Apostila Elementos Matemática Aplicada, Solução de Equações Diferenciais Parciais, Solução da Equação da advecção, difusão e onda.

1. Elementos de Matemática Aplicada
Wagner Queiroz Barros
Engenheiro de Petróleo
2013

2. Esse documento foi compilado pelo Engenheiro de Petróleo Wagner Queiroz
Barros a partir de notas de aula do Professor Viatcheslav Ivanovich Priimenko,
da Universidade Estadual do Norte Fluminense - Dacy Ribeiro, Laboratório de
Engenharia e Exploração de Petróleo – LENEP.
Quaisquer dúvidas ou sugestões favor enviar um e-mail para:
Wagnerqb@gmail.com.
1

3. Sumário
1 – Conceitos Básicos de EDP’s ........................................................................ 4
1.1 – Definição de EDP .................................................................................. 4
1.2 – Classificação de EDP’s .......................................................................... 4
1.3 – Solução clássica de EDP’s .................................................................... 7
2 – A Equação da Onda ................................................................................... 10
2.1 – Introdução ao estudo das ondas .......................................................... 10
2.2 – Vibração em uma corda, dedução da equação da onda...................... 10
2.3 – Solução da equação da onda (Solução de D’Alembert) ...................... 14
3 – Leis de Conservação “Equações de 1ª Ordem não lineares” ..................... 21
3.1 – Derivação das leis de conservação ..................................................... 21
3.2 – Solução de equações conservativas “Método das Características ...... 24
4 – Catástrofe de Gradiente ............................................................................. 32
4.1 – Catástrofe de gradiente ....................................................................... 32
4.2 – Soluções do tipo ondas de choque ...................................................... 40
5 – Ondas de Rarefação .................................................................................. 52
5.1 – Áreas de rarefação .............................................................................. 52
5.2 – Solução geral de equações homogêneas com áreas de rarefação ..... 57
6 – Condição de Entropia ................................................................................. 62
6.1 – Não unicidade de soluções suaves por partes .................................... 62
6.2 – Condição de entropia ........................................................................... 63
7 – Propagação de Ondas em Meios Infinitos .................................................. 71
7.1 – Equação de D’Alembert ....................................................................... 71
7.2 – Curvas características da equação da onda ........................................ 74
7.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características ..... 76
7.4 – Conservação de energia na equação da onda .................................... 83
8 – Propagação de Ondas em Meios Semi-Infinitos ........................................ 85
8.1 – Meios semi-infinitos, condição de Dirichlet .......................................... 85
8.2 – Meios semi-infinitos, condição de Neumann........................................ 89
2

4. 8.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características para
um meio semi-infinito .................................................................................... 94
9 – Propagação de Ondas em Meios Finitos.................................................... 99
9.1 – Meio finito com limites fixos: ................................................................ 99
9.2 – Meio finito com termo fonte “Função de Green”: ............................... 109
9.3 – Meio finito com limites variáveis: ....................................................... 116
10 – Problemas de Propagação de Ondas em Meios Finitos ........................ 120
10.1 – Problema do martelo chato batendo em uma corda: ....................... 120
10.2 – Problema do martelo pontiagudo batendo em uma corda: .............. 122
10.3 – Problema da corda ressonante: ....................................................... 124
10.4 – Problema da corda com extremidades livre: .................................... 129
11 – Equação de Conservação de Calor ........................................................ 135
11.1 – Condução de calor em uma barra de comprimento finito: ............... 135
11.2 – Solução da equação do calor sem termo fonte: ............................... 137
11.3 – Solução da equação de calor considerando o termo fonte: ............. 139
11.4 – Solução final da equação de calor: .................................................. 142
Referências Bibliográficas .............................................................................. 146
Apêndice 1: Derivadas parciais e regra da cadeia para funções dependentes de
várias variáveis ............................................................................................... 147
A1.1 – Derivadas parciais ........................................................................... 147
A1.2 – Regra da cadeia para funções de várias variáveis .......................... 148
Apêndice 2: Solução alternativa da equação da onda ................................... 152
Apêndice 3: Ortogonalidade de Funções ....................................................... 154
A3.1 – Ortogonalidade de funções do tipo seno: ........................................ 154
A3.2 – Ortogonalidade de funções do tipo cosseno: .................................. 156
3

5. 1 – Conceitos Básicos de EDP’s
1.1 – Definição de EDP
Uma equação diferencial parcial é uma equação que contém derivadas
parciais, sendo as funções desconhecidas dependentes de mais de uma
variável. Por exemplo, a temperatura em uma placa que depende da posição e
do tempo.
Para efeitos de simplificação, a seguinte notação é utilizada:
u
ut 
t
u
ux 
x
 2u
u xy 
xy
...
Pode-se definir uma EDP utilizando a seguinte notação clássica:
Considerando-se a seguinte função:
u  u( x, y) , ( x, y)  D  R 2 “(x,y) pertencentes ao domínio D, contido no R²”
então, uma função do tipo:
F ( x, y, u, u x , u y , u xx , u xy , u yy ,...)  0 , ( x, y)  D
(Eq. 1.1)
é chamada Equação Diferencial Parcial (EDP). Segue alguns exemplos de
EDP’s famosas:
1. utt  C( x, y ) (u xx u yy )  F x, y ,t 
2. ut  u x  F x,t 
“Equação da onda”
“Equação de Burgers”
1.2 – Classificação de EDP’s
Existem seis classificações básicas de EDP’s:
i.
Quanto à ordem da EDP:
A ordem da EDP é a ordem da derivada parcial mais alta presente na equação.
Exemplos:
ut  u xx
(2ª Ordem)
ut  u x
ut  u.u xxx  senx
(1ª Ordem)
(3ª Ordem)
4

6. ii.
Quanto ao número de variáveis:
Essa classificação leva em conta o número de variáveis independentes na
equação.
Exemplos:
ut  u xx
1
1
ut  u rr  u r  2 u
r
r
iii.
(Dependente de 2 variáveis, (x,t))
(Dependente de 3 variáveis, (r,t,θ))
Quanto à linearidade:
As equações diferenciais parciais podem ser classificadas em lineares e nãolineares. Existem duas formas de se definir se uma EDP é linear:
1ª Forma: Uma EDP é dita linear se a variável dependente e todas suas
derivadas parciais puderem ser escritas em uma forma linear do tipo:
Auxx  Buxy  Cu yy  Du x  Eu y  Fu  G
(Eq. 1.2)
onde A, B, C, D, E, F, e G podem ser constantes ou funções das variáveis
independentes (x,y).
Exemplos:
utt  e t .u xx  sen (t )
u.u xx  ut  0
u xx  y.u yy  0
(linear)
(não linear)
(linear)
2ª Forma: A equação diferencial parcial é chamada de linear, se ela é linear
com respeito da função u e todas as suas derivadas. Assim as soluções da
EDP podem ser obtidas a partir de uma combinação linear de outras soluções.
Exemplo 1.1:
utt  c( x )u xx  0 (linear)
Demonstração:
u  1u1   2u2 “Uma solução a partir de uma combinação linear de outras 2”
5

7. 1u1   2u2 tt  C( x) 1u1   2u2 xx  0
1 u1tt  c( x)u1 xx    2 u2 tt  c( x)u2 xx   0
Exemplo 1.2:
ut  u.u x  0 (não linear)
Demonstração:
u  1u1   2u2 “Uma solução a partir de uma combinação linear de outras 2”
1u1   2u2 t  1u1   2u2 1u1   2u2 x  0
.
Desenvolvendo e agrupando:
2
1u1t  12u1.u1x   2u2 t   2 u2 .u2 x  1 2u1u2 x  1 2u2u1 x  0
O aparecimento de termos cruzados torna impossível a escrita da solução
linear como combinação linear de outras duas, assim a equação é não linear.
iv.
Quanto à homogeneidade:
Uma EDP é dita homogênea quando o termo independente G x , y  da Equação
1.2 for igual à zero para todo
( x, y) . Quando o termo G x, y  for diferente de
zero, a EDP é dita não homogênea.
v.
Quanto aos tipos de coeficientes:
Se o coeficientes A, B, C, D, E e F da Equação 1.2 forem constantes, a EDP é
dita como tendo coeficientes constantes. Caso contrário ela é dita como tendo
coeficientes variáveis.
vi.
Três tipos básicos de equações lineares:
Todas as EDP’s do tipo da Equação 1.2 podem ser classificadas em
basicamente 3 tipos:
a) Parabólicas: Descrevem problemas de trocas de calor e problemas de
difusão, e satisfazem a seguinte propriedade B  4 AC  0 .
b) Hiperbólicas: Descrevem problemas de ondas e vibrações, e satisfazem
2
a seguinte propriedade B  4 AC  0 .
2
6

8. c) Elípticas: Descrevem problemas estacionários, e satisfazem a seguinte
propriedade B  4 AC  0 .
2
Exemplos:
ut  u xx
(A=1, B=C=0, B  4 AC  0 ) Parabólica
utt  u xx
(A=1, B=0, C=-1, B  4 AC  4 ) Hiperbólica
2
2
u yy  u xx  0 (A=1, B=0, C=1, B 2  4 AC  4 ) Elíptica
1.3 – Solução clássica de EDP’s
Considere uma equação diferencial parcial de ordem m:


F x, y, u, u x , u y ,...,D m u  0 ,
(Eq. 1.3)
( x, y)    R 2 “Para todos os pontos pertencentes a um espaço ômega,
contido no plano cartesiano.”
Onde, define-se o operador derivada parcial:
 ( m1 m 2) u
D u  m1 m 2 , m  m1  m2
x y
m
Uma função u ( x, y ) é dita solução clássica (ou solução suave) da Equação 1.3
se:
i.
u( x, y)  C m () “Função u ( x, y) possuir derivadas de ordem m
contínuas no subespaço ômega”
ii.


F x, y, u, u x , u y ,...,D m u  0 , ( x, y)  
Exemplo 1.3:
Considere a seguinte equação da Advecção:
ut  cu x  0

c  consta.nte
(Eq. 1.4)
7

9. Provar que a função u  f ( x  ct ),
f  C 1 ( R) é solução da equação da
Advecção.
Demonstração:
Calcular as derivadas parciais da função u:
u
 u x  f ' ( x  ct )
x
u
 ut  f ' ( x  ct ).(c)
t
Substituindo na Equação 1.4:
ut  Cu x  0
 c. f ' ( x  ct )  c.( f ' ( x  ct ))  0
Assim, como a igualdade permanece verdadeira, a função u  f ( x  ct ) é
considerada solução clássica (ou suave) da Equação 1.4. Essa solução será
demonstrada com detalhes no Tópico 3.2.
As soluções do tipo u  f ( x  ct ) são chamadas de solução do tipo onda
viajante para a direita, pois para valores crescentes de ( x, t ) o perfil da solução
é deslocado para a direita, como pode ser visto na Figura 1.1.
Figura 1.1: Solução do tipo onda viajante para a direita
8

10. Exemplo 1.4:
Considere a seguinte equação da onda:
utt  c 2u xx  0

c  constante
(Eq. 1.5)
Provar que a solução da Equação 1.5 é uma combinação linear das soluções
tipo ondas viajante para esquerda e ondas viajante para direita, ou seja, uma
combinação linear de:
f ( x  ct )
“Onda viajante para direita”
g ( x  ct )
“Onda viajante para esquerda”
Demonstração:
Escrevendo a função u ( x, t ) como combinação linear das funções f ( x, t ) e
g ( x, t ) :
u( x, t )  C1 f ( x  ct )  C2 g ( x  ct )
Calculando as derivadas parciais:
u x  C1 f ' ( x  ct )  C2 g ' ( x  ct )
u xx  C1 f ' ' ( x  ct )  C2 g ' ' ( x  ct )
ut  C1 f ' ( x  ct )(c)  C2 g ' ( x  ct )(c)
utt  C1 f ' ' ( x  ct )(c) 2  C2 g ' ' ( x  ct )(c) 2
Substituindo as derivadas de segunda ordem na Equação 1.5:
utt  c 2u xx  0
c 2C1 f ' ' ( x  ct )  c 2C2 g ' ' ( x  ct )  c 2 C1 f ' ' ( x  ct )  C2 g ' ' ( x  ct )  0
Como a igualdade permaneceu verdadeira, podemos concluir que a
combinação linear das funções f ( x, t ) e g ( x, t ) é solução clássica da
Equação 1.5.
9

11. 2 – A Equação da Onda
2.1 – Introdução ao estudo das ondas
A noção de onda é algo familiar para as pessoas de uma forma ou de outra,
uma noção intuitiva de onda é uma perturbação que se propaga por um meio.
Uma descrição física de uma onda é um transporte de energia de um ponto ao
outro sem que haja transporte de matéria. Segundo Whitham (1976) “uma onda
é um sinal reconhecível que é transferido de uma parte de um meio para outra
parte com uma velocidade de propagação reconhecida”. A Figura 2.1 mostra o
exemplo de pedras batendo em um lago gerando ondas na superfície.
Figura 2.1: Ondas na superfície de um lago geradas por pequenos impactos.
2.2 – Vibração em uma corda, dedução da equação da onda
A equação da onda (Equação 2.1) é uma equação diferencial parcial que
descreve o fenômeno ondulatório em vários ramos da física.
utt  c 2u xx
(Eq. 2.1)
Nesse tópico será demonstrada a Equação 2.1 que modela pequenas
vibrações em uma corda totalmente esticada.
Considere uma corda totalmente esticada, homogênea, que possui peso,
porém não é afetada pela gravidade (vibração em uma mesa horizontal, por
exemplo), localizada no eixo x, como mostrada na Figura 2.2.
10

12. Figura 2.2: Representação de uma onda unidimensional trafegando em uma
corda totalmente esticada
Para uma total derivação da equação da onda, serão utilizadas as seguintes
considerações:


Corda uniforme: A corda possui uma densidade linear

Tensão constante: Será assumido que a tensão terá o mesmo módulo
em todos os pontos da corda, variando apenas a direção e o sentido;
Pequenas vibrações: A inclinação da corda indicada por u x ( x, t ) terá

constante;
sempre um valor pequeno.
Considere um elemento de comprimento infinitesimal da corda como mostrado
na Figura 2.3. Utilizando a segunda lei de Newton:
 Forças  (massa ) x(aceleração )
(Eq. 2.2)
Considera-se atuando as seguintes forças no elemento infinitesimal:
1. Forças devidas a tensão na corda:
Decompondo o vetor tensão na componente vertical em cada ponta da corda
mostrada na Figura 2.3 é possível obter a seguinte equação:
Tvertical  Txx .sen 2  Tx .sen1
(Eq. 2.3)
11

13. Figura 2.3: Representação de um elemento infinitesimal de corda
Utilizando a consideração de tensão constante, é possível observar que a
derivada espacial da função u ( x, t ) (função que representa o deslocamento da
corda) possui aproximadamente o mesmo valor do seno do ângulo formado
pela corda e a horizontal, em qualquer ponto da corda, assim a Equação 2.3
pode ser escrita como:
Tvertical  T u x ( x  x, t )  u x ( x, t )
(Eq. 2.4)
2. Forças externas:
Consideram-se forças externas principalmente as forças de campo, ou seja, o
peso da própria corda, ou forças criadas pela passagem de outras ondas na
mesma corda. Utilizando o conceito de força média no elemento infinitesimal,
as forças externas podem ser escritas como:
Forças _ externas  F ( x, t ).x
(Eq. 2.5)
no caso da gravidade, por exemplo, F ( x, t )  mg .
12

14. 3. Força de fricção ao movimento da corda:
Essa força pode ser modelada como sendo uma resistência da corda à
passagem da onda, utilizando o conceito de média, pode ser descrita como:
(Eq. 2.6)
Força _ Fricção  ut ( x, t ).x
4. Força de restauração
Essa força pode ser entendida como uma força que tende a restaurar a corda
para a posição de equilíbrio, e pode ser escrita como:
Força _ Restauração  u( x, t )x
(Eq. 2.7)
Observa-se que as forças com sinal negativo possuem o a direção contrária ao
movimento da corda, de forma a causar uma resistência à passagem da onda.
Substituindo as Equações (2.4 – 2.7) na Equação 2.2:
T [u x ( x  x, t )  u x ( x, t )]  F ( x, t )x  ut ( x, t )x  u( x, t )x  utt x
(Eq. 2.8)
onde

é a densidade linear da corda. Dividindo ambos os lados da equação
2.8 por x , e fazendo x tender para zero, a Equação 2.8 pode ser escrita
como:
utt 
1

Tu xx  ut  u  F ( x, t )
(Eq. 2.9)
Desprezando as forças externas, e de atrito que atuam na corda, a Equação
2.9 fica escrita de uma forma mais simples:
utt   2u xx
(Eq. 2.10)
onde:

T

(Eq. 2.11)
13

15. 2.3 – Solução da equação da onda (Solução de D’Alembert)
No Capítulo 1 foi provado que as funções tipo onda viajante para a esquerda e
para a direita são soluções da equação da onda, essa solução foi obtida por
Jean le Rond d'Alembert, e será demonstrada nesse tópico. Para o melhor
entendimento desse tópico, o Apêndice 1 mostra detalhes da regra da cadeia
para funções dependentes de mais de uma variável, e o Apêndice 2 mostra
uma segunda demonstração da solução para a equação da onda. Antes de
demonstrar a solução, será feita uma descrição matemática do problema.
O problema da solução da equação da onda (Equação 2.10) consiste em
encontrar a solução do seguinte conjunto:
utt  c 2u xx

c  constante
   x  

0  t  
“EDP Hiperbólica”
(Eq. 2.13)
“Condições Iniciais”
(Eq. 2.14)
Sujeito as seguintes condições iniciais:
u ( x,0)  f ( x)

ut ( x,0)  g ( x)
   x  
A solução da Equação 2.13 será realizada em quatro passos.
1º Passo: Transformação de coordenadas:
Para se resolver a Equação 2.13, será utilizada uma transformação de
coordenadas x, t    ,  , definida por:
  x  ct

  x  ct
(Eq. 2.15)
Assim, tomando as derivadas parciais no novo sistema de coordenadas:
ut  u  t  ut  cu  u 
utt 
(Eq. 2.16)
(c(u  u ))
t


utt  c u  t  u t   u  t  ut 
utt  c 2 .u  2u  u 
(Eq. 2.17)
u x  u  x  u x  u  u
(Eq. 2.18)
14

16. u xx 
(u  u )
x
u xx  u  x  u  x   u  x  u x 
u xx  u  2u  u
(Eq. 2.19)
Substituindo as Equações 2.17 e 2.19 na Equação 2.13:
c 2 .u  2u  u   c 2 .u  2u  u 
4c 2u  0
(Eq. 2.20)
Como a constante c foi definida como positiva, a Equação 2.20 pode ser
reescrita como:
u  0
(Eq. 2.21)
2º Passo: Solução da equação diferencial parcial:
A Equação 2.21 pode ser resolvida utilizando-se duas integrações, uma em
relação à  e outra em relação à  . Integrando em relação à  obtém-se:
 u d   0d
u ( , )   ( )
(Eq. 2.22)
 ( ) é uma função qualquer dependente apenas da variável  .
Integrando a Equação 2.22 em relação à  , obtém-se:
onde
 u d   d
u( , )  ( )   ( )
sendo ( ) a função anti-derivada de
(Eq. 2.23)
 ( ) , e  ( ) uma função dependente
apenas da variável  . Assim a solução geral da Equação 2.21 pode ser
definida como a soma de quaisquer funções dependentes apenas de  e  .
Exemplo 2.1:
Provar que a função u ( , )  sen ( )   é solução da Equação 2.21.
3
15

17. Resolução:
Substituindo a função definida no problema na Equação 2.21:
 2 ( sen ( )   3 )
0

Derivando a Equação 2.24 em relação à
(Eq. 2.24)
:
( sen ( )   3 )
 cos ( )

(Eq. 2.25)
Derivando a Equação 2.25 em relação à  :
 (cos ( ))
0

(Eq. 2.26)
O que prova que a função u ( , )  sen ( )   é solução da Equação 2.21.
3
3º Passo: Transformação da solução nas coordenadas iniciais do
problema:
Para se encontrar a solução geral da Equação 2.13 é preciso aplicar a mesma
transformada de coordenadas definidas pela Equação 2.15 na Equação 2.23,
assim:
  x  ct

  x  ct
aplicadas em:
u( , )  ( )   ( )
resulta em:
u( x, t )  ( x  ct )   ( x  ct )
(Eq. 2.27)
dessa forma, a Equação 2.27 é a solução geral da Equação 2.13. Observa-se
que a Equação 2.27 é composta por uma soma de ondas viajantes para a
esquerda para a direita, como foi discutido no Exemplo 1.4 do Capítulo 1.
Exemplo 2.2: Provar que a equação u( x, t )  sen ( x).cos(t ) é solução geral da
equação da onda definida pela Equação 2.13 com c  1 , e demonstrar que
essa solução pode ser escrita de acordo com a Equação 2.27.
16

18. Solução:
1ª Parte: Provar que u( x, t )  sen ( x).cos(t ) é solução de:
utt  c 2u xx , com c  1
(Eq. 2.28)
Derivando a função u ( x, t ) :
u  sen ( x)cos(t )
u x  cos( x)cos(t )
u xx  sen ( x)cos(t )
(Eq. 2.29)
ut  sen ( x)sen(t )
utt  sen ( x)cos(t )
(Eq. 2.30)
Substituindo as Equações 2.29 e 2.30 na Equação 2.28:
utt  u xx
 sen ( x)cos( x)  sen ( x)cos( x)
(Eq. 2.31)
O que prova que a função u( x, t )  sen ( x).cos(t ) é uma solução da equação
da onda com c  1 .
2ª Parte: Escrever a função u( x, t )  sen ( x).cos(t ) na forma da Equação 2.27:
Utilizando a propriedade de soma e subtração de arcos:
sen ( x  t )  sen ( x).cos(t )  sen (t ).cos( x)
(Eq. 2.32)
sen ( x  t )  sen ( x).cos(t )  sen (t ).cos( x)
(Eq. 2.33)
somando-se as Equações 2.32 e 2.33:
sen ( x  t )  sen ( x  t )  2sen ( x).cos(t )
sen ( x).cos (t ) 
sen ( x  t ) sen ( x  t )

2
2
(Eq. 2.34)
como c  1 , a Equação 2.34 pode ser escrita na forma:
u( x, t )  ( x  ct )   ( x  ct )
sendo
17

19. ( x  ct ) 
sen ( x  t )
“Onda viajante para direita”
2
(Eq. 2.35)
 ( x  ct ) 
sen ( x  t )
“Onda viajante para esquerda”
2
(Eq. 2.36)
4º Passo: Substituição das condições iniciais do problema
Nos passos anteriores foi encontrada a Equação 2.27 que é solução geral da
Equação 2.13. Nesse passo serão utilizadas as condições iniciais,
u ( x,0)  f ( x)

ut ( x,0)  g ( x)
   x  
“Condições Iniciais”
para se encontrar a solução específica do problema.
Substituindo as condições iniciais na Equação 2.27:
u( x,0)  ( x  c0)   ( x  c0)  ( x)   ( x)  f ( x)
(Eq. 2.37)
ut ( x,0)  ' ( x  c0)(c)   ' ( x  c0)(c)
ut ( x,0)  c' ( x)  c ' ( x)  g ( x)
(Eq. 2.38)
integrando a Equação 2.38:
 ( x)  ( x) 
1x
 g (s)ds  K , onde K é uma constante
c x0
(Eq. 2.39)
As Equações 2.37 e 2.39 formam um conjunto de equações lineares, cuja
solução é dada por:
 ( x) 
1 x
1
 g (s)ds  2 f ( x)  K
2c x0
1 x
1
( x)    g ( s)ds  f ( x)  K
2c x0
2
(Eq. 2.40)
(Eq. 2.41)
A solução específica da Equação 2.13 é feita substituindo ( x  ct ) e
 ( x  ct ) nas Equações 2.40 e 2.41, e somando as duas equações:
18

20.  ( x  ct ) 
1 xct
1
 g (s)ds  2 f ( x  ct )  K
2c x0
1 xct
1
( x  ct )  
 g (s)ds  2 f ( x  ct )  K
2c x0
(Eq. 2.42)
(Eq. 2.43)
u( x, t )   ( x  ct )  ( x  ct )
1 xct
1
1 xct
1
u ( x, t ) 
 g (s)ds  2 f ( x  ct )  2c  g (s)ds  2 f ( x  ct )
2c x0
x0
substituindo os limites de integração:
u ( x, t ) 
x ct
1
 f ( x  ct )  f ( x  ct )  1  g (s)ds
2
2c xct
(Eq. 2.44)
A Equação 2.44 é a solução da equação da onda de d’Alembert, onde a função
u ( x, t ) fica escrita utilizando as condições iniciais do problema.
Exemplo 2.3:
Encontrar a solução do seguinte problema de valor inicial:
utt  u xx

2
u ( x,0)  e  x

u ( x,0)  0
 t
(Eq. 2.45)
Solução:
Percebe-se que a Equação 2.45 é a equação da onda com c  1 , assim a
solução é dada pela Equação 2.44, onde:
f ( x)  e  x
2
(Eq. 2.46)
g ( x)  0
(Eq. 2.47)
substituindo as Equações 2.46 e 2.47 na Equação 2.44:
u ( x, t ) 


2
1 ( xct )2
1 xct
e
 e ( xct ) 
 0ds
2
2c xct
19

21. u ( x, t ) 

2
1 ( xt )2
e
 e ( x  t )
2

(Eq. 2.48)
A Equação 2.48 é a solução da Equação 2.45, composta por uma onda viajante
para esquerda e uma onda viajante para a direita. A Figura 2.4 mostra a
solução 2.48 plotada para vários tempos diferentes. Pode-se observar
claramente que existem duas ondas trafegando em sentidos contrários na
figura.
Figura 2.4: Solução da Equação 2.45 plotada para diferentes tempos.
20

22. 3 – Leis de Conservação “Equações de 1ª Ordem não lineares”
As leis de conservação constituem equações que contabilizam a variação de
qualquer variável mensurável em um sistema isolado. Constituem na
matemática um conjunto amplo de equações diferenciais parciais hiperbólicas,
onde as equações das ondas são um sub-grupo das leis de conservação. No
próximo tópico será deduzido a lei de conservação em um sistema
unidimensional, e serão apresentados alguns exemplos de equações
conservativas.
3.1 – Derivação das leis de conservação
Imagine um meio unidimensional posicionado ao longo do eixo-x que contém
uma substância mensurável que consegue se mover ou fluir por esse meio.
Utiliza-se a variável Q para representar essa substância (carros, partículas,
energia, massa, etc...), para se deduzir a equação da conservação, utilizam-se
dois conceitos básicos:
1. Concentração:
Concentração ou densidade é definida como o número de unidades da
substância Q por unidade de comprimento em um tempo t qualquer, ou seja:
u ( x, t ) 
N (Q)
x t
(Eq. 3.1)
Podendo ser, por exemplo, número de carros por quilômetro em uma rodovia,
ou gramas de uma substância por metro de tubulação.
2. Fluxo:
Número de unidades da substância Q passando por um ponto x , em um
intervalo de tempo t , assim:
F ( x, t ) 
N (Q)
t x
(Eq. 3.2)
Considere um pequeno segmento S definido pelos pontos a e b , mostrado na
Figura 3.1. A variação do número de unidades da substância Q nesse
segmento acontecerá somente de duas maneiras, ou a substância atravessará
21

23. as fronteiras A e B , mostradas no esquema, ou a substância será criada ou
destruída no interior do segmento S , em outras palavras:
N (Q)
N (Q)

t S
t

A
N (Q)
 s ( x, t )
t B
(Eq. 3.3)
Onde s( x, t ) é definida como termo fonte de uma substância, sendo
considerada a taxa (variação no tempo) em que a substância Q é adicionada
ou retirada do meio S .
Figura 3.1: Segmento S delimitado pelo intervalo [a, b] do eixo-x.
Para se calcular o número de unidades da substância Q calcula-se a integral
da concentração nesse intervalo, assim:
N (Q)
d b
  u ( x, t )dx
t S dt a
(Eq. 3.4)
logo a Equação 3.3 pode ser escrita como:
b
d b
 u( x, t )dx  F (a, t )  F (b, t )   s( x, t )dx
dt a
a
(Eq. 3.5)
A Equação 3.5 é conhecida como “Forma Integral da Lei da Conservação”, as
funções F (a, t ) e F (b, t ) possuem sinais contrários, pois a substância Q está
entrando na fronteira A , e saindo na fronteira B . Considerando as funções
u ( x, t ) e F ( x, t ) constantes e com primeiras derivadas constantes em todo o
domínio, e utilizando o teorema fundamental do cálculo, é possível escrever as
funções de fluxo da seguinte forma:
22

24. b
F (a, t )  F (b, t )    Fx ( x, t )dx
(Eq. 3.6)
a
assim a Equação 3.5 fica escrita como:
b
b
b
 ut ( x, t )dx   Fx ( x, t )dx   s( x, t )dx
a
a
(Eq. 3.7)
a
então:
b
 ut ( x, t )  Fx ( x, t )  s( x, t )dx  0
(Eq. 3.8)
a
o que implica que o resultado da integral deve ser sempre igual à zero em
qualquer intervalo [a, b] do domínio, ou seja:
ut  Fx  s
(Eq. 3.9)
A Equação 3.9 é conhecida como “Forma Diferencial da Lei da Conservação”,
também conhecida como lei fundamental da natureza. Apesar da Equação 3.9
ter um forte significado físico ela não consegue por si só modelar fenômenos
físicos, sendo necessárias equações constitutivas, que são relações entre
u ( x, t ) e F ( x, t ) . No caso de F ( x, t ) dependente de u ( x, t ) , e aplicando a
regra da cadeia, a Equação 3.9 pode ser escrita como:
ut  F ' (u)u x  s
(Eq. 3.10)
Exemplo 3.1:
ut  cu x  0

c  0, constante
“Equação da Advecção”
(Eq. 3.11)
A Equação 3.11 escrita na forma da lei da conservação:
ut  Fx  0

 F ( x, t )  c.u ( x, t )
“Forma da Lei da Conservação”
(Eq. 3.12)
Exemplo 3.2:
ut  uu x  0
“Equação de Burgers invíscida”
(Eq. 3.13)
A Equação 3.13 escrita na forma da lei da conservação:
23

25. ut  Fx  0


u 2 ( x, t )
 F ( x, t ) 

2
“Forma da Lei da Conservação”
(Eq. 3.14)
Exemplo 3.3:
ut  uu x  u xx

  constante
“Equação de Burgers víscida, viscosidade
”
(Eq. 3.15)
A Equação 3.15 escrita na forma da lei da conservação:
ut  Fx  0

“Forma da Lei da Conservação”

u 2 ( x, t )
 u x ( x, t )
 F ( x, t ) 

2
(Eq. 3.16)
Exemplo 3.4:
ut   ( x).u x ' x
(Eq. 3.17)
A Equação 3.17 escrita na forma da lei da conservação:
ut  Fx  0
“Forma da Lei da Conservação”

F ( x, t )   ( x).u x

(Eq. 3.18)
3.2 – Solução de equações conservativas “Método das Características"
No tópico anterior foram deduzidas as equações conservativas (Forma
Diferencial da Lei de Conservação), nesse tópico serão discutidos métodos de
solução desse tipo de equação, ou seja, solução de equações hiperbólicas de
primeira ordem. Assim o objetivo desse tópico é de se resolver o seguinte
problema:
ut  c( x, t )u x  F ( x, t )

u ( x,0)  u0 ( x)
“Problema de Cauchy”
(Eq. 3.19)
O problema descrito pela Equação 3.19 é conhecido como problema de
Cauchy, sendo composto por uma equação diferencial parcial e uma solução
inicial. Para se resolver esse problema será utilizado um método conhecido
como “método das características”, deduzido a partir da regra da cadeia
(descrita no apêndice 1). Para se resolver a Equação 3.19 será utilizada uma
parametrização da variável x , assim:
24

26.  x  x(t )

u ( x, t )  u ( x(t ), t )
(Eq. 3.20)
derivando a função u ( x(t ), t ) em relação ao tempo:
u ( x(t ), t ) u ( x, t ) x(t ) u ( x, t )
x(t )


 ut 
ux
t
x
t
t
t
(Eq. 3.21)
comparando-se as Equações 3.19 e 3.21 chega-se a duas conclusões:
x(t )
 c ( x, t )
t
(Eq. 3.22)
u ( x(t ), t )
 F ( x, t )
t
(Eq. 3.23)
Observa-se que a equação diferencial parcial foi transformada em duas
equações diferenciais ordinárias, que são geralmente mais fáceis de resolver.
Resolvendo a Equação 3.22:
dx  c( x, t )dt
x
(Eq. 3.24)
t
 dx   c( x, t )dt
x0
(Eq. 3.25)
0
t
x0  x   c( x, t )dt
(Eq. 3.26)
0
A Equação 3.26 descreve as curvas características do problema, mostradas na
Figura 3.2. Resolvendo a Equação 3.23:
du  F ( x, t )dt
( x ,t )
t
( x ( 0 ), 0 )
(Eq. 3.27)
0
 du   F ( x, t )dt
(Eq. 3.28)
t
u ( x, t )  u ( x0 ,0)   F ( x, t )dt
(Eq. 3.29)
0
Utilizando-se o valor inicial do problema de Cauchy:
t
u ( x, t )  u0 ( x0 )   F ( x, t )dt
(Eq. 3.30)
0
25

27. Combinando as Equações 3.26 e 3.30, chega-se a solução final da Equação
3.19:
t
t
0
0
u ( x, t )  u0 ( x   c( x, t )dt )   F ( x, t )dt
(Eq. 3.31)
O princípio físico do métodos das características baseia-se no fato de que um
distúrbio em um ponto x qualquer do domínio se propaga ao longo de curvas
no plano ( x, t ) , chamadas de curvas características, mostradas na Figura 3.2.
Figura 3.2: Curvas características no plano ( x, t ) .
Teorema 3.1:
Seja u0 ( x)  C (contínua e com primeira derivada contínua), então existe uma
1
solução única do problema de Cauchy (Equação 3.19), dada pela Equação
3.31.
Exemplo 3.5:
Resolver a equação da Advecção, descrita por:
ut  cu x  0
, onde

u ( x,0)  u0 ( x)
   x  
e c  constante

t  0
(Eq. 3.32)
Solução:
26

28. 1ª parte: Construção das características:
Encontrar curvas que satisfazem a Equação 3.24, ou seja:
dx
c
dt
(Eq. 3.33)
Resolvendo a Equação 3.33:
x  x0  ct
(Eq. 3.34)
ou
x0  x  ct
(Eq. 3.35)
Plotando-se as características descritas pela Equação 3.34 (Figura 3.3)
observa-se que as características são representadas por retas no plano ( x, t ) .
Figura 3.3: Características do Exemplo 3.5, considerando c  3 .
27

29. 2ª Parte: Construção da solução:
Construir uma solução que satisfaça a Equação 3.27, com F ( x, t )  0 , ou seja:
du
0
dt
(Eq. 3.36)
( x ,t )
t
( x ( 0 ), 0 )
0
 du   0dt
(Eq. 3.37)
u( x, t )  u( x(0),0)  u0 ( x0 )
(Eq. 3.38)
Substituindo a Equação 3.35 na Equação 3.38, chega-se ao resultado da
Equação 3.32:
u( x, t )  u0 ( x  ct )
(Eq. 3.39)
Essa solução é dada na forma de onda viajante para a direita, e foi comentada
com detalhes no Tópico 3.1.
Exemplo 3.6:
Utilizar o método das características para se resolver a seguinte equação:
ut  2u x  0


2
u ( x,0)  e  x

onde
   x  

t  0
(Eq. 3.40)
Solução:
1ª parte: Construção das características:
Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:
 dx
 2
 dt
 x ( 0)  x 0

(Eq. 3.41)
x  x0  2t
(Eq. 3.42)
2ª parte: Construção da solução:
Para se construir a solução da Equação 3.40 deve-se resolver a seguinte
equação:
28

30. du
0
dt
(Eq. 3.43)
( x ,t )
t
( x ( 0 ), 0 )
0
 du   0dt
(Eq. 3.44)
u( x, t )  u( x(0),0)
(Eq. 3.45)
Substituindo a condição inicial na Equação 3.45, encontra-se:
u ( x, t )  e  x0
2
(Eq. 3.46)
Utilizando-se a Equação 3.42:
u( x, t )  e ( x2t )
2
(Eq. 3.47)
A solução dada pela Equação 3.47 é do tipo onda viajante para a direita, a
Figura 3.4 mostra a solução, plotada para diferentes tempos.
Figura 3.4: Solução do Exemplo 3.6, para diferentes tempos.
Exemplo 3.7:
Utilizar o método das características para se resolver a seguinte equação:
ut  txu x  0

1

u ( x,0) 

1  x2

onde
   x  

t  0
(Eq. 3.48)
Solução:
29

31. 1ª parte: Construção das características:
Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:
 dx
  xt
 dt
 x ( 0)  x 0

(Eq. 3.49)
x
dx t
 x   tdt
x0
0
x  x0 .e (t
2
(Eq. 3.50)
2)
(Eq. 3.51)
As características definidas pela Equação 3.51 estão plotadas na Figura 3.5.
Observa-se que nesse caso as características não são definidas por retas no
plano ( x, t ) .
Figura 3.5: Características do Exemplo 3.7.
2ª parte: Construção da solução:
Para se construir a solução do Exemplo 3.7 deve-se resolver a seguinte
equação:
du
0
dt
(Eq. 3.52)
30

32. ( x ,t )
t
( x ( 0 ), 0 )
0
 du   0dt
(Eq. 3.53)
u( x, t )  u( x(0),0)
(Eq. 3.54)
Substituindo a condição inicial dada:
u ( x, t ) 
u ( x, t ) 
1
(Eq. 3.55)
1   x0 
2

1
1  x.e
t 2 2

2
(Eq. 3.56)
A Figura 3.6 mostra a solução dada pela Equação 3.56 para diferentes tempos.
Figura 3.6: Solução do Exemplo 3.7 plotada para diferentes tempos
31

33. 4 – Catástrofe de Gradiente
No Capítulo 3 foi deduzido o método das características, uma importante
ferramenta na resolução de equações diferenciais parciais de 1ª ordem. Nesse
capítulo será discutida uma extensão do método das características, utilizado
para resolver problemas em áreas onde existem mais de uma característica
(áreas de catástrofe de gradiente).
4.1 – Catástrofe de gradiente
Como descrito no capítulo anterior, o método das características baseia-se no
fato de uma perturbação do sistema se propagar ao longo de linhas
características no domínio. Porém em alguns casos essas linhas se colapsam
em um único ponto, inviabilizando a solução da EDP via método das
características. Para se entender a catástrofe do gradiente, considera-se o
seguinte exemplo:
Exemplo 4.1:
Plotar as características da seguinte equação diferencial:
ut  uu x  0


2
u ( x,0)  e  x

onde
   x  

t  0
(Eq. 4.1)
1ª parte: Construção das características:
Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:
 dx
 u
 dt
 x ( 0)  x 0

(Eq. 4.2)
Aplicando a definição do método das características:
du
0
dt
(Eq. 4.3)
u( x, t )  u( x(0),0)
(Eq. 4.4)
Substituindo a Equação 4.4 na Equação 4.2:
32

34. x
t
 dx   u ( x0 ,0)dt
x0
(Eq. 4.5)
0
x  x0  e  x0 .t
2
(Eq. 4.6)
Plotando-se a Equação 4.6 (Figura 4.1) encontram-se as curvas características
da Equação 4.1. É possível observar que as curvas características se
colapsam em um único ponto após aproximadamente t  1.2 .
Figura 4.1: Curvas características da Equação 4.1.
Esse fenômeno está associado com o princípio que a função solução u ( x, t )
acompanha a característica da solução no plano ( x, t , u ) . A Figura 4.2 mostra
duas curvas da função solução u ( x, t ) em uma região onde não ocorre a
catástrofe do gradiente. É possível observar que a função u ( x, t ) determina
uma função contínua nesse domínio.
33

35. Figura 4.2: Função u ( x, t ) plotada em um domínio ( x, t , u ) o qual não ocorre à
catástrofe de gradiente.
A Figura 4.3 mostra duas curvas da função solução u ( x, t ) plotada em um
domínio onde ocorre a catástrofe de gradiente. É possível perceber que no
ponto onde ocorre a catástrofe, a função u ( x, t ) possui dois valores diferentes,
representando uma descontinuidade na função.
Figura 4.3: Função u ( x, t ) plotada em um domínio ( x, t , u ) o qual ocorre à
catástrofe de gradiente.
34

36. Traçando retas paralelas ao eixo t que ligam as duas curvas na Figura 4.3
observa-se que no ponto de quebra do gráfico, a reta traçada faz uma vertical
em relação ao plano ( x, t ) , conclui-se então que a função u ( x, t ) é contínua
com relação ao tempo, e a catástrofe do gradiente ocorre quando a derivada
primeira da função u ( x, t ) em relação à variável x tende ao infinito.
Pode-se chegar à mesma conclusão analisando-se o perfil da solução quando
ocorre e quando não ocorre a catástrofe do gradiente. A Figura 4.4 mostra o
avanço da solução com o tempo em um caso onde não ocorre a catástrofe do
gradiente, pode-se se perceber que a função é crescente com velocidade
crescente. A Figura 4.5 mostra o avanço da solução em um caso onde ocorre a
catástrofe do gradiente, nesse caso a função solução é decrescente em um
intervalo com velocidade crescente, o que leva à formação da catástrofe do
gradiente.
Figura 4.4: Avanço do perfil da solução u ( x, t ) com o tempo, para um caso
onde não ocorre a catástrofe de gradiente.
Figura 4.5: Avanço do perfil da solução u ( x, t ) com o tempo, para um caso
onde ocorre a catástrofe de gradiente.
Analisando o perfil da solução, observa-se que no momento em que ocorre a
catástrofe de gradiente, a reta que liga os dois pontos da solução se torna
vertical.
35

37. Definição:
Define-se tempo de queda (Breaking Time) o ponto onde ocorre a catástrofe de
gradiente pela primeira vez, ou seja, o menor tempo positivo em que ocorre a
catástrofe de gradiente.
O tempo de queda pode ser calculado da seguinte forma:
t b = tempo mínimo onde
d (u ( x, t ))

dx
(Eq. 4.7)
Exemplo 4.2:
Calcular o tempo de queda para uma equação diferencial parcial homogênea
de primeira ordem, definida por:
ut  c(u )u x  0
, com

u ( x,0)  u0 ( x)

x  R

t  0
(Eq. 4.8)
Solução:
Para se calcular o tempo de queda, primeiro é preciso se calcular a solução da
EDP, nesse caso, utilizando-se o método das características:
du
0
dt
( x ,t )
(Eq. 4.9)
t
 du   dt
( x ( 0 ), 0 )
(Eq. 4.10)
0
u( x, t )  u( x(0),0)  u0 ( x0 ) , com x(0)  x0
(Eq. 4.11)
Calculando a derivada parcial da função u ( x, t ) em relação à x :
d (u ( x, t )) d (u0 ( x0 ))

dx
dx
(Eq. 4.12)
Utilizando a regra da cadeia:
d (u ( x, t )) d (u0 ( x0 )) d ( x0 )

.
dx
dx0
dx
(Eq. 4.13)
Construindo as características desse problema:
36

38. dx
 c(u )
dt
(Eq. 4.14)
x  x0  c(u0 ( x0 )).t
(Eq. 4.15)
Derivando em relação à x :
1
d ( x0 ) d [c(u0 ( x0 ))]

t
dx
dx
(Eq. 4.16)
Utilizando a regra da cadeia:
1
d ( x0 ) d [c(u0 ( x0 ))] d ( x0 )

t
dx
dx0
dx
(Eq. 4.17)
1
d ( x0 )  d [c(u0 ( x0 ))] 
1
t
dx 
dx0


(Eq. 4.18)
Combinando as Equações 4.13 e 4.18:
d (u0 ( x0 ))
dx0
d (u ( x, t ))

d [c(u0 ( x0 ))]
dx
1  t.
dx0
(Eq. 4.19)
Analisando a Expressão 4.19, a derivada de u ( x, t ) em relação à x tende ao
infinito quando o denominador da expressão for igual ao zero, assim o tempo
de queda é calculado escolhendo o menor tempo onde:
1  tb .
d [c(uo ( x0 ))]
0
dx0
(Eq. 4.20)
Ou seja:
tb 
1
d [c(uo ( x0 ))]
dx0
(Eq. 4.21)
Para se encontrar o tempo de quebra deve se encontrar o maior valor negativo
do denominador da Equação 4.21.
37

39. Exemplo 4.3:
Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy:
ut  uu x  0


2 , com
u ( x,0)  e  x

x  R

t  0
(Eq. 4.22)
Solução:
A Equação 4.22 é análoga a Equação 4.8, com:
c(u0 ( x0 ))  e  x0
2
(Eq. 4.23)
Assim:
2
d [c(u0 ( x0 ))]
 2e  x0 .x0
dx0
(Eq. 4.23)
Essa função terá valor máximo quando a derivada for igual ao zero, ou seja:
d 2 [c(u0 ( x0 ))]
dx0

2
0
(Eq. 4.24)

 2 e  x0  2e  x0 x0  0
2
2
2
1
2
x0  
(Eq. 4.25)
(Eq. 4.26)
Para valores negativos de x0 a Equação 4.23 se torna positiva, e o tempo de
queda se torna negativo. Utilizando a Equação 4.21:
tb 
1
d [c(uo ( x0 ))]
dx0
(Eq. 4.27)
Substituindo a parte positiva da Equação 4.26, encontra-se um tempo de queda
igual a:
tb 
e
2
(Eq. 4.28)
De fato esse valor vale aproximadamente tb  1.2 , fato que foi comprovado
graficamente na Figura 4.1.
38

40. Exemplo 4.4:
Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy, e confirmar o
valor graficamente plotando as características do problema:
ut  u 2u x  0


1 , com
u ( x,0) 

1  x2

x  R

t  0
(Eq. 4.29)
Solução:
A Equação 4.29 é análoga a Equação 4.8, com:
c(u0 ( x0 )) 
1
(Eq. 4.30)
(1  x0 ) 2
2
Assim:
d [c(u0 ( x0 ))]
 4 x0

2
dx0
1  x0


(Eq. 4.31)
3
Essa função terá valores máximos em pontos de descontinuidade, assim:
d 2 [c(u0 ( x0 ))]
dx0
2

 4 1  x0
0
(Eq. 4.32)
  24 x 1  x 
1  x 
2 3
2 2
2
0
2 6
0
0
(Eq. 4.33)
0
Ou seja:
x0  
1
5
(Eq. 4.34)
Para valores negativos de x0 a Equação 4.34 se torna positiva, e o tempo de
queda se torna negativo. Utilizando a Equação 4.21:
tb 
1
d [c(uo ( x0 ))]
dx0
(Eq. 4.35)
Substituindo a parte positiva da Equação 4.34 na Equação 4.35, encontra-se
um tempo de queda igual a:
39

41. tb 
54 5
125
(Eq. 4.36)
As características da Equação 4.29 estão plotadas na Figura 4.6. É possível
ver que o tempo de queda ocorre em um tempo aproximado de tb  0.97 , que
é numericamente igual ao tempo de queda encontrado na Equação 4.36.
Figura 4.6: Características do Exemplo 4.4.
4.2 – Soluções do tipo ondas de choque
No tópico anterior foi visto que ao depender do tipo da equação diferencial, e
do tipo da solução inicial do problema, podem ocorrer áreas onde mais de uma
característica passa pelo mesmo ponto, denominada área de catástrofe de
gradiente, foi também deduzida no tópico anterior, uma metodologia capaz de
se prever o tempo mínimo onde ocorre a catástrofe, denominado de tempo de
queda ou “Breaking Time”. Para se construir a solução da equação diferencial
em área de catástrofe, primeiro entenderemos o conceito de função suave por
partes.
Definição:
Uma função u ( x, t ) que divide o domínio R em duas regiões distintas R

e
R  (Figura 4.7) é dita suave por partes quando obedecer as seguintes
condições:
40

42. i.


A função possui primeiras derivadas contínuas nos intervalos R e R ,
e a função é solução do seguinte conjunto de equações:
ut  Fx  0
( x, t )  R 
,
“Lei de conservação”

u ( x,0)  u0 ( x) x  xs (0)

ut  Fx  0
( x, t )  R 
,
“Lei de conservação”

u ( x,0)  u0 ( x) x  xs (0)
ii.
(Eq. 4.37)
(Eq. 4.38)
O limite ( x, t )  ( xs (0),0) tendendo pelas regiões R

e R

existem,
podendo assumir valores diferentes.
Figura 4.7: Domínio de uma função suave por partes, onde x s é a curva de
descontinuidade da função.
A Figura 4.8 mostra um exemplo de uma função suave por partes. É possível
ver que nos domínios R
derivadas
contínuas,

e R
sendo

a função u ( x, t ) é contínua e com primeiras
que
a
curva
xs
define
um
plano
de
descontinuidade na função, sendo que os limites laterais existem possuindo
valores diferentes.
41

43. Figura 4.8: Função u ( x, t ) suave por partes.
Para se resolver o problema da catástrofe do gradiente, observa-se que se
pode escrever uma curva no plano ( x, t ) , onde as características se unem,
tornando assim a região de características uniforme, a Figura 4.9 mostra uma
curva  qualquer, onde as características se encontram de ambos os lados,
tornando a região das características uniforme.
s
Figura 4.9: Construção da curva  na região de catástrofe de gradiente.
s
42

44. A construção da solução resolvendo-se a equação da continuidade na forma
diferencial utilizando o método das características é interrompida a partir do
tempo de queda, porém o processo físico é um processo contínuo no tempo,
não havendo paradas, assim devemos voltar à lei de conservação na forma
diferencial, com termo fonte nulo, dada por:
d b
 u( x, t )dx  F (a, t )  F (b, t )
dt a
(Eq. 4.39)
Considerando o conceito de solução suave, o domínio agora é segmentado em
duas regiões dividas por uma curva  ( xs (t ), t ) , como mostrado na Figura
s
4.10, a Equação 4.39 pode ser escrita como:
b

d  xs (t )
u ( x, t )dx   u ( x, t )dx   F (a, t )  F (b, t )
 
dt  a

xs  ( t )



(Eq. 4.40)
Figura 4.10: Domínio da solução segmentado em dois domínios.
Desenvolvendo o lado esquerdo da equação:
b
 xs (t ) d

d
u ( x(t ), t )dx  
u ( x(t ), t )dx   F (a, t )  F (b, t )
 
 a dt

xs  ( t ) dt



(Eq. 4.41)
Utilizando a regra da cadeia para se resolver a derivada, e integral por partes
para se resolver a integral:

xs ( t )

a

xs (t )
d
 d [u ( x(t ), t )] d [u ( x(t ), t )] dx(t ) 
u ( x(t ), t )dx   

dx
dt
dt
dx
dt 
a 
(Eq. 4.42)
43

45. 
xs ( t )

a

xs ( t )

a


xs ( t )
xs ( t )
d
d [u ( x(t ), t )] dx(t )
u ( x(t ), t )dx   ut ( x, t )dx  
dx
dt
dx
dt
a
a

(Eq. 4.43)

xs ( t )
dxs xs (t )
d
d 2 x(t )

u ( x(t ), t )dx   ut ( x, t )dx u ( xs , t )
  u ( x, t ).
dx
dt
dt
dtdx
a
a
(Eq. 4.44)
Como x(t ) depende apenas de t , a Equação 4.44 pode ser escrita como:

xs ( t )

a

xs ( t )
dx
d

u ( x(t ), t )dx   ut ( x, t )dx u ( xs , t ) s
dt
dt
a
(Eq. 4.45)
Analogamente para o segundo termo do lado esquerda da Equação 4.41:
b
b
dxs
d

 dt u( x(t ),t )dx   ut ( x, t )dx u( xs , t ) dt
xs  ( t )
xs ( t )
(Eq. 4.46)
Substituindo as Equações 4.45 e 4.46 na Equação 4.41:
xs  ( t )

 ut ( x, t )dx u( xs , t )
a
b
dxs
dx

  ut ( x, t )dx u ( xs , t ) s  F (a, t )  F (b, t )
dt xs  (t )
dt
(Eq. 4.47)


Fazendo a  xs e b  xs , a Equação 4.47 pode ser escrita como:

u ( xs , t )
dxs
dx



 u ( xs , t ) s  F ( xs , t )  F ( xs , t )
dt
dt
(Eq. 4.48)
Que pode ser escrita da seguinte forma:


dxs F ( xs , t )  F ( xs , t )



dt
u ( xs , t )  u ( xs , t )
(Eq. 4.49)
De acordo com a equação deduzida, uma solução suave por partes que
satisfaz a lei de conservação na forma integral deve satisfazer a Equação 4.49.
Essa equação é também chamada de condição de Rankine-Hugoniot, que
pode ser escrita utilizando-se a notação de função salto, dada por:
dxs [ F ]

dt [u ]
“Condição de Rankine-Hugoniot”
(Eq. 4.50)
44

46. Para se encontrar precisamente essa curva, necessita-se de um dado inicial,
para isso se utiliza o tempo de queda descrito na Tópico 4.1, assim, encontrar
a função que descreve a curva  ( x, t ) é o mesmo que se resolver a seguinte
s
equação:
 dxs [ F ]


 ( xs , t )   dt [u ]
 x (t )  x
b
 s b
s
(Eq. 4.51)
Sendo o ponto ( xb , tb ) o ponto onde ocorre a catástrofe de gradiente pela
primeira vez.
Definição:
Dada uma função u ( x, t ) , que seja solução suave de ut  Fx  0 , satisfazendo
a condição de Rankine-Hugoniot, essa solução é dita “ondas de choque”, e a
função salto  ( x, t ) que divide o domínio em duas partes é dita “caminho de
s
choque”.
Exemplo 4.5:
Resolver o seguinte problema de valor inicial:
ut  uu x  0

1,

u ( x,0)  0,


x0
(Eq. 4.52)
x0
Solução:
1° Passo: Construção das características:
dx
u
dt
(Eq. 4.53)
Como a Equação 4.52 é homogênea, as características são dadas da seguinte
forma:
x  x0  C (u0 ( x0 )).t
(Eq. 4.54)
Ou seja:
45

47. x0
 x0  t ,
x
x0
 x0 ,
(Eq. 4.55)
As características do problema estão plotadas na Figura 4.11. É possível
observar que o breaking time ocorre no ponto ( xb , tb )  (0,0) .
Figura 4.11: Características do Exemplo 4.5.
2º Passo: Construção da solução:
De acordo com a Figura 4.11 existe uma zona de catástrofe de gradiente,
assim a solução será construída utilizando-se o conceito de ondas de choque.
du
0
dt
(Eq. 4.56)
u( x, t )  u( x0 ,0)
(Eq. 4.57)
Utilizando a definição de solução suave por partes:
1,

u ( x, t )  
0,

x  R
xR
(Eq. 4.58)



Portando, para se encontrar as regiões R e R , deve-se encontrar a curva de
caminho de choque. Assim, utilizando a Equação 4.51:
46

48.  dxs [ F ]


 ( xs , t )   dt [u ]
 x (t )  x
b
 s b
s
(Eq. 4.59)
A função fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definição:
Fx  u.u x
(Eq. 4.60)
Integrando a Equação 4.60 em relação a variável x , tem-se:
u2
F
2
(Eq. 4.61)
Assim, a Equação 4.59 pode ser escrita como:
2
2
 dxs 1 u   u 


 s ( xs , t )   dt 2 u   u 
 x (0)  0
 s
(Eq. 4.62)
De acordo com a Equação 4.58 u   0 e u   1 , assim:
 dxs 1


 s ( xs , t )   dt 2
 xs (0)  0

xs 
t
2
(Eq. 4.63)
(Eq. 4.64)
A Figura 4.12 mostra as características plotadas considerando a curva de
caminho de choque dada pela Equação 4.64, assim a solução final pode ser
escrita como:

1,

u ( x, t )  
0,


t
2
t
x
2
x
(Eq. 4.65)
A Figura 4.13 mostra a Solução 4.65 plotada para diferentes tempos. É
possível observar que a frente de choque se move com velocidade igual a 0.5 .
47

49. Figura 4.12: Características do Exemplo 4.5 plotadas junto à curva de caminho
de choque.
Figura 4.13: Solução do Exemplo 4.5 para diferentes valores de tempo.
Exemplo 4.6:
Resolver o seguinte problema de valor inicial:
ut  u 2u x  0

x 1

2,
u ( x,0)  1,
x 1


(Eq. 4.66)
48

50. Solução:
1° Passo: Construção das características:
Como a Equação 4.66 é homogênea, as características são dadas da seguinte
forma:
x  x0  C (u0 ( x0 )).t
(Eq. 4.67)
Ou seja:
 x0  4t ,
x
 x0  t ,
x 1
x 1
(Eq. 4.68)
As características do problema estão plotadas na Figura 4.14. É possível
observar que o breaking time ocorre no ponto ( xb , tb )  (1,0) .
Figura 4.14: Características do Exemplo 4.6.
2º Passo: Construção da solução:
De acordo com a Figura 4.14 existe uma zona de catástrofe de gradiente,
assim a solução será construída utilizando-se o conceito de ondas de choque.
Utilizando a definição de solução suave por partes:
49

51. 2,

u ( x, t )  
1,

x  R
(Eq. 4.69)
x  R


Portando, para se encontrar as regiões R e R , deve-se encontrar a curva de
caminho de choque. Assim:
 dxs [ F ]


 s ( xs , t )   dt [u ]
 x (t )  x
b
 s b
(Eq. 4.70)
A função fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definição:
Fx  u 2 .u x
(Eq. 4.71)
Integrando a Equação 4.60 em relação a variável x , tem-se:
F
u3
3
(Eq. 4.72)
Assim, a Equação 4.59 pode ser escrita como:
3
3
 dxs 1 u   u 


 s ( xs , t )   dt 3 u   u 
 x (0)  1
 s
(Eq. 4.73)
De acordo com a Equação 4.69 u   1 e u   2 , assim:
 dxs 7


 ( xs , t )   dt 3
 xs (0)  1

s
xs 
7t
1
3
(Eq. 4.74)
(Eq. 4.75)
A Figura 4.15 mostra as características plotadas considerando a curva de
caminho de choque dada pela Equação 4.75, assim a solução final pode ser
escrita como:
50

52. 
2,

u ( x, t )  
1,


 7t

x    1
3

 7t

x    1
3

(Eq. 4.76)
A Figura 4.16 mostra a Solução 4.76 plotada para diferentes tempos. É
possível observar que a frente de choque se move com velocidade 7 / 3 .
Figura 4.15: Características do Exemplo 4.6 plotadas junto à curva de caminho
de choque.
Figura 4.16: Solução do Exemplo 4.6 para diferentes valores de tempo.
51

53. 5 – Ondas de Rarefação
No Capítulo 3 foi deduzido o método das características para solução de
equações diferenciais parciais de 1ª ordem, e no Capítulo 4 foi deduzida uma
extensão do método das características para lidar com áreas de catástrofe de
gradiente. Nesse capítulo será deduzida a solução para uma área ainda não
discutida por onde não se passa nenhuma característica, denominadas áreas
de rarefação.
5.1 – Áreas de rarefação
Como discutido no tópico anterior, quando a função solução é decrescente com
velocidade crescente algumas áreas podem possuir mais de uma
característica, denominadas áreas de catástrofe de gradiente. Nesse tópico
serão discutidas algumas equações que possuem um vazio no plano das
características, essas áreas são denominadas áreas de rarefação. Para se
entender melhor a formação dessas zonas, o tópico será começado com o
Exemplo 5.1:
Exemplo 5.1:
Plotar as características da seguinte equação diferencial:
ut  uu x  0

0,

u ( x,0)  

1,

x0
(Eq. 5.1)
x0
Solução:
Utilizando o fato da Equação 5.1 ser homogênea:
x  x0  c(u0 ( x0 )).t
(Eq. 5.2)
x0
 x0 ,
x
x0
 x0  t ,
(Eq. 5.3)
As características dadas pela Equação 5.3 estão plotadas na Figura 5.1. É
0
possível ver o aparecimento de uma zona R
onde não passam
características, tal zona é denominada zona de rarefação.
52

54. Figura 5.1: Características do Exemplo 5.1.
Para melhor entendimento da solução do tipo ondas de rarefação, antes de se
apresentar a solução geral, será resolvido o Exemplo 5.1.
Podemos aproximar a solução do problema inicial por um problema que possui
as características homogêneas, apenas substituindo a condição inicial, da
seguinte forma:
ut  uu x  0

x  
0,

 

u ( x,0)   g ( x),    x  
1,

x  


(Eq. 5.4)
A Figura 5.2 mostra a diferença entre os perfis das soluções iniciais dada pelas
Equações 5.1 e 5.4. A Figura 5.3 mostra as características da Equação 5.4.
Do fato da Equação 5.4 ser homogênea, a solução pode ser escrita da seguinte
forma:
x  
0,

u ( x, t )   g ( x, t ),    x    t
1,
x  t

(Eq. 5.5)
53

55. Figura 5.2: Modificação da solução inicial da Equação 5.1.
Figura 5.3: Características da Equação 5.4.
Agora tomando o seguinte limite:
lim u ( x, t )
 0
(Eq. 5.6)
Tem-se:
x0
0,

u ( x, t )   g ( x, t ), 0  x  t
1,
xt

(Eq. 5.7)
54

56. A Figura 5.4 mostra as características da Equação 5.7. Agora o problema se
tornou se encontrar uma função g ( x, t ) que possua características contínuas e
que seja solução da Equação 5.1. De acordo com a Figura 5.4 a inclinação das
características muda na zona de rarefação, o que indica que a função g ( x, t )
possua a seguinte forma:
 x
g ( x, t )  g  
t
(Eq. 5.8)
Figura 5.4: Características da Equação 5.7.
Assim, como a função g ( x, t ) deve ser solução da Equação 5.1:
d [ g ( x, t )]
d [ g ( x, t )]
 g ( x, t )
0
dt
dx
(Eq. 5.9)
 x x
 x   x 1
 g '  2  g   g '   0
 t t
 t   t t
(Eq. 5.10)
 x   x  1 x 
g '  g    2   0
 t   t  t t 
(Eq. 5.11)
55

57. A Equação 5.11 admite duas soluções:
g ( x, t )  constante
(Eq. 5.12-a)
x
t
(Eq. 5.12-b)
g ( x, t ) 
Para se decidir qual solução melhor representa o Problema 5.1, deve-se
analisar a condição de Rankine-Hugoniot nas duas soluções, assim:
1ª: Solução 5.12-a:
0,

u ( x , t )  a ,
1,

x0
0  x  t , onde
a  constante
(Eq. 5.13)
xt
Aplicando a condição de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da função:
dxs [ F ] 1 (u  ) 2  (u  ) 2


dt [u ] 2 u   u 
(Eq. 5.14)
dxs
dt
(Eq. 5.15)

xs 0
a
0
2
Ou seja, a  0 .
dxs
dt

xs t
a 1
1
2
(Eq. 5.16)
Ou seja, a  1 .
Como a constante a tem que assumir dois valores diferentes, a Equação 5.13
não obedece à condição de Rankine-Hugoniot.
2ª: Solução 5.12-b:
0,
x

u ( x, t )   ,
t
1,

x0
0 xt
(Eq. 5.17)
xt
Aplicando a condição de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da função:
56

58. dxs [ F ] 1 (u  ) 2  (u  ) 2


dt [u ] 2 u   u 
(Eq. 5.18)
dxs
dt
(Eq. 5.19)
dxs
dt

xs  0
xs t
x
0
2t
x
1
t

1
2
(Eq. 5.20)
Fazendo x  0 na Equação 5.19, e x  t na Equação 5.20, observa-se que
a Equação 5.17 obedece à condição de Rankine-Hugoniot, sendo considerada
a solução da Equação 5.1.
A Figura 5.5 mostra a solução dada pela Equação 5.17 plotada para diferentes
tempos. Observa-se a presença de uma onda de avanço da solução, chamada
de onda de rarefação.
Figura 5.5: Solução da Equação 5.1, para diferentes valores de tempo.
5.2 – Solução geral de equações homogêneas com áreas de rarefação
No Tópico 5.1 foi construída uma solução do tipo ondas de rarefação para
resolver o Exemplo 5.1. Nesse tópico irá ser construída uma solução geral que
pode ser aplicada em todos os casos. Assim será construída a solução do
seguinte problema de Cauchy:
ut  C (u )u x  0

u  ,
xa


u ( x,0)   

u ,
xa


(Eq. 5.21)
57

59. Solução:
Utilizando o fato da Equação 5.21 ser homogênea, as características são
dadas da seguinte forma:
x  x0  c(u( x0 )).t
 x0  c(u (u  )).t ,

x
 x0  c(u (u  )).t ,

(Eq. 5.22)
xa
xa
(Eq. 5.23)
De acordo com a Equação 5.23 as características são retas, plotadas na Figura
5.6.
Figura 5.6: Características da Equação 5.21.
Da mesma forma que o Exemplo 5.1, a solução da Equação 5.21 pode ser
aproximada da seguinte forma:
u  ,
x  [a  c(u (u  )).t ]


u ( x, t )   g ( x, t ), [a  c(u (u  )).t ]  x  [a  c(u (u  )).t ]
 
x  [a  c(u (u  )).t ]
u ,

(Eq. 5.24)
De acordo com a Figura 5.6 a inclinação das características muda na zona de
rarefação, o que indica que a função g ( x, t ) possua a seguinte forma da
Equação 5.8, porém deslocada de uma constante a , ou seja:
58

60.  xa
g ( x, t )  g 

 t 
(Eq. 5.25)
Assim, calculando as derivadas parciais da função g ( x, t ) através da regra da
cadeia:
d [ g ( x, t )]
 ( x  a) 
  g ' ( x, t ). 2 
dt
 t

(Eq. 5.26)
d [ g ( x, t )]
1
 g ' ( x, t ). 
dx
t 
(Eq. 5.27)
Substituindo as Equações 5.26 e 5.27, na Equação 5.21:
 ( x  a) 
1
 g ' ( x, t ). 2   C ( g ( x, t )).g ' ( x, t ).   0
 t

t 
(Eq. 5.28)

1  ( x  a)  
g ' ( x, t ) C ( g ( x, t )).    2    0
t   t


(Eq. 5.29)
Da mesma forma que na Equação 5.11, a Equação 5.29 possui duas soluções
distintas, assim verificando a condição de Rankine-Hugoniot nas duas
condições, chega-se a conclusão que a solução fisicamente coerente da
Equação 5.29 é dada por:

1  ( x  a)  
 C ( g ( x, t )).    2    0
t   t


(Eq. 5.30)
 ( x  a) 
C ( g ( x, t ))  
 t 

(Eq. 5.31)
Por isso, a função g ( x, t ) é dada da seguinte forma:
 ( x  a) 
g ( x, t )  C 1 

 t 
(Eq. 5.32)
Logo, a solução da Equação 5.21 é dada por:
59

61. u  ,
x  [a  c(u (u  )).t ]

  ( x  a) 


u ( x, t )  C 1 
, [a  c(u (u )).t ]  x  [a  c(u (u )).t ]
  t 
u  ,
x  [a  c(u (u  )).t ]

(Eq. 5.33)
Exemplo 5.2:
Resolver o seguinte problema de Cauchy:
ut  u 3u x  0

x 1

1,
u ( x,0)  2,
x 1


(Eq. 5.34)
Solução:
1º Passo: Construção das características:
Como a Equação 5.34 é homogênea, as características são dadas da seguinte
forma:
x  x0  c(u( x0 )).t
(Eq. 5.35)
 x0  t ,
x
 x0  8t ,
(Eq. 5.36)
x 1
x 1
As características do problema estão plotadas na Figura 5.7. É possível
perceber uma zona de rarefação que começa no ponto ( xb , tb )  (1,0) .
Figura 5.7: Características do Exemplo 5.2.
60

62. 2° Passo: Construção da solução
A solução do tipo onda de rarefação pode ser escrita utilizando-se a Equação
5.33, dessa forma:
x  [1  t ]
1,

  ( x  1) 
u ( x, t )  C 1 
, [1  t ]  x  [1  8t ]
 t 

2,
x  [1  8t ]

(Eq. 5.37)
Nesse problema a função C (u ) é dada da seguinte forma:
C (u )  u 3
(Eq. 5.38)
Dessa forma, a solução da Equação 5.24 é dada por:
x  [1  t ]
1,

 ( x  1)
u ( x, t )  3
, [1  t ]  x  [1  8t ]
t

2,
x  [1  8t ]

(Eq. 5.39)
A Figura 5.8 mostra a solução dada pela Equação 5.39 plotada para diferentes
tempos.
Figura 5.8: Solução do Exemplo 5.2 plotadas em diferentes tempos.
61

63. 6 – Condição de Entropia
As soluções do tipo ondas de choque e ondas de rarefação são soluções
particulares da lei de conservação, quando é utilizada a noção de solução
suave por partes. Nesse tópico será visto que a noção de solução suave por
partes pode fazer com que um mesmo problema possua diversas soluções,
assim a condição de entropia será utilizada para se definir qual solução possui
maior significado físico.
6.1 – Não unicidade de soluções suaves por partes
Considere o seguinte problema de Cauchy:
ut  uu x  0

0,

u ( x,0)  

1,

x0
(Eq. 6.1)
x0
Utilizando-se a solução do tipo onda de rarefação, a solução da Equação 6.1
pode ser escrita como:
0,
x

u ( x, t )   ,
t
1,

x0
0 xt
(Eq. 6.2)
xt
Porém, utilizando-se a solução do tipo ondas de choque, a solução da Equação
6.1 pode ser escrita como:

0,


u ( x, t )   A,


1,

x
1
At
2
1
1
At  x  ( A  1)t , “onde (0  A  1) ”
2
2
1
( A  1)t  x
2
(Eq. 6.3)
Assim a Equação 6.1 possui uma solução do tipo onda de rarefação, e infinitas
soluções do tipo ondas de choque, note que todas as soluções obedecem à
condição de Rankine-Hugoniot.
62

64. 6.2 – Condição de entropia
Quando um problema de valor inicial tem mais de uma solução, utiliza-se a
condição de entropia para se escolher a solução mais realista do ponto de vista
da física do problema. A condição de entropia pode ser definida da seguinte
forma:
Definição:
Uma função u ( x, t ) satisfaz a condição de entropia se é possível encontrar
uma constante positiva E que satisfaz:
u x  h, t   u ( x, t ) E

h
t
(Eq. 6.4)
Para todo x  R e t  0 .
Graficamente a condição de entropia expressa à inclinação máxima que função
pode possuir com relação à variável x, como pode ser visto na Figura 6.1.
Figura 6.1: Representação gráfica da condição de entropia.
A condição de entropia também pode ser representada utilizando-se o conceito
de derivada parcial, da seguinte forma:
 u x  h, t   u ( x, t )  E
lim h0 

h

 t
(Eq. 6.5)
Que pode ser escrito como:
u x ( x, t ) 
E
,  x R , e t  0.
t
(Eq. 6.6)
63

65. Assim voltando ao Problema 6.1, deve-se analisar a condição de entropia nas
soluções do tipo ondas de choque e ondas de rarefação.
I.
Condição de Entropia na solução do tipo ondas de choque:
A Figura 6.2 mostra o gráfico da solução dada pela Equação 6.3, é possível ver
que a maior inclinação acontece nos pontos de descontinuidade da função,
assim, analisando o ponto da primeira descontinuidade, quando x  At / 2 :
u x  h, t   u ( x, t ) A

h
h
lim h0
A

h
(Eq. 6.7)
(Eq. 6.8)
O que indica que as soluções do tipo ondas de choque não satisfazem a
condição de entropia.
Figura 6.2: Solução do tipo ondas de choque, da Equação 6.1, para um tempo
t1 qualquer.
64

66. II.
Condição de Entropia na solução do tipo ondas de rarefação:
A Figura 6.3 mostra o gráfico representando a solução do tipo ondas de
rarefação para uma tempo t qualquer. É possível ver que a maior inclinação
ocorre no intervalo x  0, t1  , dessa forma:
u x  h, t   u ( x, t )
 u ' x (t1 , t1 )
h
(Eq. 6.9)
Figura 6.3: Solução do tipo ondas de rarefação, da Equação 6.1, para um
tempo t1 qualquer.
u ' x (t1 , t1 ) 
1
,  t1  0
t1
(Eq. 6.10)
Dessa forma, utilizando-se a condição de entropia:
u x  h, t   u ( x, t ) E
 , quando E  1
h
t
(Eq. 6.11)
Assim a solução do tipo ondas de rarefação satisfaz a condição de entropia,
sendo a solução mais fisicamente aceita.
Exemplo 6.1:
Verificar se a solução do tipo ondas de rarefação da equação 6.12 satisfaz a
condição de entropia.
65

67. ut  u 2 u x  0,    x  , t  0

x0

1,
u  x,0  2,
x0


(Eq. 6.12)
Solução:
1° Passo: Construção das curvas características:
Do fato da Equação 6.12 ser homogênea, as características são definidas da
seguinte forma:
x  x0  c(u( x0 )).t
(Eq. 6.13)
 x0  t , x  0
x
 x0  4t , x  0
(Eq. 6.14)
A Figura 6.4 mostra as características definidas pela Equação 6.14. É possível
observar a formação de uma zona de rarefação a partir do tempo t  0 .
Figura 6.4: Características da Equação 6.12.
2° Passo: Construção da solução:
A solução do tipo ondas de rarefação é dada de acordo com a seguinte
equação:
66

68. xt
1,

  x
u ( x, t )     , t  x  4t
 t
2,
x  4t

(Eq. 6.15)
A Figura 6.5 mostra o perfil da solução do Problema 6.12, para um tempo t1
qualquer a partir do início.
Figura 6.5: Perfil da solução da Equação 6.12, para um tempo t1 qualquer a
partir do início do problema.
3° Passo: Verificação da condição de entropia
De acordo com a Figura 6.5, a inclinação é máxima quando x  t1 , dessa
forma:
u x  h, t   u ( x, t )
 u ' x (t1 , t1 )
h
(Eq. 6.16)
xt
0,
 1

u ' x ( x, t )  
, t  x  4t
2 xt

0,
x  4t

(Eq. 6.17)
67

69. Combinando as Equações 6.16 e 6.17:
lim u ' x ( x, t1 )  0
x  t1
lim u ' x ( x, t1 ) 
x  t1 
1
,  t1  0
2t1
(Eq. 6.18)
(Eq. 6.19)
Assim, aplicando a condição de entropia:
1
u x  h, t   u ( x, t ) E
 , quando E 
2
h
t
(Eq. 6.20)
Assim a solução do tipo ondas de rarefação dada pela Equação 6.15 satisfaz a
condição de entropia.
Exemplo 6.2:
Verificar se a solução do tipo ondas de rarefação da equação 6.21 satisfaz a
condição de entropia.
ut  u 2u x  0,    x  , t  0

x0

0,
u  x,0  

x0
1,

(Eq. 6.21)
Solução:
1° Passo: Construção das curvas características:
As curvas características são dadas por:
x0
 x0 ,
x
x0
 x0  t ,
(Eq. 6.22)
A Figura 6.6 mostra as características definidas pela Equação 6.22. É possível
observar a formação de uma zona de rarefação a partir do tempo t  0 .
68

70. Figura 6.6: Características da Equação 6.21.
2° Passo: Construção da solução:
A solução do tipo ondas de rarefação é dada de acordo com a seguinte
equação:
x0
0,

  x
u ( x, t )     , 0  x  t
 t
1,
xt

(Eq. 6.23)
A Figura 6.7 mostra o perfil da solução do Problema 6.21, para um tempo t1
qualquer a partir do início do problema.
3° Passo: Verificação da condição de entropia
De acordo com a Figura 6.7, a inclinação é máxima quando x  0 , dessa
forma:
u x  h, t   u ( x, t )
 u ' x (0, t1 )
h
(Eq. 6.24)
69

71. Figura 6.7: Perfil da solução da Equação 6.21, para um tempo t1 qualquer a
partir do início do problema.
x0
0,
 1

u ' x ( x, t )  
, 0 xt
2 xt

0, t  x

(Eq. 6.25)
Combinando as Equações 6.24 e 6.25:
lim u ' x ( x, t1 )  0
(Eq. 6.26)
lim u ' x ( x, t1 )   ,  t1  0
(Eq. 6.27)
x 0 
x 0 
De acordo com a Equação 6.27 é impossível encontrar um valor E positivo
que satisfaça a condição de entropia, logo, a solução do tipo ondas de
rarefação dada pela Equação 6.23 não satisfaz a condição de entropia.
70

72. 7 – Propagação de Ondas em Meios Infinitos
No Capítulo 2 foi deduzida a solução de D’Alembert para a propagação de
ondas em meios infinitos, nesse capítulo essa equação será estudada em mais
detalhes.
7.1 – Equação de D’Alembert
Considerando o problema de propagação de ondas em meios infinitos, pode-se
enunciar o problema do seguinte modo:
Encontrar a solução da equação da onda:
utt  c 2u xx

c  constante
   x  

0  t  
“EDP Hiperbólica”
(Eq. 7.1)
“Condições Iniciais”
(Eq. 7.2)
Sujeito as seguintes condições iniciais:
u ( x,0)  u0 ( x)

ut ( x,0)  u1 ( x)
   x  
A solução desse conjunto de equações foi deduzida no Capítulo 2, dada pela
equação de D’Alembert escrita como:
u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 u1 (s)ds
2
2c x  ct
(Eq. 7.3)
Segue alguns exemplos da aplicação da Equação 7.3:
Exemplo 7.1:
Encontre a solução do seguinte problema:
utt  c 2u xx ,
x   ,,

u ( x,0)  sin( x)
u ( x,0)  0
 t
t 0
(Eq. 7.4)
Solução:
A solução da Equação 7.4 pode ser dada na forma de D’Alembert, escrita da
seguinte forma:
71

73. sin( x  ct )  sin( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 0ds
2
2c x  ct
u ( x, t ) 
sin( x  ct )  sin( x  ct )
2
(Eq. 7.5)
(Eq. 7.6)
Utilizando identidades trigonométricas, a Equação 7.6 pode ser escrita da
seguinte forma:
u( x, t )  sin( x).cos(ct )
(Eq. 7.7)
O que mostra que a solução possui um formato senoidal no espaço, com
amplitude oscilando segundo cos(ct ) . A Figura 7.1 mostra a solução dada pela
Equação 7.7, considerando c  2 .
Figura 7.1: animação da solução da Equação 7.4, para um valor c  2 .
Exemplo 7.2:
Encontre a solução do seguinte problema:
u  c 2u ,
x   ,,
xx
 tt

u ( x,0)  0

2
ut ( x,0)  xe  x

t 0
(Eq. 7.8)
Solução:
A solução é dada pela fórmula de D’Alembert:
u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 u1 (s)ds
2
2c x  ct
1 x  ct  s 2
u ( x, t ) 
 se ds
2c x  ct
(Eq. 7.9)
(Eq. 7.10)
72

74. x  ct
1 1 2
u ( x, t )    e  s 
2c  2
 x  ct
u ( x, t ) 
(Eq. 7.11)
2
1    x  ct 2
 e   x  ct  
e


4c 
(Eq. 7.12)
A Figura 7.2 mostra o perfil da solução dada pela Equação 7.12 para alguns
valores de tempo. É possível observar que a solução é composta por uma onda
viajante para a esquerda e outra para a direita, onde no início do problema elas
estão com interferência destrutiva, o que explica a condição de contorno
u( x,0)  0 .
Figura 7.2: animação da solução da Equação 7.8, para um valor c  2 .
Exemplo 7.3:
Encontre a solução do seguinte problema:
u  c 2u ,
x   ,,
xx
 tt

u ( x,0)  sin( x)

2
ut ( x,0)  xe  x

t 0
(Eq. 7.13)
Solução:
Observe que as condições iniciais da Equação 7.13 é igual à soma das
condições iniciais das Equações 7.4 e 7.8. Devido ao fato da equação da onda
ser linear, a solução é dada pela soma das Soluções 7.7 e 7.12. Para
demonstrar tal fato o problema será resolvido sem utilizar essa hipótese.
A solução do Problema 7.13 é dada pela equação de D’Alembert:
73

75. u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 u1 (s)ds
2
2c x  ct
u ( x, t ) 
sin( x  ct )  sin( x  ct ) 1 x  ct  s 2

 se ds
2
2c x  ct
u ( x, t )  sin( x).cos(ct ) 
2
1    x  ct 2
 e   x  ct  
e


4c 
(Eq. 7.14)
(Eq. 7.15)
(Eq. 7.16)
Que de fato é a soma das Equações 7.7 e 7.12. A Figura 7.3 mostra o perfil da
solução dada pela Equação 7.16 plotada para alguns valores de tempo. É
possível ver que a solução possui a característica oscilatória da Equação 7.7, e
a característica de onda viajante da Equação 7.12.
Figura 7.3: animação da solução da Equação 7.13, para um valor c  2 .
Teorema 7.1:
Se u0 ( x), u1 ( x)  C “As funções possuem derivadas segundas contínuas”
então existe a solução clássica e única da propagação da equação da onda em
meios infinitos, dada pela Equação de D’Alembert. Além disso, pode-se provar
que a solução além de única é estável, o que mostra que o problema da
propagação da onda é bem posto.
2
7.2 – Curvas características da equação da onda
A Equação da onda possui solução dada pela equação de D’Alembert, que
pode ser reescrita da seguinte forma:
u ( x  ct ,0)  u ( x  ct ,0) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 ut (s,0)ds
2
2c x  ct
(Eq. 7.17)
74

76. Essa forma mostra que a solução em um ponto ( x0 , t0 ) qualquer, depende
apenas da região compreendida entre ( x0  ct 0 , x0  ct 0 ) , esse intervalo é
chamado de domínio de dependência da solução em um ponto ( x0 , t0 ) . A
Figura 7.4 mostra o intervalo de dependência de um ponto ( x0 , t0 ) qualquer. É
possível observar que esse domínio pode ser encontrado traçando duas retas
com inclinações 1/ c e  1/ c .
Figura 7.4: Intervalo de dependência de um ponto ( x0 , t0 ) qualquer.
Da mesma forma que foi definido o intervalo de dependência, pode-se definir o
domínio de influência de um intervalo I qualquer, que é a região do espaço
onde a solução é influenciada pelas condições de contorno no intervalo I . A
Figura 7.5 mostra o domínio de influência do intervalo I , é possível perceber
que esse domínio é delimitado traçando-se duas retas com inclinações 1/ c e
 1/ c .
Figura 7.5: domínio de influência de um intervalo I qualquer.
75

77. 7.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características
Quando a equação da onda possui como condição inicial ut ( x)  0 , a solução
dada pela equação de D’Alembert pode ser escrita como:
u ( x, t ) 
u ( x  ct ,0)  u ( x  ct ,0)
2
(Eq. 7.18)
O que mostra que a solução em todos os pontos do domínio depende somente
dos valores iniciais da função no domínio. A Figura 7.6 mostra que a solução
em um ponto qualquer é dada por uma média dos valores iniciais nos extremos
do intervalo de dependência.
Figura 7.6: Solução da Equação da onda baseado nas curvas características.
Exemplo 7.4:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda:
utt  4u xx

1,

u ( x,0)  
0,

ut ( x,0)  0

x  (0,1)
, ( x R , t  0)
x  (0,1)
(Eq. 7.19)
Solução:
Nesse caso o domínio de influência do intervalo inicial é calculado traçando-se
as seguintes retas:
1
t
r1  x0  t 
c
2
(Eq. 7.20)
76

78. 1
t
r2  x0  t  
c
2
(Eq. 7.21)
1
t
r3  x1  t  1 
c
2
(Eq. 7.22)
1
t
r4  x1  t  1 
c
2
(Eq. 7.23)
A Figura 7.7 mostra essas curvas plotadas no plano x  t . É possível perceber
que o domínio foi dividido em seis regiões distintas, onde a solução deve ser
construída separadamente para cada domínio.
Figura 7.7: Domínio de influência do perfil de solução inicial.
As soluções para cada domínio são dadas por:
1
u D1  (0  0)  0
2
(Eq. 7.24)
1
u D 2  (1  1)  1
2
(Eq. 7.25)
1
u D3  (0  0)  0
2
(Eq. 7.26)
1
1
u D 4  (0  1) 
2
2
(Eq. 7.27)
77

79. 1
u D5  (0  0)  0
2
(Eq. 7.28)
1
1
u D 6  (0  1) 
2
2
(Eq. 7.29)
A Figura 7.8 exemplifica graficamente o cálculo feito para os domínios D2 e
D4 .
Figura 7.8: Cálculo da solução da Equação 7.19 nos domínio D2 e D4 .
A Figura 7.9 mostra todas as soluções plotadas no plano x  t . É possível
perceber a presença do domínio de influência no perfil da solução no domínio.
Figura 7.9: Soluções da Equação 7.19 plotadas no plano x  t .
78

80. Com base na Figura 7.9 é possível criar uma animação no perfil da solução,
criando cortes com tempo constante, como mostrado na Figura 7.10.
Figura 7.10: Corte feito no plano x  t para um tempo constante, mostrando o
perfil da solução naquele tempo.
A Figura 7.11 mostra uma animação do perfil da solução criada a partir de
quatro cortes realizados no plano x  t . É possível observar que o perfil inicial
da solução se dissolve em duas ondas viajando com sentidos contrários.
Figura 7.11: Animação da solução da Equação 7.19, considerando quatro
tempos distintos.
A solução da Equação 7.19 também pode ser dada da forma analítica, da
seguinte forma:
79

81. Para t  1

0,

1 ,
2


u ( x, t )  1,

1
2 ,

0,


1
x t
2
1
1
 tx t
2
2
1
1
t  x 1 t
2
2
1
1
1 t  x 1 t
2
2
1
1 t  x
2
Para t  1

0,

1 ,
2


u ( x, t )  0,

1
2 ,

0,


1
x t
2
1
1
 t  x 1 t
2
2
1
1
1 t  x  t
2
2
1
1
t  x 1 t
2
2
1
1 t  x
2
(Eq. 7.30)
Exemplo 7.5:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda:
utt  9u xx

x0
 0,

 1, 0  x  1




u ( x,0)   0, 1  x  4 , ( x  R , t  0 )

 1, 4  x  5


 0,
5 x



ut ( x,0)  0
(Eq. 7.31)
Solução:
1° Passo: Construção dos domínios de influências:
As retas que delimitam os domínios de influência são dadas por:
r  x0 
t
c
(Eq. 7.32)
Ou seja:
r1  
r2 
t
3
t
3
(Eq. 7.33)
(Eq. 7.34)
80

82. r3  1 
t
3
(Eq. 7.35)
r4  1 
t
3
(Eq. 7.36)
r5  4 
t
3
(Eq. 7.37)
r6  4 
t
3
(Eq. 7.38)
r7  5 
t
3
(Eq. 7.39)
r8  5 
t
3
(Eq. 7.40)
A Figura 7.12 mostra o domínio de influência da solução inicial da Equação
7.31 plotado no plano x  t . É possível perceber a formação de 15 domínios
separados.
Figura 7.12: Domínio de influência da solução inicial da Equação 7.31.
A Figura 7.13 mostra as soluções em cada domínio do problema, utilizando-se
a Equação 7.18.
81

83. Figura 7.13: Solução da Equação 7.31, plotada no plano x  t .
A Figura 7.14 mostra uma animação do perfil da solução para alguns valores
de tempo. É possível ver o aparecimento de duas ondas viajantes para cada
condição de contorno inicial, e a interferência causada entre elas.
Figura 7.14: Animação do perfil da solução da Equação 7.31.
82

84. 7.4 – Conservação de energia na equação da onda
Em vários problemas da física é assumido que a energia total do sistema é
conservada, no caso da propagação de ondas em meios infinitos, podemos
definir a função energia do sistema como:
e(t ) 


1 2
2 2
 ut ( x, t )  c u x ( x, t ) dx
2R
(Eq. 7.41)
O próximo passo é provar que a energia do sistema se conserva, ou seja:
e(t )  e(0)
(Eq. 7.42)
Para isso assumem-se as seguintes hipóteses:
 u1 ( x)dx  
2
(Eq. 7.43)
R
2
 d (u0 ( x)) 
  dx  dx  

R
(Eq. 7.44)
lim (ut u x )  0
(Eq. 7.45)
x 
Agora, derivando a equação da energia (Equação 7.41) no tempo:



d (e(t )) d  1 2
2
   ut ( x, t )  c 2u x ( x, t ) dx 
dt
dt  2 R

(Eq. 7.46)
Trocando a ordem da derivada com a integração, e aplicando a regra da
cadeia:


d (e(t ))
  utt ( x, t )ut ( x, t )  c 2u x ( x, t )u xt ( x, t ) dx
dt
R
(Eq. 7.47)
Utilizando a regra de integral por partes no segundo membro da Equação 7.47:
c
R
2
u x ( x, t )u xt ( x, t )dx  c 2 u x ut


 c 2  u xx ( x, t )ut ( x, t )dx
(Eq. 7.48)
R
83

85. Utilizando a consideração 7.45, pode-se escrever a Equação 7.48 como:
c
2
u x ( x, t )u xt ( x, t )dx  c 2  u xx ( x, t )ut ( x, t )dx
R
(Eq. 7.49)
R
Substituindo na Equação 7.47:



d (e(t ))
  utt ( x, t )  c 2u xx ( x, t ) ut ( x, t ) dx
dt
R
(Eq. 7.50)
Percebe-se que o termo dentro da integral é a equação da onda, assim:
d
e(t )  0
dt
(Eq. 7.51)
Ou seja, a energia da onda é uma constante. Substituindo as condições de
contorno do problema:
e(t )  e(0) 


1
2
2
2
 u1 ( x)  c u0 ' ( x) dx
2R
(Eq. 7.52)
84

86. 8 – Propagação de Ondas em Meios Semi-Infinitos
No Capítulo anterior foi estudada a solução de D’Alembert para a propagação
de ondas em meios infinitos, nesse capítulo será desenvolvida a equação de
D’Alembert modificada capaz de modelar a propagação de ondas em meios
semi-infinitos. Quando o meio é tratado como semi-infinito é necessário à
criação de uma condição de contorno capaz de modelar a interação da onda
com o ponto de descontinuidade do domínio, nesse capítulo serão estudadas
duas condições de contorno diferentes:
i.
Condição de Dirichlet:
A condição de Dirichlet é deduzida considerando-se que a corda por onde se
propaga a onda é fixa em um ponto, ou seja:
u(0, t )  f (t )
ii.
(Eq. 8.1)
Condição de Neumann:
A condição de Neumann é deduzida considerando-se que a corda possui a
extremidade livre para oscilar, ou possui uma oscilação criada por algum
mecanismo, ou seja:
u x (0, t )  g (t )
(Eq. 8.2)
8.1 – Meios semi-infinitos, condição de Dirichlet
O problema de propagação de uma onda em um meio semi-infinito, utilizandose a condição de Dirichlet pode ser definido como:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  u0 ( x)
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  u1 ( x)

u (0, t )  f (t )

(Eq. 8.3)
De fato, primeiro será encontrada a solução para o caso onde a corda estará
fixa na origem do sistema, ou seja:
85

87. utt  c 2u xx

u ( x,0)  u0 ( x)
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  u1 ( x)

u (0, t )  0

(Eq. 8.4)
Para se resolver essa equação, será utilizada uma técnica chamada
superposição de efeitos, ou seja, a solução será composta por uma solução no
domínio real, porém apenas a parte positiva da solução será considerada. Para
se construir a solução, será assumido que as condições iniciais são dadas por
funções ímpares, ou seja:
x0
u0 ( x),
~
u0 ( x)  
x0
 u0 ( x),
(Eq. 8.5)
x0
u ( x),
~
u1 ( x)   1
x0
 u1 ( x),
(Eq. 8.6)
Dessa forma, a condição de contorno u (0, t )  0 será satisfeita para qualquer
valor de tempo. A Figura 8.1 mostra uma extensão ímpar de uma função
qualquer, observe que a função obrigatoriamente passa pela origem do
sistema.
Figura 8.1: Extensão ímpar de uma função qualquer.
Assim, a Equação 8.4 pode ser escrita como:
~
~
utt  c 2u xx
~
~
u ( x,0)  u0 ( x) , ( x  R , t  0 )
u ( x,0)  u ( x)
~
~
1
 t
(Eq. 8.7)
A Equação 8.7 possui solução dada pela Equação de D’Alembert, definida por:
x  ct
~
~
~( x, t )  u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )  1 u ( s)ds
~
u
 1
2
2c x  ct
(Eq. 8.8)
86

88. Utilizando as definições de funções ímpares, e observando que ( x  ct ) é
sempre positivo para o semieixo positivo, a solução pode ser rescrita como:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct


 u1 ( s)ds, ( x  ct )  0
2
2c x  ct

u ( x, t )  
x  ct
  u0 (ct  x)  uo ( x  ct )  1 u ( s)ds, ( x  ct )  0
 1

2
2c ct  x

(Eq. 8.9)
A Equação 8.9 é chamada de equação de D’Alembert modificada, e
corresponde à solução da Equação 8.4, considerando-se que ( x, t )  0 .
Exemplo 8.1:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda em meio semi-infinito:
utt  4u xx

2
u ( x,0)  e   x  5 
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  0
u (0, t )  0

(Eq. 8.10)
Solução:
A solução do problema 8.10 é dada pela Equação 8.9, substituindo os valores:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
, ( x  ct )  0


2
u ( x, t )  
  u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) , ( x  ct )  0


2
(Eq. 8.11)
 e  ( x  2t  5) 2


u ( x, t )  
2
 e  ( x  2t  5)


(Eq. 8.12)
 e  ( x  2t  5)
,
2
2
e
2
 ( 2t  x  5) 2
,
x  2t
x  2t
A Figura 8.2 mostra o perfil da Solução 8.12 plotada para alguns valores de
tempo. É possível perceber que nos momentos iniciais o perfil inicial se divide
em dois pulsos, um viajando para a esquerda e outro para a direita. Quando o
pulso viajante para a esquerda encontra a origem, ele é refletido, ocorrendo
uma inversão de fase, característica de condições do tipo Dirichlet.
87

89. Figura 8.2: Solução da Equação 8.10, plotada para alguns valores de tempo.
Após a criação da solução da Equação 8.4, será criada a solução da seguinte
equação:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  0
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  0
u (0, t )  f (t )

(Eq. 8.13)
A solução do Problema 8.13 é dada por uma onda viajante para a direita e uma
para esquerda, assim:
u( x, t )  F ( x  ct )  G( x  ct )
(Eq. 8.14)
Como a única fonte de propagação de onda está no limite esquerdo do
problema, só é possível a criação de ondas viajantes para a direita, assim:
u( x, t )  F ( x  ct )
(Eq. 8.15)
Aplicando a condição de contorno:
f (t )  F (ct )
(Eq. 8.16)
Considerando a seguinte substituição:
 ct  x  ct
(Eq. 8.17)
A Equação 8.16 pode ser escrita como:
x

F ( x  ct )  f  t  
 c
(Eq. 8.18)
Porém a substituição feita só vale para valores positivos do tempo, assim, a
solução da Equação 8.13 é dada por:
88

90. x
 
 f t  c  t 


u ( x, t )   

0
t


x
c
x
c
(Eq. 8.19)
Agora, com as soluções dos Problemas 8.4 e 8.13, e devido ao fato da
equação da onda ser linear, a solução da Equação geral 8.3 é dada pela soma
das soluções encontradas, assim a solução é dada por:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct


 u1 (s)ds, ( x  ct )  0
2
2c x  ct

u ( x, t )  
x  ct
  u0 (ct  x)  uo ( x  ct )  1 u ( s)ds  f  t  x , ( x  ct )  0


 1

2
2c ct  x
 c

(Eq. 8.20)
8.2 – Meios semi-infinitos, condição de Neumann
O problema de propagação de uma onda em um meio semi-infinito, utilizandose a condição de Neumann pode ser definido como:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  u0 ( x)
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  u1 ( x)

u (0, t )  g (t )
 x
(Eq. 8.21)
Primeiro será encontrada a solução quando g (t )  0 , assim o problema passa
a ser definido como:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  u0 ( x)
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  u1 ( x)

u (0, t )  0
 x
(Eq. 8.22)
Para se resolver essa equação, será utilizada novamente à técnica da
superposição de efeitos, só que agora as condições iniciais são dadas por
funções pares, ou seja:
89

91. u0 ( x), x  0
~
u0 ( x)  
x0
u0 ( x),
(Eq. 8.23)
u ( x), x  0
~
u1 ( x)   1
x0
u1 ( x),
(Eq. 8.24)
Uma propriedade importante das funções pares é que suas derivadas são
funções ímpares, ou seja:
~
u x (0, t )  0
(Eq. 8.25)
Dessa forma, a condição de contorno u x (0, t )  0 será satisfeita para qualquer
valor de tempo. A Figura 8.3 mostra uma extensão par de uma função
qualquer, observe que a função possui derivada zero na origem do sistema.
Figura 8.3: Extensão par de uma função qualquer.
Assim a Equação 8.22 pode ser reescrita como:
~
~
utt  c 2u xx
~
~
u ( x,0)  u0 ( x) , ( x  0 , t  0 )
u ( x,0)  u ( x)
~
~
1
 t
(Eq. 8.26)
A solução da Equação 8.26 é dada pela fórmula de D’Alembert, definida como:
x  ct
~
~
~( x, t )  u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )  1 u ( s)ds
~
u
 1
2
2c x  ct
(Eq. 8.27)
Utilizando as definições de funções pares, e observando que ( x  ct ) é
sempre positivo para o semieixo positivo, a solução pode ser rescrita como:
90

92.  u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct


 u1 (s)ds, ( x  ct )  0
2
2c x  ct

u ( x, t )  
x  ct
ct  x
 u0 (ct  x)  uo ( x  ct )  1  u ( s)ds  u ( s)ds , ( x  ct )  0
  1

 1

2
2c  0
0


(Eq. 8.28)
De fato a Equação 8.28 é a solução da Equação 8.22. O próximo passa é
encontrar a solução do seguinte problema:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  0
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  0

u (0, t )  g (t )
 x
(Eq. 8.29)
A solução do Problema 8.29 é dada por uma onda viajante para a direita e uma
para esquerda, assim:
u( x, t )  F ( x  ct )  G( x  ct )
(Eq. 8.30)
Como a única fonte de propagação de onda está no limite esquerdo do
problema, só é possível a criação de ondas viajantes para a direita, assim:
u( x, t )  F ( x  ct )
(Eq. 8.31)
Aplicando a condição de contorno:
u x (0, t )  F ' x (ct )  g (t )
(Eq. 8.32)
Definindo a seguinte substituição:
 ct  x  ct
(Eq. 8.33)
A Equação 8.32 pode ser escrita como:
x

F ' x ( x  ct )  g  t  
 c
(Eq. 8.34)
Ou seja:
F ( x  ct ) 
 
g  t  d
c
x 
x

(Eq. 8.35)
Aplicando uma substituição de variáveis:
91

93. F ( x  ct )  c
 x
t  
 c
 g  d
(Eq. 8.36)
 x
t  
 c
Como a condição de contorno só tem validade para a parte positiva do
domínio:
 t  x 


  c
x
 c  g ( )d , t 
u ( x, t )  
c
0

x
0,
t

c

(Eq. 8.37)
Agora, com as soluções dos Problemas 8.22 e 8.29, e devido ao fato da
equação da onda ser linear, a solução da Equação geral 8.21 é dada pela
soma das soluções encontradas, assim a solução é dada por:
( x  ct )  0
u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 u1 (s)ds,
2
2c x  ct
( x  ct )  0
(Eq. 8.38)
( x  ct )  0
u ( x, t ) 
 x  ct
u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) 1
 
2
2c 

ct  x

 x
t  
 c
0

0
 u1 ( s)ds   u1 ( s)ds   c  g ( )d

0
Exemplo 8.2:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda em meio semi-infinito
com condição de Neumann:
92

94. utt  4u xx

2
u ( x,0)  e   x  5 
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  0
u (0, t )  0
 x
(Eq. 8.39)
Solução:
A solução do problema 8.39 é dada pela Equação 8.38, substituindo os valores:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
,


2
u ( x, t )  
 u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) ,


2
 e  ( x  2t  5) 2


u ( x, t )  
2
 e  ( x  2t  5)


( x  ct )  0
(Eq. 8.40)
( x  ct )  0
 e  ( x  2t  5)
,
2
2
e
2
 ( 2t  x  5) 2
,
x  2t
(Eq. 8.41)
x  2t
A Figura 8.4 mostra o perfil da Solução 8.41 plotada para alguns valores de
tempo. É possível perceber que a solução é a mesma da Figura 8.2, porém a
reflexão não é acompanhada por uma inversão de fase da onda, caraterística
da condição de contorno do tipo de Neumann.
Figura 8.4: Solução da Equação 8.41, plotada para alguns valores de tempo.
93

95. 8.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características
para um meio semi-infinito
Quando a equação da onda possui como condição inicial ut ( x)  0 , e
condições de contorno nulas, a solução dada pela equação de D’Alembert
modificada pode ser escrita como:
Condição de Dirichlet:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
, ( x  ct )  0


2
u ( x, t )  
  u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) , ( x  ct )  0


2
(Eq. 8.42)
Condição de Neumann:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
,


2
u ( x, t )  
 u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) ,


2
( x  ct )  0
(Eq. 8.43)
( x  ct )  0
Plotando no plano x  t (Figura 8.5) é possível ver a aparição de duas zonas
distintas.
Figura 8.5: Domínio do problema de propagação de ondas em meios semiinfinitos.
Como mostrado na Figura 8.6, a solução na Região 1 não está no domínio de
influência da condição de contorno, assim a solução é dada pela equação de
D’Alembert normal, definida por:
u ( x, t ) 
u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
2
(Eq. 8.44)
94

96. Figura 8.6: Intervalo de dependência da solução na Região 1.
A Figura 8.7 mostra que a solução na Região 2 sofre influência da condição de
contorno, assim a solução é dada pela fórmula de D’Alembert modificada,
definida por:
Condição de Dirichlet
u ( x, t ) 
u0 ( x  ct )  uo (ct  x)
2
(Eq. 8.45)
Condição de Neumann
u ( x, t ) 
u0 ( x  ct )  uo (ct  x)
2
(Eq. 8.46)
Outra forma de se resolver o problema é definir as extensões ímpares ou pares
da condição inicial do problema, e resolver o problema utilizando-se a equação
de D’Alembert, como será mostrado no próximo exemplo.
Exemplo 8.3:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda em meio semi-infinito:
utt  4u xx

u ( x,0)  1, x  (1,2)



0, x  (1,2) , ( x  0 , t  0 )
u ( x,0)  0
 t
u (0, t )  0

(Eq. 8.47)
Solução:
Como a condição de contorno do problema é do tipo Dirichlet, será utilizada
uma extensão ímpar do perfil inicial do problema, definido por:
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