1. LÍMITES Y SUS PROPIEDADES ESCUELA: Ciencias de la Computación NOMBRES Ing. Diana A. Torres G. BIMESTRE v I Bimestre OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010 FECHA: 1
8. 8 x se aproxima a 0 por la derecha x se aproxima a 0 por la izquierda f(x) se aproxima a 2 f(x) se aproxima a 2
9. 9 El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0 f no es definida en x = 0
10. 10 LÍMITES QUE NO EXISTEN Ejemplo: Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda. Demostrar que el límite no existe: Solución
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12. 12 LÍMITES QUE NO EXISTEN Ejemplo: Comportamiento no acotado. Analizar la existencia del límite: Solución: Si jugamos con valores nos podemos dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece notablemente:
13. 13 f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que el límite no existe.
14. 14 LÍMITES QUE NO EXISTEN Ejemplo: Comportamiento oscilante. Analizar la existencia del límite: Por tanto el límite no existe
15. 15 Conclusiones: f(x) se aproxima a números diferente por la derecha de c que por la izquierda. f(x) aumenta o disminuye sin límite a medida que x se aproxima a c. f(x) oscila entre dos valores fijos a medida que x se aproxima a c.
16. 16 DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real: Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:
20. 20 Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes: Múltiplo Escalar: Suma o Diferencia Producto:
23. 23 Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real: Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos
24. 24 Ejemplo: Límite de una Función racional Como el denominador no es 0 cuando x=1
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27. 27 Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas Sea c un número real:
30. 30 Definición de Continuidad Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:
31. 31 Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.
32. 32 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
33. 33 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
34. 34 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)
35. 35 Ejemplo límite Lateral Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha
36. 36 Teorema 1.10 Existencia de un límite Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:
37. 37 Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b
38. 38 Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado Analizar la continuidad de Se concluye que f es continua en [-1,1] Continua por la derecha Continua por la izquierda
39. 39 Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c: Múltiplo escalar: bf Suma o Diferencia: f ± g Producto: fg Cociente: f , si g(c) ≠ 0 g
41. 41 Definición de Límites Infinitos Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión