Corso di formazione di matematica per docenti del primo ciclo di istruzione

1. Domingo Paola Liceo scientifico “A.Issel” di Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento Matematica Università di Genova Interrelazioni tra prove INVALSI e curricoli

2. Struttura della relazione Interrelazioni più significative tra prove INVALSI e curricoli … e prassi didattica Risultati prove INVALSI: che cosa suggeriscono? Analisi generale e, item per item, per quel che riguarda l’argomentazione Qualche idea per l’innovazione didattica Discussione

3. Più apprendimento e meno addestramento (evitare tecniche fine a se stesse e dare un senso, una direzione) Interrelazioni più significative tra prove INVALSI e curricoli Conoscenze e competenze irrinunciabili Attenzione alla costruzione di significati Argomentare, giustificare, dimostrare

4. Alcuni passi dalle indicazioni curricolari Scuola dell’infanzia: […] partecipare alle negoziazioni e alle decisioni motivando le proprie opinioni, le proprie scelte e i propri comportamenti; […] sviluppare l’attitudine a fare domande, riflettere, negoziare i significati Scuola primaria e secondaria di primo grado (area scientifico tecnologica) : I principi e le pratiche delle scienze, della matematica e delle tecnologie sviluppano le capacità di critica e di giudizio, la consapevolezza che occorre motivare le proprie affermazioni, l‘attitudine ad ascoltare, comprendere e valorizzare argomentazioni e punti di vista diversi dai propri. […] Componenti necessarie di questo comune approccio sono l’impostare e il risolvere problemi, l’utilizzo delle sensazioni e delle percezioni, la capacità di costruire storie e schemi interpretativi e di sviluppare argomentazioni, l’affinare il linguaggio naturale e la capacità di organizzare il discorso, con una speciale attenzione all’uso della lingua, in particolare della lingua italiana.

5. La matematica contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri. Una attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti. Scuola secondaria di secondo grado (licei): (linee generali e competenze per la matematica): “Ferma restando l’importanza dell’acquisizione delle tecniche, saranno evitate dispersioni in tecnicismi ripetitivi o casistiche sterili che non contribuiscono in modo significativo alla comprensione dei problemi. L'approfondimento degli aspetti tecnici sarà strettamente funzionale alla comprensione in profondità degli aspetti concettuali della disciplina. L’indicazione principale è: pochi concetti e metodi fondamentali, acquisiti in profondità”

6. Nel profilo di uscita si individua come punto nodale “la pratica dell’argomentazione e del confronto; la cura di una modalità espositiva scritta e orale corretta, pertinente, efficace e personale”. L’area logico argomentativa è una delle cinque aree individuate nei profili comuni di tutti i licei: “Saper sostenere una propria tesi e saper ascoltare e valutare criticamente le argomentazioni altrui. […] Essere in grado di leggere e interpretare criticamente i contenuti delle diverse forme di comunicazione” Matematica: “Al termine del percorso didattico lo studente avrà approfondito i procedimenti caratteristici del pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni, generalizzazioni, formalizzazioni )”

7. Dal documento INVALSI sul quadro di riferimento (matematica) Si vuole in primo luogo valutare la conoscenza della disciplina matematica e dei suoi strumenti, intendendo tale disciplina come conoscenza concettuale, frutto cioè di interiorizzazione dell’esperienza e di riflessione critica, non di addestramento “meccanico” o di apprendimento mnemonico. Una conoscenza concettuale quindi, che affondi le sue radici in contesti critici di razionalizzazione della realtà, senza richiedere eccessi di astrazione e di formalismo. La formalizzazione matematica dovrebbe infatti essere acquisita a partire dalla sua necessità ed efficacia nell’esprimere ed usare il pensiero matematico. Gli aspetti algoritmici applicativi ed esecutivi, che pure costituiscono una componente irrinunciabile della disciplina matematica, non dovrebbero essere considerati fine a se stessi.

8. … e la prassi didattica?

9. Un punto di debolezza è la capacità argomentativa degli studenti italiani (ciò risalta ancora di più nei confronti internazionali). L’INVALSI indica chiaramente che le competenze argomentative sono essenziali e irrinunciabili per la preparazione degli studenti, per la formazione della persona e l’avvio a una cittadinanza informata, consapevole e critica. Dovere di ogni insegnante è quello di riformulare la propria azione didattica cercando di formare quelle competenze essenziali e irrinunciabili per l’avvio all’esercizio di una cittadinanza informata, consapevole e critica. Che cosa dicono i risultati delle prove INVALSI?

10. Prova classe V primaria, anno 2009

11. Prova classe II primaria, anno 2009 Prova classe V primaria, anno 2009

13. Quadro di riferimento per le prove di II e V primaria e prima secondaria di secondo grado

15. Seconda primaria

17. Quinta primaria D 6: numero di risposte corrette al di sotto della media

18. Quinta primaria D13 b: 5,5% di risposte non date

19. Quinta primaria D 14: numero di risposte corrette al di sotto della media

20. Quinta primaria D 18: numero di risposte corrette leggermente al di sopra della media

21. Quinta primaria D 27: numero di risposte corrette leggermente al di sopra della media

24. Prima classe scuola secondaria di primo grado 17 a: 15% di risposte non date 17 b: 21% di risposte non date

25. Prima classe scuola secondaria di primo grado D20: leggermente al di sopra della media

26. Prima classe scuola secondaria di primo grado D25: leggermente al di sotto della media

29. La lettura congiunta dei risultati delle prove INVALSI indica che un’area di criticità della nostra scuola è certamente la conoscenza dell’ambito dei Numeri e della geometria (Spazio e figure) da parte degli studenti più deboli e in qualche misura anche di quelli di abilità intermedia. Al contrario i divari tra le tipologie di studenti negli ambiti relativi alle Relazioni e funzioni e a Misura dati e previsioni sembrano meno ampi. C’è però da tenere presente un effetto “alone” probabilmente causato dalla prassi didattica. Dove essa è più forte, in particolare in numeri e in spazio e figure, c’è maggiore rischio di confliggere con le richieste INVALSI che non sono adeguate alla prassi, ma alle indicazioni e ai quadri di riferimento internazionali. In dati e previsioni, meno in relazioni e funzioni, questo rischio è minimo per il fatto che non esiste una prassi altrettanto consolidata che entra in conflitto.

30. Le domande della prova nazionale INVALSI relative all’argomentazione

35. Qualche idea per l’innovazione didattica Il calcolo nella prassi didattica: quale ruolo, quale funzione, quale spazio? L’argomentazione nella prassi didattica: quale ruolo, quale funzione, quale spazio? Quali equilibri e quali dinamiche tra addestramento e apprendimento nella didattica del calcolo e in quella dell’argomentazione? Come costruire attività didattiche e ambienti di insegnamento-apprendimento in cui, rispettando la tradizione, il calcolo abbia ancora un forte peso, ma sia finalizzato all’acquisizione di una sempre maggiore consapevolezza critica e alla costruzione di significati?

36. Dalle manipolazioni fini a se stesse alle manipolazioni come come strumento di pensiero: dare un senso al calcolo (che non sia solo quello dell’esercizio spirituale o della gratificazione esterna). Dalla sintassi alla semantica Dall’assenza di pensiero (utile per l’esperto) al ricorso sistematico al significato (necessaria per il principiante) Quale la causa di errori del tipo 1/2 + 1/2 = 2/4 ? 3x=5 allora x = 5 – 3? 5x = 0 allora x = -5 oppure “impossibile” … La mancanza di controllo (semantico).

37. Un uso sensato ed ecologico della calcolatrice per imparare l'aritmetica Il gioco del “batto / vedo” 0 0, 2 2, 3 23, Perché? Che cosa accadrebbe se ...? Matematica Tecnologia

38. Il gioco del “ batto / vedo” 3*2+5 11 3*(2+5) 21 3* 10 30 3* 100 300 5 – (2+3) 0 5 – 2 + 3 6 0 / 5 0 5 / 0 impossibile 2 + 3 5 3 + 2 5 Perché? Che cosa accadrebbe se ...?

39. Il gioco delle stime Quanto fa ... all’incirca? 115 x 7 234 X 18 245 x 132 … 2345 x 3689 … Si cerca, senza calcolatrice, un intervallo che contenga il risultato e vince chi determina il più piccolo intervallo in un tempo fissato, ma sufficiente a effettuare stime sensate e ... la calcolatrice ? Viene utilizzata per determinare il risultato dell’operazione … e poi si chiede … Perché? E per rispondere alla domanda “perché il risultato è …”, si usa una procedura di calcolo scegliendola tra quelle che meno mascherano le proprietà delle operazioni Chi controlla che cosa? a

40. Ordinamenti ... è maggiore di … è minore di … è uguale a … è diverso da … > 1 2 3 4 5 1 2 X 3 X X 4 X X X 5 X X X X

41. n^2 = (n -1) * (n+1) + 1 … * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

42. Il cartellone dell' 8 8 = 0 + 8 = 1 + 7 = 2 + 6 = … = 8 + 0 8 = 1*8 = 2*4 = …. = 8*1 8 > 6 ; 7 < 8 … … 8 7 9 ? + 3 = 8 16 : 2= 8 77-69=8 … 2^3=8 a

43. L'avvio alla divisione Ho tre cavallette A,B,C. Se parto dalla posizione 10, quale di esse mi conviene utilizzare per arrivare più vicino a 71 sapendo che A salta di 3 in 3, B di 5 in 5 e C di 6 in 6? Perché? Un bel problema! Usando solo i tasti 3, 5, +, - , * rappresentare qualunque numero intero. Potrei usare solo i tasti 3,5,-,+? Perché?

44. Situazione Ciascuno di voi consideri otto numeri naturali (potete scegliere quelli che volete; quindi ci aspettiamo che tali numeri non siano gli stessi per tutti gli studenti della classe!). Chiamate A l’insieme che ha per elementi questi otto numeri che avete scelto. Ora formate un secondo insieme B di numeri aggiungendo 1 a ciascuno dei numeri dell’insieme A. Problema Come cambiano, in seguito a questa operazione, le proprietà di ciascuno dei numeri dell’insieme A? Giustificate le vostre risposte. Indicazioni di lavoro Lavorate individualmente per cinque minuti e poi in piccoli gruppi confrontando e discutendo le vostre affermazioni per circa una decina di minuti. In seguito dicuteremo tutti insieme le vostre congetture, ossia quello che avrete scoperto e che ritenete sia vero .

45. Alcune possibili risposte Aumentano di 1; si passa al successivo … Che relazione tra i divisori di ciascun numero dell’insieme A e i divisori del corrispondente numero dell’insieme B? i pari diventano dispari … Che succede a un numero primo? Siamo pronti a capire la dimostrazione sull’infinità dei numeri primi a

46. Esempio 2. Il rettangolo di Arcavi Si consideri un rettangolo; che cosa capita alla sua area se un lato diminuisce del 10% e l'altro aumenta del 10%? 20 cm 22 cm 9 cm 10 cm

47. Trasformare formule in altre di significato equivalente, ma di sensi non equivalenti Esempio. Considera il predecessore del quadrato di un numero dispari. Che cosa si può dire? (2n+1) 2 – 1 Formule equivalenti relativamente al significato, ma non equivalenti relativamente al senso . L’ultima suggerisce che si può dire che si ottiene sempre un multiplo di 8 Che cosa ci dicono le seguenti formule fra loro equivalenti? 4n 2 + 4n 4n(n + 1) A

48. Moltiplica tra loro tre numeri consecutivi…che osservi? 5 * 6 * 7 … 6^2 = 7*5 +1 8*9*10 … 9^2 = 8*10 + 1 sarà sempre vero? Domanda equivalente a: è vero che (n-1)*(n+1)+1 = n^2 ? Si ottiene sempre un numero divisibile per 6? (n-1)*n*(n+1) = p …e allora?

49. Problemi Quanto pesa l’aria? 1