Bonaventura Cavalieri (1598-1647) foi um matemático italiano que: introduziu os logaritmos na Europa, desenvolveu a teoria dos indivisíveis que antecipou o cálculo integral, e estabeleceu o princípio de Cavalieri para cálculo de volumes.

2.  Nasceu em Milão em 1598.
 Aos 15 anos foi aluno do Galileu.
 Membro de ordem religiosa dos jesuados.
 Viveu em Milão e Roma.
 Professor de matemática da universidade de Bolonha de
1629 até 1647.
 Morreu em 1647 aos 49 anos.

3.  Em 1621, tornou-se assistente do Cardeal Federico
Borromeo no monastério de Milão. Depois de ensinar
teologia, tornou-se prior de São Pedro, em Lodi (1623).
Após três anos em Lodi, foi para o monastério de
Parma, sendo nomeado para cadeira de matemática
em Bologna (1629), quando já estava desenvolvendo a
famosa teoria dos indivisíveis, que apresentou na sua
obra Geometria indivisibilis continuorum nova (1635).

4.  Deixou obra vasta abrangendo astronomia, óptica ,
geometria e trigonometria.
 Introdução dos logaritmos na Europa(matemático
influente).
 Em 1632 publicou Directorium universale uranometricum
contendo tabelas de seno, secantes e senos versos junto
com os logaritmos até oito casas.
 Tratado de geometria indivisibilibus publicada em 1635 (
apresenta seu método dos indivisíveis contendo o que hoje
é conhecido como principio de cavalieri).
 Exercitationes geometricae sex publicada em1647 na qual
apresentou de maneira mais clara sua teoria.

5. Foi o primeiro matemático italiano que
apreciou em todo seu valor os logarítimos.
 Também figurou entre os primeiros que
ensinaram a teoria copérnica dos planetas.
Outros trabalhos seus dignos de renome
são o desenvolvimento dado a trigonometria
esférica, assim como o descobrimento das
fórmulas relativas aos focos dos espelhos e
das lentes.

6. Manteve contato com muitos matemáticos
da época, como Galileu, Mersènne,
Renieri, Rocca, Torricelli e Viviani. Seu
último livro foi Trattato della ruota
planetaria perpetua (1646). Faleceu em
Bologna no ano de 1647.

8.  È um dos pilares que hoje conhecemos como calculo
integral ajudando a definir a noção de integral.
 Serve para calculo de áreas e volumes.
 Podem resolver muitos problemas de mensuração que
normalmente requerem técnicas avançadas de cálculo.

9. Se dois sólidos têm alturas iguais, e se
secções feitas por planos paralelos ás
bases e a distâncias iguais dessas estão
sempre numa dada razão, então os
volumes dos sólidos estão também nessa
razão.

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O Princípio de Cavalieri e o Volume da esfera
No século XVII o matemático Italiano Bonaventura Cavalieri estabelece um
princípio básico para o cálculo de volumes, que diz que dois sólidos que
tiverem a mesma altura e, sempre que seccionados por um mesmo plano
gerarem áreas iguais, terão o mesmo volume.
Se A1 = A2 então
V1 = V2
Usaremos o Princípio de Cavalieri no cálculo do volume de
uma esfera.

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Ao seccionarmos uma esfera por um plano qualquer, à uma distância d do
seu centro, iremos sempre obter um círculo.
x2
+ d2
= r2
x é o raio do círculo.
d é a distância do centro da esfera ao centro do círculo.
r é o raio da esfera.

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Vamos considerar uma esfera de raio r apoiada sobre um plano . Ainda
sobre esse plano, tomemos um cilindro eqüilátero de raio r e altura 2r.
Desse cilindro retira-se dois cones com raio r e centro no ponto médio da
altura do cilindro. Observe a figura abaixo:
Se mostrarmos que as seções obtidas na esfera e no sólido que restou
com a retirada dos cones têm a mesma área, pelo Principio de Cavalieri,
poderemos obter o volume da esfera através do cálculo do volume do
sólido formado.

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Verifiquemos que esses dois sólidos, quando “cortados” à uma
distância h, de seus centros, geram áreas iguais.
Sólido da esquerda – área da coroa =  r2
-  h2
= .(r2
– h2
)
Sóli
do da direita – área do círculo =  x2
, mas como x2
= r2
– h2
, teremos
Área do círculo = .(r2
– h2
)
x

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Logo, de acordo com Cavalieri, esses sólidos terão o mesmo volume, o
que garante que o volume da esfera é igual ao volume do sólido que
sobrou ao retiramos os dois cones, do cilindro.
Se calcularmos o volume desse sólido, teremos o volume da esfera.
Esse volume será igual ao volume do cilindro eqüilátero, de raio r, menos
duas vezes o volume do cone, de raio r e altura r, vejamos:
3
πr4
3
πr2
πr2V
3
rπr
2.(2r)πrV
33
3
x
2
2
x


CONCLUSÃO:
O Volume de uma esfera de raio
r é dado pela fórmula: 3
r4π
V
3


16.  Calculo de Volumem de Esfera. Disponível em: http://212.170.234.89/educared/PDF/volumen_esfera.doc
acesso em:11/11/2010.
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