Este documento presenta una introducción a los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales, imaginarios y complejos. Define cada conjunto de números, sus propiedades y operaciones básicas. También incluye ejemplos para ilustrar la aplicación práctica de cada tipo de número.

1. EL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES
Presenta:
Jorge Villanueva Estrada

2. Los números reales R

3. Los números Naturales (N)
Es un conjunto de números enteros y es
ordenado
N = {1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}
“El cero, a veces, se excluye del conjunto
de
los números naturales.”
Permiten realizar las 4 operaciones
básicas: suma, resta, multiplicación y
división, además de operaciones que

4. Los números Naturales (N)
Cero: cantidad nula
 Conjunto de números Primos: estos
elementos pueden definirse como
aquellos números que no tienen mas
divisores que ellos mismos y la unidad
P= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…}
 Conjunto de números compuestos: los
números compuestos son múltiplos de
aquellos que son sus factores.
C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18…}


5. Los números Naturales (N)
Conjunto de números compuestos:
ejemplo: 12 es un múltiplo de 2, 3, 4 y 6
1
2
2
2
3
2
2
3
4
3
4
6
2
2
3
4
6

6. Los números Naturales (N)
y sus operaciones
Adición
CLAUSURATIVA a + b € N
Los términos se
llaman sumandos
y el resultado
suma
a+b=c
ASOCIATIVA
(a + b) + c = a + (b + c)
CONMUTATIVA a + b = b + a
MODULATIVA a + 0 = a
Sustracción
Los términos de la resta
son: Minuendo y
Sustraendo. Al resultado
se llama Diferencia.
a-b=c
El resultado de restar dos números
naturales no siempre es otro
número natural.
2−5 € N
No es Conmutativa: a - b ≠ b - a
5−2≠2−5

7. Los números Naturales (N)
y sus operaciones
MULTIPLICACIÓ
N
Los términos se
llaman factores
y el resultado
producto
CLAUSURATIVA a · b € N
ASOCIATIVA
(a · b) · c = a · (b · c)
CONMUTATIVA a · b = b · a
MODULATIVA
a·1=a
DISTRIBUTIVA a · (b + c) = a · b + a · c
a· b = c
DIVISION
El resultado de dividir dos números
naturales no siempre es otro número
natural.
2÷5 € N
No es Conmutativa: a ÷ b ≠ b ÷ a
5÷2≠2÷5
Cero dividido entre cualquier número da cero
0÷5=0

8. Ejemplos de aplicación de
números naturales.
Se realiza un conteo de los alumnos que se
inscribieron a la carrera de administración en los
últimos 3 años
2011
2012
2013
2011 16
2012 31 0
16
15
14
2013 45
¿Cuantos alumnos 2011
teníamos en total en el año
2012
2013
2012?
0
+
16
+
2011
15 = 31
2012
2013
¿Cuantos alumnos tenemos en total en el año 2013?
0
+
16
+
15
+
14 = 45
¿Cual es el promedio de alumnos que se inscribieron

9. Números Enteros (Z)
En el sistema de los números naturales ecuaciones del
tipo
X + 1 = 0, no tienen solución, así como otras
situaciones de la vida real como, deudas, depresiones del
terreno, nivel bajo el nivel del mar, temperaturas bajo
cero, que no es posible representarlas con tales números.
Surge así la necesidad de extender el sistema de los
números naturales a un nuevo sistema en el que tales
ecuaciones y situaciones sean posibles.
En general los números enteros es la unión de los
números enteros positivos y los números enteros
negativos:
Z = {…,-11, -10,-9…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…,9, 10, 11,…}
Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos,
pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la de
los naturales.

10. Operaciones con números
enteros

11. Video de solución de
problemas
http://www.youtube.com/watch?v=Sj9rT
hGLz9Q

12. Ejemplos de aplicación de
números enteros.
Pedro es un estudiante desea reconocer los posibles
gastos que va a realizar el siguiente mes, tomando
en cuenta lo siguiente:
$2500 inscripción, $2000 mensualidad, pero el gana
al mes $1700 y lleva solamente trabajado un mes,
cuanto dinero tiene que conseguir para poder seguir
estudiando
1700 + X + (– 2500) + (– 2000) = 0
1700 – 2500 – 2000 + X = 0
-2800 + X = 0
X = 2800
-4500 = -2000
4500
+ -2500
0
1700
+
X=

13. Números Racionales (Q)
En general los números racionales son los que
se pueden expresar como cociente de dos
números enteros. El conjunto de los números
racionales está compuesto por los números
enteros y por los fraccionarios. Se pueden
sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por
cero) y el resultado de todas esas operaciones
entre dos números racionales es siempre otro
número racional.
Además de que se puede aplicar el sistema
decimal
http://www.youtube.com/watch?v=E5abcq22aE
8

14. Números Racionales (Q) y sus
operaciones

15. Ejemplos de aplicación de
números racionales.

2do paso realizar la
elementos
Examen
0
Tareas
3
Participación
2
Exposición
2_
Total
8.5
suma de todos los
3/10
2/10
2/10
7/10

16. http://www.youtube.com/watch?v=YLuUvD_rVL8
Números Irracionales (I)
Lo primero que se puede decir acerca de un número irracional es
que no se puede expresar como una fracción. Esta es la
característica que lo define como irracional.
Como todo número racional tiene una expresión decimal que
contiene, o bien un número finito de cifras decimales, o bien un
número infinito de cifras formadas por la repetición periódica de
un número finito de cifras, se puede concluir que un número
irracional tiene, en su expresión decimal, una cantidad infinita de
cifras no periódicas.
En otras palabras, todo número irracional tiene la característica
siguiente: “Su expresión decimal no puede escribirse
completa jamás, porque jamás se terminaría de escribir una
cantidad infinita de cifras decimales.”
Esto hace que sean números realmente difíciles de manejar si se
quieren expresar con cierta exactitud. De hecho, con total
exactitud no se les puede manipular en operaciones aritméticas
por su misma naturaleza.

17. Números Irracionales (I)
Algunos números irracionales son
√
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3 = 1,7320508075688772935274463415059 (etc.)
√99 = 9,9498743710661995473447982100121 (etc.)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.
π
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de
cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
e
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han
calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los
primeros decimales son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

18. Ejemplos de aplicación de
números irracionales.
Se quiere conocer la longitud de la mitad de una circunferencia de radio
de 20 m, para poder estimar la distancia que se recorrerá en una carrera,
sabiendo las siguientes equivalencias :
Sistemas
Decimal
360
Circular
= 2π rad
Y la formula para obtener la longitud de un arco es
S=
r
= Angulo central en radianes
Si
S
r= Radio
r
Solución:
360 = 2π rad
180= π
S=(π)20m=62.831…m

19. Números reales (R)
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es
el de los números reales, de modo que todos los números Naturales,
Enteros, Racionales, Irracionales) son Reales. Estos números ocupan la
recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real. Entre los
números reales están definidas las mismas operaciones que entre los
racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).
Los números Naturales (1,2,3,4…)son u
subconjunto de los números enteros.
Los Enteros (…-2, -1, 0, 1, 2,…)son un
subconjunto de los números racionales
Los números racionales y los números
Irracionales I son un subconjunto de los
números reales , , ,π, 1/2

20. http://www.youtube.com/watch?v=hoVEwhN-UPc
Números imaginarios (I)
Los Números Imaginarios son las raíces pares de
cantidades negativas.
Por lo que la ecuación X2= –1 no tiene solución en el sistema
de los números reales, si se quiere dar un valor a la X, tal
que X2= –1 , éste no puede ser un valor real, no tiene sentido
matemático sino tampoco en sentido técnico. Por lo que se
define un nuevo conjunto de números (diferente del de los
números reales), el de los números imaginarios.
UNIDAD IMAGINARIA
La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números
reales) es el numero √ –1 (la raíz cuadrada de menos uno) y
se representa por la letra “i”. En matemáticas se usa i (de
imaginario)
en conclusión
√ –1=i

21. Números imaginarios (I)
Ejemplo √-4 = √4 * √-1 = 2i
PROPIEDAD INTERESANTE
La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad
interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores
diferentes cuando la multiplicas:
i * i = -1,
-1 * i = -i,
-i * i = 1,
1*i=i
EXPRESION DE UN NÚMERO IMAGINARIO
 La unidad imaginaria es √-1= i, con este concepto
y los números reales se puede expresar un
numero imaginario, como un numero real
multiplicado por la unidad imaginaria.

22. RESPRESENTACION DE LOS NUMEROS
IMAGINARIOS
Los números Imaginarios se pueden representar en un eje
imaginario o ejes de la y (ordenada), que además es
perpendicular al eje real o de las x (abscisa).
ADICION Y SUSTRACCION DE NUMEROS
IMAGINARIOS i

23. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
i
Estas son de gran utilidad, en Exponentes básicos de i:
i= √-1
i2= - 1
i3= - i
i4= - 1
Para saber que valor corresponde a una potencia de i, se
divide el exponente de la potencia dada por 4 y se
determina el residuo. Luego a la i le aplicamos ese
residuo como exponente y comparamos con los
exponentes básicos. Se explica en el siguiente ejemplo
Ejemplo de potencias de la unidad imaginaria i:
Hallar el valor de i30 primero se divide 30 entre 4 y se
determina el residuo 30/4= 7.5 30-(7*4) 30-28=2
residuo
Por lo tanto i30 = i2 = -1
i21 = i1 = √-1
i16 = i4 = -1
i19 = i3 = -i

24. MULTIPLICACIÓN
IMAGINARIOS i
DE
NUMEROS
Para multiplicar números imaginarios se reduce ala forma bi y se operan
algebraicamente teniendo en cuenta las potencias de la Unidad
Imaginaria.
Ejemplo para (√-64) ( √-100)
Solución:
1. De la forma bi
√-64 = √64(√ - 1) = 8i;
√- 100 = √100(√ - 1) = 10i
2. Se operan algebraicamente teniendo en
cuenta las potencias de la Unidad
Imaginaria.
√-64 x √- 100 = 8i x 10i
= 80i2 = 80(- 1) = -80
•
•
•
•
(√-121)( √-144)
(4√-4)( 5√-16)
√-49 ÷ √-1
(2√-4 + 5√-9)(3√-16)

26. Números complejos
Expresión de la forma a + bi, en donde a y b son
números reales e i es imaginario. Estos números se
pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una
estructura algebraica de las llamadas cuerpo en
matemáticas. En física e ingeniería los números
complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y
ondas electromagnéticas.

27. Representación Grafica de los
Números Complejos
Los números complejos de la
forma a + bise escriben como
una pareja ordenada de la
forma(a, b)y cada pareja
ordenada representa un punto
en el plano. Llamado Plano
Complejo.
El eje X se llama eje real y el Y,
eje imaginario. Los números
complejos se representan
gráficamente en dos formas:
 Mediante un punto
 Mediante un vector

28. REPRESENTACION MEDIANTE UN
PUNTO
Para representar un número complejo mediante un punto,
se expresa el número en forma de pareja ordenada y se
ubica en el
plano complejo
Ejemplo: Represente mediante un punto el numero
complejo 3 + 4i en un Plano complejo

29. REPRESENTACIÓN MEDIANTE UN
VECTOR
Es el segmento que se traza desde el origen
del plano hasta el punto generado, se
denomina Vector
1. Represente mediante un punto los siguientes números complejos
-2 – 6i
3 + 2i
5 – 7i
2. Represente en forma vectorial los siguientes números complejos
7 + 6i
-4 – 3i

30. Operaciones con Números
http://www.youtube.com/watch?v=rODxTOsz
Complejos PJs
(5 + 2 i) · (2 − 3 i)
= 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

31. División de números
complejos
Efectué las siguientes divisiones:
a. (9 - 3i) ÷ (-5 – 4i)
b. (√3 + √-16) ÷ (√5 + √-49)
c. (-5√3 + 2√3i) ÷ (-4√11 + 5√3i)