Escursione attraverso esercizi ed esempi

1. Disequazioni Esponenziali
x
a

2. Definizioni e proprietà
 Esponenziale: ax a ∈ ℜ+ x∈ℜ
 Proprietà:
 1. ax > 0 ∀x ∈ ℜ, a > 0
x'
 2. 0 < a < 1 allora x<x ⇔a >a
' x
x'
 3. a >1 allora x<x ⇔a <a ' x

3. Disequazioni Esponenziali
Def. Le disequazioni esponenziali
sono quelle nelle quali l’incognita
compare ad esponente di una certa
espressione.

4. Soluzione
 Le disequazioni esponenziali si
risolvono sfruttando le proprietà 1.2.3.

5. Es.1
x
  1  < 32
 
2
−5
1 1
32 = 2 = −5 =  
5
S = { x ∈ ℜ / x > −5}
2 2
x −5
1 1
  < 
2 2
Applico 2

6. Es.2
 4 > 16
x
4 >4
x 2
S = { x ∈ ℜ / x > 2}
Applico 3
x>2

7. Es.3
 32 x +1 + 3 x − 1 < 0
3 ⋅ 32 x + 3 x − 1 < 0
Cambio variabile 3x = z
3z 2 + z − 1 < 0 → − 1 − 13
6
<z<
− 1 + 13
6

8.  Da z torno a x:
− 1 − 13 − 1 + 13
<3 <
x
<0
6
s.v.
6
?

9. Problema….
 Dobbiamo trovare quel numero ? tale
che:
− 1 + 13
3 =
?
6

10. Logaritmi
 Def.
log a b = c ⇔ a = b
c
 Nel nostro caso:
c
− 1 + 13 − 1 + 13
3 =
?
? = log 3
a 6 b 6

11. ?????

12. Definizione:
 Definizione: dati due numeri a,b
strettamente positivi con a ≠ 1si
definisce logaritmo in base a di b il
numero c al quale si deve elevare a
per ottenere b; si ha quindi:
log a b = c ⇔ a = b
c

13.  Dalla definizine di logaritmo si ha:
log a a = bb
a log a b
=b

14.  Allora un qualsiasi numero b può
essere espresso attraverso il logaritmo
in una qualsiasi base a>0 (diversa da
1) utilizzando una delle due relazioni
viste.

15. Dalla definizione di
logaritmo…….
Proprietà:
1. log a 1 = 0 ∀a > 0, a ≠ 1
2. Se 0 < a <1 allora x < x ' ⇔ log a x > log a x '
x, x ' > 0
3. Se a >1 allora x < x ' ⇔ log a x < log a x '
x, x ' > 0

16. 4. log a x + log a y = log a ( xy ) x, y > 0
x x, y > 0
5. log a x − log a y = log a ( )
y
6. log a x p = p log a x x>0
log c b
7. log a b = a > 0, a ≠ 1.b > 0, c > 0, c ≠ 1
log c a

17. Alle disequazioni logaritmiche
 Def.: Le disequazioni logaritmiche
sono quelle che contengono l’incognita
nell’argomento di un logaritmo.
 Per risolverle occorre innanzitutto
richieder la CDE del
logaritmo(argomento strett.positivo),
dopodichè si sfruttano le proprietà
appena elencate.

18. Es.1

log 1 x < −3
2
CDE x>0
Per def.di logaritmo
−3
1
log 1 x < log 1   log 1 x < log 1 8
2 2 2 2 2

19. La base è minore di
uno, vale la 2. log 1 x < log 1 8
Allora passando 2 2
dalla
disuguaglianza tra
logaritmi a quella
tra i rispettivi x>8 CDEok
argomenti il verso
della S = { x ∈ ℜ / x > 8}
disuguaglianza
cambia verso.

20. Es.2
log 2 x > 4
CDE: x>0
(Per def log)
log 2 x > log 2 (2) 4

21. log 2 x > log 2 16
poiché la base è maggiore di 1, passo
alla disuguaglianza tra gli argomenti
(uso 3.)
x > 16 S = { x ∈ ℜ / x > 16}
CDEok

22. Es.3
x2
 log 1 <0
3
x+3
 CDE:
x + 3 ≠ 0
 2
 x >0
x + 3
x > −3 ∧ x ≠ 0


23. x 2
x2
log 1 <0 log 1 < log 1 1
x+3 3 x+3 3
3
Passo agli argomenti x2
rovesciando la >1
disuguaglianza: x+3
1 + 13
−3< x <
1 − 13 ∨ x>
2  1 − 13 1 + 13 
2 S = − 3 < x < ∨x> 
 2 2 
x > −3 ∧ x ≠ 0 CDEok

24. Proposta:

log x + 4 ≤ 2

25. soluzione
log x + 4 ≤ 2
 CDE:
 x+4≥0
 x ≥ −4
 x+4 >0

26. la base del logaritmo è “e”, la base
naturale, ed essendo e=2.7182…la
disequazione di partenza può essere
scritta come:
log x + 4 ≤ log e 2

27. Da cui:
x + 4 ≤ e2
positivo
positivo
Elevo al quadrato ambo i membri
x ≤ e4 − 4

28. Ricordo la CDE e la combino
con la soluzione appena
trovata:
x ≥ −4
{ }
S = x ∈ ℜ /− 4 < x ≤ e4 − 4
x ≤e −4
4

29. Esercizi:
1) log 3 ( x + 2) < 2
log 1 ( x + 2) < 2
2)
3
log 1 ( x 2 + 7) < −2
3) 4
4) log 1 x − 1 ≥ −1
3