Mecanica4

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS -
MECÂNICA

Prof. Carlos Alberto G. de Almeida
Tutores: Luis Paulo Silveira Machado e
Wagner Máximo de Oliveira

UFPB VIRTUAL

5 de setembro de 2012

Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA
FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira


Introdução

Estamos iniciando a Semana, e estudaremos os seguintes
assuntos:
Equações do movimento uniformemente variado;
Gráﬁcos do movimento uniformemente variado;
Queda de corpos.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre os
assuntos descritos acima, porém, é interessante que você
estude antes a teoria no Livro de FÍSICA., na primeira unidade.

BOM ESTUDO!



EQUAÇÕES DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Consideremos uma partícula em movimento uniformemente
variado e suponhamos que, no instante inicial (t0 = 0), a
partícula esteja passando pelo ponto de espaço s0 , com
velocidade ν0 . Depois de algum tempo, num instante qualquer
t, a partícula estará passando pelo ponto de espaço s, com
velocidade escalar ν.



EQUAÇÕES DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
Sendo (a) a aceleração escalar, temos duas equações
importantes:
Equação horária do espaço
at 2
s = s0 + v0 t +
2
Equação horária da velocidade escalar
v = v0 + at
Chamamos s0 de espaço inicial e ν0 de velocidade inicial.
A equação horária da velocidade escalar é facilmente obtida,
basta simplesmente observar que:

∆v v − v0 v − v0
a= = =
∆t t − t0 = 0 t
Assim,
v − v0 = at ⇐⇒ v = v0 + at


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Na ﬁgura abaixo, uma partícula
tem movimento uniformemente variado, com aceleração escalar
a = 6 m/s2 . No instante t0 = 0 a partícula passa pelo ponto de
espaço 10 m com velocidade 4 m/s.

1 Determine o espaço e a velocidade escalar da partícula no
instante t = 5 s.
2 Calcule a velocidade escalar média da partícula entre os
instantes t0 = 0 e t = 5 s.



CONTINUAÇÃO

Resolução:
1. Vamos primeiramente determinar as equações horárias,
observando que s0 = 10 m, v0 = 4 m/s e a = 6 m/s2 .
a
s = s0 + v0 t + t 2 v = v0 + at
2 v = 4 + 6t
s = 10 + 4t + 3t 2
Com esssas equações podemos determinar o espaço e a
velocidade escalar em qualquer instante t. Neste problema são
pedidos o espaço e a velocidade escalar no instante t = 5 s.
Substituindo esse valor nas equações acima:
a
s = s0 + v0 t + t 2 v = v0 + at
2 v = 4 + 6(5)
s = 10 + 4(5) + 3(5)2
v = 4 + 30
s = 10 + 20 + 75
v = 34 m/s
s = 105 m



CONTINUAÇÃO

2. Na ﬁgura ao lado marcamos
as posições nos instantes t0 =
0 e t = 5 s. Entre esses dois
instantes a variação de espaço
e o intervalo de tempo foram:
∆s = (105 m) − (10 m) = 95 m
∆t = (5 s) − (0) = 5 s
Assim, a velocidade escalar média nesse intervalo de tempo
foi:
∆s 95 m
vm = = = 19 m/s
∆t 5s



CONTINUAÇÃO DO ITEM 2
Há outro modo de calcular a velocidade escalar média.

Sendo movimento uniformemente variado, a velocidade
escalar média pode ser calculada fazendo-se a média
aritmética simples entre as velocidades escalares no início e
no ﬁm do intervalo de tempo:
v0 + v (4, 0 m/s) + (34 m/s) 38 m/s
vm = = = = 19 m/s
2 2 2
MAS, CUIDADO, ESSA PROPRIEDADE SÓ VALE PARA O
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO!


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Um automóvel movia-se sobre
uma estrada com velocidade escalar constante e igual a 20 m/s.
Num determinado instante o motorista pisa no freio, provocando
uma desaceleração constante de 4, 0 m/s2 , até o automóvel
parar. Calcule.
1 O tempo gasto até parar;
2 A distância percorrida durante a freada.

Resolução:
1. No instante inicial temos v0 = 20 m/s. Considerando a
velocidade escalar positiva e sendo o movimento retardado, ou
seja a velocidade diminui, a aceleração escalar é negativa:
a = −4, 0 m/s2 .



CONTINUAÇÃO
1. O tempo gasto até parar

A equação horária da velocidade escalar é:
v = v0 + at =⇒ v = 20 − (4, 0) · t
Qunado o automóvel parar, v será zero. Substituindo na
equação acima, temos:
0 = 20 − (4, 0)t =⇒ t = 5, 0 s
t = 5, 0 s


CONTINUAÇÃO
2. A distância percorrida durante a freada

Vamos adotar a origem da trajetória no ponto em que o veículo
estava no início da freada, isto é, vamos adotar s0 = 0, como
ilustra a ﬁgura acima. A equação horária do espaço é:
at 2
s = s0 + v0 t + =⇒ s = 0 + (20) · t − (2, 0) · t 2
2
Para t = 5, 0 s, temos: s = 0 + 20 · (5, 0) − (2, 0) · (5, 0)2
Daí,
s = 50 m


EQUAÇÃO DE TORRICELLI

Qualquer problema de MUV pode ser resolvido com as
equações horárias que vimos anteriormente. No entanto, há
problemas que podem ser resolvidos mais facilmente usando
outra equação, conhecida pelo nome de Equação de Torricelli

v 2 = v0 + 2a(s − s0 )
2

Exercício resolvido
Um automóvel move-se sobre uma estrada com velocidade
escalar constante 30 m/s. Num determinado instante o
motorista pisa no freio, provocando uma desaceleração
constante de 3, 0 m/s2 , até o automóvel parar. Calcule a
distância percorrida durante a freagem.
Resolução:



EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Resolução:
Considerando a velocidade es-
calar positiva e observando que
o movimento é retardado, a
aceleração escalar é negativa:
a = −3, 0 m/s2 . A velocidade
inicial é v0 = 30 m/s, e a veloci-
dade ﬁnal é nula (v = 0).
Observe que não há nenhuma referência ao tempo; essa é
uma pista que nos indica que, provavelmente, a melhor
equação a ser usada é a de Torricelli:
v 2 = v0 + 2a s − s0 = ∆s
2

0 = (30)2 + 2(−3) · ∆s
Daí tiramos:
∆s = 150 m


GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Gráﬁco da aceleração escalar em função do tempo
Num MUV, a aceleração é constante e não nula. Portanto o
gráﬁco de a × t é uma reta paralela ao eixo dos tempos




Gráﬁco da velocidade escalar em função do tempo
A equação horária da velocidade (v) é do primeiro grau
(v = v0 + at). Portanto, o gráﬁco v × t deve ser retilíneo



Gráﬁco do espaço em função do tempo
A equação horária do espaço do MUV é do segundo grau
2
(s = s0 + v0 t + at ). Portanto, o gráﬁco v × t deve ser um arco
2
de parábola, que pode ter concavidade para cima ou para
baixo. A concavidade é determinada pelo sinal da aceleração
escalar:

O ponto A é o vértice da parábola e o instante tA corresponde
ao vértice. No instante tA , v = 0.


QUEDA DE CORPOS

Suponhamos que um corpo tenha sido abandonado nas
proximidades da Terra, a certa distância do solo, numa região
onde há vácuo (ou onde a resitência do ar possa ser
desprezada). O corpo irá cair, sendo seu movimento chamado
de queda livre, ou seja, livre da resistência do ar.



QUEDA DE CORPOS
A experiência mostra que, nesse caso, o corpo cai com MUV
cuja aceleração não depende da massa do corpo. O módulo
dessa aceleração é chamado de aceleração da gravidade e
representado por g.
O valor de g varia de ponto a ponto da Terra, sendo
aproximadamente igual a 9, 8 m/s2 .Nos problemas, vamos
considerar sempre g ∼ 10 m/s2 . Quando resolvemos um
=
problema de queda de corpos, usamos as equações do MUV,
fazendo a ± p. Se a trajetória for orientada para baixo,
teremos a = +g. Se a trajetória for orientada para cima,
teremos a = −g.



EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um corpo é abandonado em um
ponto situado 80 metros da superfície da Terra, numa região em
que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s2 . Despreze a
resistência do ar.
1 Quanto tempo o corpo gasta até atingir o solo?
2 Com que velocidade o corpo atinge o solo?
3 Qual a altura do corpo, 2,0 segundos após ter sido
abandonado?

Resolução:
1. Quando dizemos que o
corpo é abandonado (ou lar-
gado), isso signiﬁca que v0 = 0.
Vamos adotar um trajetória ori-
entada para baixo, como mos-
tar a ﬁgura ao lado. Com isso
temos g = 10 m/s2 .


CONTINUAÇÃO
Vamos também escolher a origem da trajetória no ponto em
que o corpo foi abandonado. Assim, temos s0 = 0, e o espaço
no solo é s = 80 m. A equação horária é:
at 2
s = s0 + v0 t +
2
s = 0 + 0 · t + 5 · t 2 =⇒ s = 5t 2
Quando o corpo atingir o solo, teremos s = 80 m.
80 = 5t 2 ∴ t = 4, 0 s
2. v = v0 + at = 0 + 10t = 10t
Fazendo t = 4, 0 s, temos:
v = 10 · 4, 0 ∴ v = 40 m/s
Essa velocidade poderia ser calculada usando-se a equação
de Torricelli: v 2 = v0 + 2a(s − s0 ) (VERIFIQUE!)
2



CONTINUAÇÃO
3. No item 1, vimos que a equação horária do espaço é:
s = 5t 2
t = 2, 0 s =⇒ s = 5 · (2, 0)2 = 5 · 4, 0
s = 20 m
Nesse instante, a altura do corpo é:
h = 80 m − 20 m = 60 m
h = 60 m.



EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um corpo é lançado para cima, a
partir do solo, com velocidade cujo módulo é 30 m/s, numa
região em que g = 10 m/s2 . Despreze a resistência do ar.
1 Quanto tempo o corpo gasta para atingir a altura máxima?
2 Qual o valor da altura máxima?
3 Quanto tempo é gasto na descida?
4 Qual a velocidade do corpo ao atingir o solo?

Resolução:
1. Vamos adotar uma trajetória ori-
entada para cima, com origem no
solo. Com isso, temos s0 = 0 e
a = −g = −10 m/s2 . Além disso,
a velocidade inicial tem o mesmo
sentido da trajetória, sendo, por-
tanto, positiva: v0 = 30 m/s.


CONTINUAÇÃO
1.

A equação horária da velocidade escalar é:
v = v0 + at
v = 30 − 10t
No ponto mais alto, temos v = 0:
0 = 30 − 10t ∴ t = 3, 0 s


CONTINUAÇÃO

2. A equação horária do espaço é:
a 2
s = s0 + v0 t + t
2

s = 0 + 30 · t − (5, 0) · t 2 =⇒ s = 30t − (5, 0)t 2
A altura máxima se dá quando t = 3 s, portanto:

t = 3, 0 s =⇒ s = 30 · (3, 0) − (5, 0) · (3, 0)2 ∴ s = 45 m

s = 45 m

Essa altura máxima poderia ser calculada usando-se a
equação de Torricelli. (VERIFIQUE!)



CONTINUAÇÃO
3. O tempo de subidado corpo é igual ao tempo que ele gasta
para voltar ao ponto de lançamento. Assim, o tempo gasto para
voltar ao solo é: 3, 0 s .
4. A equação horária da veloci-
dade escalar é: v = 30 − 10t.
Essa equação vale tanto para a
subida como para a descida.
O corpo voltou ao solo 6,0 se-
gundos após o lançamento (3,0
segundos usados para a subida
e 3,0 segundos para a descida).
Substituindo esse valor na equação da velocidade:
v = 30 − 10 · (6, 0) ∴ v = −30 m/s
A velocidade é negativa, pois na descida o movimento tem
sentido oposto ao da trajetória.


BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, Herch
Moysés - 4. ed. - São Paulo: Blucher, 2002.
Física básica: Mecânica. Chaves, Alaor, Sampaio, J.F. -
Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Física 1: mecânica. Luiz, Adir M. - São Paulo: Editora
Livraria da Física, 2006.
Física: volume único. Calçada, Caio Sérgio, Smpaio,
José Luiz - 2. ed. - São Paulo: Atual, 2008.



OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
estarem em dia com o conteúdo.
Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados
nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no
fórum da semana, para que possamos esclarecê-las.
O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo
o curso. Portanto aproveitem este material!

ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!


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