1. RADICALES II
Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe
, a un número b que elevado a n dé a.
Ejemplos:
se llama radical; a, radicando; y n, índice de la raíz.
EXISTENCIA DE RADICALES.
Primera: si a es positivo,
existe, cualquiera que sea n.
Segunda: si a es negativo, sólo existen sus raíces de índice impar.
Tercera: salvo que a sea una potencia n-ésima de un número entero o fraccionario,
es un número irracional. Sólo podremos obtener su expresión decimal aproximada.
FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES
La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:
Esta nomenclatura es coherente con la definición.
2. Es importante familiarizarse con la forma exponencial de los radicales, pues nos permitirá expresarlos y
operar cómodamente con ellos.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas
son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una,
estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.
Primera:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:
simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;
conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice
común).
Segunda:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:
sacar un factor fuera de la raíz;
de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.
3. Tercera:
Ejemplos:
Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo
una sola raíz.
Cuarta:
Ejemplos:
Quinta:
Ejemplos:
RADICALES SEMEJANTES
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y radicando.
Los radicales
y
son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo radicando, 3.
y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.
4. y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.
Más ejemplos de radicales semejantes:
OPERACIONES CON RADICALES
La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es
igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados.
Ejemplo:
Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada.
Ejemplo:
El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son
iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores.
Ejemplo:
5. El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son
iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor.
Ejemplo:
La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados a dicha
potencia.
Ejemplo:
Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el radicando.
Ejemplo:
EXPRESIONES FRACCIONARIAS
Al efectuar cálculos con radicales pueden surgir expresiones fraccionarias en las que aparezcan
radicales.
Estas expresiones no son números racionales, pues para ello el numerador y el denominador tendrían
que ser números enteros.
A estas expresiones las llamaremos expresiones fraccionarias, y verifican las mismas propiedades que los
números racionales. Es especialmente importante recordar estas dos:
Primera: dos expresiones fraccionarias son equivalentes si los productos cruzados son iguales.
Segunda: si multiplicamos el numerador y el denominador de una expresión fraccionaria por una misma
expresión distinta de cero, se obtiene una expresión fraccionaria equivalente a la primera.
Conclusión
Muchas personas encuentran las matemáticas un tema arduo, complicado y, a veces, indescifrable. Por
eso, en esta carpeta hemos tratado de huir de formalismos, que en ocasiones consiguen desviar y hemos
6. ejemplificado todas las definiciones
Las bases de las matemáticas no es saber mucho, sino saber hacer
Radicales
" Raíz: se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número o expresión algebraica que
elevada a una potencia "n"; reproduce la expresión dada.
" Elementos de la raíz.
- Radical: se llama radical a toda raíz indicada de una cantidad.
Si la raíz es exacta tenemos una cantidad racional.
Ejemplos:
Si la raíz es inexacta tenemos una cantidad irracional o radical propiamente dicha.
Ejemplos:
El grado de un radical lo indica el índice de la raíz.
" Extracción de factores fuera del radical.
Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical contiene un
exponente igual o mayor que el índice del radical.
Ejercicios de aplicación.
Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:
7. - Introducción de factores dentro del radical.
Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los
factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se
escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las
operaciones indicadas dentro del radical.
Ejercicios de aplicación.
Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él:
8. - Reducción de radicales al mínimo común índice.
Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso,
hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada cantidad sub-radical a la
potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical.
Ejemplos:
1°) Los índices son 2 , 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.
2 3 6 2
(1) - 3 3
(1) (1) El m.c.m. es 6.
2°) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical.
6 2 6 3 6 6
(0) 3 (0) 2 (0) 1
Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices.
3°) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.
Ejercicios de aplicación.
Reducir al mínimo común índice los siguientes radicales:
9. - Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical;
diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.
Ejemplos:
- Suma y resta de radicales.
Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si
hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado del
radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera.
Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales son
únicamente semejantes.
Ejercicios de aplicación.
Sumar los siguientes radicales indicados:
10. - Multiplicación de radicales.
a) Para multiplicar radicales del mismo índice; se multiplican previamente los signos,luego los coeficientes entre
sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las
operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.
11. Ejercicios de aplicación.
Multiplicar los siguientes radicales indicados:
b) Para multiplicar radicales compuestos del mismo índice; se multiplican como el producto de 1 polinomio por 1
monomio o el producto de 2 polinomios.
Ejercicios de aplicación.
Multiplicar los siguientes radicales indicados:
12. c) Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo
común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice.
Ejercicios de aplicación.
Multiplicar los siguientes radicales indicados:
13. - División de radicales.
a) Para dividir radicales del mismo índice; se dividen previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y
finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se
efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los
hubiera.
Ejercicios de aplicación.
Dividir los siguientes radicales indicados:
14. b) Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y
luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.
Ejercicios de aplicación.
Dividir los siguientes radicales indicados:
- Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del
denominador.
1er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.
Ejemplos:
15. Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor
racionalizante del denominador,en éste caso por sí mismo.
2do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er,4to, 5to y más
grado.
Ejemplos:
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del
mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la
diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.
3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.
Ejemplos:
16. Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada
del denominador.
Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos
coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.
Ejercicios de aplicación.
Racionalizar el denominador (1er Caso) de los siguientes cocientes:
Racionalizar el denominador (2do Caso) de los siguientes cocientes:
18. " Ecuaciones con radicales.
Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el valor de "x" se encuentra bajo el signo radical; por
eso recibe el nombre de ecuación irracional.
Ejemplo:
Ejercicios de aplicación.
Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado:
