Chuong3

Định nghĩa
Cách giải hệ Cramer
Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1
Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

Ngày 12 tháng 10 năm 2010

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN T

Định nghĩa

Chương III: Hệ phương trình tuyến tính

3.1 Định nghĩa .


Định nghĩa



3.2 Hệ Crame .


Định nghĩa



3.2 Hệ Crame .

3.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát .


Định nghĩa



3.2 Hệ Crame .

3.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát .

3.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.


Định nghĩa

Định nghĩa

Hệ phương trình tuyến tính là hệ m phương trình n ẩn có dạng

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2


(1)
.
.
.


am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bn

trong đó các số thực ai.j , i = 1, ..., m, j = 1, ..., n là các hệ số của n
ẩn xi , i = 1, ..., n, các số bi , i = 1, ..., n là các số hạng tự do.


Định nghĩa

Định nghĩa


 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2


(1)
.
.
.


am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bn

Nghiệm của hệ (1) là một bộ n số thực (x1 , x2 , ..., xn ) thoả mãn
mọi phương trình của hệ.


Định nghĩa

Định nghĩa


 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2


(1)
.
.
.


am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bn

Nghiệm của hệ (1) là một bộ n số thực (x1 , x2 , ..., xn ) thoả mãn
mọi phương trình của hệ.
Hệ (1) được gọi là tương thích nếu nó có ít nhất một nghiệm.


Định nghĩa

Một số khái niệm

Hệ (1) có thể viết dưới dạng ma trận AX = B trong đó

x1 b1
     
a11 a12 ··· a1n
 x2   b2 
 a21 a22 ··· a2n     
A= . . . ;X = . 
 ,B =  
 
. . .. . . 
 . . . .  . 
. . 
.
am1 am2 ··· amn xn bn

A được gọi là ma trận các hệ số của hệ phương trình, hạng của ma
trận A (r (A)) được gọi là hạng của hệ phương trình (1).


Định nghĩa
Cách giải hệ Cramer Định nghĩa
Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Quy tắc Cramer

Định nghĩa
Xét một hệ n phương trình tuyến tính n ẩn:

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2


(2)
.
.
.


an1 x1 + an2 x2 + ... + ann x = bn

Trong đó các số thực ai.j , i, j = 1, ..., n là các hệ số của n ẩn
xi , i = 1, ..., n, các số bi , i = 1, ..., n là các số hạng tự do.


Định nghĩa

Định nghĩa
Xét một hệ n phương trình tuyến tính n ẩn:

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2


(2)
.
.
.


an1 x1 + an2 x2 + ... + ann x = bn

Trong đó các số thực ai.j , i, j = 1, ..., n là các hệ số của n ẩn
xi , i = 1, ..., n, các số bi , i = 1, ..., n là các số hạng tự do.
Hệ (2) được gọi là hệ Cramer nếu định thức các hệ số của ẩn khác
không;
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
D = det (A) = =0
... ... ... ...
an1 an2 ... ann


Định nghĩa

Định lý
Hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất (x1 , x2 , ..., xn ) được xác định
như sau:
Dj
xj = ; j = 1, 2, ..., n
D
trong đó D là định thức của ma trận các hệ số của ẩn và Dj là định thức
nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j bằng cột hệ số tự do; tức là
thay cột Aj bởi cột B;


Định nghĩa

Định lý
Hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất (x1 , x2 , ..., xn ) được xác định
như sau:
Dj
xj = ; j = 1, 2, ..., n
D
trong đó D là định thức của ma trận các hệ số của ẩn và Dj là định thức
nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j bằng cột hệ số tự do; tức là
thay cột Aj bởi cột B;

a11 ··· a1j−1 b1 a1j+1 ··· a1n
a21 ··· a2j−1 b2 a2j+1 ··· a2n
Dj = .
. .
. .
. .
. .. .
. ··· . . . . ..
an1 ··· anj−1 bn anj+1 · · · ann


Định nghĩa

Chứng minh định lý (Quy tắc Cramer) I

Viết phương trình (2) dưới dạng ma trận AX = B. Do detA = 0 nên
A có ma trận nghịch đảo A−1 . Nhân A−1 vào hai vế của phương trình
trên ta được X = A−1 B. Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x1 , x2 , ..., xn ) .
Thay bi = ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn ta được

a11 ··· a1j−1 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn a1j+1 ··· a1n
a21 ··· a2j−1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn a2j+1 ··· a2n
Dj = .
. .
. .
. .
. .. .
. ··· . . . . ..
an1 ··· anj−1 an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn anj+1 · · · ann


Định nghĩa

Chứng minh định lý (Quy tắc Cramer) II

Do tính chất của định thức nên ta có
a11 · · · a1j−1 a11 a1j+1 ··· a1n
a21 · · · a2j−1 a21 a2j+1 ··· a2n
Dj = x 1 .
. .
. .
. .
. .. . +
. ··· . . . . ..
an1 ··· anj−1 an1 anj+1 · · · ann
a11 ··· a1j−1 a1j a1j+1 ··· a1n
a21 ··· a2j−1 a2j a2j+1 ··· a2n
+... + xj .
. .
. .
. .
. .. .
. ··· . . . . ..
an1 ··· anj−1 anj anj+1 · · · ann
a11 ··· a1j−1 a1n a1j+1 ··· a1n
a21 ··· a2j−1 a2n a2j+1 ··· a2n
+... + xn .
. .
. .
. .
. .. .
. ··· . . . . ..
an1 ··· anj−1 ann anj+1 · · · ann


Định nghĩa

Chứng minh định lý (Quy tắc Cramer) III

Định thức thứ j ở vế phải bằng D còn các định thức khác bằng 0 nên ta
Dj
có Dj = xj D. Vậy xj = ; j = 1, 2, ..., n
D
Chú ý. Đối với hệ Cramer có hai cách giải:
Cách 1: Sử dụng ma trận nghịch đảo.
Cách 2: Sử dụng công thức Cramer.


Định nghĩa

Ví dụ


 x1 + x2 + x3 = 6
Giải hệ phương trình 2x1 − x2 + x3 = 3
x1 − x2 + 2x3 = 5



Định nghĩa

Ví dụ


 x1 + x2 + x3 = 6
x1 − x2 + 2x3 = 5


1 1 1
Ta có D = 2 −1 1 = −5 = 0 do đó hệ phương trình là hệ
1 −1 2
Cramer.


Định nghĩa

Ví dụ


 x1 + x2 + x3 = 6
x1 − x2 + 2x3 = 5


1 1 1
Ta có D = 2 −1 1 = −5 = 0 do đó hệ phương trình là hệ
1 −1 2
Cramer.
Áp dụng quy tắc Cramer ta được

6 1 1 1 6 1 1 1 6
D1 = 3 −1 1 = −5; D2 = 2 3 1 = −10; D3 = 2 −1 3 = −1
5 −1 2 1 5 2 1 −1 5

D1 D2 D3
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x1 = = 1; x2 = = 2; x3 = =3
D D D


Định nghĩa
Định lý Kronecker-Capelli (Điều kiện có nghiệm (tương thích))
Phương pháp Gauss (khử dần ẩn số)
Ví dụ.

Định lý Kronecker-Capelli
Hệ (1) là có nghiệm (hay tương thích) khi và chỉ khi hạng của ma trận
r (A) bằng hạng của ma trận mở rộng A , 

a11 a12 ... a1n b1
 a21 a22 ... a2n b2 
trong đó A =  ...

... ... ... ... 
am1 am2 ... amn bm


Định nghĩa
Ví dụ.

Định lý Kronecker-Capelli
Hệ (1) là có nghiệm (hay tương thích) khi và chỉ khi hạng của ma trận
r (A) bằng hạng của ma trận mở rộng A , 

a11 a12 ... a1n b1
 a21 a22 ... a2n b2 
trong đó A =  ...

... ... ... ... 
am1 am2 ... amn bm

Thật vậy, giả sử hệ (1) là tương thích, tức là tồn tại nghiệm
(x1 , x2 , ..., xn ) để B = x1 A1 + x2 A2 + ... + xn An
Ta thấy rằng cột cuối cùng của ma trận A khi đó là tổ hợp tuyến
tính của các cột còn lại, do đó khi bỏ cột đó đi thì hạng của ma trận
không thay đổi, nhưng khi đó ma trận còn lai chính là ma trận A, vậy
hạng của A bằng hạng của A.
Đảo lại, nếu r (A) = r A = r thì trong A sẽ chứa ít nhất một định
thức cấp r khác không. Bằng cách đổi chỗ các hàng và các cột của A
(không làm thay đổi hạng của nó) ta có thể giả thiết rằng định thức khác
không đó nằm ở vị trí r hàng đầu và r cột đầu. Khi đó r véc tơ cột
A1 , A2 , ..., Ar là độc lập tuyến tính và ta coi chúng là các véc tơ cơ sở.

Định nghĩa
Ví dụ.

Chú ý.
Từ định lý Kronecker-Capelli ta có các kết quả sau:


Định nghĩa
Ví dụ.

Chú ý.
+ Nếu r (A) < r A thì hệ vô nghiệm.


Định nghĩa
Ví dụ.

Chú ý.
+ Nếu r (A) = r A = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất.


Định nghĩa
Ví dụ.

Chú ý.
+ Nếu r (A) = r A = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất.
+ Nếu r (A) = r A = r < n thì hệ vô số nghiệm (phụ thuộc và
n − r tham số).


Định nghĩa
Ví dụ.

Phương pháp Gauss

Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau lên phương trình của hệ ta được
một hệ mới tương đương:
Đổi chỗ hai phương trình.


Định nghĩa
Ví dụ.


Nhân, chia một số khác 0 vào 2 vế của một phương trình.


Định nghĩa
Ví dụ.


Nhân, chia một số khác 0 vào 2 vế của một phương trình.
Cộng vào một phương trình tổ hợp tuyến tính của một phương trình
khác.


Định nghĩa
Ví dụ.

Các phép biến đổi tương đương trên chính là các phép biến đổi sơ
cấp theo hàng, biến đổi ma trận mở rộng A của hệ phương trình (1)
thành ma trận bậc thang

a11 a12 ··· a1n 
b1
 0 a22 ··· a2n

.. .. . . b2 

. . .. .
. .

 .
.

 .
 
 .

 . ··· 0 arr · · · arn br 

 .
. br +1 
 . 0 ··· 0 .


. .. . .
.

. .
 
 . . .
bm
0 ··· 0 0 ··· 0


Định nghĩa
Ví dụ.

Các phép biến đổi tương đương trên chính là các phép biến đổi sơ
cấp theo hàng, biến đổi ma trận mở rộng A của hệ phương trình (1)
thành ma trận bậc thang

a11 a12 ··· a1n 
b1
 0 a22 ··· a2n

.. .. . . b2 

. . .. .
. .

 .
.

 .
 
 .

 . ··· 0 arr · · · arn br 

 .
. br +1 
 . 0 ··· 0 .


. .. . .
.

. .
 
 . . .
bm
0 ··· 0 0 ··· 0

Nếu ∃i > r để bi = 0 thì hệ vô nghiệm. Nếu bi = 0, ∀i > r , từ r
dòng đầu tiên của ma trận trên ta luôn được một định con dạng
chéo cấp r khác 0. Không mất tính tổng quát ta giả sử
a11 , ..., arr = 0 thì hệ (1) tương đương với hệ sau:

Định nghĩa
Ví dụ.


 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr + ... + a1n xn = b1

a22 x2 + ... + a2r xr + ... + a2n xn = b2


..


 .
arr xr + ... + arn xn = br


Để giải hệ này ta chuyển ta chuyển các số hạng chứa các xi với i > r
qua vế phải (các ẩn này được gọi là các ẩn tự do). Từ phương trình cuối,
tính được xr (qua các ẩn tự do). Thay xr vào phương trình thứ r − 1 ta
tính được xr −1 . Tiếp tục quá trình đó ta tính được xr −2 , ..., x2, x1.


Định nghĩa
Ví dụ.

Giải hệ phương trình sau:


 x1 − x2 − x3 − 3x4 + x5 = 1
x1 + x2 − 5x3 − x4 + 7x5 = 2

 −x1 + 2x2
 + 2x3 + 2x4 + x5 = 0
−2x1 + 5x2 − 4x3 + 9x4 + 7x5 = a



Định nghĩa
Ví dụ.

Giải hệ phương trình sau:


 x1 − x2 − x3 − 3x4 + x5 = 1
x1 + x2 − 5x3 − x4 + 7x5 = 2

 −x1 + 2x2
 + 2x3 + 2x4 + x5 = 0
−2x1 + 5x2 − 4x3 + 9x4 + 7x5 = a


Ta có ma trận mở rộng của hệ phương trình là
   
1 −1 −1 −3 1 1 1 −1 −1 −3 1 1
 1 1 −5 −1 7 2  −−→
 0 2 −4 2 6 1 

 −1 −− 
2 2 2 1 0  h2 −h1  0 1 1 −1 2 1 
h3 +h1
−2 5 −4 9 7 a h4 +2h1 0 3 −6 3 9 a+2
1
Tiếp tục biến đổi 2h3 − h2 , 3 h4 − h3 ta được
  
1 −1 −1 −3 1 1 1 −1 −1 −3 1 1
 0
 2 −4 2 6 1   0
→  2 −4 2 6 1
 0 0 6 −4 −2 1   0 0 6 −4 −2 1
a
0 0 −3 2 1 3 −13
0 0 0 0 0 2a
3 + 1
3

Định nghĩa
Ví dụ.

Vậy ta có
+ Nếu a = − 1 thì hệ phương trình vô nghiệm
2
+ Nếu a = − 1 ta có hệ
2

 x1 − x2 − x3 − 3x4 + x5 = 1
1
x2 − 2x3 + x4 + 3x5 = 2
1
3x3 − 2x4 − x5 =

2

Suy ra
 x = 1 + 2x + 1x

 3 4 5


 6 3 3
5 1 7
 x2 = + x4 − x5


 6 3 3
x1 = 2 + 4x4 − 3x5


x4 , x5 tùy ý.


Định nghĩa Định nghĩa
Cách giải hệ Cramer Điều kiện để hệ có nghiệm khác nghiệm tầm thường
Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Ví dụ
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Bài tập

Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng
(1), trong đó các hệ số tự do b1 = b2 = ... = bn = 0 hay có dạng
n
aij xj = 0, i = 1, 2, ..., m (3)
i=1



Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng
(1), trong đó các hệ số tự do b1 = b2 = ... = bn = 0 hay có dạng
n
aij xj = 0, i = 1, 2, ..., m (3)
i=1

Do ma trận mở rộng chứa một cột gồm toàn phần tử không nên
hạng của nó luôn bằng hạng của ma trận A. Vậy hệ (3) là tương thích.
Ta thấy hệ (3) luôn có một nghiệm là x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0 và được
gọi là nghiệm tầm thường.



Điều kiện để hệ phương trình tuyến thuần nhất có nghiệm khác nghiệm
tầm thường
Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng
số ẩn tức là n = m. Khi đó, nếu detA = 0, nó là hệ Cramer. Nghiệm duy
nhất của nó là nghiệm tầm thường.



tầm thường
Như vậy, để hệ thuần nhất có nghiệm khác nghiệm tầm thường thì
định thức các hệ số của ẩn phải bằng không: detA = 0.



tầm thường
Như vậy, để hệ thuần nhất có nghiệm khác nghiệm tầm thường thì
định thức các hệ số của ẩn phải bằng không: detA = 0.
Khi đó hạng của ma trận r (A) = r < n và giải hệ với r ẩn.



Tìm nghiệm khác không của hệ phương trình

 2x + y − z = 0
x + 2y + z = 0
3x + y − 2z = 0




Tìm nghiệm khác không của hệ phương trình

 2x + y − z = 0
x + 2y + z = 0
3x + y − 2z = 0


2 1
Ta có det(A) = 0 và = 3 nên hệ có hạng 2. Ta chọn x và y làm
1 2
ẩn cơ sở và cho z = α tuỳ ý ta được: x = α, y = −α, z = α với α tùy ý.



Bài tập I

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
  2x − y − z − t = −1
 3x + 2y + 4z = 1 
x − 2y + z + t = −2

a, 2x − y + z = 0 b,
 x + y − 2z + t = 4
x + 2y + 3z = 1
 
x  y + z − 2t = −8
+


 2x − y + 3z
 = 1  2x1 − x2 + 2x4 − 6x5
 = 0
−4x + 2y + z = 3 x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = 0
 
c, , d,
 −2x + y + 4z =
 4  6x1 − 3x2 + 7x4 − 10x5
 = 0
 10x − 5y − 6z = −10 2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 0
 
 x2 + x3 − 3x4 + 2x5
 = 6
2x1 − x2 + 2x4 − 6x5 = 4

e,
 6x1 − 3x2 + 7x4 − 10x5 = −8

2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 15

Bài 2: Giải và biện luận các hệ phương trình sau



Bài tập II

 2x1 + x2 + x3 + x4 = 1

 x + 2x − x + 4x = 2

1 2 3 4
a,
 x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m


4x + 8x2 − 4x3 + 16x4 = m + 1

 1
 2x1 − x2 + x3 − 2x4 + 3x5 = 3

x + x − x − x + x = 1

1 2 3 4 5
b,
 3x1 + x2 + x3 − 3x4 + 4x5 = 6


 5x1 + 2x3 − 5x4 + 7x5  9 − m

=
 mx1 + x2 + x3 = 1
  mx1 + x2 + x3 + x4 = 1

c, x1 + mx2 + x3 = 1 d, x1 + mx2 + x3 + x4 = 1
 
x1 + x2 + mx3 = 1 x1 + x2 + mx3 + x4 = 1
 

 x1 + x2 + x3 + mx4 = 1
x + y + (1 − m)z = m + 2


 x + x + mx + x = 1
1 2 3 4
e, f, (1 + m)x − y + 2z = 0
 x1 + mx2 + x3 + x4 = 1


 2x − my + 3z = m+2
mx1 + x2 + x3 + x4 = 1


Bài tập III

Bài 3: Cho phương trình
 
1
 
1 −1 λ
 2 1 λ  X =  2
 
3 1 2λ 0

a, Giải phương trình khi λ = 1.
b, Tìm λ để phương trình vô nghiệm
Bài 4: Tìm λ để tồn tại X sao cho
   
−2 1 −3 −6
 1 0 5   6 
 −3 2 −1  X = 
   
λ 
0 1 3 2

Tìm X với λ vừa tìm được.


Chuong3

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Similar to Chuong3

Similar to Chuong3 (14)

More from tuongnm

More from tuongnm (20)

Chuong3