Η Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Γνωρίζουμε ότι
ημx x ,για κάθε x R
(με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 0)
Δηλαδή
ημx x ,για κάθε x 0
Οπότε για x 0έχουμε:
 
 
      
       
       
g x 0,αν x 0ημx x,αν x 0
x ημx x
x ημx , αν x 0 g x 0, αν x 0
 0 
  g x x ημx  
β) Η g είναι γνησίως μονότονη στο R και
           g 0 0 , g π π g 0 g π
Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) Το πεδίο ορισμού της f g είναι το
             
α)
g f
A x A : g x A x : g x 0 0,R
Ο τύπος της συνάρτησης f g είναι
            f g x f g x f x ημx x ημx, x 0
δ) Η g είναι αντιστρέψιμη , ως γνησίως αύξουσα , άρα ορίζεται η 1
g
Επίσης η f είναι γνησίως αύξουσα στο  0, , άρα ορίζεται η 1
f
Το πεδίο ορισμού της 1
g είναι το σύνολο τιμών της g , δηλαδή το
         
    
x x
g lim g x , lim g x ,R R
διότι
         
 
          
 x x x
ημx
lim g x lim x ημx lim x 1 1 0
x
καθώς

ημx 1
x x
, για κάθε x 0 άρα

 
ημx1 1
xx x
, για κάθε x 0
Λύνει ο Αλέξανδρος Σαρρής

2. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
και

 
 
 
 
x
1
lim 0
x
Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής


x
ημx
lim 0
x
Το πεδίο ορισμού της 1
f είναι το σύνολο τιμών της f , δηλαδή το
      
      x
f 0, f 0 , lim f x 0,
Επίσης, θέτοντας  y f x παίρνουμε    2
y x x y
Άρα
 
 1 2
f x x , x 0
Οπότε το πεδίο ορισμού της  1 1
g f είναι το
      

       1 1
1 2
f g
B x A : f x A x 0 : x 0,R
Το πεδίο ορισμού της  
1
f g είναι το σύνολο τιμών της f g
Η συνάρτηση f g είναι γνησίως αύξουσα στο  0,
[ Πράγματι, αν 1 2
x ,x 0 με
                     
g f
1 2 1 2 1 2 1 2
x x g x g x f g x f g x f g x f g x
< <
]
Άρα ορίζεται η συνάρτηση  
1
f g
Το πεδίο ορισμού της  
1
f g είναι το σύνολο τιμών της f g , δηλαδή το
          
      x
f g 0, f g 0 , lim f g x 0, ,
διότι
    
 
    
 x x x
ημx
lim f g x lim x ημx lim x 1
x
 
      
x
ημx
lim x 1 1 0
x
Άρα οι συναρτήσεις  
1
f g ,  1 1
g f έχουν κοινό πεδίο ορισμού το  0,
ε) Είναι     f g π π ημπ π
Άρα
   

1
f g π π
Επίσης

3. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
   g π π ημπ π άρα  
1
g π π
Οπότε
      
 
  
  
  
  
  
 





   
 
 
 

  
 

  
 
  
 

     
  

 x π x π
x π
x π
x π
1
1x π
2 2
f g x f g π x ημx πx ημx π
lim
x πx g π x π
x ημx π
x π x ημx π
x ημx π
x π x ημx π
ημx1
x ημx π x π x ημx π
1 1 1
,
2 π 2 π
x ημx π
π
π
x ημx
lim lim
lim
lim
lim
διότι
 
  
 
     
 x π x π x 0
u π xημ π xημx ημu
1
x π π x u
lim lim lim

4. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Έχουμε:
       g(x) 0 x ημx 0 ημx x x 0
Η g είναι συνεχής ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων     1 2
g x x και g x ημx,
οπότε διατηρεί πρόσημο σε καθένα απ’τα διαστήματα     ,0 και 0, .
‘Εχουμε
ΔΙΑΣΤΗΜΑ  ,0  0,
ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ : 0
x -π π
 0
g x - π + ημ(-π) = - π < 0 π + ημπ = π > 0
ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ g - +
β) Ισχύει
- π < π και f(-π) < g(π)
και αφού η g είναι γνησίως μονότονη στο , θα είναι γνησίως αύξουσα στο .
γ) Πρέπει
 
   

       
g
f
x D x
g x D x ημx 0 ημx x x 0
Οπότε
 f g
D 0,
Έχουμε:
              f g x f g x g x . Άρα f g x x ημx, x 0
δ) Για κάθε 1 2
x ,x με 1 2
x x , ισχύει:      1 2 1 2
x x f x f x .
Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα.
Για κάθε  1 2
x ,x 0, με 1 2
x x , επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα ισχύει:
         

  
f:
1 2 1 2
g x g x f g x f g x , οπότε η f g είναι γνησίως αύξουσα, επομένως 1-1.
Άρα, η  
1
f g ορίζεται.
Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1-1, οπότε ορίζεται η 1
f .
Ισχύει x 0, δηλαδή η f έχει σύνολο τιμών το  0, , επομένως 
 1
f
D 0, .
Έστω
Λύνει ο Νίκος Ελευθερίου

5. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
      2
f x y x y x y ,y 0.
Είναι     
  1 1 2
x f y f y y . Άρα,  
 1 2
f x x ,x 0 .
Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1-1, οπότε ορίζεται η 1
g .
Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής έχει πεδίο ορισμού
       

x x
g lim g x ,lim g x .
Έχουμε:
             1 ημx 1 1 ημx 1 x 1 x ημx x 1.
Έχουμε,     
    
x x
lim x 1 lim x 1 , οπότε, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής,
παίρνουμε  
  
x
lim x ημx .
Ακόμη, έχουμε ότι:
    
    
x x
lim x 1 lim x 1 , οπότε, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, παίρνουμε
 
  
x
lim x ημx .
Επομένως, η g έχει σύνολο τιμών το       g , , οπότε  1
g
D .
Πρέπει:
 



   

    
1
1
f
1 2
g
x D x 0
f x D x x
Επομένως, ισχύει  
 1 1
g f
D 0, . Αφού    1 1
g f
D η  1 1
g f ορίζεται.
Είναι        x ημx x ημx 0, οπότε η f g έχει σύνολο τιμών το  0, , επομένως
 

 1
f g
D 0, . Άρα, παρατηρούμε ότι
 
  
  1 1 1
g ff g
D D 0, .
ε) Είναι     f g π π ημπ π , οπότε    

1
f g π π.
Ακόμη    g π π ημπ π , οπότε  
1
g π π .
Είναι:
      
 
  
   
     

  
 
   
 
 
   
 
     
1
1x π x π x π
2 2
x π x π
f g x f g π f g x π x ημx π
lim lim lim
x π x πx g π
x ημx π x ημx π
lim lim
x π x ημx π x π x ημx π
.
Θέτουμε  u x π.
Είναι:     x π x π u 0.
Οπότε, το προηγούμενο όριο με αυτή την αντικατάσταση γράφεται:

6. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
 
  
 
   u 0
u ημ u π
lim
u u π ημ u π π
.
Όμως, ισχύει:    ημ u π ημu .
Έτσι, το τελευταίο όρο γίνεται:
   
      
 
  


 
 
       

 
  

 

u 0 u 0 u 0
1
1x π
ημu ημuu
1u ημu u u ulim lim lim
u π ημu πu u π ημu π u u π ημu π
u
1 1 2
0 π 0 π 2 π
f g x f g π π
lim
πx g π

7. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Για κάθε x έχουμε:
      g x 0 x ημx 0 ημx x
Όμως για κάθε x ισχύει:  ημx x 1 . Η ισότητα ισχύει μόνο όταν x = 0.
Άρα η εξίσωση g(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα την x = 0.
Από την (1) για κάθε xϵ(-∞,0)U(0,+∞) έχουμε:
    ημx x x ημx x 2
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
 αν x < 0 τότε από την (2) έχουμε:
                 x ημx x x ημx x x ημx 0 g x 0,γιακάθεx 0
 αν x>0 τότε από την (2) έχουμε:
     x ημx x x ημx 0 g x 0,γιακάθεx 0
Επομένως για το πρόσημο της g έχουμε τον παρακάτω πίνακα
 0 
 g x  
β) Υποθέτω ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο
Τότε έχουμε:
   

       
g
0 π g 0 g π 0 π ημπ 0 π,που είναι άτοπο
Άρα η g δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο . Όμως από υπόθεση η g είναι γνησίως
μονότονη στο . Επομένως η g θα είναι γνησίως αύξουσα στο .
γ) Η συνάρτηση f g ορίζεται στο σύνολο:     f g g f
D x D / g x D
Έχουμε
       
      
   
   
g
f
x D x x
g x 0 g x g 0g x D

 
  

g
x
x 0
x 0
Άρα  f g
D 0,
Για κάθε  x 0, έχουμε:
Λύνει ο Στέλιος Στεργιόπουλος

8. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
                   f g x f g x f g x f x ημx f g x x ημx
δ) Μονοτονία της f:
Για κάθε  1 2
x ,x 0, με 1 2
x x έχουμε:
        1 2 1 2 1 2
x x x x (αφού η x f f, x x0<
Άρα η f έιναι γνησίως αύξουσα στο  0, , οπότε είναι και 1-1. Άρα η f αντιστρέφεται.
Μονοτονία της f g :
Για κάθε  1 2
x ,x 0, με 1 2
x x , έχουμε
αφού η g είναι γνησίως αύξουσα ισχύει:
            1 2 1 2 1 2
x x g x g x (αφού η g ) f g x f g x<
Άρα η f g είναι γνησίως αύξουσα στο  0, , οπότε είναι και 1-1.
Άρα η f g αντιστρέφεται.
Σύνολο τιμών της f g :
     fog 0 0 ημ0 0
      
       
x x x x
ημx ημx
lim fog x lim x ημx lim x (1 ) lim x 1
x x
Είναι:

 
x
lim x
Κοντά στο  έχουμε:
      
ημx 1 1 1 1
ημx ημx 1
x x x xx
δηλαδή έχουμε:
   
ημx ημx1 1 1
x x x x x
Είναι:

 
x
1
lim( ) 0
x
και


x
1
lim 0
x
αφου
 
  
x x
1 1
lim( ) lim 0
x x
τότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι και


x
ημx
lim 0
x
Άρα

   
x
ημx
lim 1 1 0 1
x
επομένως:
    
    
x
lim f g x 1

9. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Η fog είναι συνεχής στο  0, ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης g με την συνεχή
συνάρτηση f. Η g είναι συνεχής στο ως διαφορά των συνεχών συναρτήσεων x και ημx.
Η συνάρτηση x είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης η συνάρτηση fog είναι γνησίως
αύξουσα στο  0, . Επομένως το σύνολο τιμών της f g είναι το διάστημα:
Α       
    x
f g 0 ,lim f g x 0,
όμως το πεδίο ορισμού της  
1
f g είναι το σύνολο τιμών της f g .
Άρα
 

  1
f g
D A 0,
Από β) ερώτημα έχουμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο , άρα είναι και 1-1.
Επομένως η g αντιστρέφεται.
Σύνολο τιμών της g:
     
    
x x x
ημx
lim g x lim x ημx lim x (1 )
x
Είναι:

 
x
lim x
Κοντά στο  έχουμε:
       
ημx 1 1 1 1
ημx ημx 1
x x x xx
δηλαδή έχουμε:
     
ημx ημx1 1 1
x x x x x
Είναι:
 
  
x x
1 1
lim lim( ) 0
x x
, οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι και


x
ημx
lim 0
x
Άρα,

   
x
ημx
lim(1 ) 1 0 1
x
οπότε,    
    
x
lim g x 1
        
          
x x x
ημx
lim g x lim(x ημx) lim x (1 ) 1 0
x
Η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο , άρα το σύνολο τιμών της είναι το
διάστημα:
Β        
    
x x
lim g x ,lim g x ,
Όμως το πεδίο ορισμού της g-1 είναι το σύνολο τιμών της g. Άρα Dg-1= Β =
Σύνολο τιμών της f:

10. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
  f 0 0 0
  
  
x x
lim f x lim x
Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο  0, , άρα το σύνολο τιμών της είναι το
διάστημα:
Γ     
    x
f 0 ,lim f x 0,
όμως το πεδίο ορισμού της f-1 είναι το σύνολο τιμών της f. Άρα Df-1= Γ =  0,
 Η συνάρτηση  1 1
g f ορίζεται στο σύνολο:
     

  1 1 1 1
1
g f f g
f/D x D x D
Για να βρω την αντίστροφη της f θέτω f(x) = y και λύνω ως προς x.
Έχουμε:
   

      
y 0 2
2 2
f x y x y x y x y
Άρα
    
   1 2 1 2
f y y ,y 0 ή f x x ,x 0
Έχουμε:
   

 
     
     
  
1
11 1 2
x 0x Df x 0
x 0
f xf x Dg x ,πουισχύει
Άρα  
 1 1
g f
D 0,
Επομένως
 
  
  1 1 1
g ff g
D D 0,
ε) Είναι:
         
     
1
f g π π ημπ f g π π f g π π
Επίσης:
     
     1
g π π ημπ g π π g π π
Άρα:
      
 
  

  
   
 
 
1
1x π x π x π
f g x f g π f g x π x ημx π
lim lim lim
x π x πx g π
   
   
    

   x π
x ημx π x ημx π
lim
x π x ημx π

11. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
   
       


 

   

 
       
x π
x π
x ημx π
lim
x π x ημx π
ημxx π
lim[ ]
x π x ημx π x π x ημx π
 
  
   x π
ημx1 1
lim
x πx ημx π x ημx π


 
   x π
1 1 1
lim
x ημx π π ημπ π 2 π

   
   
 
 
   x π x π x π
ημ π x ημ π xημx
lim lim lim
x π x π π x
Θέτω  u π x, τότε   
    
x π x π
limu lim π x π π 0, άρα όταν x π τότε u 0
οπότε:
 
  

   
 x π u 0
ημ π x ημu
lim lim 1
uπ x
Άρα και

 
x π
ημx
lim 1
x π
Επομένως:
      
 
 



     

1
1x π
f g x fog π 1 1 2 1
lim 1
x g π 2 π 2 π 2 π π

12. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Ισχύει ημx x στο με την ισότητα μόνο στο 0.
Άρα με x 0είναι   x ημx x .
Αν x 0 έχω        x ημx x x ημx 0 g(x) 0.
Αν x 0 έχω        x ημx x x ημx 0 g(x) 0 και g(0) 0.
β) i) Επειδή 
π
0
2
και     
π π
g( ) 1 0 g(0) g
2 2
στο .
ii)        
(1)
f g (2)
D x / x ημx 0 0,
Για κάθε x 0είναι
   f g (x) x ημx .
iii) Eύκολα δείχνω ότι f στο  0, άρα 1-1 με σύνολο τιμών το  0, δηλαδή ορίζεται η
1
f με πεδίο ορισμού το  0, και τύπο 
1 2
f (x) x .
(Η εξίσωση y x έχει για κάθε y 0μοναδική λύση  2
x y ).
Αν 1 2
x ,x με 1 2
x x θα ισχύει
  
      1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
x x x x x x
ημχ ημx 2 ημ συν 2 x x x x
2 2 2
Επειδή

1 2
x x
συν 1
2
και ημx x στο *
.
Άρα
  1 2 1 2
x x ημx ημx       1 1 2 2 1 2
x ημx x ημx g x g(x ).
Άρα η g στο δηλαδή 1-1 και αντιστρέφεται.
Επίσης ισχύει
  
 
     
 χ χ
ημx
lim x ημx lim x 1
x
Αφού


χ
ημx
lim 0
x
καθώς 
ημχ 1
x x
για x 0    
ημx1 1
x x x
και

 
χ
1
lim( ) 0
χ
.
Όμοια

  
x
lim(x ημx) .
Άρα το σύνολο τιμών της g καθώς και το πεδίο ορισμού της 1
g είναι το .
Λύνει ο Κώστας Δεββές

13. ___________________________________________________________________________
4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Η f g είναι στο  0, ως σύνθεση 2 γνήσια αυξουσών, με σύνολο τιμών το  0, αφού
είναι
 
 
x
lim f g (x) και   f g (0) 0.
Άρα
 
  1
f g
D 0, .
Επίσης
           1 1
2
g f
D x 0, / x 0, .
iv) H g είναι 1-1 και g(π) π άρα 
1
g (π) π. Όμοια η f g 1-1 και f(g(π)) π άρα
 


1
f g ( π) π.
Το ζητούμενο όριο γράφεται
  
   
  
   x π x π x π
f(g(x)) π f(g(x)) f(g(π)) f(g(x)) f(g(π)) g(x) g(π)
lim lim lim( )
χ π x π g(x) g(π) x π
Η g είναι παρ/μη στο π άρα


 
χ π
g(χ) g(π)
lim g (π) 2
χ π
και θέτοντας u g(χ)(g συνεχής στο π)
έχω
 
 
  
 χ π u π
f(g(x)) f(g(π)) f(u) f(π) 1
lim lim f (π)
g(x) g(π) u π 2 π
αφού f παρ/μη στο π.
Άρα το ζητούμενο όριο ισούται με 
1 π
ππ
.