Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay

1. www.VNMATH.com
TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Năm 2012

2. www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng
Khảo sát hàm số
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D.
· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì:
+ y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0
ì
îD £ 0
+ y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0
ì
îD £ 0
· Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) :
+ Nếu D < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a.
+ Nếu D = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = -
b
)
2a
+ Nếu D > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a.
· So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0:
ìD ³ 0
ìD ³ 0
ï
ï
+ x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 + 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 + x1 < 0 < x2 Û P < 0
ïS < 0
ïS > 0
î
î
· g( x ) £ m, "x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ;
( a;b )
g( x ) ³ m, "x Î (a; b) Û min g( x ) ³ m
( a;b )
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định).
· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì:
+ y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0
ì
îD £ 0
+ y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0
ì
îD £ 0
2. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) .
Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .
a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) ³ g( x )
(*)
thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x )
(a ; b )
Trang 1

3. www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
· Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x )
Trần Sĩ Tùng
(**)
thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x )
(a ; b )
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a .
Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c .
ìa > 0
ïD > 0
ï
ìa > 0
– Hàm số f đồng biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, "t < 0 Û í
Ú í
îD £ 0
ïS > 0
ïP ³ 0
î
ìa > 0
ïD > 0
ï
ìa > 0
– Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, "t > 0 Û í
Ú í
îD £ 0
ïS < 0
ïP ³ 0
î
b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ 0 Û h(m) ³ g( x )
(*)
thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x )
(a ; b )
· Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x )
(**)
thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x )
(a ; b )
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a .
Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c .
ìa < 0
ï
ï
ì
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) £ 0, "t < 0 Û ía < 0 Ú íD > 0
D£0
î
ïS > 0
ïP ³ 0
î
ìa < 0
ïD > 0
ï
ìa < 0
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > 0 Û í
Ú í
D£0
î
ïS < 0
ïP ³ 0
î
3. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng có độ dài
bằng k cho trước.
ì
· f đơn điệu trên khoảng ( x1; x2 ) Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Û í a ¹ 0 (1)
îD > 0
· Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = d 2
· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
4. Tìm điều kiện để hàm số y =
ax 2 + bx + c
(2), (a, d ¹ 0)
dx + e
a) Đồng biến trên (-¥;a ) .
b) Đồng biến trên (a ; +¥) .
Trang 2
(2)

4. www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng
Khảo sát hàm số
c) Đồng biến trên (a ; b ) .
ì -e ü
adx 2 + 2aex + be - dc
f ( x)
=
ý , y' =
2
2
îd þ
( dx + e )
( dx + e )
Tập xác định: D = R í
Trường hợp 1
Nếu: f ( x ) ³ 0 Û g( x ) ³ h(m) (i)
Trường hợp 2
Nếu bpt: f ( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t = x - a .
Khi đó bpt: f ( x ) ³ 0 trở thành: g(t ) ³ 0 , với:
g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc
a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a )
ì -e
ï
Û í d ³a
ï g( x ) ³ h(m), "x < a
î
ì -e
ï ³a
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
( -¥;a ]
î
a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a )
ì -e
ï
Û í d ³a
ï g(t ) ³ 0, "t < 0 (ii)
î
ìa > 0
ïD > 0
ï
ìa > 0
Ú í
(ii) Û í
îD £ 0
ïS > 0
ïP ³ 0
î
b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥)
ì -e
ï
Û í d £a
ï g( x ) ³ h(m), "x > a
î
ì -e
ï £a
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
[a ; +¥ )
î
b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥)
ì -e
ï
Û í d £a
ï g(t ) ³ 0, "t > 0 (iii)
î
ìa > 0
ïD > 0
ï
ìa > 0
Ú í
(iii) Û í
îD £ 0
ïS < 0
ïP ³ 0
î
c) (2) đồng biến trên khoảng (a ; b )
ì -e
ï
Û í d Ï (a ; b )
ï
î g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b )
ì -e
ï Ï (a ; b )
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
[a ; b ]
î
5. Tìm điều kiện để hàm số y =
ax 2 + bx + c
(2), (a, d ¹ 0)
dx + e
a) Nghịch biến trên (-¥;a ) .
b) Nghịch biến trên (a ; +¥) .
c) Nghịch biến trên (a ; b ) .
ì -e ü
adx 2 + 2aex + be - dc
f ( x)
=
ý , y' =
2
2
îd þ
( dx + e )
( dx + e )
Tập xác định: D = R í
Trang 3

5. Khảo sát hàm số
www.VNMATH.com
Trường hợp 1
Nếu f ( x ) £ 0 Û g( x ) ³ h(m) (i)
Trần Sĩ Tùng
Trường hợp 2
Nếu bpt: f ( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t = x - a .
Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) £ 0 , với:
g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc
a) (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;a )
ì -e
ï
Û í d ³a
ï g( x ) ³ h(m), "x < a
î
ì -e
ï ³a
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
( -¥;a ]
î
b) (2) nghịch biến trên khoảng (a ; +¥)
ì -e
ï
Û í d £a
ï g( x ) ³ h(m), "x > a
î
ì -e
ï £a
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
[a ; +¥ )
î
a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a )
ì -e
ï
Û í d ³a
ï g(t ) £ 0, "t < 0 (ii)
î
ìa < 0
ïD > 0
ï
ìa < 0
(ii) Û í
Ú í
îD £ 0
ïS > 0
ïP ³ 0
î
b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥)
ì -e
ï
Û í d £a
ï g(t ) £ 0, "t > 0 (iii)
î
ìa < 0
ïD > 0
ï
ìa < 0
(iii) Û í
Ú í
îD £ 0
ïS < 0
ïP ³ 0
î
c) (2) đồng biến trong khoảng (a ; b )
ì -e
ï
Û í d Ï (a ; b )
ï g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b )
î
ì -e
ï Ï (a ; b )
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
[a ; b ]
î
Trang 4

6. www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng
Câu 1.
Khảo sát hàm số
1
3
Cho hàm số y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
· Tập xác định: D = R. y ¢= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 .
(1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ 2
Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥;0) .
Câu 2.
· Tập xác định: D = R. y ¢= 3 x 2 + 6 x - m . y¢ có D¢ = 3(m + 3) .
+ Nếu m £ -3 thì D¢ £ 0 Þ y¢ ³ 0, "x Þ hàm số đồng biến trên R Þ m £ -3 thoả YCBT.
+ Nếu m > -3 thì D¢ > 0 Þ PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi đó hàm số
đồng biến trên các khoảng (-¥; x1 ),( x2 ; +¥) .
ìD¢ > 0
ìm > -3
ï
ï
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;0) Û 0 £ x1 < x2 Û í P ³ 0 Û í-m ³ 0 (VN)
ïS > 0
ï-2 > 0
î
î
Vậy: m £ -3 .
Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥)
Câu 3.
· Tập xác định: D = R. y ' = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2m + 1)2 - 4(m 2 + m) = 1 > 0
éx = m
y' = 0 Û ê
. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m), (m + 1; +¥)
ëx = m +1
Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + 1 £ 2 Û m £ 1
Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K = (0; +¥) .
Câu 4.
· Hàm đồng biến trên (0; +¥) Û y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + (2 - m) ³ 0 với "x Î (0; +¥)
Û f ( x) =
3x 2 + 2 x + 2
³ m với "x Î (0; +¥)
4x + 1
6(2 x 2 + x - 1)
1
Ta có: f ¢( x ) =
= 0 Û 2 x 2 + x - 1 = 0 Û x = -1; x =
2
2
(4 x + 1)
æ1ö
5
Lập BBT của hàm f ( x ) trên (0; +¥) , từ đó ta đi đến kết luận: f ç ÷ ³ m Û ³ m .
4
è2ø
Câu hỏi tương tự:
1
3
1
b) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (1; +¥) .
3
1
c) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (-1;1) .
3
a) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (-¥; -1) .
Trang 5
ĐS: m ³
4
11
ĐS: m ³ 0
ĐS: m ³
1
2

7. www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
Câu 5.
Trần Sĩ Tùng
1
3
Cho hàm số y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ¹ ±1) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (-¥;2) .
· Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 .
Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-¥;2) Û g(t ) £ 0, "t < 0
ì 2
ï
ì
TH1: í a < 0 Û ím 2- 1 < 0
îD £ 0
Vậy: Với
Câu 6.
ï3m - 2m - 1 £ 0
î
ìm2 - 1 < 0
ìa < 0
ï 2
ï >0
ï3m - 2m - 1 > 0
ï
ïD
Û í4m2 + 4m - 10 £ 0
TH2: í
ïS > 0
ï -2m - 3
ïP ³ 0
ï
î
>0
ï m +1
î
-1
£ m < 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-¥;2) .
3
1
3
Cho hàm số y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ¹ ±1) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (2; +¥) .
· Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 .
Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > 0
ìm2 - 1 < 0
ìa < 0
ï 2
ï >0
ï3m - 2m - 1 > 0
ìm2 - 1 < 0
ï
ï
ïD
ìa < 0
TH1: í
TH2: í
Ûí 2
Û í4m2 + 4m - 10 £ 0
S<0
îD £ 0
ï3m - 2m - 1 £ 0
ï
ï -2m - 3
î
ïP ³ 0
ï
î
<0
ï m +1
î
Vậy: Với -1 < m < 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +¥)
Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Câu 7.
· Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + m có D¢ = 9 - 3m .
+ Nếu m ≥ 3 thì y¢ ³ 0, "x Î R Þ hàm số đồng biến trên R Þ m ≥ 3 không thoả mãn.
+ Nếu m < 3 thì y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) . Hàm số nghịch biến trên đoạn
m
é x1; x2 ù với độ dài l = x1 - x2 . Ta có: x1 + x2 = -2; x1x2 = .
ë
û
3
YCBT Û l = 1 Û x1 - x2 = 1 Û ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = 1 Û m =
9
.
4
Cho hàm số y = -2 x 3 + 3mx 2 - 1 (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = 1 .
Câu 8.
· y ' = -6 x 2 + 6mx , y ' = 0 Û x = 0 Ú x = m .
+ Nếu m = 0 Þ y¢ £ 0, "x Î ¡ Þ hàm số nghịch biến trên ¡ Þ m = 0 không thoả YCBT.
Trang 6

8. www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng
Khảo sát hàm số
+ Nếu m ¹ 0 , y¢ ³ 0, "x Î (0; m) khi m > 0 hoặc y¢ ³ 0, "x Î (m; 0) khi m < 0 .
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = 1
é( x ; x ) = (0; m)
và x2 - x1 = 1 Û ê m - 0 = 1 Û m = ±1 .
Û ê 1 2
ë0 - m = 1
ë( x1; x2 ) = (m;0)
é
Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 - 3m + 1 (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
Câu 9.
· Ta có y ' = 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m)
+ m £ 0 , y ¢³ 0, "x Î (0; +¥) Þ m £ 0 thoả mãn.
+ m > 0 , y ¢= 0 có 3 nghiệm phân biệt: - m , 0,
m.
Vậy m Î ( -¥;1ù .
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) Û m £ 1 Û 0 < m £ 1 .
û
Câu hỏi tương tự:
a) Với y = x 4 - 2(m - 1) x 2 + m - 2 ; y đồng biến trên khoảng (1;3) .
ĐS: m £ 2 .
Câu 10. Cho hàm số y =
mx + 4
x+m
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) .
· Tập xác định: D = R {–m}.
y ¢=
m2 - 4
( x + m)2
.
(1)
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y ¢< 0 Û -2 < m < 2
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) thì ta phải có - m ³ 1 Û m £ -1 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1 .
Câu 11. Cho hàm số y =
2 x 2 - 3x + m
(2).
x -1
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (-¥; -1) .
· Tập xác định: D = R {1} . y ' =
2x2 - 4x + 3 - m
2
( x - 1)
=
f (x)
( x - 1)2
.
Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4
Hàm số (2) đồng biến trên (-¥; -1) Û y ' ³ 0, "x Î (-¥; -1) Û m £ min g( x )
( -¥;-1]
Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 9 .
Vậy m £ 9 thì hàm số (2) đồng biến trên (-¥; -1)
Câu 12. Cho hàm số y =
2 x 2 - 3x + m
(2).
x -1
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; +¥) .
· Tập xác định: D = R {1} . y ' =
2x2 - 4x + 3 - m
2
( x - 1)
=
f (x)
( x - 1)2
.
Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4
Hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) Û y ' ³ 0, "x Î (2; +¥) Û m £ min g( x )
[2; +¥ )
Trang 7

9. www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
Trần Sĩ Tùng
Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 3 .
Vậy m £ 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) .
Câu 13. Cho hàm số y =
2 x 2 - 3x + m
(2).
x -1
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) .
· Tập xác định: D = R {1} . y ' =
2x2 - 4x + 3 - m
2
( x - 1)
=
f (x)
( x - 1)2
.
Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4
Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) Û y ' ³ 0, "x Î (1;2) Û m £ min g( x )
[1;2]
Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 1 .
Vậy m £ 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) .
Câu 14. Cho hàm số y =
x 2 - 2mx + 3m2
(2).
2m - x
Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) .
· Tập xác định: D = R { 2m} . y ' =
- x 2 + 4mx - m 2
2
( x - 2m)
=
f (x)
( x - 2m)2
. Đặt t = x - 1 .
Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0
Hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) Û y ' £ 0, "x Î (-¥;1) Û í2m > 1
ì
î g(t ) £ 0, "t < 0 (i)
ém = 0
éD ' = 0
ê ìm ¹ 0
ê ìD ' > 0
ém = 0
(i) Û ê ï
Ûê
Û êï
ê í 4m - 2 > 0
ê íS > 0
ëm ³ 2 + 3
ê ïm2 - 4m + 1 ³ 0
êïP ³ 0
ëî
ëî
Vậy: Với m ³ 2 + 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) .
Câu 15. Cho hàm số y =
x 2 - 2mx + 3m2
(2).
2m - x
Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; +¥) .
· Tập xác định: D = R { 2m} . y ' =
- x 2 + 4mx - m 2
( x - 2m)2
=
f (x)
( x - 2m)2
. Đặt t = x - 1 .
Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0
Hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥) Û y ' £ 0, "x Î (1; +¥) Û í2m < 1
ì
î g(t ) £ 0, "t > 0 (ii )
ém = 0
éD ' = 0
ê ìm ¹ 0
ê ìD ' > 0
Û m £2- 3
(ii) Û ê ï
Û êï
ê í 4m - 2 < 0
ê íS < 0
ê ïm2 - 4m + 1 ³ 0
êïP ³ 0
ëî
ëî
Vậy: Với m £ 2 - 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥)
Trang 8

10. www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng
Khảo sát hàm số
KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
A. Kiến thức cơ bản
· Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
· Hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y¢ = 0 .
· Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng
phương pháp tách đạo hàm.
– Phân tích y = f ¢( x ).q( x ) + h( x ) .
– Suy ra y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) .
Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) .
· Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 thì tan a =
k1 - k2
1 + k1k2
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông
góc) với đường thẳng d : y = px + q .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1
p
– Giải điều kiện: k = p (hoặc k = - ).
2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
d : y = px + q một góc a .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:
k-p
= tan a . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k = tan a )
1 + kp
3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy
tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy.
– Giải điều kiện SDIAB = S .
4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S
cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện SDIAB = S .
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d
cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.
ì
– Giải điều kiện: í D ^ d .
îI Î d
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho
trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Trang 9