Introduzione alle derivate con Geogebra

1. INTRODUZIONE ALLA DERIVATE CON
GEOGEBRA

2. OCCORRE RICORDARE:
l'equazione di una retta per due punti 𝑥0 ; 𝑦0
coefficiente angolare è 𝑚 =
𝑥1 ; 𝑦1 è 𝑦 =
𝑦1 −𝑦0
𝑥 1 −𝑥 0
𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 ; dove il
𝑦1 −𝑦0
𝑥 1 −𝑥 0
data una curva nel piano di equazione y=f(x), una retta si dice secante se incontra la curva in almeno
due punti distinti, si dice tangente se la incontra in due punti coincidenti
Geogebra è un software gratuito; all'avvio possiamo scegliere di visualizzare la "Vista grafica" e la
"Vista Algebra"; in basso troviamo una barra dove è possibile inserire formule/funzioni ...
per dichiarare una funzione in Geogebra occorre scrivere il nome (ad esempio f(x) ) seguito da :=
l'espressione della funzione

3. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
Data la funzione e due punti del dominio
, vogliamo
 a) rappresentare la funzione;
 b) individuare i punti del grafico della
funzione di ascissa assegnata
 c) rappresentare graficamente la retta
secante che passa per tali punti, ricavarne
l'equazione e il coefficiente angolare

4. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0
a) Rappresentare la
funzione
a) digitiamo nella riga di inserimento la nostra funzione f(x):=(1-2x)^(1/2).
Premendo <invio> avremo la nostra funzione disegnata (possiamo aggiustare la visuale
aprendo l'icona indicata )

5. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0
b) Individuare i punti di
ascissa assegnata
Il punto del grafico della funzione di ascissa
𝑥0 = −1, lo otteniamo digitando le coordinate
del punto tra parentesi tonde separate da
virgola: (-1,f(-1)).
Analogo per l’altra ascissa
c) Rappresentiamo la
retta e ricaviamo
l’equazione
per rappresentare la retta apriamo il menù
rappresentato dall'icona indicata e scegliamo
"retta per due punti". Indichiamo, cliccando in
mouse, i punti individuati in precedenza.
Nella "vista Algebra" troviamo l'equazione della
retta

6. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0
c) Rappresentiamo la
retta e ricaviamo
l’equazione
confrontiamola con quella ottenuta "carta e penna" utilizzando la formula
vista all'inizio: 𝑦 =
𝑦1 −𝑦0
𝑥 1 −𝑥 0
𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 sostituendo i punti A(-1, 3)
B(0,1)
Infine per ricavare il coefficiente angolare possiamo digitare nella riga di
inserimento la formula 𝑚 =
𝑦1 −𝑦0
𝑥 1 −𝑥 0
. Attenzione per indicare che vogliamo
l'ordinata del punto A occorre scrivere y[A] e per l'ascissa x[A], pertanto la
formula da digitare risulta m:=(y[A]-y[B])/(x[A]-x[B])
Premendo invio avremo il risultato nella nostra vista Algebra

7. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0
Il nostro primo esercizio è finito, possiamo rendere il tutto più facilmente
leggibile: vorremmo un testo che riassuma quello che appare nel disegno
ovvero funzione f(x)=
; retta per i punti A B
; coefficiente angolare
Per fare questo:
1) clicchiamo sull'icona inserisci testo
(evidenziata in giallo)
2) nella finestra che si apre digitiamo
Funzione f(x)= poi nel menù a discesa oggetti
scegliamo la lettera che indica la funzione che
vogliamo inserire nel testo.
Digitiamo ora Retta per i punti A e scegliamo l'oggetto A, e B e scegliamo l'oggetto B. Poi
scegliamo l'oggetto corrispondente alla retta. Infine digitiamo coefficiente angolare e
scegliamo l'oggetto corrispondente. Confermiamo con OK

8. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 2
Data la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4 e il punto del dominio 𝑥0 = 1 vogliamo
a) rappresentare la funzione e individuare sul grafico il punto di ascissa
assegnata
b) considerare il punto sulla funzione di ascissa 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ con h=1 e
rappresentare la retta per i due punti e calcolare il coefficiente angolare

9. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 2
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4 e il punto del dominio 𝑥0 = 1
In un nuovo foglio digitiamo la funzione
f(x):=x^2-4
individuiamo il primo punto (1, f(1)) , per il
secondo punto prima assegniamo ad h il
valore proposto h:=1
individuiamo il punto scrivendo
(1+h,f(1+h)) e tracciamo la retta.
infine calcoliamo il coefficiente angolare
m:=(y[B]-y[A])/(x[B]-x[A])
riassumiamo il tutto usando il comando
testo

10. RIASSUMIAMO QUANTO VISTO FINO AD ADESSO





Abbiamo una funzione f(x)
Abbiamo un punto x0
Abbiamo un valore di h
Ricaviamo un secondo punto x1=x0+h
Individuiamo la retta secante che avrà coefficiente angolare
m
f ( x0
h)
h
f ( x0 )

11. RIASSUMIAMO QUANTO VISTO FINO AD ADESSO
f
x
f ( x0
h)
h
f ( x0 )
rapporto
incrementale
Osserviamo che il rapporto incrementale dipende da due variabili:
• x0
•h

12. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3
Consideriamo la funzione 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 :
fissiamo un punto 𝑥0 a piacere (ad esempio =1)
vogliamo rappresentare le rette secanti e i coefficienti angolari
(ovvero i rapporti incrementali) che otteniamo considerando
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ per ℎ = 1,0.9,0.8, … ,0.1
Iniziamo a risolvere il problema “carta e penna” poi
vedremo come Geogebra può aiutarci

13. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – CARTA E PENNA
𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
Calcoliamo il rapporto incrementale
f
x
f ( x0
h)
f
x
2
2
f ( x0
( x0 h )
( x0
( x0 h )
h)
h
h)
f ( x0 )
3
3
f ( x0 )
( x0 h) 2
x0 h x0
( x0 )
2
( x0 )
( x0 )
3
( x0 )
3

14. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – CARTA E PENNA
𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
Il rapporto incrementale f
x
2
( x0 h )
( x0 h)3 2
x0 h x0
( x0 )
( x0 )3
Ora dovremmo armarci di pazienza e :
1. Assegnare un valore ad x0, ad esempio 1
2. Assegnare un valore ad h, ad esempio 1
3. Calcolare il rapporto incrementale
4. Ripetere il calcolo per un altro valore di h, ad esempio 0.9
… e così via

15. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA
𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
Vediamo come possiamo fare utilizzando Geogebra
Dall'icona indicata scegliamo "Inserisci campo di inserimento" e clicchiamo
con il mouse in una zona della vista grafica. Si aprirà una finestra: nel campo
"Legenda" scriviamo "h" (ovvero il testo che vogliamo visualizzare), in
"Oggetto collegato" scegliamo l'oggetto h. Ora clicchiamo su applica.

16. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA
𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
Creiamo un campo inserimento testo
Dall'icona indicata scegliamo "Inserisci
campo di inserimento" e clicchiamo con il
mouse in una zona della vista grafica.
Si aprirà una finestra: nel campo
"Legenda" scriviamo "h" (ovvero il
testo che vogliamo visualizzare), in
"Oggetto collegato" scegliamo
l'oggetto h. Ora clicchiamo su
applica.

17. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA
𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1

18. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA
𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
possiamo utilizzare uno
strumento di Geogebra:
"slider". Clicchiamo
sull'icona, e poi sulla vista Gr
afica.
Si apre una finestra; in nome
diamo il nome "h", in intervallo
indichiamo il minimo e il massimo
valore che vogliamo assegnare ad
h e il suo incremento. Nel nostro
caso min=0 max=1
incremento=0.1.
Cliccando su applica

19. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA
𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1

20. ESEMPIO- ESERCIZIO N.3 - OSSERVAZIONE
Azionando sullo slider possiamo vedere cosa
accade alla retta e al rapporto incrementale
 Modificando il valore di x_0 possiamo
cambiare il punto

1) Perché per h=0 la retta sparisce?
2) Più h è piccolo, più la retta secante si avvicina alla retta
tangente (questa osservazione vale sia per
h>0 che per h<0)

21. PRIME COCLUSIONI retta deve passare per due punti, quando
Perché la nostra
Perché per h=0
la retta
sparisce?
1)
Per h “che
tende a
zero” cosa
accade alla
retta
h=0 i due punti coincidono e per un punto passano infinite
lettere.
Inoltre se riguardiamo il calcolo del rapporto incrementale, al
denominatore troviamo h e quindi non può essere uguale a
0
Potremmo pensare che la retta, da
secante, tende ad essere tangente.
Per verificare la correttezza della nostra congettura
possiamo procedere a calcolare cosa accade al
rapporto incrementale quando h “tende” a zero

22. IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE
A ZERO

Se volessimo procedere “carta e penna”
lim
f ( x0
h
lim
h
0
0
2
( x0 h )
h)
h
f ( x0 )
3
( x0 h) 2
x0 h x0
( x0 )
( x0 )
Chiediamo ancora aiuto a GEOGEBRA
3

23. IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE
A ZERO
lim
h
0
2
( x0 h )
3
( x0 h) 2
x0 h x0
( x0 )
Assegniamo il rapporto incrementale
ad una nuova funzione che chiamimo
f’(x)
f’(h):=(f(x_0+h)-f(x_0))/h
Digitiamo Limite[f',0]
Nella finestra algebra
vedremo il valore del limite
calcolato da Geogebra
( x0 )
3

24. .
IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE
A ZERO
lim
h
2
( x0 h )
0
3
( x0 h) 2
x0 h x0
( x0 )
( x0 )
3
Se la nostra congettura è corretta, se scriviamo l’equazione di
una retta che passa per (x_0,f(x_0)) e ha come coefficiente
angolare il valore calcolato nel limite, dovremmo ottenere una
retta tangente
y
m( x x0 )
f ( x0 )