Irisan kerucut bakal soal uas ganjil

IRISAN KERUCUT
(KONIK)

1. PENGERTIAN IRISAN KERUCUT
Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangnya. Kita
potong kerucut itu dengan berbagai bidang yang dengan sudut yang berbeda
terhadap sumbu simetri. Bidang itu memotong kerucut menurut kurva-kurva
masing-masing dinamakan elips, parabola, dan hiperbola. Dalam bentuknya
yang istimewa anda juga akan memperoleh sebuah lingkaran, sebuah titik,
garis-garis yang berpotongan dan satu garis.

Irisan kerucut adalah sebuah kurva yang diperoleh dengan memotong
suatu kerucut lingkaran tegak dengan suatu bidang datar. Hasil irisan kerucut
yang berupa lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola akan diuraikan dalam
pembahasan berikut.

2. LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat lingkaran, dan jarak yang
sama ke pusat lingkaran dinamakan jari-jari.

1. Persamaan Lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran

r2 = OB2 + AB2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
Sehingga dapat disimpulkan bentuk umum
persamaan lingkaran adalah

(a, b) = koordinat titik pusat lingkaran

r = panjang jari-jari lingkaran
Bentuk lain persamaan lingkaran adalah

r2 = (x – a)2 + (y – b)2
= x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2
= x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Titik pusat lingkaran (

) dan panjang jari-jari lingkaran r =

Contoh soal:
1. Diketahui persamaan lingkaran (x – 5)2 + (y – 3)2 = 45, tentukan koordinat
titik pusat dan jari-jarinya?
Jawab:
Dik. Pers. Lingkaran (x – 5)2 + (y – 3)2 = 45, maka
a = 5, dan b = 3, r2 = 45
titik pusat lingkaran adalah (a, b) = (5, 3) dan

jari-jari = r =
2. Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan

x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
Jawab
Dik. Pers. Lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, maka
A = -4, B = -6, dan C = -12

Koordinat titik pusat = (

)=

Jari-jari lingkaran adalah
r=

3. Tentukan titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran dengan persamaan (x –
2)2 + (y – 6)2 = 16 ?
Jawab :
Dik. Pers. Lingk. : (x – 2)2 + (y – 6)2 = 16
Titik pusat (2,6)
Jari-jari

r2 = 16 maka panjang jari-jari r =
4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 10x + 4y
–7=0?
Jawab:
Dik. Pers. Lingk. x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0

x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0
x2 – 10x + y2 + 4y – 7 = 0
x2 – 10x + y2 + 4y = 7

(x2 – 5x + 25) + (y2 + 2y + 4) = 7 + 25 + 4
(x – 5)2 + (y + 2)2 = 36
Jadi : titik pusat (5,-2) dan jari-jari r = 6
5. Tentukan persamaan lingkaran jika koordinat titik pusatnya (-2, 5) dan
jari-jari 3
Jawab :
Dik. Titik pusat (a, b) = (-2, 5), maka a = -2, dan b = 5
Jari-jari r = 3
Persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-2))2 + (y – 5)2 = 32
(x + 4)2 + (y – 5)2 = 9
Atau
(x + 4)2 + (y – 5)2 = 9 x2 + 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 9

x2 + y2 + 8x – 10y + 16 + 25 – 9 = 0
x2 + y2 + 8x – 10y + 32 = 0
6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari 4
cm?
Jawab:
Dik. Titik pusat (a,b) = (0,0)

Jari-jari r = 4
Dit. Persamaan lingkaran?
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 0)2 + (y – 0)2 = 42

x2 + y2 = 16
7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan melalui titik

A(4,3)?
Jawab:
Melalui titik A (3,4)
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2

x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 25
8. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(2,1) dan berjari-jari 3
cm?
Jawab:

Jari-jari r = 3
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 32

x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 9
x2 + y2 – 4x – 2y + 4 + 1 – 9 = 0
x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0
9. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(-2,2) dan melalui
titik A(3,1)?
Jawab:
Dik. Titik pusat (a,b) = (-2,2)
Melalui titik A (3,1)
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – (-2))2 + (y – 2)2 = r2

(x + 2)2 + (y – 2)2 = 13

x2 + 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = 13
x2 + y2 + 4x – 4y + 4 + 4 – 13 = 0
x2 + y2 + 4x – 4y – 5 = 0

Latihan
_____________________________________________________
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut:
1. x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
2. x2 + y2 – 2x – 3y – 10 = 0
3. x2 + y2 + 2x + 3y + 25 = 0
4. x2 + y2 – 7x + 3y + 6 = 0
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan
jari-jari berikut:
1. 3
2. 7
3. 13
1. Tentukan persamaan umum lingkaran jika diketahui
pusat dan jari-jarinya sebagai berikut:
1. Pusat (-2,5), dan jari-jari 3

2. Pusat (1,-4), dan jari-jari 5
3. Pusat (3,4), dan jari-jari
4. Pusat (1,-4), dan melalui titik (3,2)
5. Pusat (1/2, 1,2), dan melalui titik
4. Titik (2,a) terletak pada lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y – 4
= 0. Tentukan nilai a ?
5. Tentukan pusat, jari-jari, dan persamaan lingkaran
yang melalui titik (2,2), (2,-4), dan (5,-1) ?
6. Tentukan pusat, jari-jari, dan persamaan lingkaran
yang melalui titik (1,3), (6,-2), dan (-3,-5) ?
7. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik O(0,0)
dan memotong sumbu x dan sumbu y positif sepanjang
3 dan 6?
8. Gambarlah pada koordinat cartesius suatu lingkaran
dengan pusat (2,3) dan jari-jari 3 ?
dengan persamaan (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16 ?
dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 ?

2. Garis Singgung Lingkaran
Apabila terdapat sebuah garis dan sebuah lingkaran, maka terdapat
tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu:

1. Garis memotong lingkaran
2. Garis menyinggung lingkaran
3. Garis diluar lingkaran
Dengan ketentuan sebagai berikut:
Jika A(x1, y1), maka:
1. (x1 – a)2 + (y1 – b) < r2 : titik A memotong
lingkaran
2. (x1 – a)2 + (y1 – b) = r2 : titik A menyinggung
lingkaran
3. (x1 – a)2 + (y1 – b) > r2 : titik A diluar lingkaran

abc
Ingat kembali bentuk umum persamaan garis lurus:

Jika diketahui dua titik :
Jika diketahui gradien atau kemiringannya : y – y1 = m (x - x1)
Perhatikan gambar disamping, sebuah lingkaran dengan titik pusat O (a, b)
dan titik A (x1, y1) terletak pada lingkaran serta garis g adalah garis
singgung lingkaran di titik A (x1, y1).

Gradien garis OA = mOA =
Karena garis g tegak lurus dengan garis OA, maka
mg . mOA = -1

mg =

(substitusi ke pers. Umum garis lurus)

y – y1 = mg (x - x1)

y – y1 = -

(x - x1)

(y1 – b) y – (y1 – b) y1 = - (x1 – a) x + (x1 – a) x1
(x1 – a) x + (y1 – b) y = (x1 – a) x1 + (y1 – b) y1
(x1 – a) x + (y1 – b) y = x12 – ax1 + y12 – by1
(x1 – a) x + (y1 – b) y = (x12 – 2ax1 + a2) + ax1 – a2 + (y12 – 2by1 + b2) + by1 – b2
(x1 – a) x + (y1 – b) y = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 + ax1 + by1 – a2 – b2
(x1 – a) x + (y1 – b) y = r2 + ax1 + by1 – a2 – b2
x1x – ax + y1y – by = r2 + ax1 + by1 – a2 – b2
x1x – ax + y1y – by - ax1 - by1 = r2 – a2 – b2
x1x – ax + y1y – by - ax1 - by1 - r2 + a2 + b2= 0
x1x + y1y – ax - ax1 – by - by1 + c = 0

x1x + y1y – a(x + x1) – b(y + y1) + c = 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran adalah

Atau dapat ditulis:

Ket:
(a,b) adalah titik pusat lingkaran
c = a2 + b2 – r2
r = jari-jari lingkaran

x1, y1 adalah koordinat titik singgung pada lingkaran
Persamaan garis singgung bergradien (kemiringan) m pada sebuah
lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r dapat ditentukan
dengan rumus berikut:

Contoh soal:
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 =
8 yang melalui titik (2,2)?
Jawab:
Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 = 8
Titik pusat (a, b) = (0,0) a = 0, dan b = 0

r2 = 8
titik singgung (x1, y1) = (2, 2) x1 = 2, dan y1 = 2
Dit. Pers. Lingk ?
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
(x – 0) (2 – 0) + (y – 0) (2 – 0) = 8
2x + 2y = 8
Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (2,2) adalah x + y = 4
2. Tentukan pers. Garis singgung yang melalui titik (-5,
12) pada lingkaran x2 + y2 = 169
Jawab:
Titik pusat (a, b) = (0,0) a = 0, dan b = 0
r2 = 169
titik singgung (x1, y1) = (-5, 12) x1 = -5, dan y1 = 12
Dit. Pers. Lingk ?
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
(x – 0) (-5 – 0) + (y – 0) (12 – 0) = 169
-5x + 12y = 169

Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (-5,12) adalah -5x + 12y =
169
3. Tentukan pers. Garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y –
5)2 = 20 di titik (5, 7)?
Jawab:
Dik. Pers. Lingk. : (x – 1)2 + (y – 5)2 = 20
Titik pusat (a, b) = (1, 5) a = 1, dan b = 5
r2 = 20
Dit. Pers. Lingk ?
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
(x – 1) (5 – 1) + (y – 5) (7 – 5) = 20
4x – 4 + 2y – 10 = 20
4x + 2y – 14 – 20 = 0
Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (5, 7) adalah 4x + 2y – 34 =
0
4. Tentukan pers. Garis singgung lingkaran (x + 3)2 + (y –
2)2 = 58 di titik (0, 9)?
Jawab:

Dik. Pers. Lingk. : (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58
Titik pusat (a, b) = (-3, 2) a = -3, dan b = 2
r2 = 58
Dit. Pers. Lingk ?
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
(x – (-3)) (0 – (-3)) + (y – 2) (9 – 2) = 58
(x + 3) (3) + (y – 2) (7) = 58
3x + 9 + 7y – 14 = 58
3x + 7y + 9 – 14 – 58 = 0
Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (0, 9) adalah 3x + 7y – 63 =
0

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 –
4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1)?
Jawab:
Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
A = -4, B = -6, dan C = -12

Koordinat titik pusat = (

)=

Titik pusat (a, b) = (2, -3) a = 2, dan b = -3
c = -12
Dit. Pers. Lingk ?
x1x + y1y – a(x + x1) – b(y + y1) + c = 0
5x + y – 2(x + 5) – (-3)(y + 1) + (-12) = 0
5x + y – 2x - 10 + 3(y + 1) – 12 = 0
5x + y – 2x - 10 + 3y + 3 – 12 = 0
5x – 2x + y + 3y - 10 + 3 – 12 = 0
3x + 4y – 19 = 0

Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (5, 1) adalah 3x + 4y – 19 = 0
9 yang bergradien 3?
Jawab:
r2 = 9 Jari-jari r =
gradien m = 3
Dit. Pers. Garis singgung lingkaran ?
y – b = m(x – a) ±
y – 0 = 3(x – 0) ±
y = 3x ±
Jadi PGSL adalah y = 3x +

dan y = 3x -

25 yang sejajar garis 3x – 4y + 10 = 0 ?
Jawab:
gradien sejajar dengan garis 3x – 4y +10 = 0
gradien garis 3x – 4y +10 = 0 sama dengan gradien garis
singgung lingkaran.
3x – 4y +10 = 0
-4y = -3x – 10

Jadi gradien m =

y=

y – b = m(x – a) ±

y–0=

y=

x±

(x – 0) ±

Jadi PGSL adalah y =

x+

dan y =

x-

8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +
y2 + 6x + 8 = 0 yang bergradien 3?
Jawab:
Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 + 6x + 8 = 0
Titik pusat (a, b) = (-3, 0) a = -3, dan b = 0
c=8
c = a2 + b2 – r2
r2 = a2 + b2 - c
r2 = (-3)2 + 02 - 8
gradien m = 3
y – b = m(x – a) ±
y – 0 = 3(x – (-3)) ±
y = 3(x + 3) ±
Jadi PGSL adalah y = 3x + 9 +

dan y = 3x + 9 -

9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +
y2 – 4x + 6y – 12 = 0 yang bergradien -¾ ?
Jawab:
Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Titik pusat (a, b) = (2, -3) a = 2, dan b = -3
c = -12
c = a2 + b2 – r2
r2 = a2 + b2 - c
r2 = 22 + (-3)2 – (-12)
r2 = 4 + 9 + 12 = 25 Jari-jari r =
gradien m = -¾
y – b = m(x – a) ±

y – (-12) = -¾ (x – 2) ±

y + 12 = -¾ (x – 2) ±

4y + 48 = -3 (x – 2) ±

3x + 4y + 48 – 6 ±

3x + 4y + 42 ±

=0

=0

Jadi PGSL adl 3x + 4y +

= 0 dan 3x + 4y +

=0

10. Tentukan pers. Garis singgung pada lingkaran (x – 1)2 +
(y – 5)2 = 20 yang bergradien -½ ?
Dik. Pers. Lingk. : (x – 1)2 + (y – 5)2 = 20
Titik pusat (a, b) = (1, 5 ) a = 2, dan b = -3
r2 = 20
gradien m =-½
y – b = m(x – a) ±

y – (-3) = -½ (x – 2) ±

y + 3 = -½x + 1 ±

y = -½x + 1 – 3 ±
y = -½x - 2 ±

Jadi PGSL adl y = -½x + 3 = 0 dan y = -½x – 7

Latihan
_____________________________________________________
1. Tentukan letak titik-titik dibawah ini terhadap lingkaran x2 + y2 = 50 ?
1. (6, 4)
2. (-7, 1)
3. (5, -5)
4. (8, -7)
2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik
berikut?
1. (3, 4)
2. (3, -4)
3. (-3, -4)
4. (-3, 4)
3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 5 yang melalui
titik (-2, 1) ?
4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58
yang melalui titik (4, 5) ?
5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x + 2y – 8 = 0
yang melalui titik (-5, -3) ?
6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 2x - 10y + 17 =
0 yang melalui titik (4, 5) ?

7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 4 dengan
gradien 2?
8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 9 dengan
gradien

?

9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 yang
sejajar dengan garis 3x + 4y + 2 = 0 ?
10. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak
lurus dengan garis 5x + 12y + 10 = 0 ?
11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58
yang sejajar dengan sumbu y ?
12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 6x – 8y + 20 =
0 yang ditarik dari titik pangkal O (0, 0) ?

3. PARABOLA
Sebuah parabola adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari
garis arah (direktris) ℓ dan fokus F yaitu yang memenuhi hubungan

Garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus direktris disebut dengan sumbu
simetri, dan segmen garis yang dibatasi oleh parabola, tegak lurus dengan
sumbu simetri, dan melalui titik fokus disebut latus rectum.

1. Persamaan Parabola
Oleh karena sebuah parabola itu simetrik terhadap sumbunya, sudah
lazim untuk menempatkan untuk sumbu x misalnya pada sumbu simetri
kurva tersebut. Kita ambil fokus F disebelah kanan titik asal, misalnya di
(p, 0). Garis arah ℓ kita ambil di sebelah kirinya dengan persamaan x = -p.
Dengan demikian, puncak parabola ada di titik asal (0,0) dari syarat:
dan rumus jarak, kita peroleh

Ruas kiri dan kanan dikuadratkan, maka akan diperoleh:
(x – p)2 + (y – 0)2 = (x + p)2 + (y – y)2
x2 – 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2
y2 = 4px
Dengan demikian maka persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0)
dan titik fokus F (p, 0) adalah:

Ket :
Titik puncak (0,0)
Titik fokus F (p, 0)
Direktris x = -p

Sumbu simetri y = 0

Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) diperoleh dengan
menggeser grafik parabola yang berpusat di (0,0). Misalkan parabola y2 =
4px, digeser sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan b satuan sepanjang
sumbu y, maka didapatkan parabola dengan
puncak (a, b)
Berdasarkan rumus transformasi, maka diperoleh
persamaan parabola dengan titik puncak di (a, b) adalah

Ket :
Titik puncak (a,b)
Titik fokus F (a+p, b)
Direktris x = -p + a
Sumbu simetri y = b
Bagaiman jika x dan y dipertukarkan?, maka kita
akan peroleh persamaan y2 = 4px akan berubah menjadi

Ket :
Titik puncak (0,0)

Titik fokus F (0, p)
Direktris y = -p
Sumbu simetri x = 0
Persamaan x2 = 4py, merupakan persamaan
parabola tegak dengan fokus di (0,p) dan garis arah y = -p. Begitu juga,
jika persamaan parabola x2 = 4py titik puncaknya digeser ke titik (a, b)
maka akan membentuk persamaan

Ket :
Titik puncak (a, b)
Titik fokus F (a, b+p)
Direktris y = -p + b
Sumbu simetri x = a

Contoh soal:
1. Dari parabola-parabola berikut ini, tentukan koordinat titik puncak, titik
fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang latus
rektum ?
1. y2 = 4x

2. y2 = -12x
3. x2 = -8Y
4. x2 = 6Y
Jawab:
1. Dik. Pers. Parabola : y2 = 4x

4px = 4x  4p = 4  p =
Titik puncak : (0,0)
Titik fokus : (p, 0) = (1, 0)
Pers. Sumbu simetri : y = 0
Pers. Direktris : x = -p  x = -1
Panjang latus rectum :
2. Dik. Pers. Parabola : y2 = -12x

4px = -12x  4p = -12  p =
Titik fokus : (p, 0) = (-3, 0)
Pers. Sumbu simetri : y = 0
Pers. Direktris : x = -p  x = -(-3) = 3

3. Dik. Pers. Parabola : x2 = -8y

4py = -8y  4p = -8  p =
Titik fokus : (0, p) = (0, -2)
Pers. Sumbu simetri : x = 0
Pers. Direktris : y = -p  y = -(-2) = 2
4. Dik. Pers. Parabola : x2 = 6y

4py = 6y  4p = 6  p =

Titik fokus : (0, p) = (0,

)

Pers. Sumbu simetri : x = 0

Pers. Direktris : y = -p  y =


2. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (4, 0) dan persamaan
direktrisnya x = -4. tentukan pula panjang latus rectumnya?
Jawab :
Dik. Direktrisnya x = -4  x = -p  -p = -4 p = 4
F (p, 0)  F (4, 0)
Puncak (0,0)
Pers. Parabola : y2 = 4px
y2 = 4(4)x
y2 = 16x
Panjang latus rectum 4p = 16
3. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (0, -8) dan persamaan
direktrisnya y = 6. tentukan pula panjang latus rectumnya?
Jawab :
Dik. Direktrisnya y = 6  y = -p  -p = 6 p = -6
F (0, p)  F (0, -6)
Puncak (0,0)
Pers. Parabola : x2 = 4py
x2 = 4(-6)y
x2 = -24y

Panjang latus rectum 4p = 24
4. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (2, 4) dan fokus (-3, 4).?
Jawab :
Dik. Puncak (a, b) = (2, 4)  a = 2, dan b = 4
Fokus (a+p, b) = (-3, 4)  a+p = -3  2 + p = -3  p = -5
Pers. Parabola
(y – b)2 = 4p(x – a)
(y – 4)2 = 4 . (-5)(x – 2)
(y – 4)2 = -20(x – 2)
Y2 – 8y + 16 = -20x + 40
Y2 – 8y + 20x – 24 = 0
5. Diberikan persamaan parabola y = 4(x - 3)2 – 2. Tentukan titik puncak,
fokus, direktris, dan Pers. Sumbu simetrinya?
Jawab :
Dik. Pers. Parabola : y = 4(x - 3)2 – 2
y = 4(x - 3)2 – 2  y + 2 = 4(x – 3)2

= (x – 3)2
(x – 3)2 = ¼ (y + 2)

Pers. Parabola (x – a)2 = 4p(y – b)

4p = ¼  p =
a = 3, dan b = -2  Titik puncak (a, b) = (3, -2)

titik fokus (a, b+p)  (3, -2 +

) = (3,

)

Pers. Sumbu simetri x = a  x = 3

Latihan
_____________________________________________________
1. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri,
persamaan direktris, dan panjang latus rektum dari parabola y2 = 20x ?
persamaan direktris, dan panjang latus rektum dari parabola x2 = -¾ y ?
3. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (0, -2) dan persamaan
direktrisnya y = 2 ?
4. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (3, 0) dan titik
puncaknya di (0,0) ?
persamaan direktris, dan panjang latus rektum dari parabola 2x2 – 7y = 0 ?
6. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya pada sumbu x dan
melalui titik (-2, 6) ?
7. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (1, 2) dan persamaan
direktrisnya x = 5 ?

8. Dari persamaan parabola-parabola berikut ini:
1. (y – 2)2 = 16(x + 3)
2. (x + 3)2 = 4(y – 1)
3. x2 = -16(y – 7)
4. (x + 1)2 = -4(y +2)
Tentukan:
i.

titik puncak

ii.

titik fokus

iii.

persamaan direktris

iv.

panjang latus rectum
9. Suatu parabola mempunyai persamaan x2 + 6x – 8y – 31 = 0. Tentukan :
i.

titik puncak

ii.

titik fokus

iii.

persamaan direktris

iv.

panjang latus rectum

10. Buatlah sketsa grafik parabola y2 = 8x dan x2 + 6x – 8y – 31 = 0 ?

2. Persamaan Garis Singgung Parabola
Garis g adalah garis singgung pada parabola y2 = 4px di titik A(x1,
y1). Karen garis g melalui titik A(x1, y1), maka persamaan garis singgung g
adalah :
y – y1 = m (x – x1)
Nilai m (gradien) dicari dengan mendiferensialkan persamaan parabola y2 =
4px

Sehingga gradien m pers. y2 = 4px di titik (x1, y1) adalah

disubstitusikan persamaan garis g
sehingga diperoleh bentuk-bentuk persamaan garis singgung pada parabola
sebagai berikut :
Bentuk Persamaan  Bentuk Pers. Garis Singgung






Jika diketahui y2 = 4px adalah persamaan parabola dan m adalah
gradien garis yang menyinggung parabola tersebut maka dapat kita
peroleh persamaan garis singgungnya.
Persamaan gabungan antara parabola y2 = 4px dengan garis g : y =
mx + n adalah : (mx + n)2 = 4px
m2 x2 + 2mnx – 4px + n2 = 0
m2 x2 + (2mn – 4p)x + n2 = 0
syarat garis singgung pada parabola adalah
D=0
(2mn – 4p)2 – 4m2n2 = 0
4m2n2 – 16mnp + 16p2 – 4m2n2 = 0
16p2 = 16mnp

p = mn  n =
Jadi persamaan garis singgung parabola dengan gradien m adalah sebagai
berikut :
Bentuk Persamaan  Bentuk Pers. Garis Singgung






Contoh soal:
1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (2, 4) ?
Jawab :
Dik. Pers. Parabola : y2 = 8x  4p = 8  p = 2
Titik singgung (x1, y1) = (2, 4)  x1 = 2, dan y1 = 4
Dit. Pers. Garis Singgung ?
y1y = 2p (x + x1)  4y = 2 . 2(x + 2)
y=x+2
2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x + 1)2 = -3(y – 2) pada titik
(2, -1) ?
Jawab :
Dik. Pers. Parabola : (x + 1)2 = -3(y – 2)  4p = -3  p = -¾
-a = 1 a = -1
-b = -2 b = 2
Titik singgung (x1, y1) = (2, -1)  x1 = 2, dan y1 = -1
(x1 – a) (x – a) = 2p (y + y1 – 2b)

(2 – (-1)) (x – (-1)) = 2 (-¾) (y + (-1) – 2 . 2)
3 (x + 1) = -3/2 (y – 1 – 4)
6(x + 1) = -3(y – 5)
6x + 6 = -3y + 15
-2x – 2 = y – 3  y = -2x – 2 + 3  y = -2x + 1
3. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 = 6x yang mempunyai
gradien 2 ?
Jawab :

Dik. Pers. Parabola : y2 = 6x  4p = 6  p =
Gradien m = 2
y = mx + p/m

= 2x +

= 2x +
4. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola (y + 5)2 = -8(x - 2) yang
bergradien 3 ?
Jawab :

Dik. Pers. Parabola : (y + 5)2 = -8(x - 2)  4p = -8  p = -2
Gradien m = 3
a = 2, dan b = -5
(y – b) = m(x – a) + p/m
(y – (-5)) = 3 (x – 2) + (-2/3)

y + 5 = 3x – 6 –

y = 3x -

5. Kemiringan garis singgung parabola x2 = -14y di sebuah titik adalah

.

Tentukan koordinat-koordinat titik itu dan buatlah sketsanya ?
Jawab :

Dik. Pers. Parabola x2 = -14y  4p = -14  p =

Gradien m =
Dit. Koordinat Titik Singgung?
Pers. Gar. Singg : y = mx – m2p

y=

y=

)2 (-

x–(

x+2

Titik singgung adalah, y =
x2 = -14y

x2 = -14(

x + 2)

x2 =

x - 28

x2 -

x + 28 = 0

)

x + 2 disubstitusikan ke pers. Parabola

(x - 2
x=

y=

)2 = 0
Substitusi ke pers. Garis singgung atau ke pers. Parabola

(

)+2

y = -2
Jadi koordinat titik singgung adalah (

, -2)

Latihan
_____________________________________________________
1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (18, 12) ?
2. Tentukan persamaan garis singgung parabola x2 = 4y di titik (2, -1) ?
3. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y – 2)2 = 4(x – 1) di titik (5, 2) ?
4. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x - 2)2 = 2(y + 3) di titik (6,
5) ?
5. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang bergradien 3 ?
6. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x – 2)2 = 12(y – 1) yang
bergradien 2 ?
7. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 4x yang sejajar dengan
garis 3x + 2y = 8
8. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 4x yang tegak lurus
dengan garis y =

x+5?

9. Kemiringan garis singgung parabola y2 = 5x di sebuah titik adalah

.

Tentukan koordinat titik itu ?
10. Kabel penggantung bagian tengah sebuah jembatan gantung berbentuk
sebuah parabola. Jarak antara menara penyangga adalah 800 meter. Kbel
digantungkan pada menara di sebuah titik yang letaknya 400 meter diatas
lantai jembatan. Berapakah tinggi kabel itu. Berapakah tinggi batang
penggantung kabel yang letaknya 100 meter dari menara (misalkan bahwa
kabel itu menyinggung lantai jembatan di tengan jembatan) ?

4. ELIPS
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah
jaraknya terhadap dua titik tertentu (titik fokus) yang diketahui adalah
tetap (konstan). Dalam kasus elips ini, elips memiliki dua puncak yang kita
namakan A1 dan A2. sebutlah titik tengah antara A1 dan A2 yang terletak pada
sumbu panjang sebagai pusat elips. Elips letaknya simetris terhadap pusatnya,
oleh karenanya elips disebut konik terpusat.
1. Persamaan Elips
Untuk menurunkan persamaan elips ini, kita letakkan sumbu x sepanjang
sumbu panjangnya sedangkan titik asalnya kita pilih di pusat elips. Kita
misalkan titik fokus F1(c, 0), F2(-c, 0) puncaknya ada di A1 (-a, 0), A2 (a, 0),
B1 (0, b), titik T(x, y) pada elips, dan A1A2 = 2a, maka sesuai dengan
definisi:
Elips = { T l TF1 + TF2 = 2a }

= { (x, y) l

(

= 2a }

= 2a -

)2

(x + c)2 + y2 = 4a2 – 4a
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 - 4a

4a

= 4a2 – 4cx

+ (x – c)2 + y2
+ x2 – 2cx + c2 + y2

(

= a2 – cx)2

a2 (x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2cx + c2x2
a2x2 – 2 a2cx + a2c2 + a2y2) = a4 – 2a2cx + c2x2
a2x2 – 2 a2cx + 2a2cx - c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2
a2x2 - c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2
(a2 – c2) x2 + a2y2 = (a2 – c2) a2
(a2 – c2) x2 + a2y2 = (a2 – c2) a2 : sama-sama dibagi (a2 – c2) a2

Perhatikan gambar disamping
a2 = b2 + c2

b2 = a2 – c2
sehingga didapatkan persamaan elips
a2 > b2

Ket :
Pers. Elips dengan pusat di titik (0, 0)
Titik fokus F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0)
Titik Puncak A1 (a, 0) dan A2 (-a, 0), B1(0, b) dan B2(0, -b)
Panjang sumbu mayor A1A2 = 2a
Panjang sumbu minor B1B2 = 2b

Panjang latus rectum =

Jika persamaan elips

dirotasi 900 terhadap pusat (0, 0)

maka persamaannya akan menjadi :
a2 > b2

Ket :
Pers. Elips dengan pusat di titik (0, 0)
Titik fokus F1 (0, c) dan F2 (0, -c)
Titik Puncak A1 (0, a) dan A2 (0, -a), B1(b, 0) dan B2(-b, 0)


Jika persamaan elips

dengan pusat (0, 0) titik pusatnya di

pindahkan ke titik (p, q) maka persamaannya akan menjadi :

a2 > b2

Ket :
Pers. Elips dengan pusat di titik (p, q)
Titik fokus F1 (c+p, q) dan F2 (-c+p, q)
Titik Puncak A1 (a+p, q) dan A2 (-a+p, q), B1(p, b+q) dan B2(p, -b+q)


Begitu juga jika persamaan elips

dengan pusat (0, 0) titik

pusatnya di pindahkan ke titik (p, q) maka persamaannya akan menjadi :
a2 > b2

Ket :
Pers. Elips dengan pusat di titik (p, q)
Titik fokus F1 (p, c+q) dan F2 (p, -c+q)
Titik Puncak A1 (p, a+q) dan A2 (p, -a+q), B1(b+q, p) dan B2(-b+q, p)


Contoh soal :
1. Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya (13, 0) dan fokusnya
F1(12, 0) dan F2(-12, 0) ?
Jawab :
Dik. Titik puncak (a, 0) = (13, 0)  a = 13
Fokus F1(c, 0) = (12, 0)  c = 12
Titik pusat (0, 0)
a2 = 132 = 169
c2 = 122 = 144

b2 = a2 – c2 = 169 – 144 = 25
Dit. Pers. Elips ?

2. Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(0, 4) dan F2( 0, -4) dan titik
puncak (0, 5) dan (0, -5) ?
Jawab :
Dik. Titik puncak (0, a) = (0, 5)  a = 5
Fokus F1(0, c) = (0, 4)  c = 4
Titik pusat (0, 0)
a2 = 52 = 25
c2 = 42 = 16
b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9
Dit. Pers. Elips ?

3. Diketahui elips dengan persamaan

. Tentukan fokus, titik

puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan panjang latus rectumnya ?

Jawab :

a2 > b2 

Dik. Pers. Elips :
Titik pusat (0, 0)
a2 = 81  a = 9
b2 = 25  b = 5

c2 = a2 – b2 = 81 – 25 = 56  c =
Dit. Unsur Elips ?
Titik fokus F1(0, c) = (0,

) dan F2(0, -c) = (0, -

)

Titik puncak A1(0, a) = (0, 9) dan A2(0, -a) = (0, -9)
B1(b, 0) = (5, 0) dan B2(-b, 0) = (-5, 0)
Panjang sumbu mayor : 2a = 2 . 9 = 18
Panjang sumbu minor : 2b = 2 . 5 = 10



. Tentukan fokus, titik

puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan panjang latus rectumnya ?
Jawab :

a2 > b2 

Dik. Pers. Elips :
Titik pusat (0, 0)
a2 = 30  a =
b2 = 9  b = 3
c2 = a2 – b2 = 30 – 9 = 21  c =
Dit. Unsur Elips ?
Titik fokus F1(0, c) = (0,

) dan F2(0, -c) = (0, -

Titik puncak A1(0, a) = (0,

) dan A2(0, -a) = (0, -

)
)

B1(b, 0) = (3, 0) dan B2(-b, 0) = (-3, 0)
Panjang sumbu mayor : 2a = 2 .

=2


5. Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1, 3) dan F2(7, 3) dan titik
puncak (10, 3) ?
Jawab :
Dik. Fokus F1(c+p, q) = (7, 3) dan F2(-c+p, q) = (1, 3  q = 3
c+p = 7 ............... pers (1) -c+p = 1 .............. pers (2)

p = 7 – c (substitusi ke pers 2)  -c + p = 1
-c + (7 – c) = 1
-2c = -6, c = 3
p=7–c=7–3=7-3=4
Titik pusat (p, q) = (4, 3)
Titik puncak (a+p, q) = (10, 3)  a + p = 10
a + 4 = 10  a = 6
a2 = 62 = 36
c2 = 32 = 9
b2 = a2 – c2 = 36 – 9 = 25
Dit. Pers. Elips ?


. Tentukan fokus,

titik puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan panjang latus
rectumnya ?
Jawab :

Dik. Pers. Elips :

a2 > b2 

Titik pusat (p, q) = (1, 2)  p = 1 dan q = 2
a2 = 25  a = 5
b2 = 9  b = 3
c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16  c = 4
Dit. Unsur Elips ?
Titik fokus F1(c+p, q) = (5, 2) dan F2(-c+p, q) = (-3, 2)
Titik puncak A1(a+p, q) = (6, 2) dan A2(-a+p, q) = (-4, 2)
B1(p, b+q) = (1, 5) dan B2(p, -b+q) = (1, -1)
Panjang sumbu mayor : 2a = 2 . 5 = 10

7. Tentukan persamaan elips dengan pusat (4, -2), puncak (9, -2) dan salah
satu fokusnya (0, -2) ?
Jawab :
Dik. Pusat (p, q) = (4, -2)  p = 4, dan q = -2
Puncak (a+p, q) = (9, -2)  a+p = 9  a = 9 – 4 = 5

Fokus F2(-c+p, q) = (0, -2)  -c+p = 0  -c = 0 – 4 = -4  c =
4
a2 = 52 = 25
c2 = 42 = 16
b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9
Dit. Pers. Elips ?

Latihan
_____________________________________________________
1. Diketahui panjang sumbu mayor 10, sumbu minor, 6.
Jika pusat elips (0, 0) dan sumbu utama x. Tentukan
persamaan elips tersebut ?
2. Diketahui elips dengan titik puncak (3, 0) dan titik
ujung sumbu minor (0, -1). Tentukan persamaan elips
tersebut ?
3. Diketahui persamaan elips

Tentukan titik

fokus, titik puncak, dan latus rectumnya ?
4. Jika persamaan elips 4x2 + 9y2 = 36. Tentukan titik
fokus, titik puncak, dan latus rectumnya ?

5. Tentukan persamaan elips jika titik fokusnya (2,0) dan
(-2,0) serta melalui titik (1,3) ?
6. Diketahui elips dengan titik puncak (-4, 3) dan (12, 3).
Jika salah satu fokusnya (8, 3), tentukan persamaan
elips tersebut ?

.

Tentukan titik fokus, titik puncak, dan latus rectumnya
?

.

Tentukan titik fokus, titik puncak, dan latus rectumnya
?
9. Jika elips berpusat di (2, 3) dan memiliki panjang
sumbu mayor dan minor 24 dan 8, tentukan persamaan
elipsnya ?
10. Buktikan bahwa panjang latus rectum =

?

2. Persamaan Garis Singgung Elips

Ditentukan elips
Titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) terletak pada elips. Kerena titik P dan Q pada
elips maka terdapat hubungan sebagai berikut.

atau b2x12 + a2y12 = a2b2







....................................... (1)

Gradien garis PQ = mPQ =
Berdasarkan persamaan (1), persamaan garis PQ adalah
y – y1 = mPQ(x – x1)

y – y1 =

(x – x1)

Jika garis PQ diputar dengan pusat P maka pada suatu titik saat titik Q
akan berimpit dengan titik P. Dalam hal ini garis PQ akan berubah menjadi
garis singgung di titik P pada elips maka koordinat Q = koordinat P atau x1
= x2 dan y1 = y2. Sehingga persamaan garis singgung elips di titik P(x1, y1)
adalah:

y – y1 =

 y – y1 =

(x – x1)

(x – x1)

 a2y1y – a2y12 = -b2x1x + b2x12
 b2x1x + a2y1y = b2x12 + a2y12
 b2x1x + a2y1y = a2b2 ........................ (sama-sama dibagi a2b2)

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada elips adalah:
Persamaan

Persamaan Garis Singgung

Jika garis singgung pada elips memiliki gradien m maka persamaan
garis singgungnya adalah :
Persamaan

Persamaan Garis Singgung

Contoh:
1. Tentukan persamaan garis singgung
pada elips
Jawab:

Dik. Pers. Elips :
Titik singgung : (x1, y1) = (4, 3)







maka pers. Garis singgung adalah x + y = 7

di titik (4, 3)?

elips

pada titik

(5, -3)?
Jawab:

Dik. Pers. Elips :
Titik singgung : (x1, y1) = (5, -3)






 2(x – 1) – (y + 2) = 9

maka pers. Garis singgung adalah 2x - y = 13
elips 3x2 + 16y2 = 48, di titik
?

Jawab:
Dik. Pers. Elips : 3x2 + 16y2 = 48

Titik singgung : (x1, y1) =
 3x2 + 16y2 = 48











maka pers. Garis singgung adalah x + 4y = 8
elips
?

Jawab:

Dik. Pers. Elips :
Gradien m : 1

, dengan gradien 1

y=x±

maka pers. Garis singgung adalah y = x – 5 dan y = x + 5
elips

, dengan

gradien -2 ?
Jawab:

, a2 = 15, b2 = 4, p = -3, q = 4

Dik. Pers. Elips :
Gradien m : -2

y = -2x – 6 + 4 ± 8
y = -2x – 2 ± 8
2x - 10

maka pers. Garis singgung adalah y = -2x + 6 dan y = -

Latihan
_____________________________________________________
1. Tentukan persamaan garis singgung elips dengan
persamaan

, pada titik (12,8) ?

persamaan

, pada titik (-3,5) ?

persamaan 4x2 + 9y2 – 72 = 0, pada titik (3,2) ?
4. Tentukan persamaan garis singgung elips 4x2 + 3y2 – 8x
– 6y – 45 = 0, pada titik (2, -3) ?

,

tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 2 ?
6. Tentukan persamaan garis singgung pada elips 4x2 +
9y2 = 36 dengan gradien

?

7. Diketahui garis y = mx + 2 dan elips

,

Tentukan batas nilai m agar garis y = mx + 2
menyinggung elips ?
8. Diketahui persamaan elips 2x2 + 3y2 – 6 = 0. Tentukan
persamaan garis singgung elips yang tegak lurus dengan
garis y = -x + 3 ?
9. Tentukan persamaan garis singgung elips 25x2 + 16y2 =
400 yang sejajar dengan garis 3x + y + 1 = 0, ?

10. Tentukan persamaan elips yang garis singgungnya di
titik (2, -1) adalah 2x – 3y – 7 = 0 ?

HIPERBOLA

55
Safari, SPd (SMK NW Kumbung) _________________________________

Irisan kerucut bakal soal uas ganjil

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Irisan kerucut bakal soal uas ganjil

Ähnlich wie Irisan kerucut bakal soal uas ganjil (20)

Irisan kerucut bakal soal uas ganjil