1. Geometria Analítica: Estudos das Cônicas
Temos como base o uso de duas estratégias matemática (mudança de coordenadas):
translação e rotação de eixos.
1)Translação de eixos:
4. Atenção! Usaremos a formulação genérica:
Para estudar as cônicas em nosso curso de Geometria Analitica.
1) Por meio de rotação elimina-se os temos de primeiro grau (chamada técnica de
completamento de quadrados), a versão tradicional é a seguinte:
5. O termo misto Bxy, é eliminado via uma rotação adequada.
6.
7.
8. Esboço do gráfico de uma cônica
Dada a cônica de equação:
esboce o seu gráfico no sistema de coordenadas xy .
Solução 1: Esboço do gráfico no sistema de coordenadas originais usando
as transformações inversas
1. Obtenção da forma padrão em um novo sistema de coordenadas
O primeiro passo é encontrar um sistema de coordenadas apropriado que nos
permita identificar a cônica que estamos estudando. Para isso, usamos o
processo de diagonalização de matrizes para rotacionarmos a cônica e depois,
se for o caso, uma translação.
9. Primeiro escrevemos a equação da cônica em forma matricial:
Primeiramente, vamos achar os autovalores da matriz A . O seu polinômio
característico é
cujas raízes são ou que são os autovalores de A.
Agora, para cada valor de encontrado, vamos achar o autoespaço
correspondente, que é solução do sistema:
Para obtemos
= ~
A matriz acima representa o sistema de duas variáveis de somente uma
equação:
Teremos, portanto, uma variável livre, por exemplo de modo
que . Logo, o autoespaço associado a é
10. O vetor (1,1) gera este subspaço; para obtermos uma base ortonormal para o
subespaço, basta dividi-lo pela sua norma:
Logo, as matrizes D e P são :
D= eP=
Portanto, a equação no novo sistema de coordenadas é
Portanto, a equação no novo sistema de coordenadas é
+
+ 82 = 0
ou
Com a equação acima, ainda é difícil identificar a cônica. Porém, já sabemos
que foi efetuada uma rotação em todo o sistema de coordenadas xy . Assim,
essa cônica já está com os seus eixos paralelos aos eixos do plano cartesiano.
Falta apenas efetuar uma translação nessa elipse para que seu centro coincida
com o centro do sistema de coordenadas e ela se encontre na forma
padrão.Para encontrar a translação apropriada, usamos o método de completar
quadrados:
2 x' ² - 12 x' + 8 y' ² + 48 y' ² + 82 = 0
2 ( x' ² - 6 x' + 9 ) + 8 ( y' ² + 6 y' ² + 9) + 82 = 0 + 18 + 72
2 ( x' - 3 )² + 8 ( y' + 3 )² = 8
11. Substituindo
ficamos com a equação
Achar o novo centro, novo termo independente e novos coeficientes dos termos do
segundo grau resume o problema de trabalhar com as cônicas.
