1. DERIVADAS
PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS DERIVADAS
O que significa a palavra derivada?
Como calcular as derivadas?

2. Quais as aplicações das derivadas?
Vamos pensar um pouquinho!!!!!
Para os curiosos acesse ao vídeo no youtube
http://www.youtube.com/watch?v=3g9ZmAPJNGs&feature=player_embedded
No inicio da disciplina vimos que dependendo da altura que dobramos a folha o
volume da caixa se altera, agora vamos aprender que altura devemos dobra
para ter volume máximo.
x
x
As dimensões da folha são 29,7 cm e 21 cm.
a) Qual deve ser a altura de x para que a caixa tenha volume máximo.
b) Calcular o volume máximo da caixa.
Outro problema:
Como traçar a reta tangente a uma curva qualquer por um de seus pontos?
Esse problema que desafiou os matemáticos por mais de dois mil anos,
só foi solucionado com o auxílio da Geometria Analítica, por meio de estudos
realizados por Descartes, Newton, Leibniz, Fermat e outros matemáticos da
mesma época. Tais estudos resultaram em um dos mais importantes conceitos
da matemática: a derivada de uma função em um ponto. A partir desse
conceito pode-se definir precisamente a reta tangente a uma curva qualquer
por um de seus pontos.
A derivada representa a inclinação de uma curva num ponto e pode ser
usada para obter a equação da reta tangente a uma curva num determinado
ponto. É também utilizada para calcular taxas de variação. Nas aplicações
práticas, ela é aplicada em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia e
etc.
A Derivada representa a taxa de variação de uma função contínua
num ponto.

3. Observando a taxa de crescimento de três funções:

5. DERIVADAS COMO TAXA DE VARIAÇÃO
Suponha que uma partícula se move sobre uma linha reta de modo que,
no final de t segundos, sua distância s em metros do ponto de partícula é dada
por s = 3t2 + t. Calcule a velocidade da partícula no instante em que t = 2
segundos.
t0 t t  t  t 0 f( t 0 ) f(t) s  f (t )  f (t 0 ) s
t
2 5 14
2 4 14
2 3 14
2 2,5 14
2 2,2 14
2 2.1 14
2 2,01 14
2 2,001 14

6. S = 3t2 +t ou
s f (t  t )  f (t )
ds/dt = lim t 
s 0 t
= 6t + 1 Assim : ds = 6.2+1 = 13 m/s.
Outros exemplos:
1) Calcule as derivadas abaixo utilizando a definição.
a) f ( x)  x 3
b) f ( x)  x 2  3x  1
1
c) f (t ) 
3t  1
2) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y  x 2  5x  6 no ponto
P(1,2) .
3) Qual o declive da reta t tangente ao gráfico de f(x) = x 2  1 no ponto de
abscissa x = 2 ou seja no ponto ( 2,5). Represente esta situação graficamente.

7. DEFINIÇÃO:
Dada uma função f, a função f ’ definida por:
f ( x  x)  f ( x) y
f ’(x) = dy/dx = lim  lim
x 0 x x 0 x
é chamada de derivada de f.
O domínio da função derivada f ’ é o conjunto de todos os números x no
domínio de f para os quais o limite do quociente de diferença existe.
Não esqueça que:
Apenas admite derivada as funções contínuas.
A notação de derivada foi criada por Isaac Newton e Leibniz no século
s
XVII. Newton usou o s para denotar a taxa de variação no tempo lim
t 0 t
hoje escrevemos f ’(t) no tempo e f ’(x) para variável x. Leibniz idealizou
y dy
que o valor numérico da derivada é o limite de lim escrito como , isto
x  0 x dx
é,
dy y
 lim  f ' ( x)  y' A notação f ’para derivada da função foi introduzida
dx x 0 x
por Lagrange no século XVIII. f ’ para derivada da função e f ’(x) para derivada
do número x. Também podemos dizer que a derivada é a variação da razão
incremental.
A operação de calcular a derivada f ’ de uma função f é chamada diferenciação.
f ( x  x)  f ( x)
f ' ( x)  lim
x 0 x
Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os
pontos de seu domínio. A função derivada mede a inclinação da curva num
ponto genérico de coordenadas (x,y).
Outras notações podem ser usadas no lugar de y  f ' ( x) :
1) Dx f (x) (lê-se derivada de f(x) em relação a x)
2) Dx y (lê-se derivada de y em relação a x)
dy
3) (lê-se derivada de y em relação a x)
dx
Exercícios
1) Calcule a derivada da seguinte função, usando a definição: f ( x)  2  5x 2 .
2) Determinar a equação da reta tangente à curva f ( x)  x 2  1 no ponto P(1,2)
e esboce o gráfico.

8. 3) Calcule o coeficiente angular ou a inclinação da tangente ao gráfico da
função
f ( x)  x 2  4 x  4 no ponto de abscissa 1.
Regra Geral de Derivação
Até agora vimos como calcular a derivada de uma função f(x), por meio
da definição. Entretanto, como esse processo é longo, estudaremos algumas
regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função.
1) Derivada de uma constante
Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f '(x) = 0.
Exemplos:
a) f(x) = 5  f ’(x) = 0
b) f(x) = -1/2  f ’(x) = 0
2) Regra da potência
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então f ’(x) = n . xn-1.
Exemplos:
a) f(x) = x5  f ’(x) = 5x4
b) f(x) = x  f ’(x) = 1
c) f(x) = x10  f ’(x) = 10x9
Obs.: Se q  Q e f(x) = xq, então f ’(x) = q . xq-1
Exemplos:
4
a) f(x) = x-4  f ’(x) = -4x-4-1  f ’(x) = -4x-5  f ' ( x) 
x5
1 9 8
b) f ( x )  8  f '( x )  8 x  f '( x)  9
x x
1
c) f ( x)  x  ... f ' ( x) 
2 x
2
2
d ) f ( x)  x 3  ... f ' ( x) 
33 x
1 4
e) f ( x)   ... f ' ( x) 
4
5
x 5 x5 x 4
3) Derivada do produto de uma constante por uma função
Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = c .
f(x). Se f’(x) existe, então g’(x) = c . f ’(x).

9. Exemplos:
a) f(x) = 8x2
b) g(z) = -2z7
4) Derivada de uma soma
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f
’(x) e g’(x) existem, então h’(x) = f ’(x) + g’(x).
Exemplos:
a) f(x) = 3x4 + 8x +5  f ’(x) = 12x3 + 8
b) g(y) = 9y5 - 4y2 + 2y +7  g’(y) = 45y4 - 8y + 2
5) Derivada de um produto
Sejam u e v funções e h a função definida por h = u.v. Se u’e v’existem,
então
h’(x) = uv’+u’v ou (uv)’=uv’+u’v.
Exemplos:
a) f(x) = ( 2x3 - 1 ) . ( x4 + x2 )
b) f(x) = x3 . ( 2x2 - 3x )
6) Derivada de um quociente
Sejam u e v funções e h a função definida por:
u
h
v
Se u’e v’existem, então:

10. vu'uv'
h'( x) 
v2 (v  0)
ou
 u  vu'uv'
'
   2
 v v (v  0)
Exemplos:
2x  5
a) f ( x) 
4x
x2
b) f ( x ) 
x 1
7) Derivada da função composta
y = uv então dy/dx = y’= v.uv-1.u’
Exemplos:
a) y = (x2 + 5x + 2)7
b) y  3 6x 2  5x  1
6 - Derivadas das funções elementares
1) Derivada da função exponencial
f(x) = ax a>0 e a1
A função exponencial y = ax é derivável em todo ponto do seu domínio e
x
y’= a . lna .
Em particular: Se y = ex então dy/dx = y’= ex.

11. Fórmulas Gerais
1) y = au(x)  y’= au(x). lna . u’(x)
2) y = eu(x)  y’= eu(x) . u’(x)
Exemplos:
1) y  2 4 x
2
x
2) y  e 4 x
3
3) y  e x
4) y  x. e 4 x
2
2) Derivada da função logarítmica
1
Se y = log a x (a>0, a1 e x>0) então y ' log a e (a>0 e a1).
x
u'
De modo geral: y  log a u  y'  log a e
u
1
Caso Particular: Se y  ln x  y' 
x
u'
De modo geral: Se y  ln u  y' 
u
Exemplos:
a) y = ln (2x2+4x -3)
b) y  e x.ln x
c) y  log 2 (3x 2  7 x  1)

12. Derivada das funções trigonométricas
As funções senx, cosx, tgx, cotgx, secx e cosecx são deriváveis em
todos os pontos do seu domínio.
a) Derivada da função seno
Se y = sen(x) então dy/dx= y ' = cos(x)
De modo geral: Se y = sen u(x) então dy/dx = y ' = cos u(x) . u '(x)
b) Derivada da função cosseno
Se y = cos(x) então y ' = dy/dx= -sen(x)
De modo geral: Se y = cos u(x) então y ' = - sen u(x) . u '(x)
c) Derivadas das demais funções trigonométricas
(tgx, cotgx, secx e cosecx)
Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e do
cosseno podemos usar as regras de derivação para encontrar suas
derivadas.
 Se y = tgx  y ' = sec2x
 Se y = cotgx então y ' = - cossec2x
 Se y = secx então y ' = secx . tgx
 Se y = cossecx então y ' = - cossecx . cotgx
De modo geral
 Se y = tg u(x)  y ' = sec2 u(x) . u '(x)
 Se y = cotg u(x)  y ' = - cossec2 u(x) . u '(x)
 Se y = sec u(x)  y ' = sec u(x) . tg u(x) . u '(x)
 Se y = cossec u(x)  y ' = - cossec u(x) . cotg u(x) . u '(x)
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:
a) y = sen x2
1
b) y  cos 
 x
c) y  3tg x  cot g 3x

13. cos x
d)y 
1  cot gx
3) Derivada das funções trigonométricas inversas
a) Função arco seno
u'
y  arcsen u  y' 
1 u2
b) Função arco cosseno
 u'
y  arccos u  y' 
1 u2
c) Função arco tangente
u'
y  arctgu  y' 
1 u2
d) Função arco cotangente
 u'
y  arc cot gu  y' 
1 u2
e) Função arco secante
u'
y  arc sec u  y' 
u u 2 1
f) Função arco cossecante
 u'
y  arccos sec u  y' 
u u 2 1
Exemplos:
a) f(x) = arc sec x2
b) f(x) = arc sen (e2x)

14. c) f(x) = ln (arc cosx)
1 x2 
d) y = arc tg 
1 x2 

 
Calcule as derivadas abaixo:
1)Utilizando o formulário calcule as derivadas abaixo:
a) f(x) = 1 – 4x2 b) f( x) =2x2 –x –1 c)f(x) = x d) f(x) = 3x +2
e) f (r )  r 2 f) f( w) = aw2 + b g) f(x) = 3x2 + 6x – 10
1 3
h) f ( x)  14  x i) f(x) = (2x + 1 ) ( 3x2 + 6)
2
j) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4) 1) l) f ( x)  ( x 2  1)(3x  1)
2t  4
m) f( x) = 7(ax2+bx+c) n) f (t )  o) f (w)  2  w 2
3t  1
2
p) f(x) = 30 q) f(x) = 3x r) f(x) = 5x s) f ( x) 
x
3 5 1 3 3 2 3t  5t  1
2
t) f(x) =  5 u) f(x) = x  x  2x v) f(t) =
x 4
x 3 2 t 1
2) Use as regras básicas de derivação e encontre as seguintes derivadas.
x
a) f(x) = 2 b) f (x) = x 5  3x 3  5x c) f (x) = x 2  12
x 1
3
d) f ( t ) = 4t 3  5t  e) f ( x) = e 2 x  5 x  sen(4 x)
t
f) f ( x ) = ln( x 2  2 x  2) g) f( x ) = 3 h) f(x) = 2 – x + x2.

15. Segunda lista
a ) y  2e 3 x  6 x  7
2
1 1 
g ) y  ln   2 
b) f ( x )  e x
x x 
c) f ( x)  23 x 6 x
h) y  log 3 x  1
2
1 i) y  2 cos x 2 .sen2 x
d ) f ( x )  e 3 x
3 j ) f ( x)  e 2 x . cos 3x
x
e) f ( x)  e .( x 2  5 x)
2 1
l ) f ( x)  cot g    cos sec 3x
f ) y  log 2 (2 x  4)  x
m) y  t. arccos 3t
1 1 
g ) y  ln   2 
x x 
DERIVADAS SUCESSIVAS
Problema:
Uma partícula se move ao longo de um eixo de acordo com lei de movimento
S = f(t). Encontre:
ds dv
a) v = b) a = para as funções abaixo
dt dt
gt 2
1) s = t 3  2t 2 2) s = (t 2  1) 1 3) s =  v o t  s 0 onde g,
2
vo e s são constantes
Notações de derivadas sucessivas
Y = f(x) Notação Leibniz Operador
simplificada
Derivada primeira Y’ = f ’(x) dy d D x f ( x)  D x y
 f (x)
dx dx
Derivada segunda Y’’ = f ’’(x) d2y d2 D 2 x f ( x)  D 2 x y
 2 f ( x)
dx dx
Derivada terceira Y’’’= f’’’(x) 3
d y d3 D 3 x f ( x)  D 3 x y
 3 f ( x)
dx dx
Derivada n-ésima y n  f n (x) n
d y dn D n x f ( x)  D n x y
 n f (x)
dx dx
Exemplos:
1) Nos exercícios abaixo calcule a primeira e a segunda derivada.
a) y  5x 3  4 x  2 b) y  x 3 ( x  2) 2 C) f (u)  7u 5  2u 4
2x 2 1
d) g ( x)  e) f (r )  (r  ) f) f (t )  t 2 
2x r t3

16. 2) se f é uma função definida pela equação y  3x 2  2 x , calcule e
simplifique a expressão x 2 y' '2 xy '2 y
3) Seja s(t) = t 3  6t 2 a função de posição de uma partícula movendo-se
ao longo de um eixo s, onde s(t) está em metros e t em segundos. Ache
a aceleração instantânea a(t) e mostre o gráfico da aceleração versus o
tempo.
4) Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que sua
distância s(t) do solo durante os 10 primeiros segundos de vôo é dada por
s(t) = 6 + 2t + t2, na qual s(t) é contada em metros e t em segundos. Determine
a velocidade do balão quando:
a)t = 1; t = 4 , t = 8
APLICAÇÕES DA DERIVADA
REGRA DE L’HOPITAL
0 
Para as formas de indeterminação ; , pode-se aplicar a regra de
0 
L’Hopital que consiste na igualdade:
f ( x) f ' ( x) f ( x0 )  g ( x0 )  0
lim  lim se
x  x0 g ( x )
x  x0 g ' ( x ) f ( x0 )  g ( x0 )  
Exemplos:
Calcule os limites abaixo:
x2  4 ln x 1 x7 1
a) lim b) lim 3 c) lim (1  ) x d) lim e)
x 2 x  2 x  x x  x x 1 x  1
5x 4  2 x  1 x3 x 2  25
lim f) lim g) lim h)
x   4 x 3  3 x  2 x  e x  x 2  2
x 5 x5
3x  1 x 2  2x  5
lim i) lim
x   x5 x   x2  2
OBS.: Não esquecer que a regra de L’Hopital só pode ser aplicada para os
0 
casos de indeterminação ;
0 

17. FUNÇÃO MONÓTONA
Teorema 1
Considere que a função f seja definida e contínua no intervalo I e que f seja
diferenciável em todo o ponto do intervalo em I, não necessariamente nos
pontos extremos de I.
a) Se f ’(x) > 0 para todo x em I, então f é CRESCENTE em I;
b) Se f ’(x) < 0 para todo x em I, então f é DECRESCENTE em I.
Exemplos:
1) Determine as intervalos crescentes e decrescentes das funções abaixo e
represente graficamente
a) f(x) = x 3  3x  1 b) f(x) = x 2  2 x  3
CONCAVIDADE DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Seja a função f duas vezes diferenciável num intervalo I aberto
a) se f ’’ (x) > 0 para todo x em I então o gráfico de f possui concavidade
para cima em I;
b) se f ’’ (x) < 0 pata todo x em I então o gráfico de f possui concavidade
para baixo em I;
Conclusão: f ’’ (x) > 0 – concavidade para cima
f ’’ (x) < 0 - concavidade para baixo
Exemplos:
1) Dado a função f(x) = x 3  9 x 2  24 x  20 , determine os intervalos em
que o gráfico tem concavidade para cima e para baixo, esboce o gráfico.
x2
2) Dado a função f(x) = 2 x 3   7 x  2 , determine:
2
a) Os intervalos crescente e decrescentes;
b) Estude a concavidade da parábola.
VALORES MÁXIMOS E VALORES MÍNIMOS RELATIVOS

18. A figura acima nos mostra o gráfico de uma função y = f(x), onde
assinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3, x4.
Esses pontos são chamados pontos extremos da função. f(x1) e f(x3)
são chamados máximos relativos e f(x2) e f(x4) são chamados mínimos
relativos.
Diz-se que uma função y = f(x) tem um máximo relativo ou máximo
local em x = a se f(a) é maior do que qualquer valor de f(x) para x, dentro de
um intervalo em torno de a.
Diz-se que uma função y = f(x) tem um mínimo relativo ou mínimo
local em x = a se f(a) é menor do que qualquer valor de f(x) para x, dentro
de um intervalo em torno de a.
Observe que um máximo ou mínimo relativo de uma função é o seu
máximo ou mínimo para um dado intervalo; o máximo ou mínimo absolutos
de uma função em um intervalo maior pode ocorrer num ponto extremo do
intervalo, ao invés de ocorrer em qualquer máximo ou mínimo relativo.
Observações:
a) Os máximos e os mínimos relativos de uma função denominam-se
extremos;
b) Um máximo relativo pode ser menor que um mínimo relativo;
c) Em um intervalo podem existir vários valores para os quais a função tem
valores extremos;
d) A abscissa x0 onde a função tem um extremo denomina-se extremante.
MÁXIMO RELATIVO:
Uma função f possui o máximo relativo ( o máximo local), em um ponto
c, se existe um intervalo aberto I contendo c tal que f seja definida em I e f( c) 
f ( x) seja verdadeira para todo x em I.
MÍNIMO RELATIVO;
Uma função f possui um mínimo relativo ( ou mínimo local) em um
ponto c, tal que f seja definida em I e f(c )  f(x), seja verdadeira para todo x
em I.
TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS
Seja a função f diferenciável no intervalo aberto I e suponha que c seja um ponto em I
tal que f ’( c) =0 e f ” ( c) exista.
1) Se f ” ( c) > 0, então f possui um mínimo relativo em c;
2) Se f ” ( c) < 0, então f possui um máximo relativo em c.
Exemplos:
Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério da
derivada segunda.
a) f(x) = 18x + 3x2 - 4x3
PONTO CRÍTICO
Diz-se que um ponto c é um ponto crítico para a função f quando f é definida
em c, mas não é diferenciável em c, ou f ’ (c) = 0
Exemplo:

19. x3
1) Determine os pontos críticos da função f ( x)   2 x 2  3x  10
3
PONTO DE INFLEXÃO: f ’’ (x) = 0
Um ponto ( c, f ( c) ) num intervalo é denominado ponto de inflexão do gráfico
de uma função f se o gráfico tiver uma reta tangente nesse ponto e se houver
um intervalo aberto I contendo o ponto c, tal que, para todo par de números
reais a e b em I com a < c < b, f ’’ (a) e f ’’ ( b) existem e possuem sinais
algébricos diferentes.
Exemplos:
Dado a função f(x) = x 3  3x 2  5 , encontre:
a) Intervalos crescentes e decrescentes;
b) Concavidade do gráfico;
c) Ponto máximo e ponto mínimo;
d) Ponto de inflexão;
e) Construa o gráfico.
3) Dado as funções abaixo determine todos os itens do exemplo anterior.
a) f(x) = x 3  6 x 2  9 x b) g(x) =  x 2  2 x c) g(x) =
3x  4 x  12 x
4 3 2
APLICAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
A teoria de máximos e mínimos permite resolver vários problemas concretos de
Física, Geometria, Estatística em que se procuram: o menor custo, a maior
área, o maior volume, a máxima altura, etc.
DESAFIO:
Vamos resolver o nosso problema da primeira aula:
Tome uma folha de papel sulfite e intuitivamente ( por tentativa) dobre as laterais de modo que
você obtenha uma caixa. Que altura deve ser dobrado para obter volume máximo? Com o
professor mediante o cálculo pelas derivadas verifique quem conseguiu a maior aproximação.
Agora vamos resolver o problema aplicando os conhecimentos da integral.
Outros exemplos:
1) Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de papelão
medindo 8 cm de largura por 15 cm de comprimento, e uma caixa sem tampa é construída
virando os lados para cima. Determine o comprimento x dos lados que devem ser cortados
para confecção de uma caixa de volume máximo.
1) Uma lata cilíndrica de estanho sem tampa, tem volume de 5 cm 3.
Determine as dimensões se a quantidade de estanho para a fabricação da
lata é mínima.

20. 2) Quais as dimensões de um retângulo de perímetro 48 cm que tem maior
área?
3) Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de
máximo volume possível, cortando um quadrado em cada canto, conforme
indica a figura:
x
x
As dimensões da folha são 60 cm e 40 cm.
a) calcular x
b) calcular o volume máximo da caixa
4) Considere todos os retângulos de 80 cm de perímetro. Determine as
dimensões daquele que tem área máxima.

21. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Supondo que a relação F ( x, y) = 0 é verificada para y = f ( x) , onde f
é derivável, pode –se achar f ’(x ) em função de f ( x) derivando a expressão F
( x, f(x )) = 0. Na prática escreve-se y’ em lugar de f’(x).
Dada uma equação na qual se estabelece y implicitamente como uma função
diferenciável de x, calcula-se dy/dx do seguinte modo:
Passo 1 :Diferencie ambos os membros da equação em relação a x, isto
é, aplique o operador d/dx aos dois membros da equação termo a termo. Ao
fazê-lo tenha em mente que y é encarado como uma função de x e use a
regra da cadeia quando necessário para diferenciar a expressão nas quais
figure y.
Passo 2 : O resultado do passo 1 será uma equação onde figure não
somente x e y, mas também dy/dx. Resolva tal equação para obter a derivada
desejada.
Exemplo:
a) Use a diferenciação implícita para encontrar y’ :
1 ) x 3  3x 2 y 4  4 y 3  6 x  1
2) x 2  y 2  1  0
x2 y2
3)  1
4 9
4) x 4  y 4  x 2 y 2
x2 y2
5)  1
a2 b2