Análise de carregamento hidrodinâmico em estruturas flutuantes

Baia da Guanabara – Abril 2010

Análise de Carregamento Hidrodinâmico em
Estruturas Flutuantes
Parte I – A Excitação

João Henrique VOLPINI Mattos
Engenheiro Naval
Regional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV Software

Setembro 2012

Hidrodinâmica
É uma especialidade da mecânica dos fluidos que trata da iteração entre
corpos rígidos e fluidos (notadamente incompressíveis) através do estudo do
escoamento ao longo do casco da unidade, bem como em outros corpos
como pás do propulsor, leme, túnel do impelidor lateral, etc.
 Resistência ao avanço : Avalia a resistência contra o movimento causada
primariamente pelo fluxo de água ao longo do casco.
 Propulsão : A força para mover o navio através da água é dado por propulsores
de vários tipos, jatos de água, vela, etc. Sua iteração com o meio irá definir a
eficiência propulsiva.
 Carregamento hidrodinâmico : Avalia as pressões, forças e momentos
induzidos no casco pelas ondas, correnteza, etc.

 Movimento do navio : Avalia os movimentos (deslocamentos, velocidade e
acelerações) da embarcação e sua resposta em ondas.
 Manobrabilidade : Avalia o controle e manutenção da posição e direção da
embarcação.

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Características Importantes
 Algumas características do comportamento em ondas são importantes no
projeto de uma unidade flutuante, sob o ponto de vista da segurança e
conforto :
- Movimentos e acelerações em diversos pontos do
casco
- Tensões ocorrentes em pontos do casco.
- Ocorrência de batida de proa (slamming).
- Incidência de água no convés (green sea).
- Ocorrência de emersão do propulsor.
- Perda de velocidade em ondas.

 Para calcular tudo isto, o primeiro passo é uma
compreensão adequada das ondas : seu com-
portamento real, seus modelos matemáticos,
sua distribuição no tempo e no espaço, ...


Alguma
Matemática
(não tão)
Básica


Aí Vem Coisa ....
 Você que provavelmente tem um background em matemática, engenharia
civil, mecânica dos fluidos ou física, certamente não tem medo de
derivadas parciais ou funções de transferência quadráticas …

Ou tem ?

 Na matemática aplicada à hidrodinâmica, temos que conhecer alguns
conceitos; cálculo vetorial, equações diferenciais, operadores diferenciais,
números complexos...
 Não que este conhecimento seja fundamental a compreensão deste texto,
mas será se quiser ler posteriormente algum livro ou artigo sobre o
assunto.


Alfabeto Grego
LETRA NOME UTILIZAÇÃO LETRA NOME UTILIZAÇÃO
α Alpha
ν Nu
Coeficiente de viscosidade
cinemática
Ângulo entre o aproamento e a
β Beta direção da onda, parâmetro de ξ Xi Fator de amortecimento
escala de Weibull
ο Omicron
Fator de intensificação de pico,
γ Gamma
assimetria π Pi 3.1415926535897932384626...
δ Delta Amplitude da onda
ρ Rho Densidade
ε Epsilon Largura de banda
σ Sigma Desvio padrão
ζ Zeta Elevação da onda
τ Tau Período de retorno
η Eta
υ Upsilon
Parâmetro de localização de
θ Teta
Weibull, ângulo de arfagem Função de distribuição
φ Phi acumulada, ângulo de jogo,
ι Iota potencial de velocidades

κ Kappa χ Chi

λ Lambda Comprimento da onda ψ Psi Ângulo de guinada

Profundidade relativa, média
ω Omega Frequência angular
μ Mu
estatística de valores

Produto Escalar
 O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores A e B é um
número real resultado do produto do comprimento de A pela projeção de
B em A B

   
A • B = A . B cos(θ )
A
|B|cos(θ)

 Em um sistemas de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde

A = (a1 , a2 ,... , an )

B = (b1 , b2 ,... , bn )
então
  n
A • B = ∑ ai bi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
i −1


Produto Vetorial
 O produto vetorial (ou produto externo) entre dois vetores A e B no espaço
tridimensional é um outro vetor perpendicular a ambos os vetores (ou
normal ao plano formado por ambos)
Aₓ B
   
A × B = A . B sin (θ )n
ˆ n é o vetor unitário perpendicular tanto a
A quanto a B
B
|A ₓ B|

A i, j, k são os vetores unitários
nas direções x,y,z
 Em notação matricial, se
 
A = a1ii + a2 j + a3k = [a1 a2 a3 ] e B = b1i + b2 j + b3k = [b1 b2 b3 ]
então i j k
 
A × B = (a2b3 − a3b2 )i + (a3b1 − a1b3 ) j + (a1b2 − a2b1 )k = det a1 a2 a3 
 
b1 b2 b3 
 


Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
 Enquanto as funções trigonométricas geram círculos, as funções hiperbóli-
cas vão gerar uma hipérbole.

𝑒 𝛼 + 𝑒 −𝛼
𝑥 = cos 𝛼 𝑥 = cosh 𝛼 =
2 −𝛼
x2 + y2 = 1

𝑦 = sin 𝛼 𝑒 − 𝑒
𝛼
𝑦 = sinh 𝛼 =
2

cos sin cosh
tan

tanh

sinh


Campo
 Em vários processos físicos existem grandezas que variam com a posição e
o tempo e que podem ser representadas por uma função f(x,y,z,t) que é
denominada campo.
 Um campo é estacionário quando independe do tempo f(x,y,z).
 Um campo é escalar quando a grandeza característica do campo é escalar.
 Exemplos :
• A distribuição de temperatura
em uma sala.
Campo escalar
f ( x, y, z ) = 3x + 5 y 2 − sin z • A intensidade do som em um
cinema.

• O campo magnético terrestre.
Campo vetorial • A velocidade da água em uma

F ( x, y, z ) = (3x + 5 yz,5 xz,3 xy) pia aberta.


O Operador Nabla William Rowan Hamilton
Matemático irlandês 1806-1865

 Foi introduzido pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton, sendo
usado no cálculo vetorial para denominar o operador diferencial.
 Em coordenadas cartesianas
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ = x + y + z ou ∇ = i + j + k
ˆ ˆ ˆ ou ∇ =  , , 
 ∂x ∂y ∂z 
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z  

i, j, k são os vetores unitários
nas direções x,y,z

 Em coordenadas cilíndricas
∂ 1 ∂ ∂
∇= ρ+
ˆ ϕ+ z
ˆ ˆ
∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

 Em coordenadas esféricas ρ
∂ 1 ∂ ˆ 1 ∂
∇= r+ ˆ θ+ ϕ
ˆ
∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ


Gradiente
 É uma função vetorial que indica o sentido e direção da maior alteração do
valor uma função escalar por unidade de espaço.
∂f ∂f ∂f
 Suponha um campo escalar f(x,y,z), então ∇f = i + j + k
∂x ∂y ∂z
 Exemplo : se f ( x, y, z ) = 3 x + 5 y − sin z
2

então
∇f = 3i + 10 yj − cos zk

 O gradiente de f(x,y) em (x,y) é normal à “curva de
nível” no ponto (x,y), apontando para a direção de
crescimento máximo de f(x,y).
 Em suma, o gradiente de uma função escalar é
um vetor com módulo, direção e sentido que
representa a taxa máxima de crescimento desta
função escalar.


Divergente
 Divergente de um campo vetorial F é um escalar que representa o fluxo do vetor por
unidade de volume V é o volume em uma região arbitrária
 F.n
∇ • F = lim ∫∫ dS S(V) é a superfície deste volume
n é o vetor normal à área
V →0 S (V ) V

 Ele é calculado como o produto escalar entre o operador ∇ e um campo vetorial.
  ∂Fx ∂Fy ∂Fz
 Suponha um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k , então ∇ • F = + +
∂x ∂y ∂z
 Ou seja, divergente é um operador que mede a magnitude da “fonte” ou “sumidouro”
de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, pode ser entendido como um
escalar que mede a dispersão dos vetores do campo em um determinado ponto.

 Exemplo : Se o ar é aquecido em uma sala, ele irá se expandir
em todas as direções. O divergente será positivo pois se obser-
varmos um pequeno volume desta região teremos mais ar saindo
do que entrando neste volume : uma fonte.
 
V = (3x − 2 y + z )i + (10 − cos y ) j + (5 x + 5 y − z )k ∇ • V = 3 + sin y − 1 = 2 + sin y


Rotacional Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholçtz
Médico e físico alemão 1821-1894

 O rotacional de um campo vetorial pode ser entendido físicamente como
uma medida de sua circulação por unidade de área (vorticidade).

 ∫ Fds
(∇ × F ) • n = lim c
ˆ
A A→ 0

 Suponha um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k , então
  ∂Fz ∂Fy   ∂Fx ∂Fz   ∂Fy ∂Fx 
 ∂y − ∂z i +  ∂z − ∂x  j +  ∂x − ∂y k
∇×F =    
     

i j k

 Ou em termos matriciais ∇ × F = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
Fx Fy Fz
 A direção do rotacional aponta para o eixo de rotação e sua magnitude é
dada pelo módulo do rotacional.
 
V = (3 x − 2 y + z )i + (10 − cos y ) j + (5 x + 5 y − z )k ∇ × V = 5i + 6 j − 2k


Laplaciano Pierre Simon Laplace
Matemático francês 1749-1827

 O operador Laplaciano é um escalar definido como o divergente de um
gradiente. Na verdade, isto é uma simplificação, pois ele também pode ser
aplicado a campos vetoriais.
∂2 f ∂2 f ∂2 f Laplaciano escalar aplicado a um campo escalar.
∇ • ∇f = ∇ f = ∆f = 2 + 2 + 2
2

∂x ∂y ∂z
  Laplaciano vetorial aplicado a um campo
∇ × ∇F = ∇ F = ∇ 2 Fx i + ∇ 2 Fy j + ∇ 2 Fz k
2
vetorial. Pode ser encarado como a soma dos
laplacianos dos componentes ortogonais.

 Exemplo : Fisicamente o Laplaciano pode ser
visualizado como uma medida da “concavidade” ou
mudança de direção de uma função - uma rampa
linear teria Laplaciano nulo.

Equação de Laplace ∇2 f = 0


Escoamento Potencial
 Em fluidodinâmica, um escoamento potencial é aquele que pode descrever
o campo de velocidades como o gradiente de uma função escalar : o
potencial de velocidades.

v = ∇ϕ

 Exemplo matemático ϕ ( x, y ) = 3 x + 2 y

v ( x, y ) = (3,2)

 Se o escoamento é potencial, então ∇ × v = 0 O rotacional é nulo

 Se o fluido é incompressível, então ∇ ϕ =0
2
O Laplacianol é nulo

 O escoamento potencial não apresenta turbulência nem camada limite.


Teorema de Green George Green
Matemático inglês 1793-1841

 Matematicamente, o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao
longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região
limitada por esta curva.
 Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano
delimitada por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real com
derivadas parciais contínuas na região contendo D, então :
 ∂Q ∂P 
∫
C
Pdx + Qdy = ∫∫ 
D  ∂x

− dA
dy 


 Na fluidodinâmica este teorema é utilizado para descrever o relacionamento
pelo qual um fluido incompressível se move ao longo ou através de uma
fronteira em um plano e o modo pelo qual ele se move dentro desta região.


Física
(meio)
Básica


Milha
 Milha Náutica : A definição atual da milha náutica (ou milha marítima) foi adotada
em 1929 pela First International Extraordinary Hydrographic Conference, realizada
em Mônaco.

1 mn = 1852 m

Historicamente a milha náutica foi definida como sendo o comprimento de 1 minuto de arco
ao nível do mar, medida ao longo dos meridianos ou do equador.

A milha terrestre é definida como 5280 pés (1609.344 m), e historicamente foi definida na
Roma antiga como a distância percorrida em 1000 passos por uma coluna de soldados.


Nó
 O nó (knot) é a unidade de velocidade normalmente utilizada nos meios marítimos.

1 nó = 1 mn/h = 1852 m/h = 0.5144 m/s = 1,852 km/h

O nome veio historicamente do processo utilizado
para medir velocidades, onde uma corda com nós
espaçados de 50 pés, amarrada a uma tábua de
madeira triangular com pesos (para se manter
afundada) era jogada pela popa. Uma ampulheta de
30 segundos era utilizada, contando-se quantos nós
passavam pela amurada neste intervalo.

Demonstração
50 ft x 0.3048 m = 0.51 m/s
30 s 1 ft


Leis de Newton Isaac Newton
Físico inglês 1642-1727

 1ª Lei (Lei da Inércia)
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de
movimento uniforme em linha reta a menos que seja obrigado
a mudar por forças impressas a ele.
 
dv
∑ F = 0 ⇒ dt = 0
Não é preguiça, é inércia !

 2ª Lei (Princípio Fundamental da Dinâmica)
A mudança do movimento é proporcional à força motriz
impressa e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime
esta força.

 dp d (mv )  
dv 
F= = =m = ma
dt dt dt
 3ª Lei (Princípio da Ação e Reação)
A uma ação sempre se opõe uma reação igual em sentido
contrário.
 
∑ Fa,b = − ∑ Fb,a

Equação de Bernoulli Daniel Bernoulli
Matemático holandês 1700-1782

 Para um fluxo permanente sem viscosidade e incompressível, um aumento
na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na
pressão ou na energia potencial do fluido.

v2 p
+ gh + = constante
2 ρ

 O princípio de Bernoulli pode ser utilizado
para justificar a força de sustentação de um
aerofólio. Se o ar na parte superior do
mesmo se move mais rapidamente do que na
parte inferior, haverá uma diferença de
pressão para cima.


Equação de Navier-Stokes Claude Louis Marie Henri Navier
Engenheiro e matemático francês 1785-1832
George Gabriel Stokes
Matemático e físoco irlandês 1819-1903

 São equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Newtonianos.
Elas são equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos
de velocidade e de pressão num escoamento. Estas equações estabelecem que
mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o
resultado das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção)
atuando dentro do fluido.
 Em notação vetorial, assumem a seguinte forma

DV  
ρ = ρg − ∇p + µ∇ V
2

Dt

Massa por unidade de Força gravitacional por Força de pressão por Força viscosa por
volume vezes aceleração unidade de volume unidade de volume unidade de volume

 Para escoamentos invíscitos (μ=0) chega-se à equação de Euler

DV 
ρ = ρg − ∇p
Dt


Ondas de
Gravidade


Ondas de Gravidade
 Ondas geradas no meio fluido ou na interface entre a água e o ar, tendo
como força de restauração principal a gravidade.

 Mesmo não transportando massa (ao menos na teoria linear), transportam
energia (quem viaja é a forma da onda, não a matéria).

 A medida em que a profundidade aumenta, o
movimento das partículas diminue. A uma
profundidade igual a metade do comprimento
da onda o movimento orbital das particulas é
menos que 5% o da superfície.


Origem das Ondas de Gravidade
 Correntes de ar : Resultante da
ação do vento soprando em uma
extensão suficiente da superfície do
oceano (pista).
 Correntes marítimas : Devido ao
efeito dos campos de pressão
atmosférica que geram os ventos e as
correntes marítimas.
 Marés : Associada a variação do nível
médio da superfície livre da água,
causada pela interferência da Lua e
do Sol sobre o campo gravitacional da
Terra.
 Deslocamentos de terra ou gelo.


Características Gerais das Ondas Oceânicas
 Irregulares e randômicas em formato, altura, comprimento e velocidade de
propagação.
 Classificação :
• Wind seas (vagas) : Geradas pelo vento no local, em geral
não possuem uma direção coerente nem formato definido.

• Swell (marulho ou ondulação) : As mais comuns. se
propagam por milhares de quilometros, tendendo a se alinhar
e agrupar em séries. Em um determinado local pode existir
swell vindo de vários outros locais.

• Tsunami : Gerada por perturbações sísmicas (terremotos,
erupções vulcânicas, etc.). Não oferecem perigo em alto mar.

• De capilaridade : Formadas no início das correntes de vento,
morrem quando o vento termina, sendo amortecidas pela
tensão superficial da água.


Como as Ondas Nascem
 Em geral resultam do vento soprando sobre uma grande área do oceano
(pista - fetch) durante um bom tempo.
- Inicialmente o movimento turbulento do ar começa a
perturbar o equilíbrio da água pela ação de pulsos de
pressão sobre a superfície, surgindo as ondas de
capilaridade (ripples).

- Se o vento aumentar, as ondas começam a se formar e a
interferir na passagem do vento. Ele encontra maior
resistência para vencer as cristas e cavados e tem início a
transferência de energia para a superfície da água.

- Se o vento continua por mais tempo e distância, a
velocidade das ondas pode se igualar a sua velocidade (ou
mesmo ultrapassá-la), formando o que é chamado de
“mar totalmente desenvolvido” (a energia ganha do vento
é igual à perdida para a gravidade).


Influência da Pista e Velocidade do Vento
 Na figura podemos estimar a altura significativa das ondas, partindo dos
valores de velocidade do vento (eixo vertical) e comprimento da pista (eixo
horizontal), ou velocidade do vento e sua duração (linhas tracejadas),
determinando a altura das ondas (linhas cheias).
Duração (h)
Velocidade do vento (m/s)

Altura (m)
Comprimento da pista (km)


Como as Ondas Morrem
 Perdem energia devido ao espalhamento.
 Empinamento (shoaling). É o processo no qual a altura da onda aumenta a
medida em que a profundidade diminue (a profundidade é considerada
rasa quando d <= λ/20). Seu período é mantido, mas o comprimento e
velocidades também diminuem.

 A onda quebra quando sua altura é maior que 78% da profundidade ou
menor que 1/7 do seu comprimento.
 Dependendo da inclinação do fundo, da altura e do comprimento da onda
(em águas profundas), a forma da arrebentação pode variar
- Deslizantes : inclinação suave

- Tubulares : Inclinação intermediária

- Ascendentes : Inclinação acentuada. Na
verdade as ondas nunca quebram.


Altura Máxima das Ondas
 A altura da onda é limitada pela sua quebra.
 2πd 
 A altura máxima por quebra é dada por H b = 0.142λ tanh 
 λ 
 A altura máxima por quebra também pode ser mostrada como uma função
do período da onda para diferentes profundidades, como no gráfico
λ
 Em águas profundas H b =
7
 Em águas rasas a altura de
quebra pode ser tão baixa
como 78% da profundidade
local, mas em regiões extensas
e muito planas pode diminuir a
55% da profundidade local.


Ondas Internas
 Propagam-se na interface de separação entre massas de água com
densidades diferentes. Qualquer perturbação é suficiente para provocar
estas ondas.

 Com frequência bem mais baixa do que as
ondas de superfície (períodos entre 10 e 20
min), mas com amplitude significativamente
maior (dezenas de metros), as ondas internas
fazem com que as partículas que estão na
superfície (como detritos, derramamento de
petróleo, etc.) convirjam e se acumulem
sobre os seus cavados.


Medindo as
Ondas


Teoria das Ondas
Na análise de estruturas submetidas a carregamento de ondas, elas podem
ser modeladas por métodos determinísticos ou estocásticos.

 Ondas Regulares : São periódicas e uniformes,
possuindo um comprimento λ, período T e uma altura H
Quanto à bem definidos.
Regularidade
 Ondas Irregulares : pode ser representado pela
superposição linear de ondas regulares com diferentes
amplitudes, frequências e fases.
 Ondas Lineares : Satisfazem as condições do
movimento ser irrotacional e o fluido incompressível (a
Quanto à
matéria não se desloca).
Linearidade
 Ondas Não-Lineares : As partes “altas” da onda se
movem mais rápido que as “baixas”.


Características Físicas das Ondas 1
z
AC
x H
AT
λ
 Comprimento da onda λ [m] é a distância entre duas cristas sucessivas.
 Período da onda T [s] é o intervalo de tempo para a onda percorrer um ciclo
completo. λ
 Velocidade de fase é a velocidade de propagação da forma da onda c= [m/s].
T
1
 Frequência da onda f = [Hz] é número de ciclos que a onda realiza por unidade
de tempo. T
T, f e ω
2π estão
 Frequência angular da onda ω = = 2πf [rad/s].
T interligados
2π
 Número de onda k = [rad/m] é o número de ciclos da onda por unidade de com-
primento. λ


Características Físicas das Ondas 2
z
AC
x H
AT
λ
 Altura ou amplitude da crista AC é a distância do nível de águas paradas até a
crista.

 Profundidade ou amplitude do cavado AT é a distância do nível de águas paradas
até o cavado.

 Altura da onda H é a distância vertical do cavado até a crista H = AC + AT

 Ondas lineares são simétricas em relação ao nível médio da água.

 Ondas regulares não lineares são assimétricas, (AC > AT), e a velocidade de fase c
depende da altura da onda H.


Características Físicas das Ondas 3 Horace Lamb

z
AC
x H
AT
d
λ

Leito marinho

H
 Esbeltez é a proporção entre a altura da onda e seu comprimento S =
λ
 Altura relativa é a proporção entre a altura da onda e a profundidade H
d
 Profundidade relativa é a proporção entre a profundidade e o comprimento da onda
d
µ=
λ


Grupos de Ondas
 Na teoria linear de ondas pode ser demonstrado que a velocidade de fase depende
do comprimento da onda e profundidade local
gλ  2πd 
tanh  c=
2π  λ 
 Em um local do oceano são gerados trens de ondas com vários comprimentos de
onda e períodos ligeiramente diferentes. Estas ondas vão interferir formando um
único grupo de ondas resultantes.

 Velocidade de grupo cg é a velocidade pela qual a modulação das amplitudes da
onda (a energia) se propaga. 1 2kd  g
c g = 1 +  k tanh(kd )
2  sinh( 2kd ) 
2πg  2πd 
 Relação de dispersão para ondas lineares ω = gk tanh(kd ) = tanh  [rad/s]
λ  λ 


Escala de Estado de Mar WMO Henry Percy Dougllas
Hidrógrafo inglês 1879-1939

 O conceito de estado de mar (sea state) é vago, pois não indica o período
das ondas. Entretanto, é largamente utilizado.
 Definido pela World Meteorological Organization, é baseado na Escala de
Douglas para “wind seas”.
CÓDIGO ALTURA DAS ONDAS
DESIGNAÇÃO
WMO (m)
0 Espelhado 0
1 Chão 0-0.1
2 Encrespado 0.1-0.5
WMO 4 3 Pequena vaga 0.5-1.25 WMO 6
4 Cavado 1.25-2.5
5 Grosso 2.5-4
6 Alteroso 4-6
7 Tempestuoso 6-9
8 Encapelado 9-14
9 Excepcional 14+

WMO 7 WMO 9


Caracterização do Estado de Mar
 O estado de mar é melhor caracterizado por várias estatísticas, sendo as
principais :
- Altura significativa Hs.
- Período médio entre cruzamentos zero Tz ou período de pico Tp
- Direção da propagação das ondas

 Alguns destes parâmetros são historicamente obtidos por estimativas
visuais feitas por um observador treinado.
H s = 1.68 H V .75 (m)
0

T p = 2.83TV0.44 (s)

 Outros podem ser obtidos a partir de análises estatísticas a partir de uma
tabulação dos dados coletados H1/3, Hrms).
 Finalmente, através de análises estatísticas mais complexas a partir do
espectro de distribuição de energia, parâmetros mais confiáveis podem ser
obtidos (Hs, Tp, σ, etc.)


Obtenção dos Dados por Ondógrafo
 Em geral é utilizado um ondógrafo para registrar ao longo do
tempo as elevações ocorridas. Com o uso de acelerômetros é
possível também coletar informações relacionadas às direções de
incidência das ondas. Vários parâmetros podem ser obtidos da
série temporal.

 Após a retirada do ruído da série
temporal é aplicada a FFT, convertendo
os sinais de elevação em função do
tempo para uma modalidade de energia
associada à frequência (δ2/ω x ω).

 O ajuste do espectro é feito por expres-
sões matemáticas que o definem em
função de alguns parâmetros como
forma, altura significativa de onda e
período de pico.


Análise da Série Temporal 1
Série Temporal
Elevação (m)

sinal
envelope

Probabilidade Relativa

Tempo (s)

H (m)
Tabulação dos Dados

Probabilidade Acumulada

H (m)


Análise da Série Temporal 2
 A partir da análise de um registro das alturas de onda, vários parâmetros
podem ser estabelecidos.
PARÂMETRO VALOR
Amplitude média Ā 0.04 m
Desvio padrão σ 2.40 m
Amplitude média quadrática Arms 2.40 m
Amplitude máxima Amax 9.97 m
Amplitude mínima Amin -8.18 m
Cruzamentos 0 ↑ 1112
Nº Máximos 1289
Nº Mínimos 1282
Altura Pico-Pico ↑ 17.64 m
Altura Pico-Pico ↓ 17.07 m
Período médio de cruzamento zero Tz 9.71 s
Período médio entre cristas Tc 8.38 s
H1/3 9.25 m
H1/10 11.78 m


Obtenção dos Dados por Satélite
 Satélites de observação com vários tipos de sensores,
radares e câmeras são utilizados atualmente.

Satélite ERS-2 (1995)

 Para a medição de altura de ondas (e de terreno) é
utilizado o radar SAR (Synthetic Aperture Radar). O
radar gera um pulso que é refletido, contendo duas
informações importantes : a amplitude do sinal de
retorno e a diferença de fase em relação ao sinal
irradiado, que juntos são tratados como uma imagem
complexa bruta.
Imagem amplitude
(cores claras são
ondas maiores)

Funcionamento do SAR

 Da imagem complexa pode-se gerar a imagem
amplitude, que é o módulo da imagem complexa.


Ondas
Regulares


Teorias de Ondas
 Airy : A elevação da onda é aproximada por uma senóide.

 Stokes : A altura da crista é maior que a altura do cavado. Cristas mais
agudas do que o cavado.

 Cnoidal : Cristas muito mais agudas do que o cavado.

 Solitária : A altura da crista é praticamente igual a altura da onda (não há
cavados).


O Problema a Ser Resolvido
 Determinar o potencial do campo de velocidades das ondas de superfície φ.
 Hipóteses básicas :
1. Fluido incompressível (densidade constante)
2. Fluido invíscido (não tem viscosidade) : escoamento irrotacional
3. Movimento coplanar (despreze espalhamento - eixo y)
Conservação da massa

Equações : Conservação do momento

Condições de contorno λ
z
ζ(x,t)
Nível da água z = 0
x H
d

Leito marinho z = -d


Equações de Conservação da Massa e Momento
1 Dρ  A variação da massa em um
 Equação geral de Navier-Stokes : +∇•v = 0 volume infinitesimal é igual
ρ Dt à massa que nele entra menos
a massa que sai.
Dρ A densidade é constante.
=0
 Hipótese 1: Fluido incompressível Dt
então
 O divergente de velocidades é nulo.
∇•v = 0 (água que entra = água que sai)


∇×v = 0 O rotacional de velocidades é nulo.
 Hipótese 2 : Movimento irrotacional  então A velocidade pode ser expressa como o
v = ∇ϕ gradiente de uma função potencial.

∂ϕ Não há escoamento transversal
 Hipótese 3 : Nada se move em y =0
∂y
∂φ p
 Equação de Bernoulli não estacionária: − + + gz = 0
∂t ρ

Condições de Contorno
∂ϕ
 No leito do oceano (em z = -d) : =0 A velocidade do fluido normal ao fundo é nula.
∂z
 Na superfície livre (z = ζ) :
– Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na
superfície livre lá permanece (sua velocidade vertical é igual a velocidade
vertical da superfície do fluido).
∂ϕ ∂ζ ∂ϕ ∂ζ Considerando que a altura da onda ∂ϕ ∂ζ
− = − em z = ζ seja pequena quando comparada − =
∂z ∂t ∂x ∂x ∂z ∂t
ao seu comprimento, o termo de
inclinação δζ/δx=0.

– Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada
nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o
corpo.
∂ϕ
− + g .ζ = 0 Bernoulli aplicado a z = ζ onde p = 0
∂t


O Resultado Linear
 Considerando uma onda senoidal onde são conhecidas a amplitude H, o
comprimento λ e seu período T, a elevação de sua superfície pode ser
expressa por
2π 2π
ζ (x, t ) = sin (kx − ωt ) onde ω =
H
e k=
2 T λ

 Através da separação de variáveis chegamos à solução
H g cosh[k (d + z )]
φ ( x, z , t ) = cos(kx − ωt )
2 ω cosh (kd )
 Aplicando esta solução a Bernoulli em z=0, chegamos à relação de
dispersão
2πg  2πd 
ω 2 = gk tanh(kd ) = tanh 
λ  λ 

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Influência da Profundidade nas Ondas
 A teoria linear de ondas é uma solução da equação de Laplace, o que leva
gλ  2πd 
a seguinte formulação para a velocidade de fase c = tanh 
2π  λ 
 A partir daí podemos verificar porque a profundidade da água pode ser
classificada em 3 categorias :
d  2πd  gλ
- Águas profundas > 0.5 ⇒ tanh  ≈ 1.0 ⇒ c =
λ  λ  2π
Para profundidades maiores que 50% do comprimento da onda, a velocidade de fase não é
influenciada pela profundidade. Este é o caso da maior parte das ondas na superfície do
oceano.
d  2πd  2πd
- Águas rasas λ < 0.05 ⇒ tanh λ  ≈ λ ⇒ c = gd
 
Quando a profundidade é menor que 5% do comprimento da onda, a velocidade de fase é
dependente somente da profundidade, não sendo mais uma função do seu comprimento.

- Águas intermediárias 0.05λ < d < 0.5λ
Para todos os outros casos, ambos a profundidade e o comprimento tem uma influência
significativa na velocidade de fase.


Teoria de Onda de Airy (Onda Senoidal) George Biddell Airy
Astrônomo inglês 1801-1892

 A altura da onda é pequena em comparação com seu comprimento ou
profundidade da água.
 Condições de contorno na superfície livre são satisfeitas no nível médio de
águas tranquilas e não no nível real de elevação das ondas.

 Parâmetros que definem uma onda linear : H (ou ζa), d, T, ʎ
z crista ζa

x

cavado

λ


Ondas Senoidais em Águas Profundas
Para águas profundas (d > 0.5 λ)
2πg
 Relação de dispersão Ω = gk = [m/s]
λ
gT 2
 Comprimento da onda λ = [m]
2π
gT g gλ g
 Velocidade de fase c = = = [m/s] =
ω 2.π k 2π
1 g g gT c
 Velocidade de grupo c g = = = = [m/s]
2 k 2ω 4π 2
 Elevação da superfície ζ = ζa sin(kx - ωt) [m]
 Pressão subsuperficial p = ρ g exp(kz) ζa sin(kx - ωt) [Pa]
onde g = aceleração da gravidade (9.81 m/s2)
ρ = densidade da água (1025 kg/m3)
Observe que z se torna mais negativo a medida em que vamos para o fundo.


Ondas Senoidais em Águas Intermediárias
Para águas intermediárias (0.5 λ < d < 0.05 λ)

A formulação envolve funções hiperbólicas, fazendo com que vários
parâmetros tenham que ser calculados por métodos numéricos ou
aproximações.
2πg  2πd 
 Relação de dispersão Ω = gk tanh(kd ) = tanh 
λ  λ 
 2π  2πg  2πd 
2

 Comprimento da onda λ é a solução de   = tanh 
 T  λ  λ 
tanh (k .d )
g
 Velocidade de fase c =
k
1 2kd  g
 Velocidade de grupo c g = 1 +
2  sinh( 2kd )  k
tanh(kd )

cosh[k .(h + z )]
 Pressão subsuperfícial p = ρ .g . . sin(ω .t − k .x)
cosh(k .h)


Ondas Senoidais em Águas Rasas
Para águas rasas (d < 0.05 λ)

2π
 Relação de dispersão Ω = k gd = gd
λ
Comprimento da onda λ = T gd

 Velocidade de fase c = gd

 Velocidade de grupo c g = gd = c

 Pressão subsuperficial (aproximadamente a hidrostática) p = ρg(ζ + z)


Teoria de Onda de Stokes George Gabriel Stokes
Matemático irlândes 1819-1903

 A medida em que a altura da onda aumenta com relação ao comprimento,
(esbeltez S aumenta) ela vai se afastando da onda linear.
 Cavado mais achatado (e longo) do que a cris-
ta.
 Amplitude até a crista é maior que amplitude
até o cavado.
 O movimento das partículas não é fechado,
havendo um pequeno deslocamento na dire-
ção da propagação (Stokes drift).
 Por isto as ondas conseguem transportar sedi-
mentos, derrames de petróleo, etc.
 O equacionamento da onda é feito através de
expansão em série de Taylor. O último termo
da série define a ordem da onda de Stokes.


Parâmetros da Onda de Stokes de 2ª Ordem
tanh (kd )
g
 Velocidade de fase c =
k
π H 2 cosh(kd )
 Elevação da superfície ζ = [2 + cosh(2kd )]cos[2(kx − ωt )]
8 λ sinh 3 (kd )

 Pressão subsuperficial
3π ρgH 2  cosh[2k ( z + d )] 1  π ρgH 2
p=  −  cos[2(kx − ωt )] − {cosh[2k ( z + d )] − 1}
4 λ sinh ( 2kd)  sinh 2 (kd ) 3 4 λ sinh ( 2kd)

 Stokes drift
 π .H   cosh[2k ( z + d )]  Qualquer
2

U =  c sinh 2 (kd )  profundidade
 λ   

 π .H 
2

U =  c Aproximação para águas profundas
 λ 


Teoria de Onda Cnoidal Diederik Korteweg
Matemático holandês 1848-1941
Gustav de Vries
Matemático iholandês 1866-1934

 É uma solução periódica não-linear e exata da equação não linear diferen-
cial parcial proposta por Korteweg e de Vries (equação KdV).
 É utilizada para descrever ondas de gravidade de comprimento extrema-
mente grandes quando comparados à profundidade.
d
 Aplicável quando λ > 5d e T > 7
g
 A solução das equações é complexa, dependendo de aproximações
numéricas. Além disto é instável quando o número de onda k é elevado.
 Outra solução foi proposta por Benjamin-Bona-Mahomy (equação BBM).


Onda Solitária John Scott Russell
Engenheiro naval escocês 1808-1882

 É uma onda em águas rasas (solitão) que consiste em um único desloca-
mento de água acima do seu nível médio.
 Foi descrita pela primeira vez em 1834 por John Scott Russel quando ele
observou a onda causada pela parada brusca de uma barcaça em um
canal.
 É uma descrição razoável da onda causada por um tsunami, mas é utilizada
também na progressão de ondas periódicas quando a profundidade é
menor que 10% do comprimento da onda.
 Teoricamente seu comprimento é infinito, mas para propósitos práticos :
- Velocidade de fase c = g (d + H )
3H
- Número de onda k =
4d 3
2π
- Comprimento da onda λ=
k
- Elevação ζ = H sech 2 [k ( x − ct )]


Aplicabilidade das Teorias de Ondas Subrata Kumar Chakrabarti
Engenheiro indiano 1941-2009

 Três parâmetros são utilizados para determinar qual teoria de ondas deve
ser aplicado a um problema específico :
- Altura da onda H
- Período da onda T
- Profundidade da lâmina d’água d

 Adimensionais decorrentes :
H H
- Esbeltez (steepness) S = = 2π
λ gT 2
d d
- Profundidade relativa µ = = 2π
λ gT 2
H .λ2 S
- Número de Ursell U R = 3 = 3
d µ
UR mede o impacto da
profundidade sobre a
não-linearidade da onda


Quiz 1
 Uma onda regular plana propaga-se em águas profundas com período de 16s. Qual
o comprimento da onda e sua velocidade de fase m/s ?
gT 2 9,81.16 2
λ= = = 400 m
2π 2π
gT 9,81.16
c= = = 25 m/s
2.π 2.π
 Calcule a velocidade de fase e a velocidade de grupo para uma onda linear de
comprimento 200m nas profundidades de 2000, 80 e 10m.

gλ  2πd 
c= tanh 

𝜆 = 200
2π  λ  d (m) c (m/s) cg (m/s)

2𝜋
k= =0,0314 ondas/m
2000 17,67 8,84

200
c 2kd 
c g = 1 +
2  sinh( 2kd ) 

80 17,56 9,36
10 9,74 9,43
2π
k=
λ


Quiz 2
 Vazamento de óleo em uma FPSO no Campo de Tupi a 250km da costa, em lâmina
d’água de 2000m ! Ondas de 1.5m de altura com período de 6s e comprimento de
40m são medidas no local. Em quanto tempo as manchas de óleo começarão a
aparecer nas praias ? Desconsidere a variação de profundidade até a costa e o vento.
d 2000 2π2π  H
2
= = 5,66 k= = = 0,157 ondas/m U = π  c
gT 2 9,81.6 2 λ 40  λ
H 1,5 Stokes 2ª ordem
= = 0,00424 λ 40 2
 1,5 
2
gT 9,81.6 2 c= = = 6,67 m/s
T 6 U = π  .6,67 = 0,0925 m/s
 40 
250000
t= = 2,7 x106 s = 1 mês
0 ,0925

 No projeto de navios aliviadores para a Bacia de Campos, a Petrobrás recomenda
Hs=3.5m e Tp=9s. Qual seria a teoria de ondas a utilizar ? Investigue nas profundi-
dades mínima e máxima da bacia (100m e 2500m).
d=100m d=2500m Em ambos os casos a utilização
d 100 d 2500 de Stokes 2ª ordem seria suficie-
= = 0,126 = = 3,145
gT 2 9,81.9 2 gT 2 9,81.9 2 nte (embora a Petrobrás requeira
H
=
1,5
= 0,00189
H
=
1,5
= 0,00189 sempre 5ª ordem).
2
gT 9,81.9 2 gT 2
9,81.9 2


Ondas Irregulares


Ondas Irregulares 1
 Na fase de projeto preliminar as ondas regulares representam um bom
modelo para a representação do estado do mar.
 Um estado real de mar apresenta características
aleatórias de amplitude, frequência e fase,
havendo a impossibilidade matemática de definir
uma relação sólida que determine seu comporta-
mento : é um processo estocástico.

 Quando se considera o modelo estocástico pode-se
representar o estado de mar formado pela
superposição de diferentes ondas senoidais com
diferentes amplitudes, frequências e fases
(hipótese Gaussiana).


Quão Acertada é Esta Hipótese ?
 Na hipótese Gaussiana, o processo é completamente descrito por :
- Média
- Variância

 A partir de dados obtidos no mar, pode ser afirmado que :
- Para mar calmo a moderado (< 4m) ele pode ser considerado estacionário para
períodos de mais de 20 minutos. Para estados de mar mais severos isto pode ser
questionado mesmo para períodos de 20 minutos.
- Para estados de mar acima do moderado (4 a 8m) os modelos Gaussianos ainda
são precisos, mas o desvio aumenta com a severidade do estado de mar.
- Se o mar é suficientemente profundo, a elevação da onda pode ser considerada
Gaussiana, independentemente do estado de mar.


Ondas Irregulares 3
 O mar irregular é descrito pela sua energia total e não pela forma da
onda.
 Para uma onda senoidal simples a densidade de energia é descrita por
ρgζ a
2
E=
2
 Para um mar irregular, composto por um somatório de ondas senoidais, a
densidade de energia será
ρg
E= (ζ a1 + ζ a 2 + ζ a 3 + ...)
2 2 2

2

 As ondas irregulares são caracterizadas
por um espectro de onda que descreve a
distribuição de energia (altura) em relação
à sua frequência ou período.


Ondas Irregulares 4
Após o vento ter soprado de forma constante por um período de tempo, a
elevação do mar pode ser assumida como estatísticamente estável. Isto é
conhecido como “mar totalmente desenvolvido”.
 Se a irregularidade das ondas observadas
é somente na direção do vento dominante,
de modo que existe várias ondas unidire-
cionais com separação variável mas
mantendo seu paralelismo, o mar é conhe-
cido como de cristas longas (long-crested).

 Se as irregularidades são aparentes ao
longo das cristas das ondas em ângulos
perpendiculares ao vento, o mar é conheci-
do como de cristas curtas (short-crested ou
confused sea).


Alguma
Estatística
(não tão)
Básica


Distribuições de Probabilidade 1
 Distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade
de uma variável randômica assumir determinados valores.
 Considerando que uma variável aleatória discreta x toma os valores x1, ...xn,
então :
1 n x + x2 + ... + xn
- Média aritmética : x = ∑ xi = 1
n i =1 n
1 n 2 x12 + x2 + ... + xn
2 2
- Valor eficaz : xrms = ∑ xi =
n i =1 n
- Média geométrica : x g = n Π in=1 xi = n x1 x2 ...xn
- Moda : É o valor de maior frequência.
- Mediana : Dependendo se o número de elementos ordenados for ímpar ou par, é
o valor central ou a média dos valores próximos ao centro.
1 n
- Desvio padrão : σ = ∑ (xi − x )
2

n − 1 i =1
- Variância : σ 2


 Uma variável randômica contínua x tem uma f(x)

função de distribuição de probabilidade f(x)
de modo que a probabilidade P da variável
estar entre dois valores a e b é moda
mediana
média
b
P[ a ≤ x ≤ b] = ∫ f ( x)dx
a F(x)

 A função F da distribuição acumulada de
x
xé
+∞ F ( x) = ∫ f ( x)dx
 Média : µ = ∫ x. f ( x)dx −∞

−∞
 Mediana : Md é o valor de x para o qual F(x)=0.5

 Moda : Mo é o valor de maior frequência
f(x)
+∞

 Desvio padrão : σ = ∫ (x − µ ) . f ( x)dx
2

−∞


 Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição
(µ − M o ) (µ − M d )
1º Coeficiente de Pearson : γ = 2º Coeficiente de Pearson : γ = 3
σ σ
Assimetria positiva
Simétrica
Assimetria negativa

µ = Mo = Md Mo ≤ Md ≤ µ µ ≤ Md ≤ Mo
 Curtose : Indica o grau de achatamento de
uma distribuição, indicando a concentração
de valores nas suas caudas, em relação a
uma distribuição normal
+∞

∫ (x − µ ) . f ( x)dx
4

c= −∞
−3
σ 3


 Algumas formas de distribuição de probabilidade :
Distribuição Parâmetros Características Aplicabilidade Aspecto
Utilizada na escolha de parâmetros
Valores e probabi- das entidades. Por ex., em uma loja
Assume apenas os va-
Discreta lidade de ocorrên- 30% dos clientes compram merca-
lores fornecidos
cia destes valores dorias no balcão e 70% nas prate-
leiras.
Todos os valores no
Quando não se tem nenhuma infor-
Maior e menor va- intervalo têm a mesma
Uniforme mação sobre o processo ou apenas
lor probabilidade de ocor-
os valores limites.
rência

Quando se conhece a moda, o me-
Menor valor, mo-
Triangular Simétrica ou não nor e o maior valor que podem ocor-
da e maior valor
rer.

Grande variabilidade dos valores.
Independência entre um valor e
Variância alta e cauda
Exponencial Média outro. Muitos valores baixos e pou-
para a direita
cos altos. Utilizada em estatística de
falhas.
Simétrica com forma
Média e desvio de sino. Variabilidade Probabilidade de valores acima e
Normal
padrão controlada pelo des- abaixo da média são iguais.
vio padrão.


 Procurando dar um tratamento matemático aos mais diversos fenômenos
da natureza, diversos tipos de funções de distribuição foram desenvolvidos:
– Beta
– Cauchy
– Dagum
– Fisher-Tippet
– Gama
– Gaussiana
– Gumbel
– Laplace
– Levy
– Pareto
– Qui-Quadrado
– Rayleigh
– Rice
– Von Mises
– Weibull
– Etc.


Distribuição Normal ou Gaussiana Carl Friedrich Gauss
Matemático alemão 1777-1855

Considerada a mais proeminente distribuição de probabilidade na estatística
(simplicidade, conveniência para vários tipos de amostragens, etc.)
 Formulação :
- Função de distribuição :
1  ( x − µ )2 
f ( x) = exp − 
σ 2π  2σ 2 
- Distribuição acumulada :
1
x
 ( x − µ )2 
σ 2π −∫
F ( x) = exp − dx
∞  2σ 2 
- Média ( = moda e mediana) : μ
- Variância : σ 2

Regra 68-95-99.7


Distribuição de Rayleigh John William Strut (Lord Rayleigh)

É um tipo de distribuição observada quando a magnitude total de um vetor é
relacionada às suas componentes direcionais não correlacionadas mas
normalmente distribuídas e com a mesma variância (ex.: velocidade do
vento, propagação das ondas do mar, etc.).
f(x)
 Formulação :
 x2  x
- Função de distribuição : f ( x) = 2 exp −
 2σ 2 

σ  
 x 
2
- Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp −
 2σ 2 

π  
- Média : σ ≈ 1.253σ
2
- Mediana : σ ln(4) ≈ 1.177σ F(x)

- Moda : σ
4 −π 2
- Variância : σ ≈ 0.429σ 2
2


Distribuição de Weibull 1 Ernest Hajlmar Waloddi Weibull
Engenheiro suíço 1887-1979

É utilizada extensivamente em análise de confiabilidade e de falha, gover-
nando o tempo para a ocorrência do elo mais fraco de vários processos
simultâneos de falha. f(x)

 Formulação para 3 parâmetros :
k  x −θ 
k −1
  x − θ k 
- Função de distribuição : f ( x) =   exp −   β   
β β 
   
  
 k

- Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp −  x − θ  

 

  β  
 
onde k = parâmetro de forma
x
β = parâmetro de escala
Se θ = 0 recaímos na distribuição
ϴ = parâmetro de localização de Weibull de 2 parâmetros F(x)

Se considerarmos x como o tempo para a falha
k < 1 indica que a taxa de falha diminui com o tempo
(mortalidade infantil).
k = 1 indica que a taxa de falha independe do tempo.
k > 1 indica que a taxa de falha aumenta com o tempo
(morte por velhice).
x


Distribuição de Weibull 2
 1
- Média : µ = θ + β Γ1 + 
 k
1 Função Gama
- Mediana : θ + β [ln(2)] k Γ(n) = (n - 1)!

1

- Moda : θ + β  k − 1 
k
 
 k 
  2  1 
- Variância : σ 2 = β 2 Γ1 +  − Γ 2 1 + 
  k  k 
{Γ(1 + 3 / k ) − 3Γ(1 + 2 / k )Γ(1 + 1 / k ) + 2Γ (1 + 1 / k )} 3

- Assimetria : γ =
{Γ(1 + 2 / k ) − Γ (1 + 1 / k )}
3
2 2

 Para a determinação dos parâmetros a partir de dados coletados são utili-
zados os momentos da função de distribuição
+∞
mn = ∫0
x n . f ( x)dx m1 = µ m2 = σ 2 m3 = γ


Distribuição de Gumbel (log-Weibull) Emil Julius Gumbel
Matemático alemão 1891-1966

Utilizada para modelar a distribuição dos máximos de um número de amos-
tras de várias distribuições (estatística de extremos).
 Formulação :
1  x−µ    x − µ 
- Função de distribuição : f ( x) = exp
 β   exp − exp
  β  
β     
  x − µ 
- Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp − exp
  β  
  
- Média : µ + γβ γ= 0,57721 (constante de Euler-Mascheroni)

- Mediana : µ − β ln (ln (2 ))

- Moda : μ
βπ
- Desvio padrão : σ =
6


Quiz
 O seguinte histograma de altura de ondas foi obtido de uma série temporal
em uma amostra de um sistema de ondas irregulares : Nº
H (m)
Obs.
1. Qual é a altura significativa H1/3 desta amostragem ? < 0.25 0
0.25-0.75 30
2. Nesta tempestade, qual a probabilidade que a altura da onda
0.75-1.25 60
exceda 2.75m ?
1.25-1.75 110
1.75-2.25 42
2.25-2.75 28
2.75-3.25 18
3.25-3.75 10
3.75-4.25 2
> 4.25 0


Espectros


Espectro de Densidade de Energia
 O registro das ondas não pode ser escrito como uma onda senoidal, mas
pode ser caracterizado por várias ondas com diferentes amplitudes, perío-
dos e fases.

Amplitude ζ (m)
 Uma vez calculadas estas ampli-
tudes e períodos das ondas com-
ponentes (a fase é desprezada), é
plotado um espectro de densidade
de energia em função da frequên- tempo (s)

cia.

densidade de energia
 A densidade de energia em um partitular inter-
valo de frequência é dado por ρgζ 2
2ω
 A partir do espectro e de sua idealização mate-
mática vários outros parâmetros podem ser cal-
culados.
frequência


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