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Avaliação I – Teste 2 - Valor 6,0

   •   Resolva as questões nos espaços a elas reservados.
   •   Use caneta azul ou preta.
   •   As respostas só serão consideradas corretas com os respectivos cálculos ou
       justificativas e sem rasuras.




1. (ITA 2004, questão 02)
   Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1
   pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches,
   10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1
   sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de
   a) R$ 17,50.
   b) R$ 16,50.
   c) R$ 12,50.
   d) R$ 10,50.
   e) R$ 9,50.
   Resolução:
   3a + 7b + c = 31,50       9a + 21b + 3c = 94,50
                           →
   4a + 10b + c = 42,00      − 8a − 20b − 2c = 84,00


2. (ITA 2004, questão 02, d)
   Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1
   pedaço de torta totalizou R$ 41,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches,
   10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 52,00. Então, o consumo de 1
   sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de

   a) R$ 20,50 *
   b) R$ 17,50.
   c) R$ 16,50.
   d) R$ 12,50.
   e) R$ 10,50.

3. (Fuvest 2ª. Fase, 2005)
Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando
R$ 96,00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo-se que o total de
unidades compradas foi de 26 e que o preço unitário do produto A excede em R$ 2,00 o
preço unitário do produto B, determine o número de unidades A que foi comprado.

Resolução:
4/6/2006, Arquivo: t2matdetu1a.doc   Page 2/5




4.                                        Para a fabricação de bicicletas, uma empresa
         (Fuvest 2ª. Fase, 2005, modificada)
         comprou unidades do produto A, pagando R$ 48,00, e unidades do produto B,
         pagando R$42,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de 13 e que o
         preço unitário do produto A excede em R$ 2,00 o preço unitário do produto B,
         determine o número de unidades A que foi comprado.


                                                    0
                                                    
5. O produto A.B da matriz                     A = 1    pela   B = (−1 3 1)
                                                    3
                                                    
(    )       É uma matriz quadrada de ordem 3
(    )       É uma matriz identidade de ordem 3
(    )       É uma matriz de uma linha e uma coluna
(    )       Não se define.
(    )       Não é uma matriz quadrada.

Resolução:            A3 x1 .B1 x 3 = P3 x 3
0                0 0 0
                         
 1 .(− 1 3 1) =  − 1 3 1 
 3               − 3 9 3
                         
                               3
                                
6. O produto A.B da matriz A =  1  pela B = (− 1 3 2)
                               0
                                
( )          É uma matriz de uma linha e uma coluna
4/6/2006, Arquivo: t2matdetu1a.doc   Page 3/5



 (    )   É uma matriz identidade de ordem 3
(    )    Não se define
(    )    É uma matriz quadrada de ordem 3.
(    )    Não é uma matriz quadrada.


                                                     1    0
7. Considere P a matriz inversa da matriz onde: M=  6      
                                                      0 −1 . A soma dos
                                                           
   elementos da diagonal principal da matriz P, é igual a:

a) -5
b) 0
c) 2
d) 4
e) 5
Resolução:
   1      0                                   6 0 
M=  6       à det M = 1 .(− 1) = − 1 à M −1 = 
    0 −1                                       0 − 1
                                                       
                      6            6                

                                                          1   0
8. Considere P a matriz inversa da matriz onde: M= 
                                                   
                                                             3  .
                                                                
                                                                     A soma dos elementos da
                                                           0 1
      diagonal principal da matriz P, é igual a:

a)–3
b)0
c)2
d)4
e)9


                                                       x
                                0 1   0 1 − 1  
9. Se o produto de matrizes    1 − 1. 1 0 2 . y  é a matriz nula, − x + y é igual
                                                  
                                                 1
                                                       
    a:
    a) -2
    b) 0
    c) 1
    d) 2
    e) 3
Resolução:
                        x                   x
 0 1   0 1 − 1            1 0 2     0

 1 − 1. 1 0 2 . y  →  − 1 1 − 3 . y  =  0 
                                                
                  1                  1  
                                             
 x + 2   0           x + 2 = 0
            = → 
 − x + y − 3  0 
                     − x + y − 3 = 0 → − x + y = 3
4/6/2006, Arquivo: t2matdetu1a.doc   Page 4/5




10.




      a)   -2
      b)   -1
      c)   2
      d)   3
      e)   5

                     bx + y = 1
                     
11. O sistema linear by + z = 1 não admite solução se e somente se o número real b
                      x + bz = 1
                     
    for igual a
    a) -2
    b) -1
    c) 0
    d) 1
    e) 2
Resolução:
                                    b 1 0
O sistema linear não admite solução 0 b 1 = 0 → b 3 + 1 = 0 → b = −1
                                     1 0 b


12. (Emack-2004)




      a)   -2
      b)   -1
      c)   0
      d)   1
      e)   2
Resolução:
det A = 2 + 2k
Pelo teorema de Binet detA.detA-1=1 à pelo enunciado da questão detA=detA-1 à
(2 + 2k )2 = 1
4/6/2006, Arquivo: t2matdetu1a.doc   Page 5/5



13. (Emack-2004, modificada)
                   3 k
                   − 3 1 , det A ≠ 0 , a soma dos valores de k para os quais
Dada a matriz A =        
                         
detA=detA-1 é:

        a)    -3
        b)   -2
        c)   -1
        d)   0
        e)   1
Resolução:
det A = 3 + 3k
Pelo teorema de Binet detA.detA-1=1 à pelo enunciado da questão detA=detA-1 à
(3 + 3k )2 = 1
14. (UFSCAR, JUN/2005)




Resolução:
     a11 a12 a13   p 2 p 2 p 
                                   
A =  a 21 a 22 a 23  =  2 p p 2 p 
     a31 a32 a33   2 p 2 p p 
                                   
det A = p + 8 p + 8 p − 4 p − 4 p − 4 p 3 = 5. p 3
          3    3      3      3   3




                                                                 2 p, se i = j
15. Seja A=(aij) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que, aij =                 com p
                                                                  p, se i ≠ j
    inteiro positivo. Em tais condições, é correto afirmar que, necessariamente, detA é:
a) 2.           b) 4.          c) 5.          d) 7.          e) 11.

Resolução:
     a11 a12 a13   2 p p      p
                                
A =  a 21 a 22 a 23  =  p 2 p p 
     a31 a32 a33   p       p 2 p
                                
det A = 8 p 3 + p 3 + p 3 − 2 p 3 − 2 p 3 − 2 p 3 = 4. p 3

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  • 1. Avaliação I – Teste 2 - Valor 6,0 • Resolva as questões nos espaços a elas reservados. • Use caneta azul ou preta. • As respostas só serão consideradas corretas com os respectivos cálculos ou justificativas e sem rasuras. 1. (ITA 2004, questão 02) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de a) R$ 17,50. b) R$ 16,50. c) R$ 12,50. d) R$ 10,50. e) R$ 9,50. Resolução: 3a + 7b + c = 31,50 9a + 21b + 3c = 94,50  → 4a + 10b + c = 42,00 − 8a − 20b − 2c = 84,00 2. (ITA 2004, questão 02, d) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 41,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 52,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de a) R$ 20,50 * b) R$ 17,50. c) R$ 16,50. d) R$ 12,50. e) R$ 10,50. 3. (Fuvest 2ª. Fase, 2005) Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$ 96,00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de 26 e que o preço unitário do produto A excede em R$ 2,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades A que foi comprado. Resolução:
  • 2. 4/6/2006, Arquivo: t2matdetu1a.doc Page 2/5 4. Para a fabricação de bicicletas, uma empresa (Fuvest 2ª. Fase, 2005, modificada) comprou unidades do produto A, pagando R$ 48,00, e unidades do produto B, pagando R$42,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de 13 e que o preço unitário do produto A excede em R$ 2,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades A que foi comprado.  0   5. O produto A.B da matriz A = 1 pela B = (−1 3 1)  3   ( ) É uma matriz quadrada de ordem 3 ( ) É uma matriz identidade de ordem 3 ( ) É uma matriz de uma linha e uma coluna ( ) Não se define. ( ) Não é uma matriz quadrada. Resolução: A3 x1 .B1 x 3 = P3 x 3 0  0 0 0      1 .(− 1 3 1) =  − 1 3 1   3  − 3 9 3     3   6. O produto A.B da matriz A =  1  pela B = (− 1 3 2) 0   ( ) É uma matriz de uma linha e uma coluna
  • 3. 4/6/2006, Arquivo: t2matdetu1a.doc Page 3/5 ( ) É uma matriz identidade de ordem 3 ( ) Não se define ( ) É uma matriz quadrada de ordem 3. ( ) Não é uma matriz quadrada. 1 0 7. Considere P a matriz inversa da matriz onde: M=  6   0 −1 . A soma dos   elementos da diagonal principal da matriz P, é igual a: a) -5 b) 0 c) 2 d) 4 e) 5 Resolução: 1 0 6 0  M=  6  à det M = 1 .(− 1) = − 1 à M −1 =   0 −1  0 − 1    6 6   1 0 8. Considere P a matriz inversa da matriz onde: M=   3 .  A soma dos elementos da  0 1 diagonal principal da matriz P, é igual a: a)–3 b)0 c)2 d)4 e)9  x  0 1   0 1 − 1   9. Se o produto de matrizes   1 − 1. 1 0 2 . y  é a matriz nula, − x + y é igual     1   a: a) -2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 Resolução:  x x  0 1   0 1 − 1    1 0 2     0   1 − 1. 1 0 2 . y  →  − 1 1 − 3 . y  =  0          1  1        x + 2   0 x + 2 = 0  = →   − x + y − 3  0      − x + y − 3 = 0 → − x + y = 3
  • 4. 4/6/2006, Arquivo: t2matdetu1a.doc Page 4/5 10. a) -2 b) -1 c) 2 d) 3 e) 5 bx + y = 1  11. O sistema linear by + z = 1 não admite solução se e somente se o número real b  x + bz = 1  for igual a a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 Resolução: b 1 0 O sistema linear não admite solução 0 b 1 = 0 → b 3 + 1 = 0 → b = −1 1 0 b 12. (Emack-2004) a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 Resolução: det A = 2 + 2k Pelo teorema de Binet detA.detA-1=1 à pelo enunciado da questão detA=detA-1 à (2 + 2k )2 = 1
  • 5. 4/6/2006, Arquivo: t2matdetu1a.doc Page 5/5 13. (Emack-2004, modificada)  3 k  − 3 1 , det A ≠ 0 , a soma dos valores de k para os quais Dada a matriz A =     detA=detA-1 é: a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1 Resolução: det A = 3 + 3k Pelo teorema de Binet detA.detA-1=1 à pelo enunciado da questão detA=detA-1 à (3 + 3k )2 = 1 14. (UFSCAR, JUN/2005) Resolução:  a11 a12 a13   p 2 p 2 p      A =  a 21 a 22 a 23  =  2 p p 2 p   a31 a32 a33   2 p 2 p p      det A = p + 8 p + 8 p − 4 p − 4 p − 4 p 3 = 5. p 3 3 3 3 3 3 2 p, se i = j 15. Seja A=(aij) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que, aij =  com p  p, se i ≠ j inteiro positivo. Em tais condições, é correto afirmar que, necessariamente, detA é: a) 2. b) 4. c) 5. d) 7. e) 11. Resolução:  a11 a12 a13   2 p p p     A =  a 21 a 22 a 23  =  p 2 p p   a31 a32 a33   p p 2 p     det A = 8 p 3 + p 3 + p 3 − 2 p 3 − 2 p 3 − 2 p 3 = 4. p 3