1. X.MANUEL BESTEIRO ALONSO Colexio APostólico Mercedario VERÍN FUNCIÓNS

2. CONCEPTO DE FUNCIÓN Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Maneras de definir una función: 1.– Por una tabla 2.– Por su gráfica 3.– Por una fórmula Cardiograma

3. De los gráficos siguientes. ¿Qué gráficos son funciones?

4. Ejemplo : Indique si cada una de las gráficas es la gráfica de una función: y a) x

5. y x b)

6. y x c)

8. Idea de función Tabla de la función y = x 2 + 1 Gráfica de la función y = x 2 + 1 Dominio. Conjunto de valores que se pueden dar a la variable independiente. Se desígna como D(f) Recorrido. Conjunto de valores de la variable dependiente.Se desígna por f(D) ou R(f) D(f) = R Re(f) = [1, +  )

13. Dominios y recorridos de funciones: ejemplos D = R – {0} R = R – {0} D = [0, +  ) R = [0, +  )

14. Ejemplo : Encuentre el dominio de la función definida por la ecuación , suponiendo que x es la variable independiente.

15. Operaciones aritméticas con funciones Definición: Dadas las funciones f y g se definen las funciones suma (f+g), diferencia (f-g), producto (fg) y cociente (f/g) de f y g como:

17. TASA DE VARIACIÓN El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro. Representaremos la tasa de variación por t v . Si h es el incremento de la variable, la tasa de variación en x será, pues: f(x + h) – f(x) T v = --------------------- h

22. 1.-FUNCIÓN CÓNVEXA Unha función é CONVEXA cando ao unir dous puntos da rexión superior da función hai algún segmento que corta á gráfica da función CURVATURA: CONCAVIDADE, CONVEXIDADE

23. 2.-FUNCIÓN CONCAVA Unha función é CONCAVA cando ao unir dous puntos da rexión superior da función O segmento queda dentro da gráfica da función CURVATURA: CONCAVIDADE, CONVEXIDADE

24. PUNTOS DE INFLEXIÓN Son aqueles nos que a función cambia de curvatura. Pasa de cóncava a convexa ou viveversa CURVATURA: PUNTOS DE INFLEXIÓN PUNTOS DE INFLEXIÓN Función cóncava Función convexa Función cóncava Función convexa

27. FUNCIONES PERIÓDICAS Una función f es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo que se llama periodo. Es decir: f(x + T) = f(x). T es el periodo. x f(x) x + T f(x + T) = T periodo

29. TIPOS DE DISCONTINUIDADES 1.- DISCONTINUIDADE DE SALTO INFINITO ASÍNTOTA VERTICAL: valores de x que non petenecen ao dominio, e, nos que hai unha discontinuidade de salto infinito Cando ao tomar a x valores cada vez maís próximos a un nº(que non pertenece ao dominio) pola dereita, pola esquerda ou polos dous lados , o valor da función tende a + α ou a -  X=2

30. 2.-DISCONTINUIDADE INEVITABLE Hai unha discontinuidade inevitable nun punto cando a función dá un salto ao chegar a ese punto. Dase nas funcións definidas a cachos TIPOS DE DISCONTINUIDADES

31. 3.-DISCONTINUIDAD EVITABLE: Nun punto no que a función non está definida Acércase ao mesmo punto cando se aproxima a el pola dereita e pola esquerda TIPOS DE DISCONTINUIDADES

32. 4.-DISCONTINUIDAD EVITABLE: punto desprazado A función está definida nese punto, pero ten ese punto desprazado. Só se dá nas funcións definidas a cachos TIPOS DE DISCONTINUIDADES

34. CÁLCULO DE ASÍNTOTAS VERTICAIS Dada la función f(x) = 1/(x – 2), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca a 2? x se acerca a 2 por la izquierda: x  2 - + 2  x :x se acerca a 2 por la derecha f(x) se acerca a –  f(x) se acerca a +  Vemos que a medida que x se acerca a 2 por la izquierda la función tiende a - α , y cuando x se acerca a 2 por la derecha, la función f(x) tiende a + α X=2 ASÍNTOTA VERTICAL

36. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Cando x tende a +  , a función tende a y=1 Cando x tende a -  , a función tende a y=-1 ASÍNTOTAS HORIZONTALES Función creciente

37. CÁLCULO DE ASÍNTOTAS HORIZONTALES Dada la función f(x) = x/(x + 1), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x tiende a –  ? ¿Y cuando x tiende a +  ? Cuando x tiende a –  Cuando x tiende a –+  f(x) se acerca a 1 f(x) se acerca a 1 Vemos que a medida que x tiende a +  , la función f(x) se acerca a 1, que cuando x tiende a –  , la función f(x) se acerca a 1. y=1 ASÍNTOTA HORIZONTAL

38. ASÍNTOTAS OBLICUAS ASÍNTOTA OBLÍCUA ASÍNTOTA VERTICAL Una función y = f(x) tiene una asíntota oblicua y = mx + n si se verifica que:

42. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Algunas funciones están definidas aplicando diferentes fórmulas a distintos puntos de su dominio. – 1 cuando – 4  x < –1 x cuando – 1  x < 1 x 2 cuando 1  x  3

46. TRASLACIÓN DE LA PARÁBOLA Y = X 2 , SEGÚN EL EJE OX Las gráficas de la funciones y = (x– p) 2 , resultan de trasladar la gráfica de la parábola y = x 2 horizontalmente en el eje de abcisas p unidades hacia la derecha si p > 0, o hacia la izquierda si p < 0. y = (x – 2) 2 y = x 2 y = (x+1) 2

47. PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX Para encontrar los puntos de corte de una función con el eje OX, basta obtener los puntos de la gráfica para los que la segunda coordenada es 0. La función corta al eje OX en el punto (1, 0) Los puntos de corte con el eje OX de la función: se obtienen así:

52. FUNCIONES POTENCIALES: y = x n siendo n natural y par y = x 2 y = x 4 y = x 6 y = x 8

53. FUNCIONES POTENCIALES : y = x n siendo n natural e impar y = x 3 y = x 5 y = x 7 y = x 9

56. FUNCIONES RACIONALES Algunas funciones racionales son las siguientes: Son funciones de la forma , donde p(x) y q(x) son polinomios, con q(x)  0. El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x que anulan al denominador.

58. Estudio de la tendencia cuando la variable tiende a +  o a –  Dada la función f(x) = x/(x + 1), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x tiende a –  ? ¿Y cuando x tiende a +  ? Cuando x tiende a –  Cuando x tiende a –+  f(x) se acerca a 1 f(x) se acerca a 1 Vemos que a medida que x tiende a +  , la función f(x) se acerca a 1, que cuando x tiende a –  , la función f(x) se acerca a 1.

59. Las funciones y = e x e y = 10 x

61. Gráficas de funciones logarítmicas (I)

62. Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas: a > 1 Las funciones y = a x , y = log a x son recíprocas; por tanto, sus gráficas serán simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

63. Las funciones y = e –x e y = 10 –x

64. Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas: 0 < a < 1 Las funciones y = a x , y = log a x son recíprocas; por tanto, sus gráficas serán simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

66. Funciones potenciales: y = ax n siendo n natural y a > 0

70. FUNCIONES RECÍPROCAS Dos funciones son recíprocas si su composición es la función identidad. La función recíproca de f se denota por f –1 . Entrada Función directa Salida f(x) = x 2 Salida Función recíproca Entrada

71. Gráficas de funciones recíprocas Las gráficas de dos funciones recíprocas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

72. FIN