Solucionario CEPUNT - 3º Sumativo - 2010 - I

1. Profesor: Erick Vásquez Llanos 2010
CEPUNT 2010 – I (15 / 08 / 2010)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
1. Al multiplicarse los 19 primeros términos de la sucesión:
2a2; 2a6; 2a10; 2a14; … (40 términos)
Resulta AaB con A ∈ R. La suma de las cifras de B es:
Solución:
Tenemos
E= 2a2. 2a6. 2a10. 2a14…2aan = AaB
donde
an = 2 + 39(4) = 158
luego
B = 2 + 6 + --- + 158
⇒ 2B = (2 + 158).[40]
⇒ B = 3 200
∴ ∑cifras de B = 5
2. Piero tiene en su granja 10 aves, de la cuales 3 son pavos, 2 son patos y 5 con gallinas. Al extraer 4
aves la probabilidad de que por lo menso dos sean gallinas es:
Solución:
Sea A : {casos en la cual de 4 aves tomadas se tiene por lo menso 2 gallinas}
⇒ P(A) = 1 – P(Ac) , donde
Casos totales: Comb(10; 4) = 210
Casos NO favorables (Ac): Comb(5; 4)x Comb(5; 0) = 4 C N F = 54
Comb(5; 3)x Comb(5; 1) = 50
∴ P(A) = 1 – (54/210) = 31/42

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3. Mi edad dentro de 3 años será los 3/2 de la edad que el tenia hace 5 años y también será 11 años
mas que tu edad actual. Si actualmente la suma de las tres edades es 127, entonces tu edad
cumplidos en años es:
Solución:
⇒ 8x – 9 = 127
⇒ x = 17
∴ Tu edad es 3(17) – 11 = 40
4. Dos instituciones educativas salen de paseo el 30% de los varones y el 12% de las mujeres. Si el
número de varones es igual al 80% del número de las mujeres, entonces el tanto por ciento del
total de estudiantes que salieron de paseo fue:
Solución:
Tenemos
V = 80%M ⇒ V = 4k ∧ M = 5K
⇒ Total T = 9k
Además fueron de paseo:
30%(4k) + 12%(5k) = 180%k = 18% (9k) = 18%(T)
∴ El 18% fueron de paseo
5. José trabaja en una gasolinera que se encuentra en la intersección de dos carreteras que forma un
ángulo de 90º. Por una de las carreteras se llega al pueblo A y por la otra a B. al dirigirse José de

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su trabajo al punto medio de la carretera que une A y B, se da cuenta que mide lo mismo que la
distancia de su trabajo al pueblo A. si la carretera del pueblo A al pueblo B mide 10 km, entonces
la distancia del trabajo al pueblo B es;
Solución:
∴ Es 5rad(3)
6. Los polígonos regulares ABC1C2…C15C16 y ABD1D2… D12D13 se grafican de modo que uno se
ubique dentro de otro. La medida del ángulo C1BD2 es:
Solución:
El primer polígono tiene como ángulo
interior con medida: 180(16)/18 = 160º
El segundo polígono tiene como ángulo
interior con medida: 180(13)/15 = 156º
∴ m∠C1BD2 = 16º
7. Dos circunferencias del mismo diámetro son tangentes exteriores. Del centro de una de ellas se
traza una tangente a la segunda y del centro de la segunda una tangente a la primer. El ángulo, en
grados, que forman dichas tangentes es:
Solución:

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Tenemos: x + 30º + 30º = 180º
∴ x = 120º
8. El área sombreada de la figura es:
Solución:
(a + b) + a = 12 ⇒ a = 2 ∧ b = 8; además α = 60º
Luego tenemos 3 triángulo equiláteros de lados 2 y 8
∴ As =2.S1 – S2 = 34rad(3)
MATEMÁTICAS
1. Si a–1 + a = 4, entonces el valor de N = a3 + a–3 es: (Área “A”)
Solución:
N = a3 + a–3 = (a1 + a–1)[( a1 + a–1)2 – 3 ] = 4(42 – 1 ) = 60

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∴ N = 60
2. Si 10x + 10y = p; x – y = Log[(p + q) /(p – q)], el valor de 10x – 10y es:
(Área “A”)
Solución:
Sea E = 10x – 10y ⇒ E = 10x – 10y
p = 10x + 10y
p + E = 2.10 x
p – E = 2.10 y
⇒ [(P + E) / (P – E)] = 10 x – y
⇒ Log[(P + E) / (P – E)] = x – y = Log[(P + q) / (P – q)]
∴ E=q
3. En el triángulo ABC, donde B = 40º, se traza la bisectriz interior AD. Si las bisectrices de los
ángulos ∠BAD y ∠ACB forman un ángulo recto, entonces la medida del ángulo ∠BAC es:
(Área “A”)
Solución:
Tenemos: 3α + θ = 90 ∧ 4α + 2θ = 140º ⇒ α= 20º ∧ θ = 30º
∴ ∠BAD = 80º
4. Al simplificar E = (Tan2A + TanA)(Cos 3A + CosA) se obtiene: (Área “B”)
Solución:
E = (Tan2A + TanA)(Cos 3A + CosA) =[1 – Tan2A.TanA].Tan(2A +A).2Cos2A.CosA
= [Cos(2A + A)/Cos2A.CosA. Tan3A]. 2Cos2A.CosA
∴ E = 2Sen2A

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5. Si (x + y) 2 = 2xy + M, entonces rad(M – y2) (Área “B”)
Solución:
(x + y) 2 = 2xy + M ⇒ x2 + 2xy + y2 = 2xy + M
∴ M – y2= rad(x) = |x|
6. El menor múltiplo de 5 y 9 que da como resto 2, al ser dividido entre 11, sumado con la cantidad
de divisores de 60 480 es: (Área “B”)
Solución:
Sea N = m(5) = m(9) ⇒ Nmin = m(45)
Además N = m(45) = m(11) + 2 ⇒ N = 45m = 11n + 2 ⇒n min = 8
⇒ N =90
Finalmente: N. Div (60 480) = N.Div(26.33.5.7) = 112
∴ 90 + 112 = 202
7. Al resolver la ecuación: Log(2x – 1)n + Log(x – 1)10Logn = n, el valor de x es:
(Área “B”)
Solución:
Tenemos
Log(2x – 1)n + Log(x – 1)10Logn = n
⇒ Log(2x – 1)n + Log(x – 1)n = Log10n

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⇒ Log [(2x – 1)n .(x – 1)n] = 10n
⇒ ( 2x – 1) .(x – 1) = 10 ⇒ x ∈{3; – 3/2 }
∴ x=3
8. Si el rango de la relación x2y +9y = 8 es <a + 1; b + 1], el valor de a/b es:
(Área “B”)
Solución:
Tenemos
y =8/(x2 + 9) = (0x2 + 8)/ (x2 + 9)
Recordar que si y = (ax2 + b)/ (cx2 + d) ⇒ Ran(f) = <a/c; b/d]
⇒ Ran(f) = <0; 8/9]
⇒ a + 1 = 0 ∧ b + 1 = 8/9
⇒ a = – 1 ∧ b = – 1/9
∴ a/b = 9