Flujo y Fluidos

1. MECANICA DE FLUIDOS I
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE
INGENIERIA CIVIL
COMPUTADORA Y MECANICA DE FLUIDOS
La mecánica de fluidos utiliza métodos numéricos y algoritmos para resolver y analizar problemas sobre el flujo de
sustancias. Los ordenadores son utilizados para realizar millones de cálculos requeridos para simular la interacción de los
líquidos y los gases con superficies complejas proyectadas por la ingeniería. Aun con ecuaciones simplificadas y
superordenadores de alto rendimiento, solo se pueden alcanzar resultados aproximados en muchos casos. La continua
investigación, sin embargo, permite la incorporación de software que aumenta la velocidad de cálculo como así disminuye
también el margen de error, al tiempo que permite analizar situaciones cada vez más complejas como los fluidos
transónicos y los flujos turbulentos.
METODOS NUMERICOS COMO HERRAMIENTAS DE ANALISIS
Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando
operaciones aritméticas.
Los métodos numéricos se utilizan para:
• Solución de sistemas de ecuaciones lineales.
• Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales
• Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación
• Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando una curva: ajuste de curvas
• Integración numérica de una función
• Solución numérica de ecuaciones diferenciales
INTRODUCCION A METODOS NUMERICOS CON EXCEL
1. Matrices.- Son arreglos de numeros en filas y en columnas.
¿Para qué sirven las matrices?.
Sirven especialmente para resolver ecuaciones con muchas incógnitas.
OPERACIONES MATRICIALES EN EL EXCEL
Para realizar operaciones matriciales, el Excel está provisto de un conjunto de funciones, entre las que podemos citar:
OPERACIONES CON MATRICES
• ADICION =(MATRIZ 1 ) + (MATRIZ 2)
• SUSTRACCION =(MATRIZ 1) – (MATRIZ 2)
• PRODUCTO =MMULT(MATRIZ 1;MATRIZ 2)
• CALCULO DE LA INVERSA =MINVERSA(MATRIZ 1;MATRIZ 2)
• CALCULO DE DETERMINANTE =DETERMINANTE(MATRIZ)
• TRANSPOSICION =TRANSPONER(MATRIZ)
1. SUMA Y RESTA
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo orden, es decir, deben tener el mismo número de
filas y de columnas. Para sumar o restar se suman o restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
i. Se ingresan los elementos de ambas matrices en los rangos:
ii. Se selecciona el rango
iii. Enseguida se escribe se pulsa Ctrl+ Shift+Enter
EJERCICIOS:
Dadas las matrices:
Calcular: 1) A + B 2) A – B 3) B – A
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2. MULTIPLICAR DOS MATRICES. FUNCIÓN MMULT
Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz deber ser igual al número de filas de la
segunda matriz. La matriz resultado del producto quedará con igual número de filas de la primera matriz y con igual
número de columnas de la segunda matriz. Es decir, si se tiene la primera matriz A de orden 2x3 y una segunda matriz B
de orden 3x2, si se puede multiplicar 𝐴𝑥�, ya que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la
matriz B, y MMULT que nos permite multiplicar dos matrices, la matriz resultante de la multiplicación tendrá orden 2x2.
Para ello, respetando las matemáticas básicas. C=AxB donde A(mxn) x B(nxt) = C(mxt).
Si se siguen estas indicaciones pueden efectuarse multiplicaciones con matrices de cualquier orden:
1) Formar las matrices necesarias colocando en cada celda el valor correspondiente a las entradas que conforman las
mismas.
2) Marcar todas las celdas donde se desea obtener la matriz resultante (recuerde que el orden resultante depende de
la operación, no es lo mismo si se trata de una suma o resta que de una multiplicación).
3) Ingresar el comando para Excel en la primera de las celdas previamente marcadas donde se desea que aparezca la
matriz resultante, tómese como ejemplo:
=MMULT(RANGO DE LAS CELDAS)
4) Combinar las teclas SHIFT CTRL ENTER
EJERCICIOS:
Dadas las matrices:
K = 2
Hallar:
1) A x B 2) A x C 3) B x C 4) D x E 5) K x D 6) D + D2
+ D3
+ D4
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
El producto de un escalar � por la matriz 𝐴, escrito � ∙ 𝐴 o simplemente �𝐴, es la matriz obtenida multiplicando cada
entrada de 𝐴 por �
EJERCICIOS:
Sea la matriz : Calcular:
A) 2A B) 1/2A
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ EN EXCEL FUNCION MDETERM.
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3. El DETERMINANTE de una matriz por definición es : el escalar o polinomio resultante de obtener todos los productos
posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denominado como:|A|
El valor numérico suele denominarse asimismo módulo de la matriz.
Ejemplo:
En Excel se pueden calcular determinantes de matrices cuadradas con el comando =MDETERM
= MDETERM (RANGO DE LAS CELDAS)
EJERCICIOS: HALLAR LA DETERMINANTE DE LAS SIGUIENTES MATRICES
MATRIZ TRASPUESTA.
La que se obtiene a partir de otra pero que se obtiene cambiando las filas por columnas.
La traspuesta se representa con una t o T por índice de la letra que representa el nombre de la matriz.
En Excel se pueden calcular la transpuesta de matrices cuadradas con el comando = En Excel se pueden calcular
determinantes de matrices cuadradas con el comando =TRANSPONER
=TRANSPONER(MATRIZ)
EJERCICIO: Haciendo uso del Excel o de cualquier otra herramienta o programa calcula la matriz transpuesta de:
MATRIZ INVERSA.
EJERCICIO: Haciendo uso del Excel, calcula la matriz inversa de:
RESOLVIENDOEL SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES A TRAVES DE LA INVERSION DE MATRICES (Método de Arthur
Cayley).
Este método consiste en resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando la matriz inversa.
En donde:
A: Es la Matriz, cuadrada, que contiene los coeficientes de cada una de las incógnitas.
X: Es la matriz o vector de incógnitas: una columna y número de filas igual al número de incógnitas.
C: Es la matriz o vector de términos independientes, es decir los valores a la derecha de la igualdad en el Sistema de
Ecuaciones Lineales.
EJERCICIOS
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4. 1. 2� + � = 4
3� + � = 5
2. 4x – y + 5z = -6
3x + 3y - 4z = 30
6x + 2y – 3z = 33
3. -1.08 x1 + 0.15x2 + 0.18x4 = 0
0.15 x1 – 0.27 x2 + 0.12 x3 = -1.3
0.12 x2 -0.38 x3 + 0.26 x4 =1.8
0.18 x1 + 0.26 x3 – 0.83 x4 + 0.39 x5 = -0.5
0.39 x4 – 1.9 x5 = 0.4
4. 2x1 + x2 + 3x3 = 11
4x1 + 3x2 +10x3 =28
2x1+4x2+17x3=31
5. 5x+1y+8z=46
4x-2y=12
6x+7y+4z=50
6. 0,12X + 0,2y = 500
0,15X + 0,1y = 300
0,072X + 0,027y = 108
7. 3x + 2y – 4z + 2t = 3
-4x + 11y +z – 9t = -1
12x – 8y – 3z + 7t = 8
22x + 8y – 27z + 4t = 7
HERRAMIENTA BUSCAR OBJETIVO.
Es un solucionador de ecuaciones, si tenemos en nuestra hoja de cálculo diferentes celdas vinculadas entre sí (es básico
que exista una relación entre las celdas) y necesitamos estimar UNA de las variables para forzar un resultado concreto,
aplicaremos la utilidad Buscar objetivo.
Recordaremos que esta herramienta la encontramos en menú Datos > Grupo Herramientas de datos > Análisis y si >
Buscar objetivo o bien lo ejecutaremos presionando Alt+h+u
EJERCICIOS: Resolver
1. x2
+2x+1=9 2. x2
=2x3
3. 4/(x+x1/2
) = 3x 4. 2x2
= 1/x1/2
5. xx
=2x3
6. 2x5
-3x2
=5
HERRAMIENTA SOLVER
La herramienta Solver nos permite optimizar el valor de una celda, a la que llamaremos Objetivo, que depende
linealmente de las celdas de un rango determinado, el cual puede estar sometido a restricciones. Como se ve, es en
realidad el problema matemático de Programación Lineal.
EJERCICIOS: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, determinar x e y
2 2
2 2
f(x,y)=x 2 5 7 40
( , ) 3 4 2 28
y x y
g x y x y x y
+ − + =
= − + + =
AJUSTE DE CURVAS CON EXCEL
A lo largo de la profesión de un Ingeniero Petroquímico, frecuentemente se presentan ocasiones en las que deben ajustar
curvas a un conjunto de datos representados por puntos. Las técnicas desarrolladas para este fin pueden dividirse en dos
categorías generales: interpolación y regresión. Se considerará en la presente práctica la primera de estas dos categorías.
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5. • Cuando se tiene “n” puntos es posible
obtener un polinomio de grado menor a “n-
1” que no tiene que pasar necesariamente
por todos los puntos dados
• Matlab puede realizar ajuste lineal de
curvas como lo hacen otro software como
Excel.
• También es posible el cálculo de
estimadores para saber qué tan bueno es
nuestro ajuste.
EJEMPLO (1)
Partiendo de una pareja de datos “x-y” que se creen dependientes uno de otro, obtener el polinomio respectivo y el
coeficiente de regresión lineal.
Fuerza
(N)
Desplazamiento
(m)
2 1
1 2
3 3
4 4
4 5
5 6
8 8
Solución
1. Graficar los datos:
Pestaña Insertar > Gráficos > Dispersión >
Dispersión solo con marcadores
% Permite usar este tipo de gráficos para mostrar
la relación entre conjunto de valores.
2. Seleccionar datos
Seleccionar > Agregar; en la ventana Seleccionar
origen de datos, pulsar el botón agregar.
En modificar serie pulsar el botón de Valores de X y de
Valores de Y.
3. Ajustar estos datos a la curva logística con
ecuación. En opciones de línea de tendencia
escoger el tipo de tendencia
 Agregar línea de tendencia:
• Exponencial
• Lineal
• Logarítmica
• Polinómica
• Potencial
• Media Móvil.
 Marcar Representar Ecuación
 Marcar Representar R cuadrado en el
Grafico.
AJUSTE DE CURVAS CON SOLVER
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6. Solver resulta útil para encontrar la curva que ajuste a un conjunto de datos, cuando estos son no lineales. Supongamos
que tenemos el siguiente conjunto de datos:
X Y
1 30
2 34
3 96
4 178
5 676
6 749
Ajustar estos datos a la curva logística con ecuación: -cxy=a-b(e )
Solución
1. Graficar los datos:
Pestaña Insertar > Gráficos > Dispersión >
Dispersión solo con marcadores
% Permite usar este tipo de gráficos para
mostrar la relación entre conjunto de
valores.
2. Ajustar estos datos a la curva logística con ecuación: -cxy=a-b(e )
 En la tabla Nº1. Tenemos que los valores en la columna A y B son los valores de los datos originales (X,Y). Los
valores de la columna C, son los valores de Y estimada, denotada por Yest. Estos valores de Yest, se calculan
mediante la ecuación dada.
 Los valores de a, b, y c ; que aparecen en las celdas G2, G3 y G4 respectivamente, son los valores iniciales
asumidos, luego mediante Solver de Excel, trataremos de encontrar los valores óptimos, aquellos que mejor ajuste
la curva a los datos.
Tabla Nº01
La ecuación para la curva ajustada será:
-(-0.38xY=-170.79-(-101.45*(e )
3. Luego la curva logística es:
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7. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Los tiempos t empleados en descender crecientes alturas z por una pequeña esfera en un viscosímetro de Stokes
se presentan en la Tabla a continuación.
Tabla 1
Tabla 1. Se muestra los datos experimentales medidos a partir del viscosímetro de Stokes.
Obtener el mejor modelo matemático que ajusta a tales datos. Conocido el modelo con sus respectivos coeficientes:
*Z A t B= +
INTRODUCCION A METODOS NUMERICOS CON MATLAB
MATRICES
Se pueden introducir matrices en MATLAB de varias formas:
• Introduciendo una lista explícita de elementos.
• Generando matrices con funciones predefinidas en
MATLAB.
• Cargando matrices desde un fichero de datos externo.
• Creando matrices con funciones definidas por el usuario
atraves de ficheros M.
GENERACIÓN DE MATRICES EXPLÍCITAMENTE
Para obtener una matriz escribiendo sus elementos solo hay
que tener en cuenta unas pocas reglas:
• Los elementos de la matriz hay que introducirlos fila a
fila.
• Los elementos de cada fila deben estar separados por
comas (,) o espacios en blanco.
• Para indicar el final de una fila se debe escribir (;)
• La lista de todos los elementos debe estar encerrada
entre corchetes, [ ].
Debe observarse que el número de elementos en cada fila
debe ser el mismo; en caso contrario, MATLAB produciría un
mensaje de error. Por ejemplo para introducir la matriz
SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Considerando el siguiente sistema de ecuaciones lineales, determinar los valores de las variables mediante el método de
la matriz inversa.
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8. A) 2X1 + 3X2 = 8
4X1 – 3 X2 = -2
B) 3x1 + 2x2 – x3 = 4
2x1 + x2 – 2x3 = 3
x1 + x2 – 2x3 = -3
C) x – 2y +3z = 17
3x + y – 2z = 0
2x + 3y +2 = 7
D) 0.1x1 – 0.5x2 + x4 = 2.7
0.5x1 -2.5x2 + x3 – 0.4x4 = -4.7
x1 + 0.2x2 –0.1x3 + 0.4x4 = 3.6
0.2x1 + 0.4x2 – 0.2x3 = 1.2
PROBLEMA
Se desea estimar la densidad de una sustancia a una temperatura de 251º C a partir de los siguientes datos
experimentales que se dan en la Tabla.
Tabla: Datos de Temperatura-Densidad
T (ºC) 94 205 371
Ρ (kg/m3
) 929 902 860
Solución:
>> X = [94 205 371];
>> Y = [929 902 860];
>> Xi= 251;
>> Densidad =interp1(X,Y,Xi,cubic)
Densidad = 890.3614
AJUSTE DE CURVA CON MATLAB
EJERCICIO
Dada la siguiente función:
Punto 0 1 2 3 4 5
x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
y 5.000 5.785 6.763 7.971 9.451 11.25
Encontrar los valores de a0, a1, a2, a3 y a4 del polinomio
1) Abrir la herramienta Curve Fitting Tool
• Start > Toolboxes > Curve Fitting > Curve Fitting Tool > Data
2) Crear el conjunto de datos a justar:
a) Seleccionar los datos del eje X (X Data) y del eje Y (Y Data).
b) Asignar un nombre al conjunto de datos (Data set name).
c) Crear el conjunto de datos (Create data set).
d) Cerrar la ventana (Close).
3) Seleccionar Fitting…
4) Establecer el tipo de ajuste:
• Seleccionar nuevo ajuste (New fit).
• Introducir el nombre del ajuste (Fit Name), el conjunto de datos ajustar (Data set) y el tipo de ajuste
(Type of fit).
• Pulsar Apply para obtener los resultados del ajuste.
5) Leer los resultados del ajuste:
• Coeficientes del ajuste seleccionado.
• Bondad del ajuste (Goodness of fit): coeficientes de correlación R-square y Adjusted R-square.
Observar la concordancia de los datos a ajustar con el resultado del ajuste.
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9. f(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4
Coefficients (with 95% confidence bounds):
p1 = 7 (6.314, 7.686)
p2 = -13.61 (-16.19, -11.04)
p3 = 13.29 (10.1, 16.47)
p4 = -1.672 (-2.975, -0.3683
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10. f(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4
Coefficients (with 95% confidence bounds):
p1 = 7 (6.314, 7.686)
p2 = -13.61 (-16.19, -11.04)
p3 = 13.29 (10.1, 16.47)
p4 = -1.672 (-2.975, -0.3683
Ing. Victor Ore G. Página 9