Mat geometria espacial 002

MATEMÁTICA

GEOMETRIA
ESPACIAL

chamados bases do cilindro. ANOTAÇÕES
1. Cilindro
A reta OO’ é chamada eixo do ci-
lindro.
Considere dois planos σ e γ pa-
ralelos, C um círculo em α de raio r, A altura h do cilindro é a distân-
e s uma reta secante aos planos σ e cia entre os planos que contém
as bases.
γ . Chamamos de cilindro circular, ou
apenas cilindro, a figura geométrica Área da Base
formada pela reunião de todos os A área da base de um cilindro é
segmentos de reta paralelos à reta s, exatamente a área do círculo C, isto
com uma as extremidades em um é,
ponto de C e a outra em um ponto de Ab = πr 2 .
γ.
Área Lateral

Observe que as extremidades que
pertencem ao plano σ formam um
círculo C’ congruente a C.

Elementos do Cilindro

A área lateral de um cilindro
de raio da base r e altura h é dada
por
Al = 2 πrh
Área Total

At = 2 AB + Al
At = 2 πr 2 + 2 πrh
os círculos C e C’ de raio r e cen-
tros O e O’, respectivamente, são At = 2 πr ( r + h )
COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 1

MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL

Volume do cilindro c) 10
ANOTAÇÕES
O volume de um cilindro é calcu- d) 20
lado como se fosse um prisma, multi-
plicando-se a área da base pela sua e) 40
altura. Assim,
V = πr 2 h 3. (Unesp) Num tonel de forma cilíndri-
ca, está depositada uma quantidade
de vinho que ocupa a metade de sua
Observação: Quando a secção meridi- capacidade. Retirando-se 40 litros de
ana de um cilindro é um quadrado, seu conteúdo, a altura do nível do vi-
chamamos este cilindro de eqüilátero. nho baixa de 20%. O número que ex-
Isto significa que a altura mede o do- pressa a capacidade desse tonel, em
bro da medida do raio da base. Veja a litros é:
figura.
a) 200

b) 300.

c) 400.

d) 500.

e) 800.

4. Um cilindro reto mede 8 m de altura
e a área total de sua superfície mede
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 306π m3. determine, em m3, o volu-
me desse cilindro.
1. A área total de um cilindro de altura
4 cm e diâmetro da base 6 cm, em 5. Se aumentarmos o raio da base ou a
m 2 , é: altura de um cilindro reto em 4 cm,
os volumes dos novos cilindros coinci-
a) 24
dirão. Calcule o raio da base, em cm,
do cilindro inicial sabendo que a altu-
b) 36 ra mede 2 cm.

c) 33
6. (Uel) Dois recipientes cilíndricos têm
altura de 40 cm e raios da base me-
d) 47 dindo 10 cm e 5 cm. O maior deles
contém água até 1/5 de sua capaci-
e) 9 dade.

2. (UFPB – 2006) Uma tora de madeira,
em forma de um cilindro circular re-
to, com 4m de altura e 2m de diâme-
tro, foi serrada, formando uma sec-
ção plana ABCD, conforme ilustra a
figura ao lado. Se AB e CD são,
respectivamente, diâmetros das bases
inferior e superior, a área da região
ABCD, em m2, é igual a:

Essa água é despejada no recipiente menor,
alcançando a altura h, de
a) 32 cm

b) 24 cm

c) 16 cm

a) 6 d) 12 cm

b) 8 e) 10 cm

PÁGINA 2 COLÉGIO VIA MEDICINA

GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

7. (UFRS) Um pedaço de cano de 30 cm d) 40 ANOTAÇÕES
de comprimento e 10 cm de diâmetro
interno encontra-se na posição verti- e) 50
cal e possui a base inferior vedada.
Colocando-se dois litros de água em EXERCÍCIOS TAREFA
seu interior, e água.

a) ultrapassa o meio do cano. 1. (Ita – SP) O raio de um cilindro de re-
volução mede 1,5m. Sabe-se que a
b) transborda. área da base do cilindro coincide com
a área da secção determinada por um
c) não chega ao meio do cano. plano que contém o eixo do cilindro.
Então, a área total do cilindro, em
d) enche o cano até a borda. m 2 , vale:

e) atinge exatamente o meio do cano a) 3 π 2/4

8. (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 b) 9 π (2+ π )/4
cm de altura e área da base igual a 1
200 cm2, está com água até a metade c) π (2+ π )
de sua capacidade. Colocando-se pe-
dras dentro desse aquário, de modo d) π 2/2
que fiquem totalmente submersas, o
nível da água sobe para 16,5 cm. En-
tão, o volume das pedras é e) 3 π ( π +1)/2

a) 1 200 cm 3 . 2. (Fuvest – SP) A uma caixa d'água de
forma cúbica com 1 metro de lado,
está acoplado um cano cilíndrico com
b) 2 100 cm 3 . 4cm de diâmetro e 50m de compri-
mento. Num certo instante, a caixa
c) 1 500 cm 3 está cheia de água e o cano vazio.
Solta-se a água pelo cano até que fi-
que cheio. Qual o valor aproximado
d) 1 800 cm 3 da altura da água na caixa no instante
em que o cano ficou cheio?
9. (Unirio) Seja um cilindro de revolu-
ção obtido da rotação de um quadra- a) 90 cm.
do, cujo lado está apoiado no eixo de
rotação. Determine a medida deste b) 92 cm.
lado (sem unidade), de modo que a
área total do cilindro seja igual ao c) 94 cm.
seu volume.
d) 96 cm.
10. (Ufpe) Um queijo tem a forma de
um cilindro circular reto com 40 cm
de raio e 30cm de altura. Retira-se do e) 98 cm.
mesmo uma fatia, através de dois
cortes planos contendo o eixo do ci- 3. (Fatec – SP) Um tanque tem a forma
lindro e formando um ângulo de 60°. de um cilindro circular reto de altura
Se V é o volume, em cm¤, do que res- 6m e raio da base 3m. O nível da água
tou do queijo (veja a figura a seguir), nele contida está a 2/3 da altura do
tanque. Se π =3,14, então a quanti-
determine, em cm 3 , o valor de
dade de água, em litros, que o tanque
V contém é:
.
10 3 ⋅ π
a) 113 040

b) 169 560

c) 56 520
a) 10 d) 37 680
b) 20 e) 56 520
c) 30
COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 3


4. (UFPE) Um contêiner, na forma de estimado, sendo necessário, na ver-
dade, o dobro do volume inicialmente ANOTAÇÕES
um cilindro circular reto, tem altura
igual a 3m e área total (área da previsto. Qual deverá ser a medida do
superfície lateral mais áreas da base raio da base, sabendo que a altura do
e da tampa) igual a 20 π m2. Calcule, reservatório não poderá ser alterada?
em metros, o raio da base deste con-
têiner. a) 4 m

5. (UFPE) O trapézio 0ABC da figura a b) 3 m
seguir gira completamente em torno
do eixo 0x. Calcule o inteiro mais
próximo do volume do sólido obtido. c) 2 2 m

d) 2 m

e) 6 m

9. (Fatec – SP) abe-se que um cilindro
de revolução de raio igual a 10cm,
quando cortado por um plano paralelo
ao eixo, a uma distância de 6 cm des-
se eixo, apresenta uma secção retan-
6. (FGV – SP) Um produto é embalado gular equivalente à base. O volume
em recipientes com formato de cilin- desse cilindro, em centímetros cúbi-
dros retos. cos, é

O cilindro A tem altura 20cm e raio da base a) 1250 π
de 5cm.
O cilindro B tem altura 10cm e raio da base 2
de 10cm. b) 1250 π

a) Em qual das duas embalagens gasta-se 2
menos material?
c) 6,25 π

b) O produto embalado no cilindro A é d) 625 π
vendido a R$4,00 a unidade, e o do ci-
2
lindro B a R$7,00 a unidade. Para o e) 625 π
consumidor, qual a embalagem mais
vantajosa?
10. (Fei – SP) Um líquido que ocupa
uma altura de 10cm num determinado
7. (Faap – SP) Sabendo-se que uma lata recipiente cilíndrico será transferido
de azeite cilíndrica tem 8cm de diâ- para outro recipiente, também cilín-
metro e 18,5cm de altura e ainda que drico, com diâmetro 2 vezes maior
nela vem marcado o conteúdo 900ml, que o primeiro. Qual será a altura o-
o volume de ar contido na lata "cheia" cupada pelo líquido nesse segundo
e "fechada" é: recipiente?
(Adote π = 3,14)
a) 29,44 ml a) 1,5 cm

b) 10,0 ml b) 2 cm

c) 15,60 ml c) 2,5 cm

d) 21,72 ml d) 4,5 cm

e) 35,50 ml e) 5 cm

8. (Fei – SP) No projeto de um prédio foi 11. (Unesp) Suponha que o raio e a
inicialmente prevista a construção de altura de um recipiente cilíndrico
um reservatório de água com formato meçam, respectivamente, r cm e h
cilíndrico, cujas medidas seriam: raio cm. Vamos supor ainda que, manten-
da base igual a 2m e altura igual a do r fixo e aumentando h de 1cm, o
3m. Depois foi constatado que o vo- volume do recipiente dobre e que,
lume do reservatório havia sido sub- mantendo h fixo e aumentando r de



1cm, o volume do recipiente quadrupli- artesã forma cilindros e, em seguida, ANOTAÇÕES
que. Nessas condições, calcule: os preenche completamente com pa-
rafina.
a) o valor de h;

b) o valor de r.

12. (UECE) O volume de um cilindro
circular reto é 36 6 πcm 3 . Se a altura
desse cilindro mede 6 6 cm , então a
área total desse cilindro, em cm2 , é: Supondo-se que o custo da vela seja dire-
tamente proporcional ao volume de parafi-
a) 72 π na empregado, o custo da vela do tipo I, em
relação ao custo da vela do tipo II, será
b) 84 π
a) o triplo.
c) 92 π
b) o dobro.
d) 96 π
c) igual.

13. (UFG) Uma empresa de engenha- d) a metade.
ria fabrica blocos na forma de um
prisma, cuja base é um octógono re-
e) a terça parte.
gular de lado 20 cm e altura 1 m. Pa-
ra fabricar esses blocos, a empresa
utiliza um molde na forma de um ci- 16. (UERJ) Para a obtenção do índice
lindro circular reto, cujo raio da base pluviométrico, uma das medidas de
e a altura medem 1 m, conforme a fi- precipitação de água da chuva, utili-
gura abaixo. Calcule o volume do ma- za-se um instrumento meteorológico
terial necessário para fabricar o mol- denominado pluviômetro. A ilustração
de para esses blocos. abaixo representa um pluviômetro
com área de captação de 0,5 m2 e
raio interno do cilindro de depósito
de 10 cm.

14. (Cefet – MG) O diâmetro da base
de um reservatório cilíndrico mede 2
metros. Sabendo-se que sua altura Considere que cada milímetro de água da
mede 60 centímetros, sua capacidade chuva depositado no cilindro equivale a 1
aproximada, em litros, é de L/m2. No mês de janeiro, quando o índice
pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água
no cilindro, em dm, atingiu a altura de, a-
a) 1.884
proximadamente:
b) 1.970 a) 15
c) 2.764 b) 25
d) 3.140 c) 35

15. (Enem – 2006) Uma artesã con- d) 45
fecciona dois diferentes tipos de vela
ornamental a partir de moldes feitos
com cartões de papel retangulares de
20 cm × 10 cm (conforme ilustram as 17. (UEL) Um fabricante de latas
figuras abaixo). Unindo dois lados o- com formato de um cilindro possui
postos do cartão, de duas maneiras, a chapas retangulares de alumínio com



as dimensões: 25 cm de largura por 9 b) 10.000 π .
cm de comprimento, conforme a figura ANOTAÇÕES
que segue. Ele deseja saber como utili- c) 5.500 π .
zar essas chapas de forma a ter maior
capacidade para as latas oriundas de
tais chapas. Ele pensou em duas formas d) 5.000 π .
deconfeccionar essas latas: unindo o
lado AD da chapa de alumínio no lado e) 1.100 π .
BC formando uma lata que tem o for-
mato de um cilindro circular reto C1 ou
unindo o lado AB ao lado DC formando
19. (FGV – SP) O sólido da figura 1 foi
obtido a partir de duas secções em
uma lata cujo formato é um cilindro
um cilindro circular reto de altura 24
circular reto C2 . cm e raio da base 10 cm. As secções
foram feitas na intersecção do cilin-
dro com um diedro de 60°, como
mostra a figura 2:

Com base nessas informações, considere as
afirmativas a seguir.

I. A área da superfície lateral do cilindro C1
é igual à área da superfície lateral do cilin-
dro C2
II. A capacidade do cilindro C1 é maior que
a capacidade do cilindro C2 . Sabendo que os pontos A, B, C, A', B' e C'
III. Se o fabricante dobrar as dimensões da pertencem às faces do diedro e às circunfe-
chapa, a capacidade do cilindro C1 dobra. rências das bases do cilindro, como mostra
IV. Se o fabricante dobrar as dimensões da a figura 2, a área da superfície BB'C'C, con-
chapa, a área da superfície lateral do cilin- tida na face lateral do cilindro, em cm2, é
dro C2 dobra. igual a

Estão corretas apenas as afirmativas: a) 60 π
a) I e II.
b) 40 3π
b) I e III.
c) 80 π
c) II e IV.
d) 90 3π
d) I, III e IV.

e) II, III e IV. e) 160 π

18. (Unifesp) A figura indica algumas 20. (UFV) Preparou-se gelatina que
das dimensões de um bloco de con- foi colocada, ainda em estado líqui-
creto formado a partir de um cilindro do, em recipientes, como mostram as
circular oblíquo, com uma base no so- figuras a seguir.
lo, e de um semicilindro.

Sabendo que toda a quantidade de gelatina
que foi preparada coube em cinco recipien-
Dado que o raio da circunferência da base tes cilíndricos e em dois recipientes em
do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume forma de paralelepípedo, como representa-
do bloco de concreto, em cm¤, é do na figura acima, a quantidade prepara-
da, em litros, foi de:
a) 11.000 π . (Use π = 3,14)



a) 1,01 gua derramada, em dm3, é aproxima- ANOTAÇÕES
damente de:
b) 1,19
a) 155
c) 1,58
b) 263
d) 1,64
c) 353
e) 1,95
d) 392
21. (Fatec – SP) Um cilindro circular
reto tem volume igual a 250 π cm3. Gabarito
Um plano, paralelo ao eixo desse ci-
lindro, à distância de x cm desse ei- 01. B 02. C 03. A
xo, determina uma seção retangular 04. 2m 05. 29
de área igual a 60 cm2. Se a medida 06. a) As áreas totais das embalagens A e
da altura do cilindro é igual ao dobro B são, respectivamente, 250 π cm2 e
da medida do raio da base, então x é 400 π cm2. Portanto, gasta-se menos ma-
igual a terial na embalagem A.
b) Sendo PA e PB, respectivamente, os
a) 9/2 preços do cm3 nas embalagens A e B, te-
mos:
b) 4 PA = 8/(1000 π )R$/cm3 e
PB = 7/(1000 π )R$/cm3.
Como PB < PA, a embalagem B é a mais
c) 2 3 vantajosa para o consumidor.
07. A 08. C 09. E
d) 13/4 10. C 11. h = 1 e r = 1 12. B

13.
(π − 0,1928 ) m 3 14. A
e) 10 15. B 16. A 17. A
18. A 19. A 20. A
22. (UFRN) Nove cubos de gelo, cada 21. E 22. D 23. B
um com aresta igual a 3 cm, derre- 24. A 25. D
tem dentro de um copo cilíndrico, i-
nicialmente vazio, com raio da base 2. Cone
também igual a 3 cm.

Considere um círculo C de cen-
tro O e raio r em um plano α , e V um
ponto não pertencente ao plano α . A
reunião de todos os segmentos de re-
ta com uma das extremidades em V e
outra no círculo C é denominada cone
circular, ou simplesmente cone.

Após o gelo derreter completamente, a al-
tura do nível da água no copo será de apro-
ximadamente

a) 8,5 cm.

b) 8,0 cm.

c) 7,5 cm.

d) 9,0 cm.

23. (UERJ) Um tonel cilíndrico, sem
tampa e cheio de água, tem 10 dm de
altura e raio da base medindo 5 dm.
Considerando π = 3,14, ao inclinar- Os cones podem ser classificados em
mos o tonel em 45°, o volume de á- retos ou oblíquos.



ANOTAÇÕES
1
V = πr 2h .
3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Determine a área total e o volume de
Cone Reto Cone Oblíquo um cone que possui altura 12 cm e
diâmetro da base 10 cm.
É notável a relação:
2. Determine a medida do ângulo cen-
tral de um setor circular obtido pela
g 2 = h2 + r 2 planificação da superfície lateral de
um cone reto cuja geratriz mede 60
cm e o raio da base é 10 cm.
Área lateral do Cone

Para o cálculo da área lateral
3. (Fatec – SP) A altura de um cone cir-
cular reto mede o triplo da medida do
do cone é preciso que planifiquemo- raio da base. Se o comprimento da
no, como a figura abaixo. circunferência dessa base é 8 π cm,
então o volume do cone, em centíme-
tros cúbicos, é

a) 64 π

b) 48π

c) 32π

d) 16π

e) 8π

4. (Uel) Um cone circular reto tem altu-
Usando a expressão do compri- ra de 8cm e raio da base medindo
mento de um arco, temos o resultado: 6cm. Qual é, em centímetros quadra-
2 πr dos, sua área lateral?
α=
g a) 20π
Como a área de um setor circu-
1 b) 30π
lar é dada por ( ângulo ) ⋅ ( raio )2 , te-
2 c) 40π
mos:
1 2 πr 2 d) 50π
Al = ⋅ ⋅g
2 g
e) 60π
Ou seja,
Al = πrg 5. (Ufpb) A figura abaixo representa
uma secção meridiana de um cone
Volume de um cone circular reto.

Calcule o volume desse cone.

6. (Fuvest – SP) Deseja-se construir um
cone circular reto com 4cm de raio da
base e 3cm de altura. Para isso, re-
O volume de um cone é dado por corta-se, em cartolina, um setor cir


cular para a superfície lateral e um círcu- EXERCÍCIOS TAREFA ANOTAÇÕES
lo para a base. A medida do ângulo cen-
tral do setor circular é:
1. Calcule a medida da altura de um co-
a) 144° ne circular reto em que o raio da base
mede 8 cm e uma geratriz mede 17
b) 192° cm.

c) 240° 2. Cada geratriz de um cone circular re-
to de raio da base 4 cm forma com o
plano da base um ângulo de 30º. Cal-
d) 288°
cule a medida da altura desse cone.
e) 336°
3. Uma secção meridiana de um cone
circular reto é uma região limitada
7. (Fuvest – SP) Um pedaço de cartolina por um triângulo isósceles de lados
possui a forma de um semi-círculo
de raio 20cm. Com essa cartolina 2 2 cm , 2 2 cm e 4 cm . Calcule a
um menino constrói um chapéu côni- medida do ângulo que uma geratriz
co e o coloca com a base apoiada so- forma com o plano da base do cone.
bre uma mesa. Qual a distância do bi-
co do chapéu à mesa? 4. Dado um cone circular reto de raio da
base 5 cm e geratriz 13 cm, calcule:
a) 10 3 cm.
a) a área lateral do cone

b) 3 10 cm. b) a área total do cone

c) a medida, em radianos, do ângulo cen-
c) 20 2 cm. tral do setor circular equivalente à su-
perfície lateral do cone.
d) 20 cm.

e) 10 cm.
5. Um plano α paralelo à base de um
cone circular de altura 15 cm deter-
mina nesse cone uma secção de área
8. (UNESP) No trapézio ABCD da figura a 3 cm². Sabendo que a área da base do
seguir, os ângulos internos em A e B cone é 27 cm², calcule a distância do
são retos, e o ângulo interno em D é plano α ao vértice do cone.
tal que sua tangente vale 5/6. Se
åî=2.åæ, o volume do sólido obtido
ao se girar o trapézio em torno da re-
6. Uma secção meridiana de um tronco
de cone circular reto é um trapézio
ta por B e C é dado por:
isósceles de lados 5 cm, 5 cm, 2 cm e
8 cm. Determine o volume, a área la-
teral e a área total desse tronco.

7. (Mack – SP) O setor circular da figura
a seguir é a superfície lateral de um
cone cuja base tem diâmetro 4 e área
igual a k% da área total do cone. En-
tão k vale:

a) (3/4) π a3
b) (5/8) π a3
c) (6/5) π a3 a) 20.

d) (20/13) π a3 b) 25.

e) (8/5) π a3 c) 30.

d) 35.

e) 40.



8. (Faap – SP) Um copo de chope é um b) 144π
ANOTAÇÕES
cone (oco), cuja altura é o dobro do
diâmetro. Se uma pessoa bebe desde c) 108π
que o copo está cheio até o nível da
bebida fica exatamente na metade da d) 72π
altura do copo, a fração do volume
total que deixou de ser consumida é: e) 36π
a) 3/4

b) 1/2 11. (UFLA) Parte do líquido de um
cilindro completamente cheio é
transferido para dois cones idênticos,
c) 2/3 que ficam totalmente cheios.

d) 3/8

e) 1/8

9. (Faap – SP) Um chapéu de papel em
forma de cone tem 10 centímetros de
diâmetro e 10 centímetros de profun-
didade. Seu vértice é empurrado para A relação entre as alturas do líquido res-
baixo e para dentro conforme a figura tante no cilindro (h1) e a altura (H) do ci-
a seguir. Que distância sua ponta pe- lindro é:
netra no espaço interno do chapéu se
o novo volume do chapéu é 4/5 do vo- a) h1 = H/4
lume original?
b) h1 = H/2

c) h1 = H /2

d) h1 = H/3

12. (UFRS) Um cone circular reto é
tal que cada seção obtida pela inter-
seção de um plano que passa por seu
vértice e pelo centro da sua base é
um triângulo retângulo de catetos i-
a) 3 200 guais. Se cortarmos esse cone ao lon-
go de uma geratriz, abrindo e planifi-
3 cando sua superfície lateral, será ob-
b) 80
tido um setor circular cujo ângulo
central tem medida α . Então,
c) 3 100
a) α < 180°.
d) 3 300
b) 180° ≤ α < 200°.
e) 3 150
c) 200° ≤ α < 220°.

10. (Mack – SP) Na rotação do triân- d) 220° ≤ α < 240°.
gulo ABC da figura a seguir em torno
da reta r, o lado AB descreve um ân-
gulo de 270°. Desta forma, o sólido e) α ≥ 240°.
obtido tem volume:
13. (Unesp) Um paciente recebe por
via intravenosa um medicamento à
taxa constante de 1,5 ml/min. O fras-
co do medicamento é formado por
uma parte cilíndrica e uma parte cô-
nica, cujas medidas são dadas na fi-
gura, e estava cheio quando se iniciou
a medicação.

a) 48π


a) 2,0 ANOTAÇÕES

b) 2,8

c) 3,0

d) 3,8

e) 4,0

Após 4h de administração contínua, a medi- 17. (Ita – SP) Um dos catetos de um
cação foi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1
ml, e usando a aproximação π = 3, o volu- triângulo retângulo mede 3 2 cm . O
me, em ml, do medicamento restante no volume do sólido gerado pela rotação
frasco após a interrupção da medicação é, deste triângulo em torno da hipotenu-
aproximadamente,
sa é π cm 3 . Determine os ângulos
a) 120. deste triângulo.

b) 150. 18. (UFV) Um chapéu, no formato de
um cone circular reto, é feito de uma
c) 160. folha circular de raio 30 cm, recor-
tando-se um setor circular de ângulo
d) 240. 2π
θ= radianos e juntando os la-
3
e) 360. dos. A área da base do chapéu, em

14. (PUC – SP) Considere o triângulo
cm 2 , é:
isósceles ABC, tal que AB = BC = 10
cm e CA = 12 cm. A rotação desse tri- a) 140 π
ângulo em torno de um eixo que con-
tém o lado AB gera um sólido cujo vo- b) 110 π
lume, em centímetros cúbicos, é
c) 130 π
a) 256 π
d) 100 π
b) 298,6 π
e) 120 π
c) 307,2 π
19. (UERJ) Para revestir externamen-
d) 316 π te chapéus em forma de cones com
12 cm de altura e diâmetro da base
e) 328,4 π medindo 10 cm, serão utilizados cor-
tes retangulares de tecido, cujas di-
15. (Ita – SP) As medidas, em metros, mensões são 67 cm por 50 cm. Admita
do raio da base, da altura e da gera- que todo o tecido de cada corte po-
triz de um cone circular reto formam, derá ser aproveitado. O número mí-
nesta ordem, uma progressão aritmé- nimo dos referidos cortes necessários
tica de razão 2 metros. Calcule a área para forrar 50 chapéus é igual a:
total deste cone em m2.
a) 3
16. (UFG) A terra retirada na escava-
ção de uma piscina semicircular de 6 b) 4
m de raio e 1,25 m de profundidade
foi amontoada, na forma de um cone c) 5
circular reto, sobre uma superfície
horizontal plana. Admita que a gera- d) 6
triz do cone faça um ângulo de 60°
com a vertical e que a terra retirada
tenha volume 20% maior do que o vo-
20. (Ita – SP) A área total da superfí-
cie de um cone circular reto, cujo
lume da piscina.
raio da base mede R cm, é igual à
terça parte da área de um círculo de
Nessas condições, a altura do cone, em me- diâmetro igual ao perímetro da seção
tros, é de



meridiana do cone. O volume deste cone, b) 192°
em cm3, é igual a ANOTAÇÕES
c) 240°
3
a) πR
d) 288°

b) πR 3 2 e) 336°

πR 3 23. (Fuvest – SP) Um pedaço de car-
c) tolina possui a forma de um semi-
2 círculo de raio 20cm. Com essa carto-
lina um menino constrói um chapéu
cônico e o coloca com a base apoiada
d) πR 3 3 sobre uma mesa. Qual a distância do
bico do chapéu à mesa?

πR 3 a) 10 3 cm.
e)
3
b) 3 10 cm.
21. (PUC – RS) A figura abaixo mostra
um cone inscrito num cilindro. Ambos
têm raio da base x e altura 2x. Reti- c) 20 2 cm.
rando-se o cone do cilindro, o volume
do sólido resultante é d) 20 cm.

e) 10 cm.

24. (Unesp) No trapézio ABCD da fi-
gura a seguir, os ângulos internos em
A e B são retos, e o ângulo interno em
D é tal que sua tangente vale 5/6. Se
AD = 2AB, o volume do sólido obtido
ao se girar o trapézio em torno da re-
ta por B e C é dado por:
2πx 3
a)
3

4 πx 3
b)
3

8πx 3 a) (3/4) π a3
c)
3
b) (5/8) π a3

2πx 2 c) (6/5) π a3
d)
3
d) (20/13) π a3

8πx 2 e) (8/5) π a3
e)
3
25. (Fuvest – SP) Um cálice com a
22. (Fuvest – SP) Deseja-se construir forma de cone contém V cm3 de uma
um cone circular reto com 4 cm de bebida. Uma cereja de forma esférica
raio da base e 3cm de altura. Para is- com diâmetro de 2cm é colocada
so, recorta-se, em cartolina, um setor dentro do cálice. Supondo-se que a
circular para a superfície lateral e um cereja repousa apoiada nas laterais
círculo para a base. A medida do ân- do cálice e o líquido recobre exata-
gulo central do setor circular é: mente a cereja a uma altura de 4cm
a partir do vértice do cone, determi-
nar o valor de V.
a) 144°



4 3 ANOTAÇÕES
V= πr
3
Superfície esférica

A superfície esférica de cen-
tro O e raio R é o conjunto de pontos
do es[aço cuja distância ao ponto O é
igual ao raio R.
Gabarito
Se considerarmos a rotação
4 3 completa de uma semicircunferência
01. 15 cm 02. cm 03. 45º
3 em torno de seu diâmetro, a superfí-
10π cie esférica é o resultado dessa rota-
04. a) 65 π cm2 b) 90 π cm2 c) rad
13 ção.
05. 5 cm 06. V = 28 π cm³ 07. B
08. E 09. C 10. E 11. D
12. E 13. A 14. C 15. 96π m 2
16. C 17. 30º, 60º e 90º
18. D
19. B 20. E 21. B 22. D
4
23. A 24. E 25. πcm 3 A área da superfície esférica é
3
dada por:
3. Esfera
As = 4 πr 2
Zona esférica
É a parte da esfera gerada do
seguinte modo:

Chamamos de esfera de centro
O e raio R o conjunto de pontos do
espaço cuja distância ao centro é me- A área da zona esférica é dada
nor ou igual ao raio R. por:
Considerando a rotação com- S = 2 πrh
pleta de um semicírculo em torno de Calota esférica
um eixo e, a esfera é o sólido gerado
por essa rotação. Assim, ela é limita- É a parte da esfera gerada do
da por uma superfície esférica e for- seguinte modo:
mada por todos os pontos pertencen-
tes a essa superfície e ao seu interior.

Ä área da calota esférica é da-
da por:
Volume
O volume da esfera de raio R é
S = 2 πrh
dado por:


Fuso esférico
ANOTAÇÕES
O fuso esférico é uma parte da
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
superfície esférica que se obtém ao
girar uma semi-circunferência de um 1. Calcule a área e o volume de cada
ângulo α , (0 < α < 2π ) em torno de uma das esferas cujas medidas estão
indicadas abaixo.
seu eixo:
a) R = 1,6 cm

b) O raio de uma secção feita a 3 cm do
seu centro mede 4 cm.

2. Determine a área e o volume de uma
esfera de 58 cm de diâmetro.

3. Um fabricante de sucos vende seu
produto em embalagens cilíndricas,
todas com 6 cm de diâmetro da base
e 12 cm de altura. Ele pretende subs-
tituir essas embalagens por outras de
forma esférica. Qual deve ser o diâ-
metro da nova embalagem para que
A área do fuso esférico pode ser possa conter a mesma quantidade de
obtida por uma regra de três simples: suco que a primeira?

4. Determine o raio de uma esfera de
superfície 36π cm².

5. Determine a área de uma esfera, sen-
do 2304π cm³ o seu volume.

Cunha esférica 6. Considerando a Terra uma esfera cujo
Parte da esfera que se obtém diâmetro é 12 800 km e considerando
ao girar um semicírculo em torno de 1
a Lua uma esfera cujo diâmetro é
seu eixo de um ângulo 4
α, (0 < α < 2π ) : do da Terra, calcule a razão entre os
volumes dos dois astros.

7. Considere uma esfera de raio 6 cm,
feita com massa de modelar. Divide-
se essa massa em quatro partes iguais
e são construídas quatro novas esfe-
ras. Qual o raio de cada uma dessas
quatro esferas?

8. Obtenha o raio de uma esfera, saben-
do que um plano determina na esfera
um círculo de raio 20 cm, sendo 21
cm a distância do plano ao centro da
esfera.
O volume da cunha pode ser
obtido por uma regra de três simples: 9. Um plano seciona uma esfera de 34
cm de diâmetro. Determine o raio da
seção obtida, sendo 8 cm a distância
do plano ao centro da esfera.

10. Pretende-se transportar 100 boli-
nhas esféricas, maciças e feitas de
vidro, em caixas que comportam, ca-
da uma, um “peso” máximo 0,50 kg.
Sabendo-se que o diâmetro de cada
bolinha é 2,1 cm e que a densidade
do vidro é 2,60 g/cm³, qual o número
mínimo de caixas necessárias para o



22 silo, sabendo que o raio do cilindro ANOTAÇÕES
transporte de 100 bolinhas? (use π = ). mede 2 m e que a altura do silo mede
7
8 m.
11. Um aquecedor a gás tem a forma
de um cilindro com duas semi-esferas 20. Um depósito de grãos num arma-
acopladas em suas extremidades, zém tem o formato de um cilindro re-
conforme mostra a figura ao lado. Se to encimado por um hemisfério.
o diâmetro do aquecedor é 0,90 m e
seu comprimento total é 1,50 m, cal- a) Se o raio da base do cilindro for 2 m e
cule: o volume do recipiente for de 50π m³,
qual será a altura do cilindro?
a) a área de sua superfície.
47
b) o volume máximo de gás que o seu in- b) Se o volume do recipiente for π m³
3
terior pode conter. e o cilindro tiver 15 m de altura, qual
será o raio da base do cilindro (que é o
12. A secção plana de uma esfera fei- mesmo do hemisfério)?
ta a 35 cm do centro tem 144π cm²
de área. Calcule a área do círculo
máximo dessa esfera.
21. Calcule com os dados abaixo:
π
a) A área de um fuso de α = rad em
13. Determine a área de uma super- 6
fície esférica, sendo 36π cm o com- uma esfera de raio 5.
primento da circunferência do círculo
máximo. b) A área total e o volume da cunha de
π
α= rad em uma esfera de raio 6.
14. Uma vasilha tem a forma de uma 6
semi-esfera com diâmetro interno de
12 cm. Se ela tem 0,25 cm de espes-
sura e a densidade da madeira é 0,87 22. Qual é a área de um fuso de 28º
g/cm³, qual o “peso” aproximado pertencente a uma esfera de 4 π m²
de superfície?
dessa vasilha? (use π = 3)

15. Determine a área da superfície e 23. Um fuso de 10º de uma esfera de
o volume de uma esfera, sabendo que 1 cm de raio é equivalente a uma se-
ção plana da esfera. Determine a dis-
1
o raio mede do raio de outra esfe- tância da seção ao centro da esfera.
5
ra cujo volume é 4 500π cm³. 24. Determine o volume de uma cu-
nha cujo ângulo mede 60º, em uma
16. Os raios de duas esferas concên- esfera cujo volume vale 288π m³.
tricas medem, respectivamente, 15
cm e 8 cm. Calcule a área da secção
feita na esfera maior por um plano
25. Considerando uma esfera de raio
R, avalie cada uma das afirmações a
tangente à outra esfera.
seguir:

17. Duas esferas de ferro de raios 4 a) Duplicando-se o raio, o volume da es-
cm e 3 61 cm fundem-se para formar fera quadruplica.
uma esfera maior. Determine:
b) Duplicando-se o raio, a área da fica
a) o raio da nova esfera duplicada.

b) o “peso” da nova esfera, sabendo que c) Se V m³ é o volume da esfera é S m², a
a densidade do ferro é 7,8 g/cm³ e sua área, então V < S sempre que 0 < R
considerando π = 3. < 3.

18. Uma esfera tem 25 π cm² de su- d) Se R = 3 m, o volume da cunha esféri-
perfície. Em quanto devemos aumen- π
tar o raio para que a área passe a ser ca de ângulo rad é 6π m³.
3
64π cm²?
e) Se R = 3 m, a área do fuso esférico de
19. Um silo tem a forma de um cilin-
π
dro circular reto (com fundo) encima- ângulo rad é 6π m².
do por uma semi-esfera. Determine o 3
volume e a área da superfície desse


01. * 10. três 19. V
02. ** 11. *** 20. V*
2 πr 3 ANOTAÇÕES
b) .
03. 6 3 3 12. 1369π 21. V** 3
m²
cm
04. 3 cm 13. 676π 14π c) πr 3 .
cm² 22. m²
45
05. 576π 14. 49 g
23.
2 2
cm
d) 2r 3 .
cm²
3
06. 1/64
ou 64
15. *V 24.48 π m³ e) 2πr 3 .
07. 3 3 2 16. 161π 25. FFVVV
cm² 3. (Unitau) Aumentando em 10% o raio
cm de uma esfera a sua superfície au-
08. 29 cm 17. a) 5 cm 26. V*** mentará:
b) 3900g
09. 15 cm 18. 1,5 cm 2.10 8 a) 21 %.
27.
3π
km² b) 11 %.

256 2048 c) 31 %.
01. a) A = π cm²; V = π cm³
25 375
500π
d) 24 %.
b) A = 100π cm²; V = cm³
3
e) 30 %.
97556π
02. A = 3364π cm²; V = cm³
3
11. a) 1,35π m²; b) 0,234π m³
4. (UFPE) Um triângulo equilátero tem
lado 18 3 cm e é a base de um
15. A = 36π cm²; V = 36π cm³ prisma reto de altura 48 cm. Calcule
88π o raio da maior esfera contida neste
19. V = m³; A = 36π m² prisma.
3
67
20. a)
6
m b) r = 1 m 5. (Mack – SP) A razão entre os volumes
das esferas circunscrita e inscrita a
25π um mesmo cubo é:
21. a) b) AT = 48π c) V = 24π
3
26. AT = 27π m² c) V = 18π m³
a) 3
EXERCÍCIOS TAREFA
b) 2 3
1. (Fuvest – SP) Uma superfície esférica
de raio 13cm é cortada por um plano
situado a uma distância de 12cm do
c) 3 3
centro da superfície esférica, deter-
minando uma circunferência. 4 3
O raio desta circunferência, em cm é: d)
a) 1. 3

b) 2. 3 3
e)
c) 3. 2

d) 4. 6. (Mack – SP) A altura de um cone reto
é igual ao raio da esfera a ele cir-
e) 5. cunscrita. Então o volume da esfera
é:
a) o dobro do volume do cone.
2. (Unitau) Uma esfera de raio R está
inscrita em um cilindro. O volume do
cilindro é igual a: b) o triplo do volume do cone.
3
πr c) o quádruplo do volume do cone.
a) .
3
d) 4/3 do volume do cone.



e) 8/3 do volume do cone. Calcule, usando a aproximação considera- ANOTAÇÕES
da, os raios das duas esferas.
7. (UFF) Na figura estão representados
três sólidos de mesma altura h - um 10. (Mack – SP) A razão entre a área
cilindro, uma semi-esfera e um pris- lateral do cilindro eqüilátero e da su-
ma - cujos volumes são perfície esférica, da esfera nele ins-
crita, é:
V1 , V2 e V3 , respectivamente.
a) 1

b) 1/2

c) 1/3
A relação entre V1 , V2 e V3 é:
d) 1/4
a) V3 < V2 < V1 e) 2/3

b) V2 < V3 < V1 11. (Puc Campinas/SP) Considere as
sentenças:
c) V1 < V2 < V3 I. Se um plano intercepta uma superfície
esférica, a intersecção é um ponto ou uma
d) V3 < V1 < V2 circunferência.
II. Se os segmentos åæ e èî são dois diâ-
metros de uma esfera, então o quadriláte-
e) V2 < V1 < V3 ro ABCD é um retângulo.
III. Todo plano tangente a uma superfície
esférica é perpendicular ao raio que con-
8. (Puc – MG) Uma esfera de raio r = 3 tém o ponto de tangência.
cm tem volume equivalente ao de um
cilindro circular reto de altura h = 12 É correto afirmar que
cm. O raio do cilindro, em cm, mede:
a) 1 a) somente I é verdadeira.

b) 2 b) somente II é verdadeira.

c) 3 c) somente III é verdadeira.

d) somente I e III são verdadeiras.
d) 3
e) I, II e III são verdadeiras.
e) 13
12. (UFRS) Uma esfera de raio 2 cm é
9. (UFRJ) Ping Oin recolheu 4,5m¤ de mergulhada num copo cilíndrico de 4
neve para construir um grande bone- cm de raio, até encostar no fundo, de
co de 3m de altura, em comemoração modo que a água do copo recubra e-
à chegada do verão no Pólo Sul. O xatamente a esfera.
boneco será composto por uma cabe-
ça e um corpo ambos em forma de es-
fera, tangentes, sendo o corpo maior
que a cabeça, conforme mostra a fi-
gura a seguir. Para calcular o raio de
cada uma das esferas, Ping Oin apro-
ximou π por 3.

Antes da esfera ser colocada no copo, a
altura de água era

a) 27/8 cm

b) 19/6 cm

c) 18/5 cm



d) 10/3 cm circular reto de raio 2cm e altura
8cm. Serão administradas ao paciente ANOTAÇÕES
e) 7/2 cm 30 gotas por minuto. Admitindo-se
que uma gota é uma esfera de raio
0,2cm, determine:
13. (Puc – SP) Um cone circular reto,
cujo raio da base é 3cm, está inscrito
em uma esfera de raio 5cm, conforme a) o volume, em cm 3 , do frasco e de ca-
mostra a figura a seguir. da gota (em função de π ).

b) o volume administrado em cada minu-
to (considerando a quantidade de go-
tas por minuto) e o tempo gasto para o
paciente receber toda a medicação.

16. (UEL) Considere um cone circular
O volume do cone corresponde a que por- reto e um cilindro circular reto, am-
centagem do volume da esfera? bos com diâmetro da base igual a 12
cm e também uma esfera com diâme-
tro de 12 cm, todos com volumes i-
a) 26,4 %
guais. A altura do cone e a altura do
cilindro devem ser respectivamente
b) 21,4 % iguais a:

c) 19,5 % a) 12 cm e 4 cm
d) 18,6 % b) 30 cm e 10 cm
e) 16,2 % c) 24 cm e 8 cm

14. (UFMG) Observe esta figura: d) 9 cm e 3 cm

e) 18 cm e 6 cm

17. (Cefet – MG) Considere uma bola
de sorvete de 36π cm 3 de volume e
uma casquinha cônica de 3 cm de rai-
o. A altura da casquinha, para que o
Nessa figura, ABC é um quadrante de cír- sorvete, ao derreter, ocupe todo o
culo de raio 3cm e ADEF é um quadrado, seu espaço, em cm, é
cujo lado mede 1cm. Considere o sólido
gerado pela rotação de 360°, em torno da a) 8
reta AB, da região hachurada na figura.
Sabe-se que o volume de uma esfera de
b) 9
4 3
raio r é igual a πr . Assim sendo, esse
3 c) 10
sólido tem um volume de:
d) 12
a) 14π cm 3
18. (UFU – 2006) Uma esfera maciça
3 de ferro de raio 10 cm será fundida e
b) 15π cm
todo o material derretido será usado
na confecção de um cilindro circular
e de um cone circular ambos, maciços
c) 16π cm 3 com raio da base r cm e altura tam-
bém r cm. Não havendo perda de ma-
terial durante o processo, r será igual
d) 17π cm 3 a

15. (UNESP) Um paciente internado a) 4 cm.
em um hospital tem que receber uma
certa quantidade de medicamento in- b) 8 cm.
jetável (tipo soro). O frasco do medi-
camento tem a forma de um cilindro c) 5 cm.


d) 10 cm. tamente a metade da bola ficou sub- ANOTAÇÕES
mersa, o que elevou o nível da água
do reservatório em 0,5 cm (ver dese-
19. (UFRS) Duas esferas de raio r fo-
nho). O raio dessa bola é:
ram colocadas dentro de um cilindro
circular reto com altura 4r, raio da
base r e espessura desprezível, como
na figura abaixo.

Nessas condições, a razão entre o volume
do cilindro não ocupado pelas esferas e o
volume das esferas é a) 10 cm

a) 1/5. b) 11 cm

b) 1/4. c) 12 cm

c) 1/3. d) 13 cm

d) 1/2. e) 14 cm

e) 2/3. 22. (UFPB) Suponha que a área da
superfície lateral de um determinado
20. (UFPB) Se V1 , V2 e V3 são, cilindro circular reto é igual à área da
superfície de uma esfera de raio 3cm.
respectivamente, os volumes dos co-
nes circular, hemisfério e cilindro cir- Sabendo-se também que o volume
desse cilindro é igual ao volume dessa
cular representados abaixo.
esfera, qual o raio do cilindro?

a) 1 cm

b) 3 cm

c) (2/3) cm
Então é correto afirmar que:
d) 2 cm
V1 V2 V3
a) = = e) 1,5 cm
1 2 3

b) V1 = 2V2 = 3V3 23. (UFPB) Na venda de bolas de tê-
nis, são utilizadas embalagens em
forma de um cilindro circular reto,
V3 V2 V1 cujo diâmetro interno mede
c) = = 128
1 2 3 cm e corresponde a um terço
π
d) V3 = 2V2 = 3V1 da altura interna. A área, em cm2, da
superfície lateral interna de cada
embalagem é:
V1 + V2
e) = V3 a) 96
2
b) 128
21. (UFPB) Depois de desistir de reti-
rar a pipa do poste, João foi jogar fu-
tebol no quintal da casa. Ao c) 128 π
chutar a bola com muita força, fez
com que a mesma caísse num reser- d) 384
vatório de água com a forma de um
cilindro circular reto, cujo diâmetro é e) 384 π
de 96 cm. Maria percebeu que exa-



24. (UFPB) Uma bola esférica está ANOTAÇÕES
apoiada em um aro circular cujo raio
interno R mede 9 c m, conforme a fi-
gura ao lado. Sabendo-se que a dis-
tância entre o centro do aro e o da
bola é igual a 12 c m, é correto afir-
mar que o diâmetro externo da bola
mede:

a) 24 cm

b) 25 cm

c) 26 cm

d) 28 cm

e) 30 cm

25. (Ita – SP) Os quatro vértices de
um tetraedro regular, de volume
8 3
cm , encontram-se nos vértices de
3
um cubo. Cada vértice do cubo é cen-
tro de uma esfera de 1 cm de raio.
Calcule o volume da parte do cubo
exterior às esferas.

Gabarito

01. E 02. E 03. A
04. 09 05. C 06. C
07.E 08.C 09.r = 0,5 e R = 1
10. A 11. E 12. D 13. E
14. D 15. a) V frasco = 32π cm 3 e

4π 3
V gota = cm 16. C 17. D
375
18. D 19. D 20. A 21. C
22. D 23. D 24. E 25.
4
( 6 − π) cm 3
3


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