1. VECTORES EN EL PLANO
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)
Semestre 99-00 C
2. Algebra lineal Vectores en el plano
El concepto de vector está motivado por la
idea de desplazamiento en el espacio
Si una partícula se mueve de P a Q
determina un segmento de recta dirigido
con punto inicial P y punto final Q
→
PQ
P Q
3. Algebra lineal Vectores en el plano
La magnitud del vector es la longitud de ese
desplazamiento y se denota por
→
PQ
S
P Q
R R S
→ →
Vectores de la misma magnitud PQ = RS
4. Algebra lineal Vectores en el plano
La dirección del vector viene dada por el
punto inicial y el punto final. En este
→ →
sentido
RS ≠ SR
Q
S
R Q P S
S
R
P R
Vectores de la Vectores en
misma direcciones distintas
dirección
5. Algebra lineal Vectores en el plano
Vectores Equivalentes
→ → Tienen la misma
PQ = RS magnitud y dirección
Q S
P R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los
segmentos dirigidos equivalentes
6. Algebra lineal Vectores en el plano
Eje y
O
Eje
x
Representante del vector por el origen de
coordenadas
7. Algebra lineal Vectores en el plano
A un vector u se le asocia el punto P(a,b)
así:
Eje Y
b P(a,b) →
u u = OP = (a, b)
O a
Eje X
(a,b) son las coordenadas del vector u
y también del punto P
8. Algebra lineal Vectores en el plano
Dado (a,b)∈ℜ2 se le asocia el vector u así:
Eje Y
P(a,b)
u=(a,b) b
u
O a
Eje X
Definición algebraica
Un vector es un par ordenado de
números reales
9. Algebra lineal Vectores en el plano
Punto P Vector u=OP
en el plano
desde el origen hasta P
(a,b)∈ℜ2
Esta correspondencia se llama:
Sistema de coordenadas rectangulares
10. Algebra lineal Vectores en el plano
Magnitud o norma Dirección θ de u
de un vector u Angulo positivo que
forma con el eje X
2 2 b
u = a +b tag θ =
a
Eje Y
Un vector de
(a,b)
norma uno se b
llama unitario u
θ
El vector nulo (0,0) a
no tiene dirección
O
Eje X
11. Algebra lineal Vectores en el plano
Operaciones con vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el
plano y α un número real. Se define el
vector:
suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
producto por un escalar α u como
α u=(αx, αy).
12. Algebra lineal Vectores en el plano
Operaciones con vectores
Eje Y
u+ v
u
v
O
Eje X
Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe
gráficamente que u+v=(x+a,y+b)
13. Algebra lineal Vectores en el plano
Eje Y Operaciones con vectores
b
y
u+ v
b y u
b
x
v
Eje X
O x a
a x
u+v=(x+a,y+b)
14. Algebra lineal Vectores en el plano
Investiga por tu cuenta
¿Hay alguna relación entre las normas
de u, v y la de u+v?
¿Hay alguna relación entre la
direcciones de u, v y la de u+v?
15. Algebra lineal Vectores en el plano
Operaciones con vectores
Eje Y
αu α >0
u
O
αu Eje X
α <0
Si u=(x,y), α∈ℜ pruebe
gráficamente que αu=(αx, αy)
16. Algebra lineal Vectores en el plano
Eje Y Operaciones con vectores
αy ?
Triángulos
αu semejantes
y αu ? ¿
¿ = =
u u x y
Eje X
O x αx
αu=(αx, αy)
17. Algebra lineal Vectores en el plano
Ejercicio 1
¿Cuál es la relación entre las normas
de u y la de αu?
¿Hay alguna relación entre la
direcciones de u y la de αu?
18. Algebra lineal Vectores en el plano
Ejercicio 2
Encuentre el vector de norma 4
en la dirección del vector (4,-3)
Encuentre el vector unitario con
dirección π/4.
19. Algebra lineal Vectores en el plano
Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los
vectores unitarios en la dirección de los ejes
coordenados
Eje Y
y
u
j yj xi
O i x Eje X
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es
combinación lineal de los vectores i,j
20. Algebra lineal Vectores en el plano
Producto escalar
Primero se define en los vectores canónicos
i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0
u = xi + yj
v = ai + bj
u.v = xai.i + xbi. j + yaj.i + ybj. j
u.v = xa + yb
21. Algebra lineal Vectores en el plano
Producto escalar
Se define el producto interior o producto
escalar de dos vectores u=( x,y) y v=(a,b)
como:
u.v=ax+by
Se define el ángulo entre
dos vectores u y v como
ϕ el ángulo ϕ no negativo
mas pequeño entre u y v.
22. Algebra lineal Vectores en el plano
Producto escalar
Eje Y
Dos vectores son
π /2 paralelos si el
π
ángulo entre ellos
Eje X es 0 o π.
Dos vectores son ortogonales
si forman un ángulo de π/2
23. Algebra lineal Vectores en el plano
Propiedades del producto escalar
Teorema: Sean u,v vectores en ℜ 2 y α un
número real, entonces:
u.0 = 0
u.v = v.u (propiedad conmutativa)
(αu).v = α(u.v) = u.(α v)
u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)
2
u.u = u
Prueba: Ejercicio
24. Algebra lineal Vectores en el plano
Teorema:
Sean u y v vectores no nulos y ϕ el ángulo
entre ellos, entonces u.v = u v cos ϕ
Interpretación
geométrica:
u
ϕ
v
ucosϕ u.v
w=
v
2
v
25. Algebra lineal Vectores en el plano
Prueba
:
Teorema del v-u
coseno: u
2 2 2
v −u =u + v − 2 u v cos ϕ ϕ
v
2 2
( v − u).( v − u) = u + v − 2 u v cos ϕ
2 2 2 2
v − 2u.v + u =u + v − 2 u v cos ϕ
− 2u.v = −2 u v cos ϕ ⇒ u.v = u v cos ϕ
26. Algebra lineal Vectores en el plano
Teorema:
Sea v un vector no nulo, entonces para
cualquier vector u se tiene que
u.v
w= u − 2 v es un vector ortogonal a v
v
u w
w=u-proy v u
ϕ
v
Proy v u
27. Algebra lineal Vectores en el plano
Prueba del Teorema:
u.v u.v
w.v= u − v .v = u.v − v.v
2 v2
v
u.v 2
w.v= u.v − v =0
v2
Por lo tanto w⊥v
28. Algebra lineal Vectores en el plano
Ejercicio Propuesto
Pruebe que u y v son ortogonales
si y solo si u.v=0
Pruebe que u y v son paralelos si
y solo si u es múltiplo escalar de v,
es decir si u= αv
29. Algebra lineal Vectores en el plano
Solución
1)
Nº1
αu = (αx )2 + (αy )2 = α 2 x 2 + y 2
αu = α u
2)
ϕ = dirección(u) θ = dirección(αu)
αy y
tgθ = = = tgϕ ⇒ θ = ϕ o θ = π + ϕ
αx x
30. Algebra lineal Vectores en el plano
Solución
Nº1
2) Eje Y
αu α >0
u
θ+π
θ
O
αu Eje X
α <0
31. Algebra lineal Vectores en el plano
Solución
Nº1
2) Sea θ la dirección del vector u,
entonces
θ si α>0
Dirección de αu=
+ π si
θ α< 0
32. Algebra lineal Vectores en el plano
Solución
Nº2
a) Queremos encontrar α tal
que: 4
αu = 4 ⇒ α u = 4 ⇒ α = , α > 0
u
u = 16 + 9 = 5 por lo tanto
4 4
u = (4,-3) es el vector buscado
u 5
33. Algebra lineal Vectores en el plano
b) Solución Nº2
Eje Y
u = ( x , y ), u = 1
u π y
Sen θ 1 = tg = ⇒ x = y
4 x
2 2 2
O cos θ 1= u = 2x ⇒ x =
Eje X 2
De otra manera:
π π 2 2
u = (cos , sen ) u =( , )
4 4 2 2
u = cos 2 θ sen 2 θ=
+ 1