todo de Galerkin
               e

      3    Estudo de caso: EDO estoc´stica
                                    a
             EDO com termo aleat´rio
                                 o

      4    Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                          o
             Oscilador aleat´rio de segunda ordem
                            o

      5    Referˆncias
                e
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                                     Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                      o      Referˆncias
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Expans˜o em Caos Polinomial (ECP)
      a




       Caos Polinomial
           Proposo por Norbert Wiener em 1938
               Emprega polinˆmios de Hermite em termos de vari´veis
                             o                                     a
               aleat´rias Gaussianas para descrever vari´veis aleat´rias.
                    o                                   a          o


                       E como ´ que isso acontece?
                              e
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                     o      Referˆncias
                                                                                                                 e

Espa¸o de Hilbert
    c



       Espa¸o de Hilbert H
           c
              ´ um espa¸o vetorial sobre um corpo F (que pode ser R ou C)
              e        c
               possui produto interno ·, ·
              ´ completo como espa¸o m´trico, com rela¸˜o ` m´trica (d(·, ·))
              e                   c    e               ca a e
              gerada pela norma ( · ) induzida pelo produto interno

                                         v =          v, v , onde v ∈ H

               e
                                    d(u, v) = u − v , onde u, v ∈ H

       Espa¸os de Hilbert populares
           c
               (Rn ; ·, · )
               (C n ; ·, · )
               (L2 (D); ·, · )
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                     o      Referˆncias
                                                                                                                 e

Expans˜es ortogonais
      o




       Definition
       Um conjunto de vetores Φ ∈ H ´ um conjunto ortonormal se qualquer
                                         e
       par de vetores distintos φi , φj ∈ Φ s˜o ortogonais, isto ´, φi , φj = 0
                                             a                   e
       sempre que i = j e adicionalmente, φi = 1 para cada φi ∈ Φ

       Theorem
       Teorema das s´ries de Fourier: Seja Φ = {φn }n∈N um conjunto
                     e
       ortonormal cont´vel em um espa¸o de Hilbert H, ent˜o, Φ ´ uma base
                       a               c                 a     e
       ortonormal de H. Cada y ∈ H tem uma unica expans˜o em Φ
                                               ´          a

                                           y=            y, φn φn
                                                  n∈N
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                                       Estudo de caso: EDO estoc´stica       Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                            o      Referˆncias
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Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D)
    c         co                         a




       L2 (D)
               L2 (D) ´ o espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis em um
                       e      c         co                          a
               dom´ D
                   ınio
                                  f ∈ L2 (D) se     |f (x)|2 dx < ∞
                                                               D

               O produto interno em L2 (D) ´
                                           e

                                                 f, g =          f (x)g(x)dx
                                                             D

               Vari´veis aleat´rias com variˆncia finita tamb´m pertencem ` L2 (D)
                   a          o             a               e            a

                               E |X|2 =              |x|2 dP (x) =           |x|2 f (x)dx < ∞
                                                 D                       D

               Nesse caso o produto interno ´
                                            e

                           X, Y = E XY =                    xydP (x, y) =              xyf (x, y)dxdy
                                                        D                          D
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                                      Estudo de caso: EDO estoc´stica     Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                         o      Referˆncias
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Polinˆmios ortogonais
     o



       Polinˆmios ortogonais
            o
               Seja {Qn (x)}∞ um conjunto de polinˆmios e n ´ o grau do polinˆmio
                            n=0                   o         e                o
               Quando os polinˆmios s˜o fun¸˜es de uma vari´vel aleat´ria X temos a
                                o    a     co              a         o
               seguinte rela¸˜o
                            ca

                                E Qn (X)Qm (X) =                     Qn (x)Qm (x)dP (x)
                                                               D

                                                          =          Qn (x)Qm (x)f (x)dx
                                                               D
                                                          = hn δnm


                                 Vari´veis aleat´rias
                                     a          o       Polinˆmios
                                                             o              Dom´
                                                                               ınio
                                     Gaussiana           Hermite          (−∞, ∞)
                                       Gama              Laguerre           [0, ∞)
                                       Beta               Jacobi             [a, b]
                                      Uniform            Legendre            [a, b]
                                      Poisson             Charlier       {0, 1, . . . }
                                     Binomial           Krawtchouk      {0, 1, . . . , N }
ca
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                                      Estudo de caso: EDO estoc´stica      Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                          o      Referˆncias
                                                                                                                      e

Polinˆmios ortogonais
     o




       Polinˆmios ortogonais
            o
               Polinˆmios de Hermite Hn (x)
                    o
                                                           2                      n        2
                                 Defini¸˜o
                                      ca               e−x Hn (x) = (−1)n dxn e−x
                                                                           d

                                                       ∞       −x2
                              Ortogonalidade    √1
                                                       −∞   e        Hm (x)Hn (x)dx = 2n n!δmn
                                                  π


                                                (α)
               Polinˆmios de Laguerre Ln (x)
                    o

                              Defini¸˜o
                                   ca          e−x xα Ln
                                                        (α)      1 dn
                                                           (x) = n! dxn e−x xn+α , α > −1
                                               ∞    −x α   (α)     (α)       Γ(n+α+1)
                            Ortogonalidade     0   e    x Lm (x)Ln (x)dx =      n!
                                                                                      δmn


               Polinˆmios de Charlier Cn (x; a)
                    o

                                Defini¸˜o
                                     ca                ax C (x; a) =  n ax
                                                                                      ,a>0
                                                       x!  n             x!
                             Ortogonalidade        ∞   ax C (x; a)C (x; a) =          a−n ea n!δmn
                                                   x=0 x!  m        n
ca
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                     o      Referˆncias
                                                                                                                 e

Defini¸˜o de Caos Polinomial
     ca




       Defini¸˜o de Caos Polinomial
            ca
               Considere Θ o conjunto de todas as vari´veis aleat´rias com variˆncia
                                                      a          o             a
               finita relacionadas ao espa¸o amostral Ω. Se ξ ∈ Θ ent˜o ξ : Ω → R.
                                         c                            a
               Para cada ξ ∈ Θ ent˜o
                                  a         D
                                                |ξ|2 dP (ξ) < ∞ e portanto Θ ´ um espa¸o de
                                                                             e        c
               Hilbert.
               Seja {Φp }∞ um conjunto de polinˆmios ortogonais em Θ, logo,
                         p=0                   o
               Φp : Θ → Θ.
               Pelo teorema de s´ries de Fourier pode-se expandir qualquer elemento de
                                e
               Θ em {Φp }∞p=0
                                                         ∞
                                            X(ω) =             xi Φi (ξ(ω))
                                                         i=0

               O conjunto {Φp }∞ ´ o Caos Polinomial
                               p=0 e
ca
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                     o      Referˆncias
                                                                                                                 e

Defini¸˜o de Caos Polinomial
     ca




       O que foi visto at´ agora?
                         e
           Defini¸˜o de espa¸os de Hilbert
                 ca          c
               Teorema de s´ries de Fourier
                           e
               L2 (D)
               Polinˆmios ortogonais
                    o


                  E o que fazer com tudo isso ?
ca
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                                     Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                      o      Referˆncias
                                                                                                                  e

Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
    co                     a




       Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
           co                     a
       Considere a equa¸˜o diferencial estoc´stica:
                       ca                   a

                                                    Λu = f


               Λ ≡ Λ(x, t, ω) ´ um operador diferencial estoc´stico com
                              e                              a
               derivadas em t e x e com um termo aleat´rio ω
                                                        o
               u ≡ u(x, t; ω) ´ a fun¸˜o inc´gnita
                              e      ca     o
               x e t s˜o as vari´veis independentes
                      a         a
               f ≡ f (x, t; ω) ´ o termo de excita¸˜o, aleat´ria ou n˜o
                               e                  ca        o        a
ca
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                                     Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                      o      Referˆncias
                                                                                                                  e

Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
    co                     a




       Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
           co                     a
               A solu¸˜o u pode ser expandida em caos polinomial
                     ca
                                                         ∞
                                       u(x, t; ω) =           ui (x, t)Φi (ξ(ω))
                                                        i=0


               Para obter uma aproxima¸˜o anal´
                                      ca      ıtica da solu¸˜o ´ necess´rio truncar a
                                                           ca e        a
               s´rie em um n´mero P finito de termos.
                e           u
                                                          P
                                       u(x, t; ω) =           ui (x, t)Φi (ξ(ω))
                                                        i=0


               O truncamento introduz um erro de aproxima¸˜o na solu¸˜o u.
                                                         ca         ca
               Considere o erro r(x, t) de aproxima¸˜o como
                                                   ca

                                                  r(x, t) = Λu − f

               quando u ´ representado pela s´rie truncada.
                        e                    e
ca
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica    Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                      o      Referˆncias
                                                                                                                  e

M´todo de Galerkin
 e




       M´todo de Galerkin
        e
               Exigindo que o erro r seja ortogonal ao subespa¸o gerado pelo
                                                              c
               conjunto {Φi }P temos que:
                             i=0

                                                  r(x, t), Φi = 0

               onde i = 0, 1, . . . , P
               Com isso
                                           Λu − f, Φi                 = 0
                                               Λu, Φi                 = f, Φi
                                       Λ( j uj Φj ), Φi               = f, Φi
                                         j Λuj Φj , Φi                = f, Φi
                                                    Λui               = f, Φi
               temos um conjunto de P equa¸˜es diferenciais deterministicas.
                                          co
               Esta abordagem ´ conhecida como m´todo de Galerkin.
                              e                 e
ca
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                     o      Referˆncias
                                                                                                                 e

EDO com termo aleat´rio
                   o


       EDO com termo aleat´rio
                          o
               Consideremos a seguinte equa¸˜o diferencial ordin´ria com termo
                                            ca                  a
               aleat´rio
                    o
                                        dy(t)
                                               = −ky(t)
                                         dt
               k ≡ k(ω) = k(ξ(ω)) ´ uma vari´vel aleat´ria com fun¸˜o de
                                   e        a         o           ca
               probabilidade f (k)
               A solu¸˜o y(t) pode ser redefinida como y(t, ω) = y(t, ξ(ω)) e
                     ca
               portanto pode ser aplicada a ECP.
                                                        P
                                         y(t, ω) =            yi (t)Φi (ξ(ω))
                                                       i=0


               A vari´vel aleat´ria k(ω) pode ser escrita na mesma base de y(t, ω)
                     a         o
                                                         P
                                            k(ω) =            ki Φi (ξ(ω))
                                                        i=0
ca
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                                     Estudo de caso: EDO estoc´stica       Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                          o      Referˆncias
                                                                                                                      e

EDO com termo aleat´rio
                   o



       Aplicando a ECP
               Substituindo as expans˜es na equa¸˜o diferencial temos:
                                     o          ca
                                    P                          P       P
                                          dy(t)
                                                Φi = −         Φi Φj ki yj (t)
                                    i=0
                                           dt          i=0 j=0


               Aplicando o m´todo de Galerkin ` equa¸˜o acima temos:
                            e                 a     ca
                                                           P       P
                              dyl (t)
                                      Φl , Φl = −         Φi Φj , Φl ki yj (t)
                                dt                i=0 j=0

               onde l = 0, 1, . . . , P .
               Este sistema de equa¸˜es diferenciais deterministicas pode ser
                                   co
               resolvido com m´todos num´rios convencionais, como exemplo:
                               e          e
               m´todo de Euler ou Runge-Kutta de segunda ou quarta ordem.
                 e
               Ainda faltam as condi¸˜es iniciais.
                                    co
ca
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                     o      Referˆncias
                                                                                                                 e

EDO com termo aleat´rio
                   o




       Valor esperado da solu¸˜o
                             ca
               Tomando o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω) na ECP
                                               ca
                                                        P
                                    E y(t, ω) =              yi (t)E Φi (ξ(ω))
                                                       i=0


               O valor esperado est´ intimamente ligada ao produto interno na
                                   a
               base {Φi }∞ , logo:
                         i=0


                               E Φi (ξ(ω)) = Φi (ξ(ω)), Φ0 (ξ(ω)) = 0

               para todo i > 0, pois Φ0 = 1 para a maioria dos casos.
               O valor esperado de uma ECP sempre recai sobre o seu primeiro
               termo.
                                      E y(t, ω) = y0 (t)
ca
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                                                                                                      o      Referˆncias
                                                                                                                  e

EDO com termo aleat´rio
                   o




       Condi¸˜es de contorno
            co
               As condi¸˜es de contorno recaem sobre o primeiro termo da ECP,
                       co
               como foi visto no m´todo de Galerkin.
                                  e

                                    E y(0, ω) = y0 (0) = y0 = constante

               De posse das condi¸˜es iniciais ´ poss´ resolver o sistema de
                                  co           e     ıvel
               equa¸˜es diferenciais
                   co
                                                           P     P
                              dyl (t)
                                      Φl , Φl = −         Φi Φj , Φl ki yj (t)
                                dt                i=0 j=0

               para l = 0, 1, . . . , P .
               O objetivo ´ encontrar a y0 (t) numericamente, pois este termo
                          e
               representa o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω).
                                                  ca
ca
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                                                                                                     o      Referˆncias
                                                                                                                 e

EDO com termo aleat´rio
                   o



       Resolvendo a EDO sem a ECP
               A condi¸˜o inicial
                      ca
                                                    y(0, ω) = y0
               constante em qualquer cen´rio. Tamb´m poderia ser uma vari´vel
                                          a          e                       a
               aleat´ria, contanto que fosse ortogonal ` k para n˜o complicar nas contas.
                    o                                  a         a
               O valor esperado da solu¸˜o estoc´stica ´ dado por:
                                       ca       a      e

                                       E y(t, ω) = y0              e−kt f (k)dk
                                                               D

               De posse desta solu¸˜o anal´
                                  ca      ıtica pode-se comparar com a ECP.
               Considerando o seguinte erro
                                                      yECP (t) − y(t)
                                           (t) =
                                                            y(t)
               onde y(t) ´ o valor esperado da solu¸˜o estoc´stica e
                          e                          ca       a
                yECP (t) = y0 (t), que ´ o valor esperado da ECP.
                                       e
               Nas simula¸˜es foi considerado y0 (0) = 1 e o erro foi calculado em t = 1.
                         co
ca
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                                                                                                     o      Referˆncias
                                                                                                                 e

EDO com termo aleat´rio
                   o


       Muito bl´ bl´ bl´ . . . Mas como isso funciona na pr´tica
               a a a                                       a
               Na pr´tica tem-se a equa¸˜o diferencial
                    a                  ca
                                                  dy(t)
                                                        = −ky(t)
                                                   dt
              A natureza estoc´stica da vari´vel k ≡ k(ω) ´ conhecida. Por exemplo, k
                               a            a             e
                                                                            2
              ´ uma vari´vel aleat´ria Gaussiana com m´dia µk e variˆncia σk .
              e         a         o                    e            a
               Escolhe-se o conjunto de polinˆmios {Φi }∞ da ECP.
                                             o          i=0

               O resto ´ conta!
                       e

       ´
       E importante
               Escolher o conjunto de polinˆmios que esteja relacionado com as vari´veis
                                           o                                       a
               aleat´rias do problema.
                    o
               Escolher adequadamente os polinˆmios:
                                              o
                       facilita o c´lculo dos produtos internos e dos coeficientes;
                                   a
                       garante convergˆncia exponencial da solu¸˜o (veja nos
                                         e                        ca
                       pr´ximos slides);
                         o
ca
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica     Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                       o      Referˆncias
                                                                                                                   e

EDO com termo aleat´rio
                   o




       Como encontrar os coeficientes da expans˜o
                                              a
               Os coeficientes da expans˜o veem do teorema de s´ries de Fourier, s´ que
                                       a                      e                  o
               na s´rie truncada.
                   e
                                               P
                                                    k(ω), Φi (ξ(ω))
                                    k(ω) =                          Φi (ξ(ω))
                                              i=0
                                                        Φi , Φi

               Encontrar k(ω), Φi (ξ(ω)) depende da vari´vel aleat´ria representada
                                                          a        o
               por k. Na pr´tica, esse produto interno ´ uma integral.
                           a                           e

                                     k(ω), Φi (ξ(ω)) =                kΦi (ξ)dP (ξ)
                                                                 D

               Formas de resolver essa integral:
                       na ra¸a
                            c
                       m´todos num´ricos (quadraturas)
                         e         e
                       Monte–Carlo
ca
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica      Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                        o      Referˆncias
                                                                                                                    e

EDO com termo aleat´rio
                   o




       Exemplo de como encontrar os coeficientes da expans˜o
                                                         a

               Considere k uma vari´vel aleat´ria exponencial, logo, f (k) = e−k para
                                   a         o
               k > 0.
               A inversa da sua fun¸˜o distribui¸˜o F (k) ´
                                   ca           ca        e

                                     k = h(u) ≡ F −1 (u) = − ln(1 − u)

               onde u ∼ U (0, 1)
               Usando ξ ∼ Gaussiana(0, 1) tem-se que a sua inversa ´:
                                                                   e

                                                ξ = l(u) ≡ G−1 (u)

               Substituindo na integral do produto interno
                                                                  1
                                    k(ω), Φi (ξ(ω)) =                 h(u)Φi (l(u))du
                                                              0

               E agora ´ m˜os a obra!
                       e a
ca
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EDO com termo aleat´rio
                   o


       Distribui¸˜o Gaussiana e polinˆmios de Hermite
                ca                   o
               k ∼ Gaussiana(k; 0, 1)
               Φi s˜o polinˆmios de Hermite.
                   a       o




                                    Figura:   Convergˆncia do erro no valor esperado.
                                                     e
ca
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EDO com termo aleat´rio
                   o


       Distribui¸˜o Gama e polinˆmios de Laguerre
                ca              o
               k ∼ Gama(k; α)
               Φi s˜o polinˆmios de Laguerre.
                   a       o




       Figura:         Convergˆncia do erro no valor esperado. α = 0 distribui¸˜o exponencial (quadrados), α = 1
                              e                                               ca
       (triˆngulos).
           a
ca
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EDO com termo aleat´rio
                   o


       Distribui¸˜o Poisson e polinˆmios de Charlier
                ca                 o
               k ∼ Poisson(k; λ)
               Φi s˜o polinˆmios de Charlier.
                   a       o




                 Figura:   Convergˆncia do erro no valor esperado. λ = 1 (quadrados), λ = 2 (triˆngulos).
                                  e                                                             a
ca
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EDO com termo aleat´rio
                   o


       Distribui¸˜o Gama e polinˆmios de Hermite
                ca              o
               k ∼ Exponencial(k; 1)
               Φi s˜o polinˆmios de Hermite e de Laguerre.
                   a       o




       Figura:     Convergˆncia do erro no valor esperado n˜o ´ exponencial. Polinˆmios de Hermite (quadrados),
                          e                                a e                    o
       polinˆmios de Laguerre α = 0 (triˆngulos).
            o                           a
ca
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                                        Estudo de caso: EDO estoc´stica     Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                           o      Referˆncias
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EDO com termo aleat´rio
                   o




       Compara¸˜o com m´todo de Monte–Carlo
              ca       e
               Com a ECP observa-se que o erro ´ da ordem de 10−3 com valores
                                               e
               de P = 2.
               Para P = 4 obtem-se erros da ordem de 10−4 (polinˆmios de
                                                                o
               Hermite) ` 10−9 (polinˆmios de Jacobi).
                        a            o
               Uma simula¸˜o de Monte–Carlo na mesma equa¸˜o diferencial que
                           ca                                ca
               considera k ∼ Gama(k; 0) (distribui¸˜o exponencial) apresenta os
                                                  ca
               seguintes resultados:

                        N        102                  103                  104                  105
                             4.0 × 10−2           1.1 × 10−2           5.1 × 10−3           6.5 × 10−4
                       Tabela:   Convergˆncia do erro no valor esperado para a simula¸˜o de Monte–Carlo.
                                        e                                            ca
ca
Introdu¸˜o e toolbox   ECP em EDE                               a
                                       Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                        o      Referˆncias
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Oscilador aleat´rio de segunda ordem
               o



       Oscilador com excita¸˜es aleat´rias
                           co        o
               Considere o sistema de equa¸˜es diferenciais
                                          co
                                                                 dx(t)
                                                                  = y(t)
                                                                  dt
                                          dy(t)
                                           dt     + cy(t) + kx(t) = f (t)

               Assume-se que
                       c ≡ c(ω) = c + σc ξ1 (ω)
                                     ¯
                                      ¯
                       k ≡ k(ω) = k + σk ξ2 (ω)
                                            ¯
                       f (t) ≡ f (t, ω) = (f + σf ξ3 (ω)) cos(wt)
                       As vari´veis aleat´rias s˜o Gaussianas com m´dia 0 e variˆncia
                               a          o     a                  e            a
                       1 e s˜o independentes
                             a
               Tem-se portanto que

                                                   x(t) ≡ x(t, ω)
                                                   y(t) ≡ y(t, ω)
ca
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                                       Estudo de caso: EDO estoc´stica         Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                              o      Referˆncias
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Oscilador aleat´rio de segunda ordem
               o




       Oscilador com excita¸˜es aleat´rias
                           co        o
               A ECP aplica-se ao vetor aleat´rio ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ).
                                             o
               A express˜o geral para os polinˆmios de Hermite ´ dada por
                        a                     o                e
                                                         1    T                     ∂n          1 T
                            Hn (ξi1 , . . . , ξin ) = e 2 ξ       ξ
                                                                      (−1)n                    e2ξ ξ
                                                                               ∂ξi1 . . . ∂ξin

               essa representa¸˜o tamb´m ´ conhecida como f´rmula de Rodriguez
                              ca      e e                  o
               Aplicando a ECP ` x(t, ω)
                               a
                                                                      3
                                  x(t, ω) = x0 (t)H0 +                    x1i (t)H1 (ξi )
                                                                  i=1
                                                                      3    i
                                                             +                  x2ij H2 (ξi , ξj )
                                                                  i=1 j=1
ca
Introdu¸˜o e toolbox   ECP em EDE                               a
                                       Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
                                                                                                        o      Referˆncias
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Oscilador aleat´rio de segunda ordem
               o




       Oscilador com excita¸˜es aleat´rias
                           co        o
               Como todos os termos s˜o ortogonais entre si adota-se uma nota¸˜o
                                     a                                       ca
               reduzida
                x(t, ω)       =    i xi (t)Φi (ξ)
                              = x0 (t)H0 + x1 (t)H1 (ξ1 ) + x2 (t)H1 (ξ2 ) + x3 (t)H1 (ξ3 )+
                                x4 (t)H2 (ξ1 , ξ1 ) + x5 (t)H2 (ξ2 , ξ2 ) + x6 (t)H2 (ξ3 , ξ3 )+
                                x7 (t)H2 (ξ1 , ξ2 ) + x8 (t)H2 (ξ2 , ξ3 ) + . . .

               esta s´rie ´ truncada em P termos.
                     e e
               As vari´vais aleat´rias ξ1 , ξ2 , ξ3 , tamb´m s˜o representadas nessa
                      a          o                        e   a
               base.
                        c =   i ci Φi (ξ) = c + σc H1 (ξ1 )
                                            ¯
                        k =                 ¯
                              i ki Φi (ξ) = k + σk H1 (ξ2 )
                                                            ¯
                        c = cos(wt)( i fi Φi (ξ)) = cos(wt)(f + σf H1 (ξ3 ))
ca
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Oscilador aleat´rio de segunda ordem
               o




       Oscilador com excita¸˜es aleat´rias
                           co        o
               Aplicando a ECP ` equa¸˜o diferencial
                                  a    ca
                     dxi (t)
                             Φi =    yi (t)Φi
                        dt
               
               
               
                   i                i
                          dyi (t)
               
                                  Φi +              ci yj (t)Φi Φj +                  ki xj (t)Φi Φj =               fi (t)Φi
               
                       i
                             dt             i    j                          i      j                           i


               Aplicando o m´todo de Galerkin tem-se o sistema de equa¸˜es
                               e                                             co
               diferenciais deterministicas
                    dx (t)
                    i
                    dt = yi (t)
                   

                    dy (t) +
                    i
                                   1
                                             (ci yj (t) + ki xj (t)) Φi Φj , Φk = fi (t)
                    dt          Φi , Φi i j

               Agora ´ calcular as integrais de produto interno e rodar a maquina de
                      e
               fazer salcicha.
ca
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                                       Estudo de caso: EDO estoc´stica     Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
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Oscilador aleat´rio de segunda ordem
               o


       Comparando o erro da ECP com a solu¸˜o esperada
                                          ca
               Comparando o erro entre o valor esperado da ECP (x0 (t)) com o valor
               esperado da solu¸˜o do sistema.
                               ca




                            Figura:    Convergˆncia do erro no valor esperado n˜o ´ exponencial.
                                              e                                a e
ca
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Oscilador aleat´rio de segunda ordem
               o




                       O n´mero de slides ´ finito!
                          u               e
                        Obrigado pela paciˆncia.
                                          e
ca
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              [Dongbiu Xiu et al]
              The Wiener-Askey Polynomial Chaos For Stochastic
              Differential Equations
              SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 24, no. 2, 2002
              [Dongbiu Xiu et al]
              Stochastic Modeling of Flow-Structure Interactions using
              Generalized Polynomial Chaos
              Division of Applied Mathematics, Brown University,
              September, 2001
              [Andrew J. Newman]
              Model reduction via the Karhunen-Loeve Expansion. Part I: An
              Expositon
              Institute for Systems Research and Eletrical Engineering
              Department, University of Maryland, April, 1996
              [Carlos Kubrusly]
              Elements of Operator Theory
ca
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                                    Estudo de caso: EDO estoc´stica   Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
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              Birkhauser, 2001
              [Roger G. Ghanem et al]
              Stochastic finite elements
              Dover, 1991

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Expansão em caos polinomial

  • 1. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Expans˜o em caos polinomial a Wilson N. de Freitas Departamento de Engenharia El´trica — PUC–Rio e 31 de Agosto de 2007
  • 2. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e 1 Introdu¸˜o e toolbox ca Expans˜o em Caos Polinomial (ECP) a Espa¸o de Hilbert c Expans˜es ortogonais o Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D) c co a Polinˆmios ortogonais o Defini¸˜o de Caos Polinomial ca 2 ECP em EDE Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a M´todo de Galerkin e 3 Estudo de caso: EDO estoc´stica a EDO com termo aleat´rio o 4 Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Oscilador aleat´rio de segunda ordem o 5 Referˆncias e
  • 3. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Expans˜o em Caos Polinomial (ECP) a Caos Polinomial Proposo por Norbert Wiener em 1938 Emprega polinˆmios de Hermite em termos de vari´veis o a aleat´rias Gaussianas para descrever vari´veis aleat´rias. o a o E como ´ que isso acontece? e
  • 4. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Espa¸o de Hilbert c Espa¸o de Hilbert H c ´ um espa¸o vetorial sobre um corpo F (que pode ser R ou C) e c possui produto interno ·, · ´ completo como espa¸o m´trico, com rela¸˜o ` m´trica (d(·, ·)) e c e ca a e gerada pela norma ( · ) induzida pelo produto interno v = v, v , onde v ∈ H e d(u, v) = u − v , onde u, v ∈ H Espa¸os de Hilbert populares c (Rn ; ·, · ) (C n ; ·, · ) (L2 (D); ·, · )
  • 5. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Expans˜es ortogonais o Definition Um conjunto de vetores Φ ∈ H ´ um conjunto ortonormal se qualquer e par de vetores distintos φi , φj ∈ Φ s˜o ortogonais, isto ´, φi , φj = 0 a e sempre que i = j e adicionalmente, φi = 1 para cada φi ∈ Φ Theorem Teorema das s´ries de Fourier: Seja Φ = {φn }n∈N um conjunto e ortonormal cont´vel em um espa¸o de Hilbert H, ent˜o, Φ ´ uma base a c a e ortonormal de H. Cada y ∈ H tem uma unica expans˜o em Φ ´ a y= y, φn φn n∈N
  • 6. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D) c co a L2 (D) L2 (D) ´ o espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis em um e c co a dom´ D ınio f ∈ L2 (D) se |f (x)|2 dx < ∞ D O produto interno em L2 (D) ´ e f, g = f (x)g(x)dx D Vari´veis aleat´rias com variˆncia finita tamb´m pertencem ` L2 (D) a o a e a E |X|2 = |x|2 dP (x) = |x|2 f (x)dx < ∞ D D Nesse caso o produto interno ´ e X, Y = E XY = xydP (x, y) = xyf (x, y)dxdy D D
  • 7. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Polinˆmios ortogonais o Polinˆmios ortogonais o Seja {Qn (x)}∞ um conjunto de polinˆmios e n ´ o grau do polinˆmio n=0 o e o Quando os polinˆmios s˜o fun¸˜es de uma vari´vel aleat´ria X temos a o a co a o seguinte rela¸˜o ca E Qn (X)Qm (X) = Qn (x)Qm (x)dP (x) D = Qn (x)Qm (x)f (x)dx D = hn δnm Vari´veis aleat´rias a o Polinˆmios o Dom´ ınio Gaussiana Hermite (−∞, ∞) Gama Laguerre [0, ∞) Beta Jacobi [a, b] Uniform Legendre [a, b] Poisson Charlier {0, 1, . . . } Binomial Krawtchouk {0, 1, . . . , N }
  • 8. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Polinˆmios ortogonais o Polinˆmios ortogonais o Polinˆmios de Hermite Hn (x) o 2 n 2 Defini¸˜o ca e−x Hn (x) = (−1)n dxn e−x d ∞ −x2 Ortogonalidade √1 −∞ e Hm (x)Hn (x)dx = 2n n!δmn π (α) Polinˆmios de Laguerre Ln (x) o Defini¸˜o ca e−x xα Ln (α) 1 dn (x) = n! dxn e−x xn+α , α > −1 ∞ −x α (α) (α) Γ(n+α+1) Ortogonalidade 0 e x Lm (x)Ln (x)dx = n! δmn Polinˆmios de Charlier Cn (x; a) o Defini¸˜o ca ax C (x; a) = n ax ,a>0 x! n x! Ortogonalidade ∞ ax C (x; a)C (x; a) = a−n ea n!δmn x=0 x! m n
  • 9. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Defini¸˜o de Caos Polinomial ca Defini¸˜o de Caos Polinomial ca Considere Θ o conjunto de todas as vari´veis aleat´rias com variˆncia a o a finita relacionadas ao espa¸o amostral Ω. Se ξ ∈ Θ ent˜o ξ : Ω → R. c a Para cada ξ ∈ Θ ent˜o a D |ξ|2 dP (ξ) < ∞ e portanto Θ ´ um espa¸o de e c Hilbert. Seja {Φp }∞ um conjunto de polinˆmios ortogonais em Θ, logo, p=0 o Φp : Θ → Θ. Pelo teorema de s´ries de Fourier pode-se expandir qualquer elemento de e Θ em {Φp }∞p=0 ∞ X(ω) = xi Φi (ξ(ω)) i=0 O conjunto {Φp }∞ ´ o Caos Polinomial p=0 e
  • 10. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Defini¸˜o de Caos Polinomial ca O que foi visto at´ agora? e Defini¸˜o de espa¸os de Hilbert ca c Teorema de s´ries de Fourier e L2 (D) Polinˆmios ortogonais o E o que fazer com tudo isso ?
  • 11. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a Considere a equa¸˜o diferencial estoc´stica: ca a Λu = f Λ ≡ Λ(x, t, ω) ´ um operador diferencial estoc´stico com e a derivadas em t e x e com um termo aleat´rio ω o u ≡ u(x, t; ω) ´ a fun¸˜o inc´gnita e ca o x e t s˜o as vari´veis independentes a a f ≡ f (x, t; ω) ´ o termo de excita¸˜o, aleat´ria ou n˜o e ca o a
  • 12. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a A solu¸˜o u pode ser expandida em caos polinomial ca ∞ u(x, t; ω) = ui (x, t)Φi (ξ(ω)) i=0 Para obter uma aproxima¸˜o anal´ ca ıtica da solu¸˜o ´ necess´rio truncar a ca e a s´rie em um n´mero P finito de termos. e u P u(x, t; ω) = ui (x, t)Φi (ξ(ω)) i=0 O truncamento introduz um erro de aproxima¸˜o na solu¸˜o u. ca ca Considere o erro r(x, t) de aproxima¸˜o como ca r(x, t) = Λu − f quando u ´ representado pela s´rie truncada. e e
  • 13. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e M´todo de Galerkin e M´todo de Galerkin e Exigindo que o erro r seja ortogonal ao subespa¸o gerado pelo c conjunto {Φi }P temos que: i=0 r(x, t), Φi = 0 onde i = 0, 1, . . . , P Com isso Λu − f, Φi = 0 Λu, Φi = f, Φi Λ( j uj Φj ), Φi = f, Φi j Λuj Φj , Φi = f, Φi Λui = f, Φi temos um conjunto de P equa¸˜es diferenciais deterministicas. co Esta abordagem ´ conhecida como m´todo de Galerkin. e e
  • 14. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o EDO com termo aleat´rio o Consideremos a seguinte equa¸˜o diferencial ordin´ria com termo ca a aleat´rio o dy(t) = −ky(t) dt k ≡ k(ω) = k(ξ(ω)) ´ uma vari´vel aleat´ria com fun¸˜o de e a o ca probabilidade f (k) A solu¸˜o y(t) pode ser redefinida como y(t, ω) = y(t, ξ(ω)) e ca portanto pode ser aplicada a ECP. P y(t, ω) = yi (t)Φi (ξ(ω)) i=0 A vari´vel aleat´ria k(ω) pode ser escrita na mesma base de y(t, ω) a o P k(ω) = ki Φi (ξ(ω)) i=0
  • 15. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Aplicando a ECP Substituindo as expans˜es na equa¸˜o diferencial temos: o ca P P P dy(t) Φi = − Φi Φj ki yj (t) i=0 dt i=0 j=0 Aplicando o m´todo de Galerkin ` equa¸˜o acima temos: e a ca P P dyl (t) Φl , Φl = − Φi Φj , Φl ki yj (t) dt i=0 j=0 onde l = 0, 1, . . . , P . Este sistema de equa¸˜es diferenciais deterministicas pode ser co resolvido com m´todos num´rios convencionais, como exemplo: e e m´todo de Euler ou Runge-Kutta de segunda ou quarta ordem. e Ainda faltam as condi¸˜es iniciais. co
  • 16. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Valor esperado da solu¸˜o ca Tomando o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω) na ECP ca P E y(t, ω) = yi (t)E Φi (ξ(ω)) i=0 O valor esperado est´ intimamente ligada ao produto interno na a base {Φi }∞ , logo: i=0 E Φi (ξ(ω)) = Φi (ξ(ω)), Φ0 (ξ(ω)) = 0 para todo i > 0, pois Φ0 = 1 para a maioria dos casos. O valor esperado de uma ECP sempre recai sobre o seu primeiro termo. E y(t, ω) = y0 (t)
  • 17. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Condi¸˜es de contorno co As condi¸˜es de contorno recaem sobre o primeiro termo da ECP, co como foi visto no m´todo de Galerkin. e E y(0, ω) = y0 (0) = y0 = constante De posse das condi¸˜es iniciais ´ poss´ resolver o sistema de co e ıvel equa¸˜es diferenciais co P P dyl (t) Φl , Φl = − Φi Φj , Φl ki yj (t) dt i=0 j=0 para l = 0, 1, . . . , P . O objetivo ´ encontrar a y0 (t) numericamente, pois este termo e representa o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω). ca
  • 18. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Resolvendo a EDO sem a ECP A condi¸˜o inicial ca y(0, ω) = y0 constante em qualquer cen´rio. Tamb´m poderia ser uma vari´vel a e a aleat´ria, contanto que fosse ortogonal ` k para n˜o complicar nas contas. o a a O valor esperado da solu¸˜o estoc´stica ´ dado por: ca a e E y(t, ω) = y0 e−kt f (k)dk D De posse desta solu¸˜o anal´ ca ıtica pode-se comparar com a ECP. Considerando o seguinte erro yECP (t) − y(t) (t) = y(t) onde y(t) ´ o valor esperado da solu¸˜o estoc´stica e e ca a yECP (t) = y0 (t), que ´ o valor esperado da ECP. e Nas simula¸˜es foi considerado y0 (0) = 1 e o erro foi calculado em t = 1. co
  • 19. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Muito bl´ bl´ bl´ . . . Mas como isso funciona na pr´tica a a a a Na pr´tica tem-se a equa¸˜o diferencial a ca dy(t) = −ky(t) dt A natureza estoc´stica da vari´vel k ≡ k(ω) ´ conhecida. Por exemplo, k a a e 2 ´ uma vari´vel aleat´ria Gaussiana com m´dia µk e variˆncia σk . e a o e a Escolhe-se o conjunto de polinˆmios {Φi }∞ da ECP. o i=0 O resto ´ conta! e ´ E importante Escolher o conjunto de polinˆmios que esteja relacionado com as vari´veis o a aleat´rias do problema. o Escolher adequadamente os polinˆmios: o facilita o c´lculo dos produtos internos e dos coeficientes; a garante convergˆncia exponencial da solu¸˜o (veja nos e ca pr´ximos slides); o
  • 20. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Como encontrar os coeficientes da expans˜o a Os coeficientes da expans˜o veem do teorema de s´ries de Fourier, s´ que a e o na s´rie truncada. e P k(ω), Φi (ξ(ω)) k(ω) = Φi (ξ(ω)) i=0 Φi , Φi Encontrar k(ω), Φi (ξ(ω)) depende da vari´vel aleat´ria representada a o por k. Na pr´tica, esse produto interno ´ uma integral. a e k(ω), Φi (ξ(ω)) = kΦi (ξ)dP (ξ) D Formas de resolver essa integral: na ra¸a c m´todos num´ricos (quadraturas) e e Monte–Carlo
  • 21. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Exemplo de como encontrar os coeficientes da expans˜o a Considere k uma vari´vel aleat´ria exponencial, logo, f (k) = e−k para a o k > 0. A inversa da sua fun¸˜o distribui¸˜o F (k) ´ ca ca e k = h(u) ≡ F −1 (u) = − ln(1 − u) onde u ∼ U (0, 1) Usando ξ ∼ Gaussiana(0, 1) tem-se que a sua inversa ´: e ξ = l(u) ≡ G−1 (u) Substituindo na integral do produto interno 1 k(ω), Φi (ξ(ω)) = h(u)Φi (l(u))du 0 E agora ´ m˜os a obra! e a
  • 22. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Distribui¸˜o Gaussiana e polinˆmios de Hermite ca o k ∼ Gaussiana(k; 0, 1) Φi s˜o polinˆmios de Hermite. a o Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. e
  • 23. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Distribui¸˜o Gama e polinˆmios de Laguerre ca o k ∼ Gama(k; α) Φi s˜o polinˆmios de Laguerre. a o Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. α = 0 distribui¸˜o exponencial (quadrados), α = 1 e ca (triˆngulos). a
  • 24. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Distribui¸˜o Poisson e polinˆmios de Charlier ca o k ∼ Poisson(k; λ) Φi s˜o polinˆmios de Charlier. a o Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. λ = 1 (quadrados), λ = 2 (triˆngulos). e a
  • 25. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Distribui¸˜o Gama e polinˆmios de Hermite ca o k ∼ Exponencial(k; 1) Φi s˜o polinˆmios de Hermite e de Laguerre. a o Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado n˜o ´ exponencial. Polinˆmios de Hermite (quadrados), e a e o polinˆmios de Laguerre α = 0 (triˆngulos). o a
  • 26. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Compara¸˜o com m´todo de Monte–Carlo ca e Com a ECP observa-se que o erro ´ da ordem de 10−3 com valores e de P = 2. Para P = 4 obtem-se erros da ordem de 10−4 (polinˆmios de o Hermite) ` 10−9 (polinˆmios de Jacobi). a o Uma simula¸˜o de Monte–Carlo na mesma equa¸˜o diferencial que ca ca considera k ∼ Gama(k; 0) (distribui¸˜o exponencial) apresenta os ca seguintes resultados: N 102 103 104 105 4.0 × 10−2 1.1 × 10−2 5.1 × 10−3 6.5 × 10−4 Tabela: Convergˆncia do erro no valor esperado para a simula¸˜o de Monte–Carlo. e ca
  • 27. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Oscilador com excita¸˜es aleat´rias co o Considere o sistema de equa¸˜es diferenciais co dx(t) = y(t) dt dy(t) dt + cy(t) + kx(t) = f (t) Assume-se que c ≡ c(ω) = c + σc ξ1 (ω) ¯ ¯ k ≡ k(ω) = k + σk ξ2 (ω) ¯ f (t) ≡ f (t, ω) = (f + σf ξ3 (ω)) cos(wt) As vari´veis aleat´rias s˜o Gaussianas com m´dia 0 e variˆncia a o a e a 1 e s˜o independentes a Tem-se portanto que x(t) ≡ x(t, ω) y(t) ≡ y(t, ω)
  • 28. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Oscilador com excita¸˜es aleat´rias co o A ECP aplica-se ao vetor aleat´rio ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ). o A express˜o geral para os polinˆmios de Hermite ´ dada por a o e 1 T ∂n 1 T Hn (ξi1 , . . . , ξin ) = e 2 ξ ξ (−1)n e2ξ ξ ∂ξi1 . . . ∂ξin essa representa¸˜o tamb´m ´ conhecida como f´rmula de Rodriguez ca e e o Aplicando a ECP ` x(t, ω) a 3 x(t, ω) = x0 (t)H0 + x1i (t)H1 (ξi ) i=1 3 i + x2ij H2 (ξi , ξj ) i=1 j=1
  • 29. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Oscilador com excita¸˜es aleat´rias co o Como todos os termos s˜o ortogonais entre si adota-se uma nota¸˜o a ca reduzida x(t, ω) = i xi (t)Φi (ξ) = x0 (t)H0 + x1 (t)H1 (ξ1 ) + x2 (t)H1 (ξ2 ) + x3 (t)H1 (ξ3 )+ x4 (t)H2 (ξ1 , ξ1 ) + x5 (t)H2 (ξ2 , ξ2 ) + x6 (t)H2 (ξ3 , ξ3 )+ x7 (t)H2 (ξ1 , ξ2 ) + x8 (t)H2 (ξ2 , ξ3 ) + . . . esta s´rie ´ truncada em P termos. e e As vari´vais aleat´rias ξ1 , ξ2 , ξ3 , tamb´m s˜o representadas nessa a o e a base. c = i ci Φi (ξ) = c + σc H1 (ξ1 ) ¯ k = ¯ i ki Φi (ξ) = k + σk H1 (ξ2 ) ¯ c = cos(wt)( i fi Φi (ξ)) = cos(wt)(f + σf H1 (ξ3 ))
  • 30. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Oscilador com excita¸˜es aleat´rias co o Aplicando a ECP ` equa¸˜o diferencial a ca  dxi (t)  Φi = yi (t)Φi dt    i i  dyi (t)   Φi + ci yj (t)Φi Φj + ki xj (t)Φi Φj = fi (t)Φi  i dt i j i j i Aplicando o m´todo de Galerkin tem-se o sistema de equa¸˜es e co diferenciais deterministicas  dx (t)  i  dt = yi (t)   dy (t) +  i 1 (ci yj (t) + ki xj (t)) Φi Φj , Φk = fi (t)  dt Φi , Φi i j Agora ´ calcular as integrais de produto interno e rodar a maquina de e fazer salcicha.
  • 31. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Comparando o erro da ECP com a solu¸˜o esperada ca Comparando o erro entre o valor esperado da ECP (x0 (t)) com o valor esperado da solu¸˜o do sistema. ca Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado n˜o ´ exponencial. e a e
  • 32. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o O n´mero de slides ´ finito! u e Obrigado pela paciˆncia. e
  • 33. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e [Dongbiu Xiu et al] The Wiener-Askey Polynomial Chaos For Stochastic Differential Equations SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 24, no. 2, 2002 [Dongbiu Xiu et al] Stochastic Modeling of Flow-Structure Interactions using Generalized Polynomial Chaos Division of Applied Mathematics, Brown University, September, 2001 [Andrew J. Newman] Model reduction via the Karhunen-Loeve Expansion. Part I: An Expositon Institute for Systems Research and Eletrical Engineering Department, University of Maryland, April, 1996 [Carlos Kubrusly] Elements of Operator Theory
  • 34. ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Birkhauser, 2001 [Roger G. Ghanem et al] Stochastic finite elements Dover, 1991