หลักคณิตศาสตร์

1. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 1
บทที่
ตรรกศาสตรและการพิสจน
ู
ในโลกป จ จุ บั น เรามั ก เผชิ ญ กั บ ป ญ หาการพิ สู จ น ค วามจริงในสิ่ งที่ ได รับ ทราบหรื อ
ตองการทราบวาขั้นตอนในการแกป ญ หาตางๆ คําตอบที่ ได ถูกต องหรือไม เชน เมื่อเขียน
โปรแกรมคอมพิวเตอรเราจะทราบไดอยางไรวาโปรแกรมนั้นทํางานอยางที่ตองการ บางขอ
ความเชน “ดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันออก” “หนึ่งสัปดาหมี 9 วัน” คนสวนใหญทราบทันทีวา
ขอความแรกเปนจริงแตขอความหลังเปนเท็จ บางคําถามไมงายนักที่จะตอบในทันทีวาจริงหรือ
ไมโดยเฉพาะอยางยิ่งขอความทางคณิตศาสตร เชน “ไมวา n เปนจํานวนนับใดๆ n 3 + n
เป น จํ า นวนคู เสมอ” บางข อ ความเช น ทฤษฎี บ ทสุ ด ท า ยของ แฟร ม าต (Fermat’s Last
Theorem) “สําหรับจํานวนเต็ม n ใดๆ ซึ่ง n > z สมการ x n + y n = z n ไมมีผลเฉลย ซึ่ง
x , y และ z เปนจํานวนเต็มซึ่งไมใชศูนย (zero)” ขอความอยูในสมุดบันทึกนักคณิตศาสตร
ชาวฝรั่งเศสผูมีชื่อเสียง ปแยร เดอ แฟรมาต (Pierre de Fermat, 1601-1655) เขากลาววา
เนื่ อ งจากเนื้ อ ที่ ในสมุ ด บั น ทึ ก ไม เพี ย งพอจึ งไม ได บั น ทึ ก บทพิ สู จ น ไว นั ก คณิ ต ศาสตรไ ด
พยายามพิสูจนทฤษฎีบทสุดทายของแฟรมาตมาตลอดจนเกิดคณิ ตศาสตรแขนงใหมๆ ที่มี
ประโยชน
คนสวนใหญที่เริ่มศึกษาวิทยาศาสตรกายภาพ มักเบื่อหนายตอบทพิสูจนของทฤษฎี
บทต า งๆ สนใจเพี ย งการนํ า ไปประยุ ก ต ใช เท า นั้ น หากทุ ก คนคิ ด เช น นี้ วิ ท ยาศาสตร แ ละ
เทคโนโลยีคงจะไมกาวหนาอยางเชนในปจจุบัน การมีแนวคิดทฤษฎีใหมๆ ยอมเปนผลจาก
การศึกษาทฤษฎีบทที่มีอยูวามีแนวคิดมาอยางไร และจะยืนยันไดอยางไรวาสิ่งที่เราคิดขึ้นมา
นั้นถูกตอง เชน หากเราเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอรขึ้นเพื่อทํางานชิ้นหนึ่ง เรามีวิธีตรวจสอบ
ไดอยางไรวาโปรแกรมนั้นทํางานใหไดตามตองการจริงๆ หรือหากมีใครจัดรายการเกมโชวโดย

2. 2 หลักคณิตศาสตร์
ตั้งกติกาวาผูที่ชนะไดรางวัลคือ ผูที่สามารถจัดเรียงแผนกระดาษ 36 แผน ซึ่งแตละแผนมีเลข
1, 2, …, 36 เขียนอยูแผนละ 1 หมายเลขบนชองวาง 36 ชองในวงลอนําโชค โดยที่ผลบวก
ของตัวเลขใน 3 ชองที่ติดกันใดๆ มีคานอยกวา 55 ทานจะทราบไดอยางไรวา ทานสมควรจะ
เลนเกมนี้หรือไม
ในบทนี้เราจะกลาวถึงตรรกศาสตรพื้นฐานสําหรับใชในการพิสูจน และการพิสูจนแบบ
ตางๆ ซึ่งใชในการพิสูจนขอความทางคณิตศาสตร
1.1 ประพจนและคาความจริง
ขอความที่นาสนใจทางคณิตศาสตรเปนขอความที่เราตัดสินไดวา ตองเปนจริงหรือเปน
เท็จอยางใดอยางหนึ่งเทานั้น จะเปนทั้งสองอยางไมได กลาวคือ ถาขอความใดไมเปนจริงแลว
ขอความนั้นตองเปนเท็จ ในนัยกลับกัน ถาขอความใดไมเปนเท็จแลว ขอความนั้นตองเปนจริง
ประโยคเชน “จํานวนเฉพาะเปนจํานวนที่สําคัญที่สุด” เปนประโยคที่เราไมสนใจ เพราะเปน
ประโยคแสดงความคิดเห็นซึ่งมีทั้งผูที่เห็นดวยและผูท่คัดคาน
ี
บทนิยามที่ 1 ประพจน (proposition หรือ statement) เปนประโยคซึ่งเปนจริงหรือเปนเท็จ
อยางใดอยางหนึ่งเทานั้น
ตัวอยางที่ 1.1 ประโยคตอไปนี้เปนประพจน
(1) ดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันออก (จริง)
(2) ประเทศไทยประกอบดวยจังหวัด 20 จังหวัด (เท็จ)
(3) 2 เปนจํานวนอตรรกยะ (จริง)
(4) ถา x = 1 แลว x = -1
2
(เท็จ)
(5) 5 ไมเปนจํานวนจริง (เท็จ)
(6) 4597366114 > 28 (จริง)
(7) 2 + 1 เปนจํานวนเฉพาะ
4765
ขอสังเกต : เราไมสามารถบอกไดทันทีวา ประโยคที่ 7 เปนจริงหรือเท็จ แตหากใหเวลาพอ
สมควรเราจะบอกไดวา ประโยคนี้จริงหรือเท็จ
ตัวอยางที่ 1.2 ประโยคตอไปนี้ไมเปนประพจน
(1) พรุงนี้คุณไปทํางานหรือเปลา (คําถาม)

3. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 3
(2) ฝากซื้อตั๋วละครดวยนะ (ขอรอง)
(3) อยาซน (คําสั่ง)
(4) a ⋅ b = b ⋅ a
(5) x 2 = -1
(6) r เปนจํานวนอตรรกยะ
ขอสังเกต : ประโยคที่ 4, 5 และ 6 ไมเปนประพจนเพราะเราไมสามารถทราบวา a, b, x หรือ
r คืออะไร จึงตัดสินไมไดวา ประโยคเหลานี้จริงหรือเท็จ
สัญกรณ เมื่อเราตองการแทนประพจนดวยสัญลักษณเรานิยมแทนดวยอักษรตัวพิมพเล็กใน
ภาษาอังกฤษ เชน p, q, r เปนตน
เมื่อประพจน p เปนจริง เรากลาววา p มีคาความจริง (truth value) เปนจริง เขียน
แทนคาความจริงเปนจริงดวยสัญลักษณ T และถาประพจน p เปนเท็จ เรากลาววา p มีคา
ความจริงเปนเท็จ เขียนแทนคาความจริงเปนเท็จดวยสัญลักษณ F (ในทางคอมพิวเตอรนิยม
ใช “ 1 ” แทน “จริง” และ “ 0 ” แทน “เท็จ”)
จะสั ง เกตเห็ น ได ว า ประพจน ใ นตั ว อย า งที่ 1.1 เป น ประพจน เชิ ง เดี่ ย ว (simple
statement) กลาวคือเปนประพจนซึ่งเราไมสามารถแยกออกเปนประพจนยอยมากกวาหนึ่ง
ประพจนได เรายังมีประพจนซึ่งเกิดจากการนิเสธประพจน หรือรวมสองประพจนเขาดวยกัน
ตั ว เชื่ อ ม (connective) (และ)  , (หรื อ )  , (ถ า ...แล ว ...)  หรื อ (ก็ ต อ เมื่ อ ) « เรี ย ก
ประพจนที่ไดวา ประพจนเชิงประกอบ (complex statement)
ให p และ q เปนประพจนใดๆ
นิเสธ (negation) ของ p เขียนแทนดวยสัญลักษณ p เปนประพจนที่มีคาความ
จริงตรงกันขามกับ p ดังแสดงในตารางขางลางนี้
ตารางที่ 1.1
p p
T F
F T

4. 4 หลักคณิตศาสตร์
ตัวอยางเชน p : วันนี้เปนวันเสาร
 p : วันนี้ไมใชวันเสาร
การรวม (conjunction) ของ p และ q เขียนแทนดวยสัญลักษณ p  q อานวา “ p
และ q ” เปนประพจน p  q มีคาความจริงเปนจริงในกรณีเดียวเทานั้น คือ ทั้ง p และ q มี
คาความจริงเปนจริงทั้งคู
ตัวอยางเชน p : เชียงใหมเปนจังหวัดหนึ่งในประเทศไทย
q : เชียงใหมตั้งอยูในภาคเหนือของประเทศไทย
p  q มีคาความจริงเปนจริง เพราะ p มีคาความจริงเปนจริง และ q มีคาความจริงเปนจริง
ประพจน “ภาคตนปการศึกษา 2534 นางสาว สมศรี รักวิทยา ลงทะเบียนเรียนวิชา
คณิตศาสตรและวิชาฟสิกส” เขียนในรูปสัญลักษณทางคณิตศาสตรไดคือ r  s โดยที่
r : ภาคตนปการศึกษา 2534 นางสาว สมศรี รักวิทยา ลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร
s : ภาคตนปการศึกษา 2535 นางสาว สมศรี รักวิทยา ลงทะเบียนเรียนวิชาฟสิกส
ประพจนเชนนี้เปนจริงกรณีเดียวเทานั้นคือ r เปนจริง และ s เปนจริง
การเลือก (disjunction) ระหวาง p และ q เขียนแทนดวย p  q อานวา “ p หรือ
q ” แตมีความหมายตรงกับ p และ/หรือ q นั่นคือ
ประพจน p  q มีคาความจริงเปนเท็จกรณีเดียวเทานั้นคือ เมื่อ p และ q มีคาความ
จริงเปนเท็จทั้งคู มองดูอาจขัดกับความรูสึกของเราวาการเลือกควรเลือกเอาสิ่งใดสิ่งหนึ่งไม
ควรเลือกทั้งสองอยาง หากเราเปรียบเทียบวาประพจนเปนสมบัติที่เราตัดสินไดวาจริงหรือเท็จ
ก็คงพอจะรับ p  q ในเชิงตรรกศาสตรได เชน คุณสมบัติของผูมีสิทธิสมัครงานบริษัทแหง
หนึ่งเขียนไววา
วุฒิการศึกษา : วิทยาศาสตรบัณฑิต หรือ วิศวกรรมศาสตรบัณฑิต
หากสมศรีเรียนจบทั้งสองปริญญาคือ ทั้งวิทยาศาสตรบัณฑิต และวิศวกรรมศาสตร
บัณฑิต สมศรียอมมีสิทธิสมัครงานในตําแหนงดังกลาวไดเชนกัน
การแจงเหตุ (implication) p สูผล q เขียนแทนดวย p  q อานวา “ถา p แลว
q ” หรือ “ p สรุปไดวา q ” หรือ “ p เปนเงื่อนไขที่เพียงพอ (sufficient) สําหรับ q ” หรือ “ q
เป น เงื่ อ นไขที่ จํ า เป น (necessary) สํ า หรับ p ” เราเรีย กประพจน p ว า ข อ สมมติ ฐ าน
(hypothesis) และเรียกประพจน q วา ผลสรุป (conclusion)
p  q มีคาความจริงเปนเท็จกรณีเดียวเทานั้นคือ เมื่อ p มีคาความจริงเปนจริงและ
q มีคาความจริงเปนเท็จ นั่นคือ เมื่อ p มีคาความจริงเปนเท็จ เราจะสรุปอะไรซึ่งเปนจริงหรือ

5. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 5
เท็จยอมถือวาเราพูดความจริง แตหาก p เปนจริง จะตองไดผล q ซึ่งเปนจริง จึงจะถือวาเรา
พูดความจริง
ตัวอยางเชน p : วันนี้เปนวันจันทร
q : นายสมชาย เหลืองสด ใสเสื้อสีเหลือง
p q : ถาวันนี้เปนวันจันทรแลว นายสมชาย เหลืองสด ใสเสื้อสีเหลือง
p  q เปนเท็จก็ตอเมื่อวันนี้เปนวันจันทรแตนายสมชาย เหลืองสด ไมไดใสเสื้อสีเหลือง แต
หากเราพบสมชายใสเสื้อสีเหลือง เราจะดวนสรุปวาวันนี้เปนวันจันทรไมได (สมชายอาจชอบสี
เหลืองมากจึงใสเสื้อสีเหลืองบอย) แตที่แนๆ ก็คือ วันจันทรเขาจะไมยอมใสเสื้อสีอื่นเลยนอก
จากสีเหลือง p  q กลาวไดอีกอยางหนึ่งวา นายสมชาย เหลืองสด ใสเสื้อสีเหลืองทุกวัน
จันทร
การสมมูลกัน (equivalence) ของ p และ q เขียนแทนดวย p « q อานวา “ p ก็
ตอเมื่อ (if and only if) q ” หรือ “ p สมมูลกับ q ” หรือ “ p เปนเงื่อนไขที่เพียงพอและจําเปน
สําหรับ q ” p « q เปนสัญลักษณแทนประพจน (p  q )  (q  p) ดังนั้น
p « q มีคาความจริงเปนจริงกรณีที่ p และ q มีคาความจริงตรงกัน เชนในตัวอยาง
นายสมชาย เหลืองสด
p « q วันนี้เปนวันจันทร ก็ตอเมื่อ นายสมชาย เหลืองสด ใสเสื้อสีเหลือง ประพจนนี้
เปนจริง เมื่อสมชายใสเสื้อสีเหลืองในวันจันทร และถาสมชายใสเสื้อสีเหลืองสรุปไดวาวันนี้เปน
วันจันทร นั่นคือ สีเสื้อของสมชายเปนเครื่องชี้บอกไดวาวันนั้นเปนวันจันทรหรือไม
ตารางที่ 1.1 แสดงคาความจริงของประพจน  p โดยแจกแจงกรณีทั้งหมดที่เปนไป
ไดของ p เราเรียกตารางซึ่งแสดงคาความจริงของประพจนเชิงประกอบโดยแจกแจงคาความ
จริงในทุกกรณี ของประพจนยอยเชิงเดียวทั้งหมดที่ประกอบเปนประพจนนั้นวา ตารางคา
ความจริง (truth table) ของประพจน
เพื่อเปนตัวอยาง เราสรุปตารางคาความจริง p  q, p  q, p  q และ p « q ใน
ตารางเดียวกันดังนี้

6. 6 หลักคณิตศาสตร์
ตารางที่ 1.2
p q p q p q p q p «q
T T T T T T
T F F T F F
F T F T T F
F F F F T T
โดยทั่วไปเมื่อประพจนเชิงประกอบ P มีประพจนยอยเชิงเดียวทั้งหมด n ประพจน
คือ p1, p2, ..., pn จะแจงกรณี ไดทั้งหมด 2n กรณี เพื่อแจกแจงใหครบทุกกรณี เราทําเปน
ขั้นตอน ดังนี้
1. แบงตารางเปน n + 1 หลัก (column) โดยแตละหลักเขียนประพจนเดียวเรียงไป
ตามลําดับ โดยหลักสุดทายคือประพจน P
2. ในหลัก i ใดๆ (เพื่อใหเปนระบบควรเริ่มจากหลักที่ 1) เขียน T เปนจํานวน 2n -i
ตัว บรรทัดละตัว สลับกับ F จํานวน 2n-i ตัว บรรทัดละตัว จนกวาจะครบ 2n ตัว เชน
p q P p q r P
T T T T T
T F T T F
F T T F T
F F T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
3. ใส ค า ความจริ งให ป ระพจน ย อ ยของ P ซึ่ งเชื่ อ มด ว ยตั ว เชื่ อ มเพี ย งตั ว เดี ย วใต
ตัวเชื่อมจากวงเล็บในสุดไปเรื่อยๆ จนกวาจะไดคาความจริงของ P
เราใชตารางที่ 1.1 และ 1.2 เปนหลักในการสรางตารางคาความจริงของประพจนอ่นๆ ื
ดังแสดงในตัวอยางตอไปนี้

7. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 7
ตัวอยางที่ 1.3 จงเขียนตารางแสดงคาความจริงประพจน (( p)  q )  p
p q (( p)  q )  p
T T F F T
T F F F T
F T T T F
F F T F T
ลําดับขั้น 1 1 2 3 4
สังเกตวาตารางคาความจริงนี้สรางอยางประหยัดเนื้อที่ บรรทัดสุดท ายซึ่งเขียนวา
ลําดับขั้นนั้น ตัวเลขที่ปรากฏแสดงถึงลําดับในการแจงคาความจริง ลําดับสุดทาย (ในตัวอยาง
นี้ตรงกับขั้นที่ 4) เป น คาความจริงของประพจนที่ตองการ เราตีตารางเพื่ อเนน ใหเห็น จาก
ตั ว อย า งข า งต น อ า นได ว า เมื่ อ p เป น จริ ง q เป น จริ ง จะได (( p)  q )  p เป น จริ ง
ดังนี้ เปนตน
ตัวอยางที่ 1.4 จงเขียนตารางคาความจริงของประพจน
(p  (q  r )) « ((p  q )  (p  r ))
p q r (p  (q  r )) « ((p  q )  (p  r ))
T T T T T T T T T
T T F T F T T T T
T F T T F T T T T
T F F T F T T T T
F T T T T T T T T
F T F F F T T F F
F F T F F T F F T
F F F F F T F F F
1 1 1 3 2 4 2 3 2

8. 8 หลักคณิตศาสตร์
เพื่อความสะดวกในบางครั้งเราอาจตัดวงเล็บบางคูออกไดโดยมีขอตกลงลําดับกอน
หลังของตัวเชื่อมดังนี้
1. 
2. ,  (กรณีมีทั้งสองตัวเชื่อมตองใสวงเล็บคั่น)
3. 
4. «
ตัวอยางเชน
(( p)  q )  p เขียนแทนดวย  p q  p
(p  (q  r )) « ((p  q )  (p  r )) เขียนแทนดวย p  (q  r ) « (p  q )  (p  r )
บทนิ ย ามที่ 2 สั จ นิ รั น ดร (tautology) คื อ ประพจน ที่ มี ค า ความจริ ง เป น จริ ง เสมอ ส ว น
ประพจนที่มีคาความจริงเปนเท็จเสมอเรียกวา ความขัดแยงกัน (contradiction)
จากตัวอยางที่ 1.4 จะเห็นวา (p  (q  r )) « ((p  q )  (p  r )) เปนสัจนิรันดร
เราแสดงไดโดยงายวา p  p เปนความขัดแยงกัน
แบบฝกหัดที่ 1.1
1. จงพิจารณาวาประโยคตอไปนี้เปนประพจนหรือไม
1.1 5 + 8 = 20
1.2 จงหาผลเฉลยของสมการ x + 1 = 3
1.3 ถา 1 + 2 = 7 แลว 2(1 + 2) = 14
1.4 ให x > 8
1.5 จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยเปนมหาวิทยาลัยซึ่งตั้งอยูในภาคเหนือของประเทศไทย
1.6 ประเทศไทยอยูในทวีปเอเชีย
1.7 จงทําดี
1.8 อะ อะ อยาทิ้งขยะ

9. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 9
1.9 4 เปนจํานวนเต็มลบ ก็ตอเมื่อ -4 เปนจํานวนเต็มบวก
1.10 หนังสือ หรือ 7 เปนสัตวเลี้ยงลูกดวยนม
1.11 จะทําการบานหรือเขานอน
1.12 ทุกจํานวนเต็มซึ่งใหญกวา 3 เปนผลบวกของจํานวนเฉพาะสองจํานวน
1.13 มีจํานวนเฉพาะอยูมากกวา 10 ตัว
1.14 x 2 > 0
1.15 a > b ก็ตอเมื่อ a 2 > b 2
2. จงหาคาความจริงของประพจนใน (1)
3. ให p, q, r และ s เปนประพจน จงสรางตารางคาความจริงของประพจนตอไปนี้
3.1 p  (q  r ) « (p  q )  (p  r )
3.2 (p  q ) « ( q  p)
3.3 (p  q ) « ( p  q )
3.4  (p  q ) « p  q
3.5 p  q  p
3.6 ((p  q )  p)  q
3.7 [(p  q )  (r  s )]  ((p  r )  q  s )
3.8  (p  q )  (s  r )
3.9  (p  q )  (r   s )
3.10 p  p
3.11 p  p
3.12 p  (q   q ) « p
3.13 p  (r   r )
3.14 p  (q   q )
4. ประพจนใดในขอ 3 เปนสัจนิรันดร
5. ประพจนใดในขอ 3 เปนความขัดแยงกัน

10. 10 หลักคณิตศาสตร์
1.2 การสมมูลเชิงตรรกศาสตร
เรานิยาม “ความเหมือน” (การสมมูล) ของของ 2 สิ่งไดอยางไร
ในทางเรขาคณิตความเหมือนหมายถึงรูปทรงไมแตกตางกัน เชน สามเหลี่ยมสองรูป
เทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ สามเหลี่ยมสองรูปมีดานเทากันทุกดาน ดานตอดาน
การเหมือนกันของนิพจนของจํานวนจริงสองนิพจนในเชิงพีชคณิต เรากลาววานิพจน
ทั้งสองเปนเอกลักษณกัน เชน (a + b)2 และ a 2 + 2ab + b 2 เปนเอกลักษณกัน เขียนแทน
ดวย (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 หมายความวา เมื่อเราแทนคา a และ b ดวยจํานวนจริงใด
เชน แทน a ดวย 1 และแทน b ดวย 3 ในนิพ จนทางซายมือและนิพ จนทางขวามือของ
2
เครื่องหมาย “ = ” คาที่คํานวณไดจะเทากัน ดังนั้น เราสามารถใชนิพจนที่เปนเอกลักษณกันนี้
แทนที่กันไดเสมอ
ในเชิ ง ตรรกศาสตร สํ า หรั บ ประพจน ค า ความจริ ง เป น ตั ว บ ง บอกเอกลั ก ษณ ข อง
ประพจนนั้นๆ ดังนั้น ประพจน 2 ประพจน “เหมือนกัน ” ในเชิงตรรกศาสตรหมายความวา
ประพจนทั้งสองมีคาความจริงตรงกันในทุกกรณี เราสามารถแทนที่ประพจนที่ “เหมือนกัน” นี้
ไดเชนกัน
บทนิยามที่ 3 ให p และ q เป น ประพจน เรากล า วว า p และ q สมมู ล กั น เชิ ง ตรรก-
ศาสตร (logically equivalent) เขียนแทนดวยสัญลักษณ p  q ก็ตอเมื่อประพจน p « q
เปนสัจนิรันดร นั่นคือ คาความจริงของ p และ q ตรงกันทุกกรณี
ตัวอยางที่ 1.5 พิจารณาตารางคาความจริงของประพจน p  q,  q  p,  p  q
และ q  p
p q p q  q  p  p q qp
T T T T T T
T F F F F T
F T T T T F
F F T T T T