Caos Polinomial é uma técnica que expande variáveis aleatórias em termos de polinômios ortogonais de variáveis aleatórias gaussianas. Equações diferenciais estocásticas podem ter suas soluções aproximadas por expansão em caos polinomial, onde os coeficientes determinísticos são obtidos usando o método de Galerkin.
1. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Expans˜o em caos polinomial
a
Wilson N. de Freitas
Departamento de Engenharia El´trica — PUC–Rio
e
31 de Agosto de 2007
2. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
1 Introdu¸˜o e toolbox
ca
Expans˜o em Caos Polinomial (ECP)
a
Espa¸o de Hilbert
c
Expans˜es ortogonais
o
Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D)
c co a
Polinˆmios ortogonais
o
Defini¸˜o de Caos Polinomial
ca
2 ECP em EDE
Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
co a
M´todo de Galerkin
e
3 Estudo de caso: EDO estoc´stica
a
EDO com termo aleat´rio
o
4 Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o
Oscilador aleat´rio de segunda ordem
o
5 Referˆncias
e
3. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Expans˜o em Caos Polinomial (ECP)
a
Caos Polinomial
Proposo por Norbert Wiener em 1938
Emprega polinˆmios de Hermite em termos de vari´veis
o a
aleat´rias Gaussianas para descrever vari´veis aleat´rias.
o a o
E como ´ que isso acontece?
e
4. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Espa¸o de Hilbert
c
Espa¸o de Hilbert H
c
´ um espa¸o vetorial sobre um corpo F (que pode ser R ou C)
e c
possui produto interno ·, ·
´ completo como espa¸o m´trico, com rela¸˜o ` m´trica (d(·, ·))
e c e ca a e
gerada pela norma ( · ) induzida pelo produto interno
v = v, v , onde v ∈ H
e
d(u, v) = u − v , onde u, v ∈ H
Espa¸os de Hilbert populares
c
(Rn ; ·, · )
(C n ; ·, · )
(L2 (D); ·, · )
5. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Expans˜es ortogonais
o
Definition
Um conjunto de vetores Φ ∈ H ´ um conjunto ortonormal se qualquer
e
par de vetores distintos φi , φj ∈ Φ s˜o ortogonais, isto ´, φi , φj = 0
a e
sempre que i = j e adicionalmente, φi = 1 para cada φi ∈ Φ
Theorem
Teorema das s´ries de Fourier: Seja Φ = {φn }n∈N um conjunto
e
ortonormal cont´vel em um espa¸o de Hilbert H, ent˜o, Φ ´ uma base
a c a e
ortonormal de H. Cada y ∈ H tem uma unica expans˜o em Φ
´ a
y= y, φn φn
n∈N
6. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D)
c co a
L2 (D)
L2 (D) ´ o espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis em um
e c co a
dom´ D
ınio
f ∈ L2 (D) se |f (x)|2 dx < ∞
D
O produto interno em L2 (D) ´
e
f, g = f (x)g(x)dx
D
Vari´veis aleat´rias com variˆncia finita tamb´m pertencem ` L2 (D)
a o a e a
E |X|2 = |x|2 dP (x) = |x|2 f (x)dx < ∞
D D
Nesse caso o produto interno ´
e
X, Y = E XY = xydP (x, y) = xyf (x, y)dxdy
D D
7. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Polinˆmios ortogonais
o
Polinˆmios ortogonais
o
Seja {Qn (x)}∞ um conjunto de polinˆmios e n ´ o grau do polinˆmio
n=0 o e o
Quando os polinˆmios s˜o fun¸˜es de uma vari´vel aleat´ria X temos a
o a co a o
seguinte rela¸˜o
ca
E Qn (X)Qm (X) = Qn (x)Qm (x)dP (x)
D
= Qn (x)Qm (x)f (x)dx
D
= hn δnm
Vari´veis aleat´rias
a o Polinˆmios
o Dom´
ınio
Gaussiana Hermite (−∞, ∞)
Gama Laguerre [0, ∞)
Beta Jacobi [a, b]
Uniform Legendre [a, b]
Poisson Charlier {0, 1, . . . }
Binomial Krawtchouk {0, 1, . . . , N }
8. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Polinˆmios ortogonais
o
Polinˆmios ortogonais
o
Polinˆmios de Hermite Hn (x)
o
2 n 2
Defini¸˜o
ca e−x Hn (x) = (−1)n dxn e−x
d
∞ −x2
Ortogonalidade √1
−∞ e Hm (x)Hn (x)dx = 2n n!δmn
π
(α)
Polinˆmios de Laguerre Ln (x)
o
Defini¸˜o
ca e−x xα Ln
(α) 1 dn
(x) = n! dxn e−x xn+α , α > −1
∞ −x α (α) (α) Γ(n+α+1)
Ortogonalidade 0 e x Lm (x)Ln (x)dx = n!
δmn
Polinˆmios de Charlier Cn (x; a)
o
Defini¸˜o
ca ax C (x; a) = n ax
,a>0
x! n x!
Ortogonalidade ∞ ax C (x; a)C (x; a) = a−n ea n!δmn
x=0 x! m n
9. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Defini¸˜o de Caos Polinomial
ca
Defini¸˜o de Caos Polinomial
ca
Considere Θ o conjunto de todas as vari´veis aleat´rias com variˆncia
a o a
finita relacionadas ao espa¸o amostral Ω. Se ξ ∈ Θ ent˜o ξ : Ω → R.
c a
Para cada ξ ∈ Θ ent˜o
a D
|ξ|2 dP (ξ) < ∞ e portanto Θ ´ um espa¸o de
e c
Hilbert.
Seja {Φp }∞ um conjunto de polinˆmios ortogonais em Θ, logo,
p=0 o
Φp : Θ → Θ.
Pelo teorema de s´ries de Fourier pode-se expandir qualquer elemento de
e
Θ em {Φp }∞p=0
∞
X(ω) = xi Φi (ξ(ω))
i=0
O conjunto {Φp }∞ ´ o Caos Polinomial
p=0 e
10. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Defini¸˜o de Caos Polinomial
ca
O que foi visto at´ agora?
e
Defini¸˜o de espa¸os de Hilbert
ca c
Teorema de s´ries de Fourier
e
L2 (D)
Polinˆmios ortogonais
o
E o que fazer com tudo isso ?
11. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
co a
Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
co a
Considere a equa¸˜o diferencial estoc´stica:
ca a
Λu = f
Λ ≡ Λ(x, t, ω) ´ um operador diferencial estoc´stico com
e a
derivadas em t e x e com um termo aleat´rio ω
o
u ≡ u(x, t; ω) ´ a fun¸˜o inc´gnita
e ca o
x e t s˜o as vari´veis independentes
a a
f ≡ f (x, t; ω) ´ o termo de excita¸˜o, aleat´ria ou n˜o
e ca o a
12. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
co a
Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
co a
A solu¸˜o u pode ser expandida em caos polinomial
ca
∞
u(x, t; ω) = ui (x, t)Φi (ξ(ω))
i=0
Para obter uma aproxima¸˜o anal´
ca ıtica da solu¸˜o ´ necess´rio truncar a
ca e a
s´rie em um n´mero P finito de termos.
e u
P
u(x, t; ω) = ui (x, t)Φi (ξ(ω))
i=0
O truncamento introduz um erro de aproxima¸˜o na solu¸˜o u.
ca ca
Considere o erro r(x, t) de aproxima¸˜o como
ca
r(x, t) = Λu − f
quando u ´ representado pela s´rie truncada.
e e
13. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
M´todo de Galerkin
e
M´todo de Galerkin
e
Exigindo que o erro r seja ortogonal ao subespa¸o gerado pelo
c
conjunto {Φi }P temos que:
i=0
r(x, t), Φi = 0
onde i = 0, 1, . . . , P
Com isso
Λu − f, Φi = 0
Λu, Φi = f, Φi
Λ( j uj Φj ), Φi = f, Φi
j Λuj Φj , Φi = f, Φi
Λui = f, Φi
temos um conjunto de P equa¸˜es diferenciais deterministicas.
co
Esta abordagem ´ conhecida como m´todo de Galerkin.
e e
14. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
EDO com termo aleat´rio
o
Consideremos a seguinte equa¸˜o diferencial ordin´ria com termo
ca a
aleat´rio
o
dy(t)
= −ky(t)
dt
k ≡ k(ω) = k(ξ(ω)) ´ uma vari´vel aleat´ria com fun¸˜o de
e a o ca
probabilidade f (k)
A solu¸˜o y(t) pode ser redefinida como y(t, ω) = y(t, ξ(ω)) e
ca
portanto pode ser aplicada a ECP.
P
y(t, ω) = yi (t)Φi (ξ(ω))
i=0
A vari´vel aleat´ria k(ω) pode ser escrita na mesma base de y(t, ω)
a o
P
k(ω) = ki Φi (ξ(ω))
i=0
15. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Aplicando a ECP
Substituindo as expans˜es na equa¸˜o diferencial temos:
o ca
P P P
dy(t)
Φi = − Φi Φj ki yj (t)
i=0
dt i=0 j=0
Aplicando o m´todo de Galerkin ` equa¸˜o acima temos:
e a ca
P P
dyl (t)
Φl , Φl = − Φi Φj , Φl ki yj (t)
dt i=0 j=0
onde l = 0, 1, . . . , P .
Este sistema de equa¸˜es diferenciais deterministicas pode ser
co
resolvido com m´todos num´rios convencionais, como exemplo:
e e
m´todo de Euler ou Runge-Kutta de segunda ou quarta ordem.
e
Ainda faltam as condi¸˜es iniciais.
co
16. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Valor esperado da solu¸˜o
ca
Tomando o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω) na ECP
ca
P
E y(t, ω) = yi (t)E Φi (ξ(ω))
i=0
O valor esperado est´ intimamente ligada ao produto interno na
a
base {Φi }∞ , logo:
i=0
E Φi (ξ(ω)) = Φi (ξ(ω)), Φ0 (ξ(ω)) = 0
para todo i > 0, pois Φ0 = 1 para a maioria dos casos.
O valor esperado de uma ECP sempre recai sobre o seu primeiro
termo.
E y(t, ω) = y0 (t)
17. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Condi¸˜es de contorno
co
As condi¸˜es de contorno recaem sobre o primeiro termo da ECP,
co
como foi visto no m´todo de Galerkin.
e
E y(0, ω) = y0 (0) = y0 = constante
De posse das condi¸˜es iniciais ´ poss´ resolver o sistema de
co e ıvel
equa¸˜es diferenciais
co
P P
dyl (t)
Φl , Φl = − Φi Φj , Φl ki yj (t)
dt i=0 j=0
para l = 0, 1, . . . , P .
O objetivo ´ encontrar a y0 (t) numericamente, pois este termo
e
representa o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω).
ca
18. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Resolvendo a EDO sem a ECP
A condi¸˜o inicial
ca
y(0, ω) = y0
constante em qualquer cen´rio. Tamb´m poderia ser uma vari´vel
a e a
aleat´ria, contanto que fosse ortogonal ` k para n˜o complicar nas contas.
o a a
O valor esperado da solu¸˜o estoc´stica ´ dado por:
ca a e
E y(t, ω) = y0 e−kt f (k)dk
D
De posse desta solu¸˜o anal´
ca ıtica pode-se comparar com a ECP.
Considerando o seguinte erro
yECP (t) − y(t)
(t) =
y(t)
onde y(t) ´ o valor esperado da solu¸˜o estoc´stica e
e ca a
yECP (t) = y0 (t), que ´ o valor esperado da ECP.
e
Nas simula¸˜es foi considerado y0 (0) = 1 e o erro foi calculado em t = 1.
co
19. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Muito bl´ bl´ bl´ . . . Mas como isso funciona na pr´tica
a a a a
Na pr´tica tem-se a equa¸˜o diferencial
a ca
dy(t)
= −ky(t)
dt
A natureza estoc´stica da vari´vel k ≡ k(ω) ´ conhecida. Por exemplo, k
a a e
2
´ uma vari´vel aleat´ria Gaussiana com m´dia µk e variˆncia σk .
e a o e a
Escolhe-se o conjunto de polinˆmios {Φi }∞ da ECP.
o i=0
O resto ´ conta!
e
´
E importante
Escolher o conjunto de polinˆmios que esteja relacionado com as vari´veis
o a
aleat´rias do problema.
o
Escolher adequadamente os polinˆmios:
o
facilita o c´lculo dos produtos internos e dos coeficientes;
a
garante convergˆncia exponencial da solu¸˜o (veja nos
e ca
pr´ximos slides);
o
20. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Como encontrar os coeficientes da expans˜o
a
Os coeficientes da expans˜o veem do teorema de s´ries de Fourier, s´ que
a e o
na s´rie truncada.
e
P
k(ω), Φi (ξ(ω))
k(ω) = Φi (ξ(ω))
i=0
Φi , Φi
Encontrar k(ω), Φi (ξ(ω)) depende da vari´vel aleat´ria representada
a o
por k. Na pr´tica, esse produto interno ´ uma integral.
a e
k(ω), Φi (ξ(ω)) = kΦi (ξ)dP (ξ)
D
Formas de resolver essa integral:
na ra¸a
c
m´todos num´ricos (quadraturas)
e e
Monte–Carlo
21. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Exemplo de como encontrar os coeficientes da expans˜o
a
Considere k uma vari´vel aleat´ria exponencial, logo, f (k) = e−k para
a o
k > 0.
A inversa da sua fun¸˜o distribui¸˜o F (k) ´
ca ca e
k = h(u) ≡ F −1 (u) = − ln(1 − u)
onde u ∼ U (0, 1)
Usando ξ ∼ Gaussiana(0, 1) tem-se que a sua inversa ´:
e
ξ = l(u) ≡ G−1 (u)
Substituindo na integral do produto interno
1
k(ω), Φi (ξ(ω)) = h(u)Φi (l(u))du
0
E agora ´ m˜os a obra!
e a
22. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Distribui¸˜o Gaussiana e polinˆmios de Hermite
ca o
k ∼ Gaussiana(k; 0, 1)
Φi s˜o polinˆmios de Hermite.
a o
Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado.
e
23. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Distribui¸˜o Gama e polinˆmios de Laguerre
ca o
k ∼ Gama(k; α)
Φi s˜o polinˆmios de Laguerre.
a o
Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. α = 0 distribui¸˜o exponencial (quadrados), α = 1
e ca
(triˆngulos).
a
24. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Distribui¸˜o Poisson e polinˆmios de Charlier
ca o
k ∼ Poisson(k; λ)
Φi s˜o polinˆmios de Charlier.
a o
Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. λ = 1 (quadrados), λ = 2 (triˆngulos).
e a
25. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Distribui¸˜o Gama e polinˆmios de Hermite
ca o
k ∼ Exponencial(k; 1)
Φi s˜o polinˆmios de Hermite e de Laguerre.
a o
Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado n˜o ´ exponencial. Polinˆmios de Hermite (quadrados),
e a e o
polinˆmios de Laguerre α = 0 (triˆngulos).
o a
26. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
EDO com termo aleat´rio
o
Compara¸˜o com m´todo de Monte–Carlo
ca e
Com a ECP observa-se que o erro ´ da ordem de 10−3 com valores
e
de P = 2.
Para P = 4 obtem-se erros da ordem de 10−4 (polinˆmios de
o
Hermite) ` 10−9 (polinˆmios de Jacobi).
a o
Uma simula¸˜o de Monte–Carlo na mesma equa¸˜o diferencial que
ca ca
considera k ∼ Gama(k; 0) (distribui¸˜o exponencial) apresenta os
ca
seguintes resultados:
N 102 103 104 105
4.0 × 10−2 1.1 × 10−2 5.1 × 10−3 6.5 × 10−4
Tabela: Convergˆncia do erro no valor esperado para a simula¸˜o de Monte–Carlo.
e ca
27. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Oscilador aleat´rio de segunda ordem
o
Oscilador com excita¸˜es aleat´rias
co o
Considere o sistema de equa¸˜es diferenciais
co
dx(t)
= y(t)
dt
dy(t)
dt + cy(t) + kx(t) = f (t)
Assume-se que
c ≡ c(ω) = c + σc ξ1 (ω)
¯
¯
k ≡ k(ω) = k + σk ξ2 (ω)
¯
f (t) ≡ f (t, ω) = (f + σf ξ3 (ω)) cos(wt)
As vari´veis aleat´rias s˜o Gaussianas com m´dia 0 e variˆncia
a o a e a
1 e s˜o independentes
a
Tem-se portanto que
x(t) ≡ x(t, ω)
y(t) ≡ y(t, ω)
28. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Oscilador aleat´rio de segunda ordem
o
Oscilador com excita¸˜es aleat´rias
co o
A ECP aplica-se ao vetor aleat´rio ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ).
o
A express˜o geral para os polinˆmios de Hermite ´ dada por
a o e
1 T ∂n 1 T
Hn (ξi1 , . . . , ξin ) = e 2 ξ ξ
(−1)n e2ξ ξ
∂ξi1 . . . ∂ξin
essa representa¸˜o tamb´m ´ conhecida como f´rmula de Rodriguez
ca e e o
Aplicando a ECP ` x(t, ω)
a
3
x(t, ω) = x0 (t)H0 + x1i (t)H1 (ξi )
i=1
3 i
+ x2ij H2 (ξi , ξj )
i=1 j=1
29. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Oscilador aleat´rio de segunda ordem
o
Oscilador com excita¸˜es aleat´rias
co o
Como todos os termos s˜o ortogonais entre si adota-se uma nota¸˜o
a ca
reduzida
x(t, ω) = i xi (t)Φi (ξ)
= x0 (t)H0 + x1 (t)H1 (ξ1 ) + x2 (t)H1 (ξ2 ) + x3 (t)H1 (ξ3 )+
x4 (t)H2 (ξ1 , ξ1 ) + x5 (t)H2 (ξ2 , ξ2 ) + x6 (t)H2 (ξ3 , ξ3 )+
x7 (t)H2 (ξ1 , ξ2 ) + x8 (t)H2 (ξ2 , ξ3 ) + . . .
esta s´rie ´ truncada em P termos.
e e
As vari´vais aleat´rias ξ1 , ξ2 , ξ3 , tamb´m s˜o representadas nessa
a o e a
base.
c = i ci Φi (ξ) = c + σc H1 (ξ1 )
¯
k = ¯
i ki Φi (ξ) = k + σk H1 (ξ2 )
¯
c = cos(wt)( i fi Φi (ξ)) = cos(wt)(f + σf H1 (ξ3 ))
30. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Oscilador aleat´rio de segunda ordem
o
Oscilador com excita¸˜es aleat´rias
co o
Aplicando a ECP ` equa¸˜o diferencial
a ca
dxi (t)
Φi = yi (t)Φi
dt
i i
dyi (t)
Φi + ci yj (t)Φi Φj + ki xj (t)Φi Φj = fi (t)Φi
i
dt i j i j i
Aplicando o m´todo de Galerkin tem-se o sistema de equa¸˜es
e co
diferenciais deterministicas
dx (t)
i
dt = yi (t)
dy (t) +
i
1
(ci yj (t) + ki xj (t)) Φi Φj , Φk = fi (t)
dt Φi , Φi i j
Agora ´ calcular as integrais de produto interno e rodar a maquina de
e
fazer salcicha.
31. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Oscilador aleat´rio de segunda ordem
o
Comparando o erro da ECP com a solu¸˜o esperada
ca
Comparando o erro entre o valor esperado da ECP (x0 (t)) com o valor
esperado da solu¸˜o do sistema.
ca
Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado n˜o ´ exponencial.
e a e
32. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Oscilador aleat´rio de segunda ordem
o
O n´mero de slides ´ finito!
u e
Obrigado pela paciˆncia.
e
33. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
[Dongbiu Xiu et al]
The Wiener-Askey Polynomial Chaos For Stochastic
Differential Equations
SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 24, no. 2, 2002
[Dongbiu Xiu et al]
Stochastic Modeling of Flow-Structure Interactions using
Generalized Polynomial Chaos
Division of Applied Mathematics, Brown University,
September, 2001
[Andrew J. Newman]
Model reduction via the Karhunen-Loeve Expansion. Part I: An
Expositon
Institute for Systems Research and Eletrical Engineering
Department, University of Maryland, April, 1996
[Carlos Kubrusly]
Elements of Operator Theory
34. ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e
Birkhauser, 2001
[Roger G. Ghanem et al]
Stochastic finite elements
Dover, 1991