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Circunferência e círculo

                                 Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf



Sumário                                                                                                                 Página
Revisão............................................................................................................................ 1
      Circunferência e Círculo .......................................................................................... 1
      Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo ....................................... 2
      Raio, corda e diâmetro.............................................................................................. 2
      Posições relativas de uma reta e uma circunferência ............................................... 3
Relações métricas na circunferência............................................................................... 3
      Relação entre as cordas ............................................................................................ 4
      Relação entre secantes.............................................................................................. 4
      Relação entre secante e tangente .............................................................................. 4
Polígonos regulares inscritos na circunferência.............................................................. 7
      Elementos de um polígono regular inscrito.............................................................. 8
      Propriedades ............................................................................................................. 9
Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência ................................... 12
      Quadrado inscrito na circunferência ...................................................................... 12
      Hexágono regular inscrito na circunferência ......................................................... 14
      Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência ..................................................... 15
Comprimento da circunferência.................................................................................... 18
Referências bibliográficas............................................................................................. 21
1


Circunferência e círculo

Revisão


Circunferência e Círculo



           Circunferência                             Círculo
 A circunferência é o lugar geométrico   É o conjunto de todos os pontos de
  de todos os pontos de um plano que    um plano cuja distância a um ponto
    estão localizados a uma mesma         fixo O é menor ou igual que uma
      distância r de um ponto fixo     distância r dada. Quando a distância é
        denominado o centro da         nula, o círculo se reduz a um ponto. O
   circunferência. Esta talvez seja a   círculo é a reunião da circunferência
  curva mais importante no contexto    com o conjunto de pontos localizados
             das aplicações.           dentro da mesma. Na figura abaixo, a
                                        circunferência é a linha de cor preta
                                       que envolve a região cinza, enquanto
                                         o círculo é toda a região pintada de
                                        cinza reunida com a circunferência.
2


Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo


         Pontos interiores                      Pontos exteriores
Os pontos interiores de um círculo são Os pontos exteriores a um círculo são
os pontos do círculo que não estão na os pontos localizados fora do círculo.
           circunferência.




Raio, corda e diâmetro


         Raio                     Corda                    Diâmetro
       Raio de uma            Corda de uma           Diâmetro de uma
circunferência (ou de um   circunferência é um   circunferência (ou de um
 círculo) é um segmento   segmento de reta cujas círculo) é uma corda que
     de reta com uma     extremidades pertencem     passa pelo centro da
  extremidade no centro    à circunferência. Na        circunferência.
   da circunferência e a figura, os segmentos de     Observamos que o
 outra extremidade num      reta AC e DE são     diâmetro é a maior corda
    ponto qualquer da             cordas.          da circunferência. Na
    circunferência. Na                             figura, o segmento de
 figura, os segmentos de                          reta AC é um diâmetro.
  reta OA, OB e OC são
           raios.
3


Posições relativas de uma reta e uma circunferência



            Reta secante                           Reta tangente
        Uma reta é secante a uma                Uma reta tangente a uma
circunferência se essa reta intercepta a     circunferência é uma reta que
     circunferência em dois pontos         intercepta a circunferência em um
quaisquer, podemos dizer também que único ponto P. Este ponto é conhecido
    é a reta que contém uma corda.       como ponto de tangência ou ponto de
                                         contato. Na figura ao lado, o ponto P
                                          é o ponto de tangência e a reta que
                                          passa pelos pontos E e F é uma reta
                                               tangente à circunferência.




Relações métricas na circunferência


A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos.
Vejamos essas relações.
4


Relação entre as cordas

 Se duas cordas de uma circunferência se interceptam em um ponto P então o
  produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das
                   medidas das duas partes da outra corda.
                             PA ⋅ PB = PC ⋅ PD




Relação entre secantes

  Quando duas secantes se interceptam externamente a uma circunferência, o
   produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é
                                 constante.
                             PA ⋅ PB = PC ⋅ PD




Relação entre secante e tangente

 O quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do
         segmento secante inteiro pela medida de sua parte externa.
                               PC 2 = PA ⋅ PB
5


Exemplos:

a) Na circunferência abaixo, determine a medida x do segmento PD , sabendo
que PA = 7 cm, PB = 4 cm e PC = 2 cm.

                               Através da relação entre secante e tangente,
                               temos:
                               PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
                               De acordo com os dados do problema,
                               podemos escrever:
                               7⋅4 = 2⋅ x
                               2 x = 28
                                    28
                                x=
                                     2
                                x = 14

Logo, a medida do segmento PD é 14 cm.




b) Calcular o comprimento r do raio da circunferência abaixo, sendo dados
PA = 20 cm e PC = 10 cm.

                               Através da relação das cordas, temos:
                               PA 2 = PB ⋅ PC
                               De acordo com os dados do problema,
                               podemos escrever:
                               20 2 = (10 + 2 r ) ⋅ 10
                               400 = 100 + 20 r
                               20 r = 400 − 100
                               20 r = 300
                                   300
                               r=
                                    20
                               r = 15

Logo, o comprimento do raio é 15 cm.
6


                               EXERCÍCIOS A

(1) Determine a medida x indicada nas figuras abaixo:

a)                                      c)




b)                                      d)




(2) Na figura abaixo, determine as medidas x e y indicadas.
7


(3) De um ponto P, situado a 3 cm de uma circunferência, traça-se um segmento
de tangente PC cuja medida é 9 cm. Nessas condições, determine o
comprimento do raio dessa circunferência.




Polígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre
si. O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de
lados.

                               Nomenclatura
8


Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência, dizemos que:

• o polígono está inscrito na circunferência;

• a circunferência está circunscrita ao polígono




Elementos de um polígono regular inscrito


Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O).
Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele ( OC ).
Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto
médio de um de seus lados ( OM ).
Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são
semi-retas que contêm dois raios consecutivos.
                                                360º
A medida do ângulo central é dada por: a c =          (n = número de lados).
                                                  n
Ângulo interno é aquele cujos lados são dois lados consecutivos do polígono.
                                                    (n - 2) ⋅ 180º
A medida do ângulo interno é dada por: a i =                       (n = número de
                                                          n
lados).
Soma dos ângulos internos: a soma dos ângulos internos de um polígono
regular de n lados é dada por: Si = (n − 2) ⋅ 180º (n = número de lados).
9


Propriedades


1ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os
    perímetros são proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios.

2ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os
    perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados.
3ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os
    perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas.



Exemplos:
a) Determinar a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de um
pentágono regular inscrito.

Indicando por a c a medida do ângulo Indicando por a i a medida do ângulo
central, temos:                      interno, temos:
      360º                                 (n - 2) ⋅ 180º
ac =                                 ai =
       n                                         n
      360º                                 (5 - 2) ⋅ 180º
ac =                                 ai =
       5                                         5
a c = 72º                                  3 ⋅ 180º
                                     ai =
                                               5
                                           540º
                                     ai =
                                             5
                                     a i = 108º

Logo, o ângulo central do pentágono inscrito é 72º e o ângulo interno é 108º.
10


b) Dois hexágonos regulares estão incritos em circunferências de raios 14 cm e
21 cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na menor delas é 84 cm, determinar
o perímetro do outro hexágono.

Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1ª propriedade, temos:

14 84
    =
21 x
14 x = 1764
    1764
x=
     14
x = 126
Logo, o perímetro do outro hexágono é 126 cm.




                              EXERCÍCIOS B

(1) Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cada
um dos seguintes polígonos regulares inscritos:

a) triângulo eqüilátero

b) quadrado
c) hexágono regular

d) octógono regular
11


(2) O perímetro de um polígono regular inscrito numa circunferência cujo raio
mede x é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular com o mesmo número de
lados está inscrito numa circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm de
perímetro. Quanto mede o comprimento x do raio da primeira circunferência?




(3) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados
medem 48 cm e 60 cm, respectivamente. Quanto mede o apótema do segundo se
o apótema do primeiro mede 4 3 cm?




(4) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados
são, respectivamente, 28,28 cm e 39,592 cm. Quanto medem o raio e o apótema
do primeiro se o raio e o apótema do segundo medem, respectivamente, 7 cm e
3,5 cm?
12


Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência


Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do
apótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o
polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas
medidas.



Quadrado inscrito na circunferência
13


Exemplo:
► Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas
condições, determine:

a) a medida do lado do quadrado:

l=r 2
l = 24 2 cm



b) a medida do apótema do quadrado:

    r 2
a=
     2
    24 2
a=
      2
a = 12 2 cm



c) o perímetro (P) do quadrado:

P = 4l

P = 4 ⋅ 24 2

P = 96 2 cm



d) a área (S) do quadrado:

S = l2

S = (24 2 ) 2

S = 1152 cm 2
14


Hexágono regular inscrito na circunferência




Exemplo:
► Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regular
inscrito numa circunferência de raio 30 cm.

a) a medida do lado do quadrado:
l=r
l = 30 cm

b) a medida do apótema:

    r 3
a=
     2
    30 2
a=
      2
a = 15 2 cm
15


Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência




Exemplo:

► Um triângulo eqüilátero está inscrito numa circunferência de raio 60 3 cm.
Determine:

a) a medida do lado do triângulo:

l=r 3
l = 60 3 ⋅ 3
l = 180 cm

b) a medida do apótema do triângulo:

    r
a=
    2
    60 3
a=
      2
a = 30 3 cm
16




                           EXERCÍCIOS C

(1) Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a
medida do lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regulares
inscritos nessa circunferência:

a) quadrado
b) hexágono regular

c) triângulo eqüilátero




(2) Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência.
Determine o comprimento r do raio dessa circunferência.
17


(3) Sabendo que o apótema de um triângulo eqüilátero incrito em uma
circunferência de raio r mede 15 cm, determine:
a) o comprimento do raio

b) a medida do lado do triângulo, fazendo   3 = 1,73




(4) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede
15 3 cm .

a) Qual é a medida do raio dessa circunferência?
b) Qual é a medida do apótema de um triângulo eqüilátero inscrito nessa
circunferência?
18


Comprimento da circunferência


Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu
perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo
comprimento da circunferência (contorno do círculo), pois um círculo é
contornado por uma circunferência que é formada pela união das extremidades
de uma linha aberta.




O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte
forma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas
pertencem ao mesmo centro, foi concluído que a razão entre o comprimento (C)
de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será sempre uma
mesma constante.

         C
Assim:     ≅ 3,14
         D
O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi").
Costuma-se considerar π = 3,14.

Logo:

C
  =π
D
C = D⋅π
C = 2r π

C = 2πr

Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer
circunferência.
19


Exemplos:
a) Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio.
C = 2πr
C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9
C = 56,52 cm

Logo, o comprimento da circunferência é 56,52 cm.


b) Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de
comprimento?
C = 2πr
18,84 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r
18,84 = 6,28 r
    18,84
r=
     6,28
r = 3 cm

Logo, o raio da circunferência é de 3 cm.



c) Qual é o comprimento x de um arco de 60º numa circunferência que tem 21
cm de raio?

 Sabemos que a medida completa da circunferência,       360º 2 π r
                                                               =
 em graus, é 360. Portanto, para resolver esse           60º      x
 problema vamos usar uma regra de três simples e        6 2 ⋅ 3,14 ⋅ 21
 direta:                                                   =
                                                        1         x
 360º          2πr                                      6 x = 131,88
                                                            131,88
 60º             x                                      x=
                                                               6
                                                        x = 21,98 cm


Logo, o comprimento do arco pedido é 21,98 cm.
20


                              EXERCÍCIOS D

Todo domingo Carla passeia pelo parque com sua bicicleta.




(1) Sabendo que 1 polegada equivale, aproximadamente, a 2,54 cm, quantos
centímetros tem uma volta da roda da bicicleta de Carla?




(2) No último domingo, Carla andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas deu
cada roda?




(3) De casa ao clube, ida e volta, cada roda dá 2000 voltas. A que distância da
casa de Carla fica o clube?
21


Referências bibliográficas

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
  matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
   FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
   Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
   descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
   Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
  Paulo: Scipione, 2006.

MATEMATICA ESSENCIAL. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br>.
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ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
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Mat circunferencia circulo

  • 1. Circunferência e círculo Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Sumário Página Revisão............................................................................................................................ 1 Circunferência e Círculo .......................................................................................... 1 Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo ....................................... 2 Raio, corda e diâmetro.............................................................................................. 2 Posições relativas de uma reta e uma circunferência ............................................... 3 Relações métricas na circunferência............................................................................... 3 Relação entre as cordas ............................................................................................ 4 Relação entre secantes.............................................................................................. 4 Relação entre secante e tangente .............................................................................. 4 Polígonos regulares inscritos na circunferência.............................................................. 7 Elementos de um polígono regular inscrito.............................................................. 8 Propriedades ............................................................................................................. 9 Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência ................................... 12 Quadrado inscrito na circunferência ...................................................................... 12 Hexágono regular inscrito na circunferência ......................................................... 14 Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência ..................................................... 15 Comprimento da circunferência.................................................................................... 18 Referências bibliográficas............................................................................................. 21
  • 2. 1 Circunferência e círculo Revisão Circunferência e Círculo Circunferência Círculo A circunferência é o lugar geométrico É o conjunto de todos os pontos de de todos os pontos de um plano que um plano cuja distância a um ponto estão localizados a uma mesma fixo O é menor ou igual que uma distância r de um ponto fixo distância r dada. Quando a distância é denominado o centro da nula, o círculo se reduz a um ponto. O circunferência. Esta talvez seja a círculo é a reunião da circunferência curva mais importante no contexto com o conjunto de pontos localizados das aplicações. dentro da mesma. Na figura abaixo, a circunferência é a linha de cor preta que envolve a região cinza, enquanto o círculo é toda a região pintada de cinza reunida com a circunferência.
  • 3. 2 Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo Pontos interiores Pontos exteriores Os pontos interiores de um círculo são Os pontos exteriores a um círculo são os pontos do círculo que não estão na os pontos localizados fora do círculo. circunferência. Raio, corda e diâmetro Raio Corda Diâmetro Raio de uma Corda de uma Diâmetro de uma circunferência (ou de um circunferência é um circunferência (ou de um círculo) é um segmento segmento de reta cujas círculo) é uma corda que de reta com uma extremidades pertencem passa pelo centro da extremidade no centro à circunferência. Na circunferência. da circunferência e a figura, os segmentos de Observamos que o outra extremidade num reta AC e DE são diâmetro é a maior corda ponto qualquer da cordas. da circunferência. Na circunferência. Na figura, o segmento de figura, os segmentos de reta AC é um diâmetro. reta OA, OB e OC são raios.
  • 4. 3 Posições relativas de uma reta e uma circunferência Reta secante Reta tangente Uma reta é secante a uma Uma reta tangente a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência é uma reta que circunferência em dois pontos intercepta a circunferência em um quaisquer, podemos dizer também que único ponto P. Este ponto é conhecido é a reta que contém uma corda. como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência. Relações métricas na circunferência A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos. Vejamos essas relações.
  • 5. 4 Relação entre as cordas Se duas cordas de uma circunferência se interceptam em um ponto P então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda. PA ⋅ PB = PC ⋅ PD Relação entre secantes Quando duas secantes se interceptam externamente a uma circunferência, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é constante. PA ⋅ PB = PC ⋅ PD Relação entre secante e tangente O quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secante inteiro pela medida de sua parte externa. PC 2 = PA ⋅ PB
  • 6. 5 Exemplos: a) Na circunferência abaixo, determine a medida x do segmento PD , sabendo que PA = 7 cm, PB = 4 cm e PC = 2 cm. Através da relação entre secante e tangente, temos: PA ⋅ PB = PC ⋅ PD De acordo com os dados do problema, podemos escrever: 7⋅4 = 2⋅ x 2 x = 28 28 x= 2 x = 14 Logo, a medida do segmento PD é 14 cm. b) Calcular o comprimento r do raio da circunferência abaixo, sendo dados PA = 20 cm e PC = 10 cm. Através da relação das cordas, temos: PA 2 = PB ⋅ PC De acordo com os dados do problema, podemos escrever: 20 2 = (10 + 2 r ) ⋅ 10 400 = 100 + 20 r 20 r = 400 − 100 20 r = 300 300 r= 20 r = 15 Logo, o comprimento do raio é 15 cm.
  • 7. 6 EXERCÍCIOS A (1) Determine a medida x indicada nas figuras abaixo: a) c) b) d) (2) Na figura abaixo, determine as medidas x e y indicadas.
  • 8. 7 (3) De um ponto P, situado a 3 cm de uma circunferência, traça-se um segmento de tangente PC cuja medida é 9 cm. Nessas condições, determine o comprimento do raio dessa circunferência. Polígonos regulares inscritos na circunferência Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de lados. Nomenclatura
  • 9. 8 Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência, dizemos que: • o polígono está inscrito na circunferência; • a circunferência está circunscrita ao polígono Elementos de um polígono regular inscrito Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O). Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele ( OC ). Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados ( OM ). Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos. 360º A medida do ângulo central é dada por: a c = (n = número de lados). n Ângulo interno é aquele cujos lados são dois lados consecutivos do polígono. (n - 2) ⋅ 180º A medida do ângulo interno é dada por: a i = (n = número de n lados). Soma dos ângulos internos: a soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é dada por: Si = (n − 2) ⋅ 180º (n = número de lados).
  • 10. 9 Propriedades 1ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios. 2ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados. 3ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas. Exemplos: a) Determinar a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de um pentágono regular inscrito. Indicando por a c a medida do ângulo Indicando por a i a medida do ângulo central, temos: interno, temos: 360º (n - 2) ⋅ 180º ac = ai = n n 360º (5 - 2) ⋅ 180º ac = ai = 5 5 a c = 72º 3 ⋅ 180º ai = 5 540º ai = 5 a i = 108º Logo, o ângulo central do pentágono inscrito é 72º e o ângulo interno é 108º.
  • 11. 10 b) Dois hexágonos regulares estão incritos em circunferências de raios 14 cm e 21 cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na menor delas é 84 cm, determinar o perímetro do outro hexágono. Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1ª propriedade, temos: 14 84 = 21 x 14 x = 1764 1764 x= 14 x = 126 Logo, o perímetro do outro hexágono é 126 cm. EXERCÍCIOS B (1) Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos: a) triângulo eqüilátero b) quadrado c) hexágono regular d) octógono regular
  • 12. 11 (2) O perímetro de um polígono regular inscrito numa circunferência cujo raio mede x é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular com o mesmo número de lados está inscrito numa circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm de perímetro. Quanto mede o comprimento x do raio da primeira circunferência? (3) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados medem 48 cm e 60 cm, respectivamente. Quanto mede o apótema do segundo se o apótema do primeiro mede 4 3 cm? (4) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados são, respectivamente, 28,28 cm e 39,592 cm. Quanto medem o raio e o apótema do primeiro se o raio e o apótema do segundo medem, respectivamente, 7 cm e 3,5 cm?
  • 13. 12 Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do apótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas medidas. Quadrado inscrito na circunferência
  • 14. 13 Exemplo: ► Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas condições, determine: a) a medida do lado do quadrado: l=r 2 l = 24 2 cm b) a medida do apótema do quadrado: r 2 a= 2 24 2 a= 2 a = 12 2 cm c) o perímetro (P) do quadrado: P = 4l P = 4 ⋅ 24 2 P = 96 2 cm d) a área (S) do quadrado: S = l2 S = (24 2 ) 2 S = 1152 cm 2
  • 15. 14 Hexágono regular inscrito na circunferência Exemplo: ► Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 30 cm. a) a medida do lado do quadrado: l=r l = 30 cm b) a medida do apótema: r 3 a= 2 30 2 a= 2 a = 15 2 cm
  • 16. 15 Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência Exemplo: ► Um triângulo eqüilátero está inscrito numa circunferência de raio 60 3 cm. Determine: a) a medida do lado do triângulo: l=r 3 l = 60 3 ⋅ 3 l = 180 cm b) a medida do apótema do triângulo: r a= 2 60 3 a= 2 a = 30 3 cm
  • 17. 16 EXERCÍCIOS C (1) Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a medida do lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos nessa circunferência: a) quadrado b) hexágono regular c) triângulo eqüilátero (2) Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência. Determine o comprimento r do raio dessa circunferência.
  • 18. 17 (3) Sabendo que o apótema de um triângulo eqüilátero incrito em uma circunferência de raio r mede 15 cm, determine: a) o comprimento do raio b) a medida do lado do triângulo, fazendo 3 = 1,73 (4) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 15 3 cm . a) Qual é a medida do raio dessa circunferência? b) Qual é a medida do apótema de um triângulo eqüilátero inscrito nessa circunferência?
  • 19. 18 Comprimento da circunferência Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo comprimento da circunferência (contorno do círculo), pois um círculo é contornado por uma circunferência que é formada pela união das extremidades de uma linha aberta. O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro, foi concluído que a razão entre o comprimento (C) de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será sempre uma mesma constante. C Assim: ≅ 3,14 D O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi"). Costuma-se considerar π = 3,14. Logo: C =π D C = D⋅π C = 2r π C = 2πr Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência.
  • 20. 19 Exemplos: a) Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio. C = 2πr C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9 C = 56,52 cm Logo, o comprimento da circunferência é 56,52 cm. b) Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de comprimento? C = 2πr 18,84 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r 18,84 = 6,28 r 18,84 r= 6,28 r = 3 cm Logo, o raio da circunferência é de 3 cm. c) Qual é o comprimento x de um arco de 60º numa circunferência que tem 21 cm de raio? Sabemos que a medida completa da circunferência, 360º 2 π r = em graus, é 360. Portanto, para resolver esse 60º x problema vamos usar uma regra de três simples e 6 2 ⋅ 3,14 ⋅ 21 direta: = 1 x 360º 2πr 6 x = 131,88 131,88 60º x x= 6 x = 21,98 cm Logo, o comprimento do arco pedido é 21,98 cm.
  • 21. 20 EXERCÍCIOS D Todo domingo Carla passeia pelo parque com sua bicicleta. (1) Sabendo que 1 polegada equivale, aproximadamente, a 2,54 cm, quantos centímetros tem uma volta da roda da bicicleta de Carla? (2) No último domingo, Carla andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas deu cada roda? (3) De casa ao clube, ida e volta, cada roda dá 2000 voltas. A que distância da casa de Carla fica o clube?
  • 22. 21 Referências bibliográficas ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. MATEMATICA ESSENCIAL. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br>. Acesso em: 15 de outubro de 2008. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997. MUNDO EDUCAÇÃO. Disponível em: < http://www.mundoeducacao.com.br>. Acesso em: 16 de outubro de 2008. SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 16 de outubro de 2008. UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA. Disponível em: <http://www.moodle.ufba.br>. Acesso em: 15 de outubro de 2008.